Куб и правоъгълен паралелепипед – задачи и тест | 4. клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆

Математика › 4. клас › Урок 12

Куб и правоъгълен паралелепипед

Стени, ръбове и върхове · скрити части на чертежа · модели от пръчици · 25 решени, 30 самостоятелни и 15 тестови задачи

4. класГеометрични телаКуб и паралелепипедИнтерактивен тест

За учителя и родителя: Работете на части с цяла затворена кутия и модел на куб. Предметите само наподобяват математическите тела. Основната цел е разпознаване и посочване на стени, ръбове и върхове; задачите за пръчици са приложение на познатите аритметични действия, не нови формули за лице или обем. Не измервайте по рисунките: те са условни. Използвайте дадените дължини. Последните пет решени и пет самостоятелни задачи са с повишена трудност. При работа с модели използвайте безопасни материали; рязане прави възрастен.

Вече познаваш квадрата и другите равнинни фигури и правоъгълника. Сега разглеждаме геометрични тела. Ще откриваме познатите фигури по стените им и ще броим ръбовете и върховете. При практическите сметки използвай събирането с преминаване от урок №10 и изваждането с преминаване от урок №11. Всички публикувани теми са в каталога за 1.–4. клас.

ТеорияРешени задачиСамостоятелна работаТестСвързани уроци

📘 Теория

1. От равнинна фигура към геометрично тяло

Квадратът и правоъгълникът са равнинни фигури. Кубът и правоъгълният паралелепипед са геометрични тела: те заемат място в пространството. Чертежът на куб върху листа е изображение на тяло, а не самото тяло.

Стена на кутия може да наподобява правоъгълник, но цялата кутия не е правоъгълник. В този урок мислим за затворена кутия с всичките ѝ стени, а не за кутия без капак. Страните и върховете на равнинните фигури ще ни помогнат да назовем новите елементи.

Вземи модел на куб и затворена кутия. Постави ги върху различни стени. Помагат думите от ориентирането в пространството: горе, долу, отпред, отзад, вляво и вдясно.

Фигурата е равнинна; телата заемат място в пространството.

2. Куб — шест еднакви квадратни стени

Кубът е тяло, оградено от шест еднакви квадрата. Тези квадрати са неговите стени. Всичките му ръбове са с равна дължина. Модел на зарче наподобява куб; точките по него не създават допълнителни стени или върхове.

На обикновената рисунка не виждаш едновременно всички стени. Наклонено изобразеният квадрат може да изглежда различно, но истинската стена на куба остава квадрат. Припомни си как разпознаваме квадрат и правия ъгъл.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

3. Правоъгълен паралелепипед и мястото на куба

Правоъгълният паралелепипед е ограден от шест правоъгълни стени. Срещуположните стени са еднакви. Някои стени могат да са квадрати: квадратът е вид правоъгълник, както научихме в урока за квадрата като вид правоъгълник.

Всеки куб е правоъгълен паралелепипед, но не всеки правоъгълен паралелепипед е куб. При куба трите измерения са равни. При кутия с размери 6 см, 4 см и 3 см те не са равни, затова тя не е куб. Една квадратна стена сама по себе си не е достатъчна.

Свържи новото със страните на правоъгълника. В следващите задачи, когато трябва да различаваме двата вида, ще казваме изрично „правоъгълен паралелепипед, който не е куб“.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

4. Стена, ръб и връх — три различни елемента

Стената е цялата равнинна част, която огражда тялото. Ръбът е отсечката, обща за две съседни стени. Върхът е точката, в която се срещат ръбове. При куба и правоъгълния паралелепипед в един връх се срещат точно три ръба и три стени.

В чертежите използваме букви A, B, C, D за долните върхове и E, F, G, H за върховете точно над тях. Например A е връх, AB е ръб, ABFE е стена. Припомни си точката и отсечката и върха и рамената на ъгъл. Ръбът има два края; той не е лъч.

Жълтата предна стена, червеният ръб AB и върхът A показват различни видове елементи.

5. Как броим осемте върха?

Броим подред: 4 долни върха и 4 горни върха — общо 8. Всеки връх броим веднъж. И кубът, и правоъгълният паралелепипед имат 8 върха, независимо от размерите си.

На показаната рисунка долните върхове са A, B, C, D, а горните — E, F, G, H. Върхът D е скрит зад стените, но съществува. Припомни си броенето до 10 и върховете на равнинните фигури. Не брой буквите отново при всяка стена.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

6. Как броим дванадесетте ръба?

Има 4 ръба на долната стена, 4 на горната и 4, които ги свързват. Получаваме 4 + 4 + 4 = 12. Този начин не пропуска скритите ръбове и не брои един ръб два пъти.

Не събирай без проверка по четири ръба за всяка от шестте стени. Всеки ръб е общ за две стени и така ще бъде преброен два пъти. Използваме събиране на равни събираеми и умножение с 3 и 4, но трябва да знаем какво броим.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

7. Шест стени: съседни и срещуположни

Подреди стените по двойки: предна и задна; лява и дясна; горна и долна. Така получаваме 2 + 2 + 2 = 6 стени. Стените в една двойка са срещуположни: нямат общ ръб и общ връх.

Съседните стени имат общ ръб. На всяка стена има една срещуположна и четири съседни стени. Например горната EFGH е срещуположна на долната ABCD и е съседна на четирите странични стени. При завъртане названията „горна“ и „предна“ могат да се променят, но срещуположността остава същата.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

8. Как четем условния чертеж?

Плътната линия показва видим ръб, а пунктирът — скрит ръб. Пунктирът не означава „няма ръб“. В нашия обичаен изглед скритите ръбове са AD, DC и DH. В друга рисунка може да са скрити други ръбове.

Не измервай по екрана: изображението може да скъсява някои направления. Дадените в условието размери са тези на тялото. Различаването на линия, отсечка и лъч помага да не смесваме помощните линии с ръбове. Отсечка, прекарана през вътрешността на стена, не става нов ръб на тялото.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

9. Дължина, ширина и височина

Трите измерения описват размерите в три направления. При поставянето от чертежа AB е дължина, BC е ширина, а AE е височина. Има по четири ръба във всяко направление; ръбовете от една група са равни.

Когато размерите са 7 см, 4 см и 2 см, има четири ръба по 7 см, четири по 4 см и четири по 2 см. При куба и трите размера са еднакви. Полезен преговор са дециметърът и метърът и милиметърът. Преди да събираш дължини, запиши ги в една и съща мерна единица.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

10. Модел от пръчици и топчета

За рамков модел с по една пръчица на ръб и по едно топче на връх трябват 12 пръчици и 8 топчета. Рамката показва ръбовете и върховете; тя няма запълнени стени, но представя формата на тялото.

За два отделни модела броим материалите два пъти. Не ги слепваме и не използваме общи пръчици. Тук помагат умножението с 2 и текстовите задачи с две пресмятания. Ако пръчиците трябва да се режат, работата се извършва от възрастен.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

11. Обща дължина на ръбовете — не обиколка на стена

Куб с ръб 4 см има 12 такива ръба: 12 · 4 = 48 см обща дължина. Само една негова стена има обиколка 4 · 4 = 16 см. Това са различни търсени величини.

При правоъгълен паралелепипед с размери 5 см, 3 см и 2 см групираме: 4 · 5 = 20 см; 4 · 3 = 12 см; 4 · 2 = 8 см. Общо: 20 + 12 + 8 = 40 см. Броят на ръбовете остава 12.

Не използваме формули за лице или обем. Прилагаме обиколката на квадрат и правоъгълник, умножението на двуцифрено с едноцифрено число и групирането на равни събираеми.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

12. План за решение и проверка

Първо уточни какво се търси: брой стени, ръбове, върхове или дължина. Назови тялото. Брой по групи или пресметни по дадените размери. Запиши отговор с подходяща единица и провери дали той отговаря на въпроса.

Например при обща дължина на ръбовете 48 см и два размера 5 см и 4 см тези две групи използват 20 + 16 = 36 см. За останалите четири равни ръба остават 48 − 36 = 12 см. Всеки е 12 : 4 = 3 см. Така намираме липсващ размер, без да въвеждаме буквен израз.

При задачи „всички възможности“ проверявай и крайните стойности. За помощ използвай връзката между умножение и деление, реда на действията и провереното изваждане на многоцифрени числа.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

---

✍️ Решени задачи — 25

Първо реши сам, после отвори решението. При условие с означени върхове използвай видимия под него чертеж. Броим всеки ръб и всеки връх само веднъж.

1

Мила казва: „Квадратът и кубът са едно и също, защото кубът има квадратна стена.“ Вярно ли е? Обяснете.

▼

Решение

Не е вярно. Квадратът е равнинна фигура. Кубът е геометрично тяло, оградено от шест еднакви квадратни стени. Една стена не е цялото тяло.

Помисли за затворена кутийка: можеш да посочиш предната ѝ стена, но отстрани и отзад има още стени. Квадратът описва формата на всяка стена на куба, а не замества названието на тялото.

Фигурата е равнинна; телата заемат място в пространството.

Отговор: Не. Квадратът е фигура, а кубът е тяло с шест квадратни стени.

2

Колко стени, ръбове и върхове има кубът? Обяснете как броите, без да повтаряте елемент.

▼

Решение

Стените групираме в три двойки: горна–долна, предна–задна, лява–дясна. Получаваме 2 + 2 + 2 = 6.

Ръбовете са 4 долни, 4 горни и 4 свързващи: 4 + 4 + 4 = 12. Върховете са 4 долни и 4 горни: 4 + 4 = 8. Всеки елемент попада само веднъж в избраната си група.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: 6 стени, 12 ръба и 8 върха.

3

Правоъгълен паралелепипед има размери 8 см, 5 см и 3 см. Има ли повече ръбове и върхове от куб?

▼

Решение

Размерите променят дължините на ръбовете, но не начина, по който са свързани стените. И тук има 4 ръба долу, 4 горе и 4 свързващи — общо 12.

Върховете отново са 4 + 4 = 8, а стените — 6. Сравняваме броя, а не общата дължина. Сравняването на числа показва, че броевете са равни.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: Не. И двете тела имат 6 стени, 12 ръба и 8 върха.

4

В чертежа какъв елемент е E, какъв е EF и какъв е EFGH?

▼

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Решение

Една буква E означава точка — връх. Двете букви EF са краищата на една от отсечките по границата на тялото — ръб.

Четирите върха E, F, G, H ограждат горната стена. Тук не броим буквите като отделни стени. Връзката с точката и отсечката помага да различим елементите.

Отговор: E е връх; EF е ръб; EFGH е горната стена.

5

Малък и голям куб са поставени по различен начин. Кой има повече стени? Ще се промени ли броят при завъртане?

▼

Решение

Всеки куб има шест стени. По-големият размер не създава допълнителни стени.

Завъртането само променя кои стени виждаме и коя наричаме горна. Нито една стена не се добавя или премахва. Използвай думите за пространствено разположение, без да ги смесваш с броя на елементите.

Отговор: И двата имат по 6 стени. Завъртането не променя броя.

6

Кутия е правоъгълен паралелепипед с дължина 8 см, ширина 5 см и височина 3 см. Опишете размерите на трите двойки срещуположни стени.

▼

Решение

Горната и долната стена използват дължината и ширината: всяка е правоъгълник 8 см на 5 см.

Предната и задната са 8 см на 3 см. Лявата и дясната са 5 см на 3 см. Всяка двойка съдържа две еднакви стени: 2 + 2 + 2 = 6. Не намираме лица — само описваме размери.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: Две стени 8 см на 5 см, две 8 см на 3 см и две 5 см на 3 см.

7

Избройте ръбовете, които се срещат във върха B на чертежа. Колко са?

▼

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Решение

Проследяваме само отсечките, които имат край B. По долната стена това са BA и BC, а нагоре от B излиза BF.

Получаваме три различни ръба. AB и BA са два начина да назовем един и същ ръб, затова не ги броим два пъти.

Отговор: AB, BC и BF — 3 ръба.

8

Коя стена от чертежа е срещуположна на предната ABFE? Назовете и две стени, съседни на ABFE.

▼

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Решение

Срещуположната на предната стена е задната DCGH. Тя няма общ ръб или връх с ABFE.

Например горната EFGH и долната ABCD са съседни на ABFE: споделят с нея съответно ръбовете EF и AB. Въпросът иска две съседни стени; има още лява и дясна.

Отговор: Срещуположна: DCGH. Две съседни на ABFE: EFGH и ABCD.

9

В показания изглед кои три ръба са пунктирани? Защо трябва да ги броим?

▼

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Решение

В този чертеж пунктирът свързва A с D, D с C и D с H. Това са ръбовете AD, DC и DH.

Те са скрити зад стените, но не липсват. Деветте плътни ръба и трите пунктирани дават 9 + 3 = 12. В друг изглед могат да бъдат скрити други ръбове.

Отговор: AD, DC и DH. Броим ги, защото са реални ръбове на тялото.

10

Иво брои по четири ръба на всяка от шестте стени и твърди, че кубът има 24 ръба. Къде е грешката?

▼

Решение

Сметката 6 · 4 = 24 е вярна, но брои срещанията на ръбовете по стените. Всеки истински ръб принадлежи на две съседни стени и се появява два пъти.

Затова различните ръбове са 24 : 2 = 12. Можем да проверим и без деление: 4 долни + 4 горни + 4 свързващи = 12. Връзката между умножение и деление не отменя нуждата да разберем какво е преброено.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

Отговор: Всеки ръб е преброен два пъти. Различните ръбове са 12.

11

Три правоъгълни паралелепипеда имат размери: А — 4 см, 4 см, 4 см; Б — 6 см, 4 см, 4 см; В — 6 см, 5 см, 3 см. Кой е куб?

▼

Решение

За куб трите измерения трябва да са равни. При А всички са 4 см, следователно всички стени са еднакви квадрати.

При Б само две измерения са равни, а при В трите са различни. Нито Б, нито В е куб. А също остава правоъгълен паралелепипед, защото кубът е особен негов вид. Това напомня връзката между квадрат и правоъгълник.

Отговор: Само А е куб. И трите са правоъгълни паралелепипеди.

12

Колко квадратни стени има правоъгълен паралелепипед с размери 6 см, 3 см и 3 см? Куб ли е?

▼

Решение

Двете стени с размери 3 см на 3 см са квадрати. Останалите четири имат размери 6 см на 3 см и не са квадрати.

Тялото не е куб, защото шестте му стени не са еднакви квадрати. Следователно наличието на квадратна стена не е достатъчно за куб.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: 2 квадратни стени; тялото не е куб.

13

Куб има ръб 5 см. Намерете общата дължина на всичките му ръбове и обиколката на една стена.

▼

Решение

Кубът има 12 ръба, всеки по 5 см. Общата дължина е 12 · 5 = 60 см.

Една стена е квадрат с четири страни по 5 см: 4 · 5 = 20 см. За проверка групираме дванадесетте ръба в три групи по четири: 20 + 20 + 20 = 60 см. Преговор: обиколка на квадрат.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: Общо за всички ръбове: 60 см. Обиколка на една стена: 20 см.

14

За рамка на правоъгълен паралелепипед с размери 7 см, 4 см и 3 см трябва материал за всеки ръб. Колко сантиметра общо трябват? Не предвиждаме добавка за свързване.

▼

Решение

Има четири ръба по 7 см, четири по 4 см и четири по 3 см. По групи: 4 · 7 = 28 см; 4 · 4 = 16 см; 4 · 3 = 12 см.

Събираме дължините: 28 + 16 + 12 = 56 см. Само 7 + 4 + 3 = 14 см би отчело по един ръб от всяка група, а не всичките дванадесет.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: 56 см.

15

Куб има ръб 40 мм. Колко сантиметра е общата дължина на ръбовете му?

▼

Решение

Първо уеднаквяваме мерните единици: 10 мм = 1 см, затова 40 мм = 4 см. Кубът има 12 равни ръба.

Общата дължина е 12 · 4 = 48 см. Проверка в милиметри: 12 · 40 = 480 мм = 48 см. Милиметърът служи за дължина, а не за броя на ръбовете.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: 48 см.

16

Имате 40 пръчици и 25 топчета. Стигат ли за 3 отделни рамкови модела на куб, с по една пръчица на ръб и едно топче на връх? Колко остават?

▼

Решение

За три модела трябват 3 · 12 = 36 пръчици и 3 · 8 = 24 топчета. Проверяваме двата материала поотделно.

40 е повече от 36, а 25 е повече от 24. Остават 40 − 36 = 4 пръчици и 25 − 24 = 1 топче. Моделите са отделни и не споделят ръбове или върхове. Преговор: текстови задачи с две пресмятания.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

Отговор: Да. Остават 4 пръчици и 1 топче.

17

Правоъгълен паралелепипед има размери 6 см, 4 см и 2 см. Увеличаваме само дължината от 6 см на 9 см. С колко нараства общата дължина на ръбовете?

▼

Решение

Променят се четирите ръба в направлението на дължината. Всеки става с 9 − 6 = 3 см по-дълъг. Другите осем ръба запазват дължините си.

Увеличението е 4 · 3 = 12 см. Проверка: първоначално 24 + 16 + 8 = 48 см; после 36 + 16 + 8 = 60 см; 60 − 48 = 12 см. Използваме „с повече“ и „с по-малко“, а не промяна на броя ръбове.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: С 12 см.

18

Петър казва: „Паралелепипед с размери 7 см, 4 см и 2 см има 13 ръба, защото 7 + 4 + 2 = 13.“ Поправете твърдението и намерете общата дължина на ръбовете.

▼

Решение

7, 4 и 2 са дължини в сантиметри, а не брой ръбове. Сборът им е 13 см — дължината на по един ръб от всяко направление.

Тялото има 12 ръба. Общата им дължина е 4 · 7 + 4 · 4 + 4 · 2 = 28 + 16 + 8 = 52 см. Отговорът за брой не получава мерна единица, а отговорът за дължина получава см.

Отговор: 12 ръба с обща дължина 52 см.

19

Горната стена на куб е синя, предната е червена, а дясната е зелена. Всяка срещуположна стена е със същия цвят. Какви са цветовете на долната, задната и лявата стена?

▼

Решение

Използваме трите двойки срещуположни стени. На горната е срещуположна долната, затова долната е синя.

На предната е срещуположна задната — червена. На дясната е срещуположна лявата — зелена. Не търсим съседни стени; те споделят ръб, а срещуположните не споделят.

Всяка срещуположна стена получава цвета на съответната видима стена.

Отговор: Долна — синя; задна — червена; лява — зелена.

20

Нина вижда квадратна предна стена със страна 5 см и заключава, че цялата кутия е куб. Достатъчна ли е тази информация? Дайте пример.

▼

Решение

Не. Предната стена дава само две измерения — дължина 5 см и височина 5 см. Не е зададена ширината на кутията.

Кутия с размери 5 см, 8 см и 5 см има такава квадратна предна стена, но не е куб. Ако и третото измерение беше 5 см, тогава тя щеше да е куб. Припомни си квадрата като вид правоъгълник.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: Не. Например размери 5 см, 8 см и 5 см дават квадратна предна стена, но не куб.

21

Рамка на правоъгълен паралелепипед има обща дължина на ръбовете 64 см. Дължината е 7 см, а ширината — 5 см. Намерете височината и проверете.★ Повишена трудност

▼

Решение

Четирите ръба по 7 см използват 4 · 7 = 28 см. Четирите по 5 см използват 4 · 5 = 20 см. Двете групи общо са 28 + 20 = 48 см.

Остават 64 − 48 = 16 см за четирите равни ръба по височина. Един е 16 : 4 = 4 см. Проверка: 28 + 20 + 4 · 4 = 64 см. Използваме намиране на неизвестно събираемо и таблично деление.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Отговор: Височината е 4 см.

22

Правоъгълен паралелепипед има дължина 7 см и обща дължина на ръбовете 60 см. Ширината и височината са цели сантиметри от 2 до 6 включително, а ширината е по-малка от височината. Намерете всички възможности.★ Повишена трудност

▼

Решение

От всяко измерение има по четири ръба. Следователно сборът на по един ръб от трите направления е 60 : 4 = 15 см. За ширината и височината остават 15 − 7 = 8 см.

Проверяваме ширините 2, 3, 4, 5 и 6. Получаваме съответно височини 6, 5, 4, 3 и 2. Всички са в интервала, но ширината е по-малка само при (2, 6) и (3, 5). Равните 4 и 4 не удовлетворяват строгото условие.

Проверка за първата двойка: 4 · 7 + 4 · 2 + 4 · 6 = 60 см. За втората: 4 · 7 + 4 · 3 + 4 · 5 = 60 см. Преговор: деление на двуцифрено число с едноцифрено.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

Отговор: Две възможности: ширина 2 см и височина 6 см; ширина 3 см и височина 5 см.

23

Разполагате с 1 м 20 см тел. Правите две отделни рамки: куб с ръб 5 см и правоъгълен паралелепипед с размери 7 см, 4 см и 3 см. Стига ли телта и колко остава? Пренебрегнете загубите и добавките при свързване.★ Повишена трудност

▼

Решение

Преобразуваме наличното количество: 1 м 20 см = 120 см. Кубът изисква 12 · 5 = 60 см.

Втората рамка изисква 4 · 7 + 4 · 4 + 4 · 3 = 28 + 16 + 12 = 56 см. За двете рамки трябват 60 + 56 = 116 см.

Телта стига, защото 116 е по-малко от 120. Остават 120 − 116 = 4 см. Тук мерките за дължина и изваждането с преминаване участват в обща практическа задача.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

Отговор: Да, стига. Остават 4 см тел.

24

Оцветени са трите стени ABFE, BCGF и EFGH на куба. Колко различни ръба и колко различни върха принадлежат на поне една от тези стени? Общ елемент се брои само веднъж.★ Повишена трудност

▼

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Решение

Изброяваме ръбовете без повторение. От ABFE: AB, BF, FE, EA. От BCGF добавяме BC, CG и GF, защото BF вече е преброен. От EFGH добавяме GH и HE, защото EF и FG вече са преброени.

Получаваме 4 + 3 + 2 = 9 различни ръба. Това са всички ръбове, освен AD, DC и DH.

Върховете в оцветените стени са A, B, C, E, F, G, H — общо 7. Само D не принадлежи на нито една от трите. Не умножаваме механично 3 · 4, защото общите елементи се повтарят.

Отговор: 9 различни ръба и 7 различни върха.

25

За рамка с размери 8 см, 5 см и 3 см имате еднакви пръчици по 8 см. Възрастен може да ги разрязва без загуба на дължина, но не може да съединява по-къси парчета за един ръб. Какъв е най-малкият брой пръчици, който стига?★ Повишена трудност

▼

Решение

За дванадесетте ръба трябват четири парчета по 8 см, четири по 5 см и четири по 3 см. Общо: 32 + 20 + 12 = 64 см.

Седем пръчици дават само 7 · 8 = 56 см — не стигат. Осем дават 8 · 8 = 64 см, но трябва и да покажем подходящо разрязване.

Оставяме четири пръчици цели за дългите ръбове. Всяка от останалите четири режем на 5 см и 3 см, защото 5 + 3 = 8. Така получаваме точно нужните дванадесет парчета. Няма остатък. Затова минимумът е постигнат, а не само предполагаем.

Прочети редовете последователно и свържи данните с обяснението.

Отговор: Най-малко 8 пръчици по 8 см.

---

📝 Самостоятелна работа — 30 задачи

Реши задачите в тетрадка. Където е поискано обяснение, не е достатъчно да запишеш само число. Отворените отговори служат за проверка.

Задача 1

Правоъгълник и затворена кутия с правоъгълни стени едно и също ли са? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Не. Правоъгълникът е равнинна фигура. Кутията наподобява геометрично тяло — правоъгълен паралелепипед.

Задача 2

Запишете броя на стените, ръбовете и върховете на куб.

Покажи отговора

Отговор: 6 стени, 12 ръба и 8 върха. Броене: 2 + 2 + 2 стени; 4 + 4 + 4 ръба; 4 + 4 върха.

Задача 3

Правоъгълен паралелепипед има размери 9 см, 4 см и 2 см. Колко ръба и върха има?

Покажи отговора

Отговор: 12 ръба и 8 върха. Размерите не променят броя на тези елементи.

Задача 4

Кои ръбове от чертежа се срещат във върха G?

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Покажи отговора

Отговор: CG, FG и GH — три ръба. GF и FG са един и същ ръб.

Задача 5

По колко върха има на горната и на долната стена на куб? Колко са общо?

Покажи отговора

Отговор: По 4 на всяка. Двете срещуположни стени нямат общи върхове: 4 + 4 = 8.

Задача 6

В чертеж на куб 9 ръба са плътни, а 3 са пунктирани. Колко ръба има кубът? Защо не броим само плътните?

Покажи отговора

Отговор: 9 + 3 = 12 ръба. Пунктирът показва скрити ръбове, а не липсващи.

Задача 7

Избройте четирите върха и четирите ръба на стената EFGH от чертежа.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Покажи отговора

Отговор: Върхове: E, F, G, H. Ръбове: EF, FG, GH, HE. Обратното изписване, например EH вместо HE, означава същия ръб.

Задача 8

Коя стена е срещуположна на лявата ADHE в чертежа?

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Покажи отговора

Отговор: Дясната BCGF. Двете стени нямат общ ръб или връх.

Задача 9

Опишете трите двойки срещуположни стени на кутия с размери 9 см, 4 см и 2 см.

Покажи отговора

Отговор: Две стени 9 см на 4 см; две 9 см на 2 см; две 4 см на 2 см. Общо шест стени.

Задача 10

Колко квадратни стени има паралелепипед с размери 5 см, 5 см и 2 см? Куб ли е?

Покажи отговора

Отговор: 2 квадратни стени 5 см на 5 см и 4 неквадратни стени 5 см на 2 см. Не е куб.

Задача 11

Кое от телата е куб: правоъгълен паралелепипед с размери 6 см, 6 см, 6 см или такъв с размери 6 см, 6 см, 4 см?

Покажи отговора

Отговор: Първото. При него трите измерения са равни. И двете тела са правоъгълни паралелепипеди.

Задача 12

При завъртане на затворена кутия отгоре се вижда друга стена. Променят ли се броят на стените и броят на ръбовете?

Покажи отговора

Отговор: Не. Променя се положението, а не тялото. Остават 6 стени и 12 ръба.

Задача 13

Намерете общата дължина на ръбовете на куб с ръб 3 см.

Покажи отговора

Отговор: 12 · 3 = 36 см.

Задача 14

Намерете общата дължина на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с размери 8 см, 6 см и 2 см.

Покажи отговора

Отговор: 4 · 8 + 4 · 6 + 4 · 2 = 32 + 24 + 8 = 64 см.

Задача 15

Обиколката на една стена на куб е 28 см. Намерете ръба и общата дължина на всички ръбове.

Покажи отговора

Отговор: Ръб: 28 : 4 = 7 см. Обща дължина: 12 · 7 = 84 см. Стената е квадрат.

Задача 16

Куб има ръб 50 мм. Колко сантиметра общо са всичките му ръбове?

Покажи отговора

Отговор: 50 мм = 5 см; 12 · 5 = 60 см. Също 12 · 50 = 600 мм = 60 см.

Задача 17

Колко пръчици и топчета са нужни за два отделни рамкови модела на правоъгълен паралелепипед, с по една пръчица за ръб и едно топче за връх?

Покажи отговора

Отговор: 2 · 12 = 24 пръчици и 2 · 8 = 16 топчета. Размерите на моделите не променят тези броеве.

Задача 18

На всяка стена на 5 отделни кубчета залепват по един етикет. Колко етикета трябват?

Покажи отговора

Отговор: 5 · 6 = 30 етикета. На ръбовете и върховете не се добавят други етикети.

Задача 19

Паралелепипед е с размери 9 см, 4 см и 2 см. Увеличете само дължината от 9 см на 11 см. С колко нараства общата дължина на ръбовете?

Покажи отговора

Отговор: С 4 · 2 = 8 см, защото се удължават четири ръба. Проверка: първоначално 60 см, след промяната 68 см.

Задача 20

Ученик брои по 4 върха за всяка от 6 стени на куба и получава 24. Защо това не е броят на различните върхове?

Покажи отговора

Отговор: Всеки връх принадлежи на три стени и е преброен три пъти. Различните върхове са 24 : 3 = 8. Проверка: 4 долни + 4 горни = 8.

Задача 21

За всички ръбове на рамков модел на правоъгълен паралелепипед са използвани 12 еднакви пръчици по 4 см. Може ли този модел да не е куб?

Покажи отговора

Отговор: Не. При правоъгълен паралелепипед с всички ръбове по 4 см трите измерения са равни, така че тялото е куб.

Задача 22

За рамка с размери 3 см, 4 см и 10 см имате 1 м тел. Колко тел остава, ако няма загуба и добавка за свързване?

Покажи отговора

Отговор: 1 м = 100 см. Трябват 4 · 3 + 4 · 4 + 4 · 10 = 12 + 16 + 40 = 68 см. Остават 100 − 68 = 32 см.

Задача 23

Предната стена на кутия е квадрат 4 см на 4 см, а ширината на кутията е 9 см. Куб ли е? Обосновете.

Покажи отговора

Отговор: Не. Размерите са 4 см, 9 см и 4 см. Само две измерения са равни; квадратната предна стена не прави цялото тяло куб.

Задача 24

На долната стена ABCD е начертана отсечката AC. Нов ръб ли е тя? Колко ръба има тялото след начертаването?

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Покажи отговора

Отговор: AC минава през вътрешността на долната стена, а не е обща граница на две стени. Не е нов ръб. Тялото продължава да има 12 ръба.

Задача 25

В комплект има 18 пръчици и 10 топчета. Използвате 12 пръчици и 8 топчета за един рамков куб. Какво остава? Стига ли остатъкът за още един такъв модел?

Покажи отговора

Отговор: Остават 18 − 12 = 6 пръчици и 10 − 8 = 2 топчета. Не стигат за още един модел: нужни са 12 пръчици и 8 топчета.

Задача 26 · Повишена трудност

Рамка на правоъгълен паралелепипед има обща дължина 72 см. Дължината е 9 см, височината е 4 см. Намерете ширината и проверете.

Покажи отговора

Отговор: Дадените групи използват 4 · 9 + 4 · 4 = 36 + 16 = 52 см. Остават 72 − 52 = 20 см за четири ръба. Ширина: 20 : 4 = 5 см. Проверка: 36 + 20 + 16 = 72 см.

Задача 27 · Повишена трудност

Дължината на паралелепипед е 8 см, а общата дължина на ръбовете — 72 см. Ширината и височината са цели сантиметри от 2 до 7 включително. Ширината е по-малка от височината. Намерете всички двойки.

Покажи отговора

Отговор: Сборът на ширината и височината е 72 : 4 − 8 = 18 − 8 = 10 см. Двойките (ширина, височина) са (3 см, 7 см) и (4 см, 6 см). При ширина 2 см височината 8 см е извън интервала; (5 см, 5 см) не изпълнява строгото сравнение; по-големите ширини надвишават височините.

Задача 28 · Повишена трудност

От 2 м тел първо правите една рамка на куб с ръб 6 см. С останалата тел правите възможно най-много отделни рамки с размери 8 см, 5 см и 3 см. Колко такива рамки ще направите и колко тел ще остане? Няма загуби или добавки.

Покажи отговора

Отговор: 2 м = 200 см. Кубът използва 12 · 6 = 72 см. Остават 200 − 72 = 128 см. Една друга рамка използва 4 · 8 + 4 · 5 + 4 · 3 = 64 см. 128 = 64 + 64, затова стига за две рамки; няма остатък. Проверка: 72 + 64 + 64 = 200 см. Общо са направени 3 рамки, но търсените след куба са 2.

Задача 29 · Повишена трудност

Оцветени са две съседни стени ABFE и EFGH на куба. Колко различни ръба и върха принадлежат на поне една от тях? Общите елементи се броят веднъж.

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

Покажи отговора

Отговор: Двете стени споделят ръба EF. Различните ръбове са 4 + 4 − 1 = 7. Споделят и двата му края E и F, затова различните върхове са 4 + 4 − 2 = 6: A, B, E, F, G, H.

Задача 30 · Повишена трудност

За рамка с размери 9 см, 5 см и 4 см разполагате с пръчици по 9 см. Възрастен може да ги разрязва без загуба, но не може да съединява парчета за един ръб. Намерете най-малкия брой пръчици и опишете разрязването.

Покажи отговора

Отговор: Най-малко 8 пръчици. Нужната обща дължина е 4 · 9 + 4 · 5 + 4 · 4 = 36 + 20 + 16 = 72 см. Седем пръчици дават 63 см и не стигат. От осем оставяме четири цели по 9 см, а другите четири делим на 5 см и 4 см. Получаваме всичките 12 ръбови парчета без остатък.

---

✅ Онлайн тест — 15 въпроса

Избери по един отговор. Всеки верен носи 4 точки, максимум 60 точки. След предаване изборите се заключват. Ако браузърът позволява, резултатът се запазва на това устройство.

Самооценка за упражнението: 0–14 т. — Слаб (2); 15–29 т. — Среден (3); 30–39 т. — Добър (4); 40–49 т. — Много добър (5); 50–60 т. — Отличен (6). Това не е училищна оценка.

1Кое твърдение различава правилно квадрат от куб?

А.И двете са равнинни фигури. Б.Квадратът е равнинна фигура, а кубът — геометрично тяло. В.Кубът има само една квадратна стена. Г.Квадратът има 12 ръба.

2Колко стени има правоъгълният паралелепипед?

А.4 Б.8 В.12 Г.6

3Колко върха има кубът?

А.8 Б.6 В.4 Г.12

4Какъв елемент е отсечката AB в чертежа?

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

А.Стена Б.Цяло тяло В.Ръб Г.Връх

5При размери 8 см, 5 см и 2 см колко ръба са с дължина 5 см?

А.2 Б.4 В.6 Г.8

6В рисунка на куб има 9 плътни и 3 пунктирани ръба. Колко ръба има тялото?

А.12 Б.9 В.6 Г.3

7Кое твърдение е вярно?

А.Всеки правоъгълен паралелепипед е куб. Б.Кубът е равнинна фигура. В.Кубът има само правоъгълни стени, които не са квадрати. Г.Всеки куб е правоъгълен паралелепипед.

8Кои размери на правоъгълен паралелепипед определят куб?

А.5 см, 5 см, 3 см Б.4 см, 5 см, 6 см В.5 см, 5 см, 5 см Г.5 см, 3 см, 3 см

9Кубът има ръб 4 см. Колко е общата дължина на всичките му ръбове?

А.48 см Б.16 см В.24 см Г.12 см

10Рамка е с размери 6 см, 5 см и 2 см. Колко сантиметра материал трябват за всичките 12 ръба, без добавки?

А.13 см Б.52 см В.26 см Г.60 см

11Една стена на кутия е квадрат. Следва ли задължително, че кутията е куб?

А.Да, всяка квадратна стена определя куб. Б.Да, ако квадратът е предната стена. В.Не; трябва да проверим и третото измерение. Г.Не; кубът няма квадратни стени.

12Увеличаваме само височината на правоъгълен паралелепипед с 2 см. С колко нараства общата дължина на ръбовете?

А.С 2 см Б.С 4 см В.С 6 см Г.С 8 см

13Коя стена е срещуположна на горната EFGH?

Чертежът е условен. Пунктираните ръбове са скрити; те също принадлежат на тялото.

А.ABFE Б.ABCD В.BCGF Г.DCGH

14Има 38 пръчици и 25 топчета. За една отделна рамка трябват 12 пръчици и 8 топчета. Колко най-много такива рамки могат да се направят?

А.3 Б.4 В.2 Г.5

15Ръбът на куб е цяло число сантиметри. Общата дължина на ръбовете е по-голяма от 48 см и по-малка от 73 см. Кои са всички възможни дължини на ръба?

А.Само 5 см Б.4 см и 5 см В.5 см и 6 см Г.6 см и 7 см

---

🎥 Видеоуроци

🎥

Още видеа по математика

Разгледайте видеоуроци и решения по математика в канала.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

3. кл.

Квадратът като вид правоъгълник

Разбери защо квадратните стени не изключват тялото от правоъгълните паралелепипеди.

Към урока →

2. кл.

Геометрична фигура. Страни и върхове

Припомни си елементите на равнинните фигури, които образуват стените на телата.

Към урока →

Полезен преговор според задачата: точка и отсечка, правоъгълник, обиколка на фигури, обиколка и неизвестна страна, делимо, делител и частно, текстови задачи с три пресмятания, сравняване до 1000, деление на трицифрено число с едноцифрено, събиране с преминаване и изваждане с преминаване.

---

📚 Учебни ресурси и методически ориентири

Задачите и решенията са съставени за тази тема. Следните страници са допълнителни ориентири за учители и родители, а не източник на преписани задачи.

1. МОН — учебни програми за IV клас. Официален нормативен източник.
2. „Просвета“ — помагала за 4. клас. Издателски обзор на изучаваните теми, включително геометричните тела.
3. Клет България — математика за 4. клас. Публично издателско представяне на темата „Правоъгълен паралелепипед. Куб“.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 4. клас
• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

• ›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
• ›Индивидуална работа според пропуските на ученика
• ›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.