Геометрична фигура. Страни и върхове | 2. клас | Д-р Атанас Илчев

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 2. клас › Урок 7 › Геометрична фигура. Страни и върхове

Геометрична фигура. Страни и върхове

Ще разпознавате триъгълници, правоъгълници и квадрати, ще броите и означавате техните страни и върхове. Ще използвате равните страни, за да намирате дължини, и ще чертаете в тетрадката. Включени са 25 разработени задачи, последните 5 с повишена трудност, 30 задачи за самостоятелна работа със скрити отговори и тест с 15 въпроса.

2. класГеометрични фигуриСтраниВърховеЧертане

За родителя: подгответе линия, молив и тетрадка на квадратчета. Нека детето посочва върховете и проследява страните с пръст. Завъртайте листа и обсъждайте дали фигурата се е променила. При буквите различавайте означението на точка от означението на отсечка. Работете на кратки части; задачите са за постепенно упражняване.

Познавате основните фигури и вече умеете да измервате дължини. Сега ще разгледаме от какво се състои контурът на триъгълника, правоъгълника и квадрата.

Как да използвате чертежите: буквите означават точки, а числата с мерни единици — дадени дължини. Изображенията променят размера си според екрана и не са в действителен размер. Не ги измервайте с линия върху екрана. Задачите за чертане изпълнявайте в тетрадката. Когато е посочена мрежа с клетки по 1 см, подгответе такава с помощта на линия.

🔎 Познатите геометрични фигури

Вече познавате триъгълник, правоъгълник, квадрат и кръг. Те са геометрични фигури. Отсечката също е геометрична фигура.
В този урок ще разгледаме по-внимателно страните и върховете на триъгълника, правоъгълника и квадрата. Ще ги разпознаваме и когато са с различна големина или са завъртени.
За преговор на разпознаването използвайте урока „Триъгълник, квадрат и кръг“ от 1. клас.

📍 Какво са страна и връх?

Страните на триъгълника, правоъгълника и квадрата са отсечки. Те очертават фигурата.
Връх е точката, в която се срещат две страни.
На чертежа A, B и C са върхове на триъгълника. AB, BC и CA са неговите страни. Страната AB свързва върховете A и B.
Разликата между точка и отсечка можете да си припомните в „Точка, отсечка и сантиметър“ от 1. клас.

🔤 Как означаваме върхове и страни?

Означаваме върховете с главни латински букви, например A, B, C и D. До всеки връх поставяме по една буква.
Страната означаваме с двете букви на краищата ѝ. Например страната между A и B записваме AB. Записът BA означава същата страна.
Когато именуваме триъгълник ABC или правоъгълник ABCD, обхождаме върховете последователно по контура. Една буква означава връх, а две букви могат да означават страна, ако свързващата ги отсечка е част от контура.

🔺 Страни и върхове на триъгълника

Всеки триъгълник има 3 страни и 3 върха.
В триъгълника KLM страните са KL, LM и MK, а върховете са K, L и M.
Страните на един триъгълник не е задължително да са еднакво дълги. Ако завъртим чертежа, броят на страните и върховете не се променя.
След като усвоите страните и върховете, можете да продължите с урока „Триъгълници според страните“ за 2. клас.

▭ Страни и върхове на правоъгълника

Правоъгълникът има 4 страни и 4 върха. Страните му, които са една срещу друга, са равни по дължина.
На чертежа страните са AB, BC, CD и DA. Страната AB е срещу CD, а BC е срещу DA.
Щом AB е 6 см, CD също е 6 см. Щом BC е 3 см, DA също е 3 см.
Върховете са A, B, C и D.
За допълнителен преговор се върнете към „Правоъгълник. Страна и връх“ от 1. клас.

🟦 Страни и върхове на квадрата

Квадратът има 4 страни и 4 върха. Четирите му страни са равни по дължина.
Когато едната страна на квадрат е 4 см, всяка от останалите също е 4 см.
На чертежа върховете са P, Q, R и S, а страните — PQ, QR, RS и SP.
За да разпознаем фигурата, гледаме целия ѝ контур. Само броят на върховете не е достатъчен, за да кажем, че тя е квадрат.

👀 Броим внимателно

Изберете един връх и обиколете контура. Пребройте всеки връх и всяка страна само веднъж. Когато се върнете в началото, не броите началния връх повторно.
Допълнителна точка върху страна не я превръща в две страни на фигурата. Начертана отсечка вътре във фигурата също не става нейна страна.
Кръгът има извита граница. Той няма страни, които са отсечки, и няма върхове.

✍️ Чертаем и проверяваме

За да начертаете триъгълник, отбележете три точки, които не лежат на една права линия. Свържете ги по двойки с линия. Означете върховете с различни латински букви.
За правоъгълник и квадрат можете да използвате квадратната мрежа в тетрадката. Страните трябва да следват редовете и колоните на мрежата. При квадрат проверете дали четирите страни са еднакво дълги.
Измервайте собствените си чертежи с истинска линия. На екрана използвайте означенията за дължина — изображенията не са в действителен размер.
Тези умения ще използвате и в следващия урок — „Обиколка на триъгълник, правоъгълник и квадрат“.

✏️ Разработени задачи

Опитайте се първо да решите задачата сами. След това натиснете върху условието, за да видите решението.

Разгледайте триъгълника. Пребройте страните и върховете му, като обиколите контура от A обратно до A.

Решение

Минаваме по страните AB, BC и CA — общо 3 страни. Посещаваме върховете A, B и C — общо 3 върха. При връщането в A не го броим втори път.

Отговор: Триъгълникът има 3 страни и 3 върха.

Запишете върховете и страните на показания триъгълник DEF.

Решение

Върховете са точките с букви D, E и F. Страните свързват последователните върхове: DE, EF и FD.

Отговор: Върхове: D, E, F. Страни: DE, EF, FD.

Коя от трите фигури няма върхове? Посочете номера и името ѝ.

Решение

Фигура 1 е триъгълник с 3 върха. Фигура 3 е правоъгълник с 4 върха. Фигура 2 е кръг и няма върхове.

Отговор: Фигура 2 — кръгът.

Колко страни и колко върха има правоъгълникът ABCD?

Решение

Страните са AB, BC, CD и DA, а върховете са A, B, C и D. И в двата случая броят е 4.

Отговор: 4 страни и 4 върха.

Кои две страни на триъгълника KLM се срещат във върха K?

Решение

Търсим страните, за които K е единият край. Това са KL и KM. Страната LM не достига до K.

Отговор: Страните KL и KM.

Мила записала върховете P, Q и R на показания квадрат. Кой връх е пропуснала?

Решение

Обхождаме квадрата: P, Q, R, S. В записа на Мила липсва последният от тези четири върха.

Отговор: Пропуснала е върха S.

Запишете четирите страни на правоъгълника ABCD, като започнете от AB и продължите по контура.

Решение

От A стигаме до B, после до C, до D и обратно до A. Получаваме страните AB, BC, CD и DA.

Отговор: AB, BC, CD и DA.

Правоъгълникът ABCD има страна AB с дължина 8 см и страна BC с дължина 4 см. Намерете дължините на CD и DA.

Решение

Страните една срещу друга са равни. CD е срещу AB, затова CD е 8 см. DA е срещу BC, затова DA е 4 см.

Отговор: CD е 8 см, а DA е 4 см.

Страната PQ на квадрат PQRS е дълга 5 см. Колко сантиметра е всяка от останалите му страни?

Решение

Четирите страни на квадрата са равни по дължина. След като PQ е 5 см, QR, RS и SP са по 5 см.

Отговор: QR е 5 см, RS е 5 см и SP е 5 см.

С колко страните на квадрата са повече от страните на триъгълника?

Решение

Квадратът има 4 страни, а триъгълникът — 3. Намираме разликата: 4 − 3 = 1.

Отговор: С една страна.

Попълнете липсващите числа в таблицата.

Фигура	Страни	Върхове
Триъгълник	3	□
Правоъгълник	□	4
Квадрат	4	□

Решение

Триъгълникът има 3 върха. Правоъгълникът има 4 страни. Квадратът има 4 върха.

Отговор: По редове: 3; 4; 4.

В правоъгълника ABCD страната AB е 7 см, а BC е 2 см. Кои са двете по-дълги страни?

Решение

AB и CD са по 7 см. BC и DA са по 2 см. Понеже 7 см > 2 см, по-дълги са AB и CD.

Отговор: AB и CD — всяка е дълга 7 см.

За триъгълника DEF разделете записите D, DE, F, EF, FD на две групи: върхове и страни.

Решение

В дадения списък с по една буква са означени върховете D и F. Записите с по две букви DE, EF и FD означават трите страни.

Отговор: Върхове: D и F. Страни: DE, EF и FD.

В кой връх на правоъгълника ABCD се срещат страните AB и BC?

Решение

Страната AB свързва A с B, а BC свързва B с C. Общият им край е B.

Отговор: Във върха B.

Коя страна на правоъгълника ABCD няма общ връх със страната AB?

Решение

BC има общ връх B със страната AB. DA има общ връх A с нея. Единствено CD не достига нито до A, нито до B.

Отговор: Страната CD.

В триъгълник ABC Иван записал AB, а Ема — BA. Означили ли са две различни страни? Обяснете.

Решение

И двата записа означават отсечката с краища A и B. Разменен е само редът на буквите. Това не променя страната.

Отговор: Не. AB и BA означават една и съща страна.

Колко върха имат общо двете отделни триъгълни фигури на чертежа? Кръгът добавя ли върхове към този брой?

Решение

Всеки от двата триъгълника има 3 върха. Фигурите са отделни и нямат общи върхове: 3 + 3 = 6. Кръгът няма върхове.

Отговор: Общо 6 върха. Кръгът не добавя върхове.

Начертани са отсечките AB и BC. Коя отсечка трябва да добавим, за да получим триъгълник ABC?

Решение

Двете отсечки още не очертават затворена фигура. Свързваме останалите два края — C и A. Така получаваме трите страни AB, BC и CA.

Отговор: Трябва да добавим отсечката CA.

В тетрадката отбележете точки D, E и F, които не лежат на една права линия. Свържете D с E, E с F и F с D. Каква фигура получавате? Проверете броя на страните и върховете.

Решение

Трите отсечки затварят фигура с 3 страни и 3 върха. Получаваме триъгълник DEF. Различното разположение на точките може да даде различни по вид чертежи, но броят на страните и върховете остава същият.

Отговор: Триъгълник DEF с 3 страни и 3 върха.

В тетрадка на квадратчета начертайте квадрат със страна 3 см. Страните да следват линиите на мрежата. Означете върховете последователно с K, L, M и N. Проверете чертежа си с линия.

Решение

Използваме редовете и колоните на квадратната мрежа. Отмерваме по 3 см за всяка страна. Проверяваме дали фигурата е затворена, има четири върха и дали KL, LM, MN и NK са по 3 см.

Отговор: Чертежът трябва да е квадрат KLMN с четири страни по 3 см, разположени по линиите на мрежата.

⭐ Разработени задачи с повишена трудност

В следващите пет задачи прилагайте наученото и обяснявайте как сте стигнали до отговора.

Ники казал, че фигура 2 вече не е квадрат, защото е завъртяна. Прав ли е? Сравнете двете фигури.

⭐ повишена трудност

Решение

Завъртането променя положението на фигурата, но не променя формата ѝ. И двете фигури са квадрати. Всяка има 4 равни страни и 4 върха.

Отговор: Ники не е прав. Фигура 2 също е квадрат.

Върху страната AB на правоъгълника е отбелязана още една точка — E. Има пет букви на чертежа. Означава ли това, че правоъгълникът вече има пет върха?

⭐ повишена трудност

Решение

Не броим всички отбелязани точки като върхове. E е върху страната AB. В тази точка контурът продължава направо, а не преминава към друга страна. Върховете на правоъгълника остават A, B, C и D.

Отговор: Не. Правоъгълникът има 4 върха. E не е негов връх.

В правоъгълника ABCD е начертана и отсечката AC. Петър преброил пет страни. Прав ли е? Запишете страните на правоъгълника.

⭐ повишена трудност

Решение

Страните очертават правоъгълника отвън. Те са AB, BC, CD и DA. Отсечката AC е вътре в правоъгълника и не е негова страна.

Отговор: Петър не е прав. Правоъгълникът има 4 страни: AB, BC, CD и DA.

Тони знае само, че една фигура има четири върха. Може ли със сигурност да твърди, че тя е квадрат? Използвайте показаните фигури, за да обясните.

⭐ повишена трудност

Решение

Фигура 1 е квадрат и има четири върха. Фигура 2 също има четири върха, но е правоъгълник с две по-дълги и две по-къси страни. Тя не е квадрат. Следователно само броят на върховете не определя коя от тези фигури имаме.

Отговор: Не. И двете показани фигури имат четири върха, но само фигура 1 е квадрат.

Отсечката AC разделя квадрата ABCD на две части. Колко триъгълника виждате на чертежа? Означете ги с буквите на върховете им. Колко квадрата има?

⭐ повишена трудност

Решение

От едната страна на AC е триъгълникът ABC, а от другата — триъгълникът ACD. Всяка част е оградена от три отсечки. Цялата фигура е квадратът ABCD. Няма други начертани отсечки, които да образуват допълнителен триъгълник или квадрат.

Отговор: 2 триъгълника — ABC и ACD, и 1 квадрат — ABCD.

📝 Задачи за самостоятелна работа

Работете в тетрадката. Четете внимателно буквите и проследявайте контура на всяка фигура. При задача за дължина записвайте и мерната единица. За чертането използвайте линия и квадратна мрежа. След като решите задачата, отворете „Покажи отговора“.

Задача 1

Коя от показаните фигури има три страни? Запишете номера и името ѝ.

Покажи отговора

Отговор: Фигура 1 е триъгълник. Тя има три страни. Квадратът и правоъгълникът имат по четири страни, а кръгът няма страни.

Задача 2

Разгледайте триъгълника RST. Запишете имената на върховете му. Колко са те?

Покажи отговора

Отговор: Върховете са R, S и T. Те са три. Във всеки връх се срещат две от страните на триъгълника.

Задача 3

Коя страна на триъгълника PQR е подчертана с оранжево? Запишете името ѝ с две букви.

Покажи отговора

Отговор: С оранжево е подчертана страната RP. Тя свързва върховете R и P. Можем да я запишем и като PR.

Задача 4

За правоъгълника KLMN са дадени записите K, KL, M, MN. Кои означават върхове и кои — страни?

Покажи отговора

Отговор: K и M означават върхове. KL и MN означават страни. Всеки връх е означен с една буква, а всяка посочена страна — с буквите на двата ѝ края.

Задача 5

Запишете всички страни на квадрата PQRS. Започнете от P и следвайте P, Q, R, S, P.

Покажи отговора

Отговор: Страните са PQ, QR, RS и SP. Те са четири. Последната страна SP свързва S с началния връх P и затваря фигурата.

Задача 6

Кои две страни на триъгълника RST се срещат във върха T?

Покажи отговора

Отговор: Във върха T се срещат страните ST и TR. И двете имат край T.

Задача 7

Разгледайте правоъгълника EFGH. Коя негова страна няма общ връх със страната EF?

Покажи отговора

Отговор: Страната GH няма общ връх с EF. Краищата на EF са E и F, а краищата на GH са G и H. Двете страни са една срещу друга.

Задача 8

Правоъгълникът RSTU има страна RS с дължина 10 см. Колко сантиметра е страната TU, означена с въпросителен знак?

Покажи отговора

Отговор: TU = 10 см. Страните RS и TU са една срещу друга в правоъгълника и са равни. Затова TU е толкова дълга, колкото RS.

Задача 9

Една страна на квадрата KLMN е 2 см. Запишете дължините на останалите три страни.

Покажи отговора

Отговор: Всички страни на квадрата са равни. Затова LM = 2 см, MN = 2 см и NK = 2 см.

Задача 10

В правоъгълника PQRS страната PQ е 9 см, а QR е 3 см. Намерете дължините на RS и SP.

Покажи отговора

Отговор: RS = 9 см, защото RS и PQ са една срещу друга. SP = 3 см, защото SP и QR са една срещу друга. В правоъгълника тези двойки страни са равни.

Задача 11

Една страна на квадрат е 6 см. Ники твърди, че друга негова страна може да е 4 см. Прав ли е? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Ники не е прав. Всички страни на квадрата са равни. Щом една е 6 см, всяка от останалите също е 6 см, а не 4 см.

Задача 12

Показано е едно и също триъгълно картонче преди и след завъртане. Променили ли са се броят на страните и броят на върховете?

Покажи отговора

Отговор: Не са се променили. И преди, и след завъртането картончето има три страни и три върха. Завъртането променя положението му, но то остава триъгълник.

Задача 13

Правоъгълник 1 има страни по 3 см и по 2 см, а правоъгълник 2 — по 6 см и по 4 см. Има ли правоъгълник 2 повече върхове? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Не. Всеки от двата правоъгълника има четири върха. По-дългите страни не означават повече върхове.

Задача 14

Двете квадратни картончета са отделени едно от друго. Колко върха имат общо?

Покажи отговора

Отговор: Всяко квадратче има четири върха. Събираме: 4 + 4 = 8. Двете отделни картончета имат общо осем върха.

Задача 15

Триъгълното и правоъгълното картонче са отделени едно от друго. Колко страни имат общо? Кое има с една страна повече?

Покажи отговора

Отговор: Триъгълното картонче има три страни, а правоъгълното — четири. Общо страните са 3 + 4 = 7. Правоъгълното картонче има с една страна повече, защото 4 − 3 = 1.

Задача 16

Начертани са три от страните на правоъгълника KLMN. Кои два върха трябва да свържете, за да добавите липсващата страна?

Покажи отговора

Отговор: Трябва да свържем N с K. Липсва страната NK. След добавянето ѝ правоъгълникът е затворен и има четири страни.

Задача 17

На мрежа с квадратчета със страна 1 см начертайте правоъгълник, дълъг 4 квадратчета и широк 2 квадратчета. Означете върховете му последователно с E, F, G, H. Запишете броя на страните и на върховете.

Покажи отговора

Отговор: Чертежът трябва да заема 4 квадратчета по дължина и 2 по широчина. Страните по мрежата са 4 см, 2 см, 4 см и 2 см. Правоъгълникът има четири страни — EF, FG, GH и HE — и четири върха — E, F, G и H.

Задача 18

На мрежа с квадратчета със страна 1 см начертайте квадрат със страна 2 см. Страните да следват линиите на мрежата. Означете върховете последователно с T, U, V, W. Проверете с линийка дължината на всяка страна.

Покажи отговора

Отговор: Всяка страна трябва да върви по линиите на мрежата и да заема две квадратчета. Проверяваме: TU = 2 см, UV = 2 см, VW = 2 см и WT = 2 см. Чертежът има четири страни и четири върха.

Задача 19

На мрежа с квадратчета със страна 1 см отбележете точка K. Отбележете L на 4 квадратчета надясно от K, а M на 2 квадратчета нагоре от K. Свържете K с L, L с M и M с K. Каква фигура получихте? Назовете страните ѝ.

Покажи отговора

Отговор: Получава се триъгълник KLM. Неговите страни са KL, LM и MK. Той има три върха — K, L и M. За проверка KL заема 4 квадратчета по реда, а KM — 2 квадратчета по колоната.

Задача 20

Очертайте върху лист правоъгълната корица на тетрадка. Означете върховете последователно по очертанието с E, F, G, H. Назовете двете страни, които се срещат във F.

Покажи отговора

Отговор: Чертежът трябва да следва правоъгълната корица. При последователно означаване E, F, G, H във върха F се срещат страните EF и FG. И двете имат край F.

Задача 21

Използвайте означените дължини. Коя от двете фигури има четири равни страни? Запишете номера ѝ.

Покажи отговора

Отговор: Фигура 2 има четири равни страни — всяка е 4 см. Тя е квадрат. Фигура 1 има две страни по 6 см и две по 3 см, затова нейните четири страни не са равни.

Задача 22

На чертежа са написани само буквите K и L. Дани казва: „Фигурата има само два върха, защото виждам две букви.“ Прав ли е? Колко върха не са означени с буква?

Покажи отговора

Отговор: Дани не е прав. Триъгълникът има три върха, независимо дали всички са означени с букви. Два върха са означени с K и L. Един връх не е означен с буква.

Задача 23

Назовете двете страни на правоъгълника KLMN, които са подчертани с оранжево. Имат ли те общ връх?

Покажи отговора

Отговор: С оранжево са подчертани KL и MN. Те нямат общ връх: първата свързва K и L, а втората — M и N. Тези страни са една срещу друга.

Задача 24

Нина е изброила страните на квадрата KLMN така: KL, LK, LM, MN. Коя страна е записала два пъти? Коя е пропуснала?

Покажи отговора

Отговор: KL и LK са два записа за една и съща страна между K и L. Нина е пропуснала страната NK. Правилен списък е KL, LM, MN, NK.

Задача 25

Две отделни картончета имат общо 7 върха. Едното е квадрат, а другото е триъгълник или правоъгълник. Каква е втората фигура? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Квадратът има четири върха. За другата фигура остават 7 − 4 = 3 върха. Значи второто картонче е триъгълник. Ако беше правоъгълник, то щеше да има четири върха.

Задача 26

В правоъгълника KLMN страната KL е 8 см, а LM е 2 см. Ели е записала MN = 2 см и NK = 8 см. Поправете двата ѝ записа.

Покажи отговора

Отговор: Правилно е MN = 8 см и NK = 2 см. MN е срещу KL, затова двете са равни. NK е срещу LM, затова и тези две страни са равни. Ели е разменила дължините.

Задача 27

Страната на квадрата е 4 см. Според означенията коя страна на триъгълника е толкова дълга? Коя е по-къса и коя е по-дълга?

Покажи отговора

Отговор: RS = 4 см, затова е толкова дълга, колкото страната на квадрата. TR = 3 см е по-къса, защото 3 < 4. ST = 5 см е по-дълга, защото 5 > 4.

Задача 28

Правоъгълник има две страни по 5 см и две по 2 см. Квадрат има страна 5 см. Коя фигура има повече страни с дължина 5 см и с колко?

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълникът има две страни с дължина 5 см. Квадратът има четири такива страни, защото всичките му страни са равни. 4 − 2 = 2. Квадратът има с две повече страни с дължина 5 см.

Задача 29

Към кои от показаните фигури подхождат едновременно двете твърдения: „Има четири страни“ и „Има четири върха“? Запишете всички подходящи номера.

Покажи отговора

Отговор: Подходящи са фигури 1 и 3. Квадратът и правоъгълникът имат по четири страни и четири върха. Фигура 2 е триъгълник и има три страни и три върха.

Задача 30

Две отделни фигури имат общо 8 върха. Първата е правоъгълник. Може ли втората да е триъгълник? Може ли да е квадрат? Обяснете двата отговора.

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълникът има четири върха. Втората фигура трябва да има 8 − 4 = 4 върха. Тя не може да е триъгълник, защото той има три върха. Може да е квадрат, защото квадратът има четири върха. Възможно е също втората фигура да е друг правоъгълник.

✅ Онлайн тест

🎥 Видеоуроци

🎥

Видеоурок — очаквайте скоро

Видео по тази тема не е добавено. Можете да разгледате наличните видеа в канала.

▶ Абонирайте се за канала

🔗 Свързани уроци

Дециметър и метър

Предишната тема — мерни единици за дължина, измерване и сравняване.

Към урока →

Обиколка на триъгълник, правоъгълник и квадрат

Следващата тема — намиране на обиколка и задачи с измерване.

Към урока →

Всички уроци за 1.–4. клас

📚 Използвана литература и методически ориентири

МОН. Учебна програма по математика за II клас, с. 2–4 и 7 — публично копие на програмата.
Издателство РИВА. Математика за 2. клас, печатни с. 25, 40 и 44 (PDF с. 27, 42 и 46) — геометрични фигури, страни и върхове.
Издателство РИВА. Книга за учителя по математика за 2. клас и свързаното годишно разпределение, теми 23 и 38 — последователност на понятията.

Източниците са използвани за учебния обхват, последователността и типовете упражнения. Условията, решенията и схемите са създадени за настоящия урок.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 4. клас
›НВО по математика след 7. клас
›НВО по математика след 10. клас
›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
›Индивидуална работа според пропуските на ученика
›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Математика с д-р Атанас Илчев