Квадрат – 7. клас: свойства, признаци, 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци · Тел: 0883 375 433◆ISEE Upper Level · Подготовка за американски колеж◆

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци · Тел: 0883 375 433◆ISEE Upper Level · Подготовка за американски колеж◆

МАТЕМАТИКА · 7. КЛАС · ГЕОМЕТРИЯ

Квадрат
Свойства, признаци, доказателства и задачи

Пълен урок с обяснения и чертежи · 25 подробно решени задачи · 30 задачи за самостоятелна работа · 15 тестови въпроса

7. класГеометрия25 решени задачи30 самостоятелниТест с 15 въпроса

В този урокТеория и доказателстваРешени задачиСамостоятелна работаТестВидеоурокСвързани уроци

Теория: квадрат — определения, свойства и признаци

Квадратът съчетава свойствата на успоредник, правоъгълник и ромб. Ще научите не само как се използват формулите, но и как се доказват геометричните твърдения, защо работят признаците и кога помощна конструкция е необходима.

1. Какво наричаме квадрат?2. Квадратът обединява свойствата на три фигури3. Свойства на диагоналите — доказателства4. Признаци: как доказваме, че четириъгълник е квадрат?5. Периметър и лице6. Зависимост между страната и диагонала без корени7. Център, симетрия, средни точки8. Мащаб, проценти и промяна на лицето9. План за решаване и типични грешки

1. Какво наричаме квадрат?

Определение 1. Квадрат е правоъгълник с равни съседни страни.

Определение 2. Квадрат е ромб с прав ъгъл.

Двете определения описват една и съща фигура. От първото следва, че четирите ъгъла са прави и четирите страни са равни. От второто — че страните са равни и поне един ъгъл е прав; останалите са прави като ъгли на успоредник.

В квадрата \(ABCD\) винаги са изпълнени \(AB=BC=CD=DA\) и \(\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ\).

Преговор: успоредник, ромб и обиколка от 5. клас; видове равнинни фигури и лица — 5. клас; Правоъгълник — 7. клас и Ромб — 7. клас.

Квадрат ABCD с четири равни страни и прави ъгли.

2. Квадратът обединява свойствата на три фигури

Квадратът е успоредник: срещуположните му страни са успоредни; диагоналите се разполовяват. Той е правоъгълник: всички ъгли са прави и диагоналите са равни. Той е и ромб: четирите страни са равни, диагоналите са перпендикулярни и разполовяват ъглите.

Ако \(O=AC\cap BD\), получаваме \(AO=OC\), \(BO=OD\), а от \(AC=BD\) следва \(AO=BO=CO=DO\).

Запомнете разликата: всеки квадрат е ромб и правоъгълник, но не всеки ромб или правоъгълник е квадрат.

Преговор: Успоредник — 7. клас, Правоъгълник — 7. клас, Ромб — 7. клас и Част от число — 5. клас.

Пресичащите се диагонали на квадрата имат равни половини.

3. Свойства на диагоналите — доказателства

Теорема 1. Диагоналите на квадрата са равни, перпендикулярни и взаимно се разполовяват.

Доказателство. Равенството \(AC=BD\) следва от свойството на правоъгълника. Разполовяването им следва от свойството на успоредника. Перпендикулярността им следва от свойството на ромба. Понеже квадратът принадлежи и към трите вида фигури, трите свойства са изпълнени едновременно. \(\blacksquare\)

Теорема 2. Всеки диагонал разполовява двата ъгъла при краищата си. Например \(\angle BAC=\angle CAD=45^\circ\).

Доказателство. В \(\triangle ABD\) имаме \(AB=AD\), а \(O\) е средата на \(BD\). Медианата \(AO\) към основата на равнобедрения триъгълник е и ъглополовяща. Тъй като \(\angle BAD=90^\circ\), двете части са по \(45^\circ\). Аналогично разсъждаваме за другите върхове. \(\blacksquare\)

При доказване на еднаквост е полезно да припомним Първи признак за еднаквост — 7. клас; за ъглите — Ъгли в триъгълник — 7. клас.

Диагоналите AC и BD са равни, разполовяват се в O и сключват прави ъгли.

4. Признаци: как доказваме, че четириъгълник е квадрат?

Признак 1. Правоъгълник с две равни съседни страни е квадрат.

Признак 2. Ромб с прав ъгъл е квадрат.

Признак 3. Правоъгълник с перпендикулярни диагонали е квадрат.

Защо? Диагоналите на всеки правоъгълник се разполовяват. Заедно с перпендикулярността това означава, че правоъгълникът е ромб, следователно е квадрат.

Признак 4. Ромб с равни диагонали е квадрат.

Защо? Ромбът е успоредник. Успоредник с равни диагонали е правоъгълник; следователно този ромб е квадрат.

Предупреждение. Равни или перпендикулярни диагонали сами по себе си не доказват, че произволен четириъгълник е квадрат. Първо установете необходимото условие, например че е успоредник.

За преговор: Успоредник — 7. клас, Правоъгълник — 7. клас, Ромб — 7. клас.

В квадрат ABCD диагоналите притежават едновременно свойствата на правоъгълника и ромба.

5. Периметър и лице

Нека \(a\) е страната на квадрат, \(P\) — периметърът, \(S\) — лицето, а \(d\) — диагоналът. Тогава:

\[\boxed{P=4a}\qquad\boxed{S=a^2}\qquad\boxed{S=\frac{d^2}{2}}.\]

Първата формула изразява сбора на четирите равни страни. Втората следва от формулата за лице на правоъгълник \(a\cdot a\). Третата е формулата за лице на ромб по диагоналите, приложена към квадрат с \(d_1=d_2=d\).

Ако \(P=32\text{ cm}\), то \(a=32:4=8\text{ cm}\) и \(S=64\text{ cm}^2\). Ако \(d=10\text{ cm}\), то \(S=10\cdot10:2=50\text{ cm}^2\).

Връзки с 5. клас: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас, Лице на успоредник — 5. клас, Действия с десетични дроби — 5. клас. За мерните единици вижте Мерни единици и умножение/деление с 10, 100, 1000 — 5. клас.

Първата формула е P=4a, втората S=a², а лицето може да се намери и по диагонала.

6. Зависимост между страната и диагонала без корени

Теорема 3. В квадрат със страна \(a\) и диагонал \(d\) е изпълнено \(\boxed{d^2=2a^2}\).

Доказателство. В правоъгълния \(\triangle ABC\) катетите са \(a\) и \(a\), а хипотенузата е \(d\). От Питагоровата теорема (6. клас) следва \(d^2=a^2+a^2=2a^2\). \(\blacksquare\)

Това съответства на \(S=\frac{d^2}{2}=a^2\). В този урок не се изисква да изчислявате диагонал чрез квадратни корени. Често намираме направо \(d^2\), лице или отношение на квадратите.

Например, ако \(a=5\text{ cm}\), тогава \(d^2=2\cdot25=50\text{ cm}^2\), а \(S=25\text{ cm}^2\).

Преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас и Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

Диагоналът разделя квадрата на два еднакви правоъгълни триъгълника със страна a като двата катета.

7. Център, симетрия, средни точки

Пресечната точка \(O\) на диагоналите е център на квадрата. Тя е еднакво отдалечена от четирите върха и е на разстояние \(a/2\) от всяка от страните.

Обяснение. Диагоналите се разполовяват и са равни, затова \(AO=BO=CO=DO=d/2\). Перпендикулярът от \(O\) към \(AB\) минава през средата \(M\) на \(AB\): квадратът се разделя на две еднакви правоъгълни половини и \(OM=a/2\). По същия начин разсъждаваме за останалите три страни.

Точките, които са среди на четирите страни на квадрат, също са върхове на квадрат. Четирите ъглови триъгълника са еднакви; всеки има катети \(a/2\).

За преговор: Част от число — 5. клас, Перпендикулярни прави — 5. клас, Медиана към хипотенузата — 7. клас.

Средите M,N,P,Q на страните образуват вътрешен квадрат.

8. Мащаб, проценти и промяна на лицето

С геометрията на квадрата свързваме сметки от 5. и 6. клас: превръщане на единици, проценти, пропорции и уравнения.

Страна и лице. Ако страната се умножи по положително число \(k\), периметърът се умножава по \(k\), а лицето — по \(k^2\). Например при удвояване на страната периметърът става два пъти, а лицето — четири пъти по-голямо.

Рамка или пътека. Ако от всяка страна на квадрат със страна \(a\) навлезе навътре пътека с ширина \(t\), тогава вътрешният квадрат има страна \(a-2t\), при \(0<2t<a\). Лицето на пътеката е \(a^2-(a-2t)^2\).

Съответстващ преговор: Проценти — 5. клас, Приложения на пропорциите и мащаб — 6. клас, Отношения и пропорции — 6. клас, Моделиране с уравнение — 6. клас и Мерни единици и умножение/деление с 10, 100, 1000 — 5. клас.

Промяната на страната променя периметъра линейно, а лицето — квадратично.

9. План за решаване и типични грешки

1. Уточнете фигурата. Даден е квадрат или трябва първо да го докажете?
2. Отбележете известните равенства. Всички страни са равни; всички ъгли са прави; диагоналите са равни, перпендикулярни и се разполовяват.
3. Изберете подходяща формула. За лице по диагонал използвайте \(S=d^2/2\), без да търсите непременно страната.
4. Проверете положението на помощните точки. Точките върху отсечки и върху техните продължения не са едно и също.
5. Проверете мерните единици и крайните случаи. Не заменяйте лице с периметър и не допускайте изродени четириъгълници.

Типични грешки: \(S=4a\) е грешно — това е периметърът. \(S=d^2\) също е грешно — трябва да разделим на две. Само равни диагонали не са достатъчни за квадрат. А твърдението „всеки ромб е квадрат“ е невярно.

За пресмятания: Събиране и изваждане на десетични дроби — 5. клас, Умножение и деление на рационални числа — 6. клас, Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас; за геометрия: Ромб — 7. клас и Правоъгълник — 7. клас.

Проверявайте равенството на страните и правите ъгли, вместо да съдите само по приблизителната форма на скица.

25 подробно решени задачи

Задачите от 1 до 20 въвеждат и прилагат основните свойства. Последните пет (21–25) са с повишена трудност — допълнителни построения, доказателства и комбиниране на знания. Натиснете условието, за да разгърнете решението.

1Страната на квадрат е \(6{,}5\text{ cm}\). Намерете периметъра и лицето му.▼

Решение

Чертеж към решена задача 1; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Четирите страни са равни. \(P=4\cdot6{,}5=26\text{ cm}\). За лицето използваме \(S=a^2=6{,}5\cdot6{,}5=42{,}25\text{ cm}^2\).

Отговор: \(P=26\text{ cm},\ S=42{,}25\text{ cm}^2\).

За преговор: Действия с десетични дроби — 5. клас · Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас.

2Периметърът на квадрат е \(52\text{ cm}\). Намерете страната и лицето му.▼

Решение

Чертеж към решена задача 2; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

От \(4a=52\) намираме \(a=52:4=13\text{ cm}\). Следователно \(S=13^2=169\text{ cm}^2\).

Отговор: \(13\text{ cm}\) и \(169\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

3Лицето на квадрат е \(196\text{ cm}^2\). Намерете периметъра му.▼

Решение

Чертеж към решена задача 3; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Търсим положителната дължина \(a\), за която \(a^2=196\). Понеже \(14\cdot14=196\), имаме \(a=14\text{ cm}\). Отрицателна дължина не е допустима. Получаваме \(P=4\cdot14=56\text{ cm}\).

Отговор: \(56\text{ cm}\).

За преговор: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

4В квадрата \(ABCD\) са дадени \(AB=(3x+2)\text{ cm}\) и \(BC=(5x-6)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и периметъра.▼

Решение

Чертеж към решена задача 4; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Страните на квадрата са равни, следователно \(3x+2=5x-6\). Прехвърляме: \(2x=8\), т.е. \(x=4\). Тогава \(AB=3\cdot4+2=14\text{ cm}\), а \(BC=5\cdot4-6=14\text{ cm}\), което проверява условието. \(P=4\cdot14=56\text{ cm}\).

За преговор: Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Моделиране с уравнение — 6. клас.

5Страната на квадрат е \(0{,}8\text{ m}\). Намерете периметъра в дециметри и лицето в квадратни дециметри.▼

Решение

Чертеж към решена задача 5; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Първо \(0{,}8\text{ m}=8\text{ dm}\). Следователно \(P=4\cdot8=32\text{ dm}\), \(S=8\cdot8=64\text{ dm}^2\). Не бива да смесваме \(\text{m}\) с \(\text{dm}\) или \(\text{m}^2\) с \(\text{dm}^2\).

За преговор: Мерни единици и умножение/деление с 10, 100, 1000 — 5. клас · Действия с десетични дроби — 5. клас.

6Диагоналите на квадрата \(ABCD\) се пресичат в \(O\). Разстоянието от \(O\) до страната \(AB\) е \(7\text{ cm}\). Намерете периметъра и лицето.▼

Решение

Центърът O е на половин страна от всяка от четирите страни на квадрата.

Нека \(E\) е петата на перпендикуляра от \(O\) към \(AB\). Тъй като \(O\) е пресечната точка на диагоналите, тя е и център на квадрата. Правата през \(O\), перпендикулярна на \(AB\), преминава през средите на \(AB\) и \(CD\); оттук \(OE=\frac a2\).

Щом \(OE=7\text{ cm}\), то \(a=14\text{ cm}\). Получаваме \(P=4\cdot14=56\text{ cm}\) и \(S=14^2=196\text{ cm}^2\).

Отговор: \(56\text{ cm}\) и \(196\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Перпендикулярни прави — 5. клас.

7Диагоналите на квадрат са с дължина \(10\text{ cm}\). Намерете лицето на квадрата.▼

Решение

Чертеж към решена задача 7; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Диагоналите на квадрата са перпендикулярни, затова формулата за лице е \(S=\frac{d_1d_2}{2}\). Понеже диагоналите са равни, \(d_1=d_2=10\text{ cm}\). Следователно \(S=\frac{10\cdot10}{2}=50\text{ cm}^2\).

Няма нужда първо да намираме страната на квадрата.

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Ромб — 7. клас.

8В квадрата \(ABCD\) диагоналите се пресичат в \(O\) и \(AO=4{,}5\text{ cm}\). Намерете лицето.▼

Решение

Чертеж към решена задача 8; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Тъй като диагоналите се разполовяват, \(AC=2AO=9\text{ cm}\). Следователно \(S=\frac{AC^2}{2}=\frac{9\cdot9}{2}=40{,}5\text{ cm}^2\).

Отговор: \(40{,}5\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Действия с десетични дроби — 5. клас.

9Диагоналът на квадрат е \(6\text{ cm}\). Намерете лицето и обосновете защо то е равно на четири пъти лицето на \(\triangle AOB\).▼

Решение

Чертеж към решена задача 9; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

В центъра \(O\) диагоналите се разполовяват и са перпендикулярни. Затова \(AO=BO=3\text{ cm}\). В правоъгълния \(\triangle AOB\) имаме \(S_{AOB}=\frac{3\cdot3}{2}=4{,}5\text{ cm}^2\).

Диагоналите разделят квадрата на четири еднакви правоъгълни триъгълника, следователно \(S=4\cdot4{,}5=18\text{ cm}^2\). Това е същият резултат като \(6^2:2=18\).

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Лице на успоредник — 5. клас.

10Докажете, че за квадрат със страна \(a\) и диагонал \(d\) е вярно \(d^2=2a^2\).▼

Решение

Чертеж към решена задача 10; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Диагоналът \(AC\) разделя квадрата \(ABCD\) на два еднакви правоъгълни триъгълника. В \(\triangle ABC\) катетите са \(AB=BC=a\), а хипотенузата е \(AC=d\). По Питагоровата теорема, изучена в 6. клас,

\[d^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2.\]

Това равенство е достатъчно за задачите ни. Не е необходимо да се използва запис с квадратен корен.

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас.

11В квадрат \(ABCD\) диагоналите се пресичат в \(O\). Намерете \(\angle BAC\), \(\angle AOB\) и \(\angle ABD\).▼

Решение

Чертеж към решена задача 11; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Квадратът е и ромб, затова всеки диагонал разполовява ъглите при двата си края. Понеже \(\angle BAD=90^\circ\), получаваме \(\angle BAC=45^\circ\).

Диагоналите на ромба са перпендикулярни, следователно \(\angle AOB=90^\circ\). Диагоналът \(BD\) разполовява ъгъла \(ABC=90^\circ\), така че \(\angle ABD=45^\circ\).

За преговор: Ромб — 7. клас · Ъгли в триъгълник — 7. клас.

12Докажете, че всеки правоъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали е квадрат.▼

Решение

Чертеж към решена задача 12; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Нека \(ABCD\) е правоъгълник с \(AC\perp BD\) и \(O=AC\cap BD\). Правоъгълникът е успоредник, следователно диагоналите му се разполовяват. Освен това диагоналите му са равни: \(AC=BD\). Така \(AO=BO=CO=DO\).

Четирите триъгълника \(AOB,BOC,COD,DOA\) са правоъгълни и имат равни двойки катети. По първи признак те са еднакви; следователно хипотенузите им \(AB,BC,CD,DA\) са равни. Значи правоъгълникът има равни съседни страни, т.е. е квадрат. \(\blacksquare\)

За преговор: Правоъгълник — 7. клас · Ромб — 7. клас.

13Докажете, че ромб с равни диагонали е квадрат.▼

Решение

Чертеж към решена задача 13; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Нека \(ABCD\) е ромб с \(AC=BD\). Всеки ромб е успоредник, а успоредник с равни диагонали е правоъгълник. Следователно \(ABCD\) е едновременно ромб и правоъгълник.

Като ромб той има четири равни страни, а като правоъгълник — четири прави ъгъла. Значи е квадрат. \(\blacksquare\)

За преговор: Ромб — 7. клас · Правоъгълник — 7. клас.

14За успоредника \(ABCD\) е известно, че диагоналите му са равни и перпендикулярни. Докажете, че е квадрат.▼

Решение

Чертеж към решена задача 14; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

По признака „успоредник с равни диагонали“ \(ABCD\) е правоъгълник. По признака „успоредник с перпендикулярни диагонали“ същият четириъгълник е ромб. Следователно е правоъгълник с равни страни, тоест квадрат.

Важна е началната предпоставка „успоредник“. Само две равни и перпендикулярни диагонални отсечки в произволен четириъгълник не са достатъчни.

За преговор: Успоредник — 7. клас · Правоъгълник — 7. клас · Ромб — 7. клас.

15Точките \(M,N,P,Q\) са средите на страните \(AB,BC,CD,DA\) на квадрат със страна \(12\text{ cm}\). Докажете, че \(MNPQ\) е квадрат и намерете лицето му.▼

Решение

Чертеж към решена задача 15; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Четирите ъглови триъгълника \(AMQ,BNM,CNP,DQP\) са еднакви правоъгълни с катети по \(6\text{ cm}\). Ето защо \(MN=NP=PQ=QM\). Във всяка страна на вътрешния четириъгълник участват два равни остри ъгъла с общ сбор \(90^\circ\), така че всеки негов ъгъл е прав. Значи \(MNPQ\) е квадрат.

Лицето на първоначалния квадрат е \(12^2=144\text{ cm}^2\). Лицето на всеки ъглов триъгълник е \(\frac{6\cdot6}{2}=18\text{ cm}^2\); четирите заемат \(72\text{ cm}^2\). Остава \(S_{MNPQ}=144-72=72\text{ cm}^2\).

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас · Част от число — 5. клас.

16Два квадрата имат страни в отношение \(2:3\). Намерете отношението на периметрите и лицата им.▼

Решение

Чертеж към решена задача 16; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Нека страните са \(2t\) и \(3t\), където \(t>0\). Периметрите са \(8t\) и \(12t\), затова отношението им е \(2:3\). Лицата са \(4t^2\) и \(9t^2\), така че отношението им е \(4:9\).

Извод: периметърът се променя като страната, а лицето — като квадрата на отношението.

За преговор: Отношения и пропорции — 6. клас · Права и обратна пропорционалност — 6. клас.

17Страната на квадрат е увеличена с \(20\%\). С колко процента се увеличава лицето?▼

Решение

Чертеж към решена задача 17; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Новата страна е \(1{,}20a\). Старото лице е \(a^2\), а новото е \((1{,}20a)^2=1{,}44a^2\). Разликата е \(0{,}44a^2\), което е \(44\%\) от старото лице.

Отговор: с \(44\%\), а не с \(20\%\).

За преговор: Проценти — 5. клас · Умножение и деление на рационални числа — 6. клас.

18Квадратна градина има страна \(12\text{ m}\). По вътрешния ѝ контур има пътека с еднаква ширина \(1\text{ m}\). Намерете лицето на пътеката.▼

Решение

Градинска пътека с ширина 1 m, между външния квадрат 12×12 m и вътрешния квадрат 10×10 m.

Външният квадрат има лице \(12^2=144\text{ m}^2\). Ширината \(1\text{ m}\) се отнема от двете срещуположни страни, затова вътрешният квадрат има страна \(12-2\cdot1=10\text{ m}\) и лице \(100\text{ m}^2\).

Пътеката заема \(144-100=44\text{ m}^2\).

За преговор: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас · Моделиране с уравнение — 6. клас.

19В квадрата \(ABCD\) точката \(M\) е среда на \(BC\). Докажете, че \(AM=DM\).▼

Решение

Чертеж към решена задача 19; точните числови данни и равенствата са записани в условието.

Разглеждаме правоъгълните триъгълници \(ABM\) и \(DCM\). От свойствата на квадрата \(AB=DC\), а от това, че \(M\) е среда на \(BC\), следва \(BM=CM\). Ъглите \(ABM\) и \(DCM\) са прави.

Двата триъгълника са еднакви по първи признак (две страни и включен ъгъл). Следователно хипотенузите им са равни: \(AM=DM\). \(\blacksquare\)

За преговор: Първи признак за еднаквост — 7. клас · Част от число — 5. клас.

20Четири равни квадрата са подредени в голям квадрат с обща страна, така че образуват мрежа \(2\times2\). Докажете, че периметърът на големия квадрат е два пъти, а лицето му — четири пъти по-голямо от тези на един малък.▼

Решение

Четири еднакви квадрата, подредени в истинска мрежа 2×2.

Нека страната на малкия квадрат е \(a\). Големият квадрат има страна \(2a\). Периметрите са съответно \(4a\) и \(4(2a)=8a=2\cdot4a\). Лицата са \(a^2\) и \((2a)^2=4a^2\).

Този пример показва защо при удвояване на страната лицето на квадрат нараства четири пъти.

За преговор: Права и обратна пропорционалност — 6. клас · Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас.

21В квадрата \(ABCD\) точката \(M\) е от страната \(BC\), а ъглополовящата на \(\angle MAD\) пресича \(DC\) в \(P\). Докажете, че \(AM=DP+MB\).★ Повишена трудност▼

Решение

Помощна схема за равенството AM = DP + MB, с M на BC и P на DC.

Нека страната на квадрата е \(a\), \(MB=t\), \(DP=p\), а \(AM=\ell\). Тъй като \(0\le t\le a\), триъгълникът \(ABM\) е правоъгълен с катети \(a,t\). Следователно по Питагоровата теорема \(\ell^2=a^2+t^2\).

Тъй като \(AP\) разполовява \(\angle MAD\), точката \(P\) е на равни разстояния от правите \(AD\) и \(AM\). Разстоянието от \(P\) до \(AD\) е \(DP=p\); следователно височината на \(\triangle APM\) към основата \(AM\) също е \(p\). Получаваме \(2S_{APM}=\ell p\).

От площите на триъгълниците в чертежа: \(S_{APM}=S_{ADM}+S_{DPM}-S_{ADP}\). Тук \(2S_{ADM}=a^2\), \(2S_{DPM}=p(a-t)\) и \(2S_{ADP}=ap\). Следователно

\[\ell p=a^2+p(a-t)-ap=a^2-pt,\quad p(\ell+t)=a^2.\]

Но \(a^2=\ell^2-t^2=(\ell-t)(\ell+t)\) и \(\ell+t>0\). Сравняваме двете равенства и получаваме \(p=\ell-t\), тоест \(AM=DP+MB\). \(\blacksquare\)

Внимание. Доказателството важи при всяко положение на \(M\) върху страната, без да се предполага неправилно, че помощна точка лежи между \(B\) и \(M\).

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Перпендикулярни прави — 5. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

22В квадрат \(ABCD\) точките \(P\in BC\) и \(Q\in CD\) са такива, че \(\triangle APQ\) е равностранен. Точката \(F\) е средата на \(AQ\). Ако \(DF=2\text{ cm}\), намерете периметъра на \(\triangle APQ\).★ Повишена трудност▼

Решение

Равностранният триъгълник APQ е в квадрата; F е средата на AQ, а DQ е перпендикулярна на AD.

В \(\triangle ADQ\) имаме \(AD\perp DQ\), защото \(AD\) и \(DC\) са перпендикулярни. Следователно \(\triangle ADQ\) е правоъгълен с хипотенуза \(AQ\).

По свойството на медианата към хипотенузата средата \(F\) е на равни разстояния от върховете \(A,D,Q\): \(DF=AF=QF=\frac{AQ}{2}\). От \(DF=2\text{ cm}\) следва \(AQ=4\text{ cm}\).

В равностранния \(\triangle APQ\) имаме \(AP=PQ=AQ=4\text{ cm}\). Затова \(P_{APQ}=3\cdot4=12\text{ cm}\).

За преговор: Медиана към хипотенузата — 7. клас · Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас.

23Външно за съседните страни \(AB\) и \(BC\) на квадрата \(ABCD\) са построени равностранните триъгълници \(ABM\) и \(BCN\). Докажете, че \(\triangle MND\) е равностранен.★ Повишена трудност▼

Решение

Два равностранни триъгълника са построени извън квадрата върху страните AB и BC.

Понеже \(ABM\) и \(BCN\) са равностранни, \(AM=AB\), \(CN=BC\), а двата им ъгъла при \(A\) и \(C\) са по \(60^\circ\). От \(AD\perp AB\) и \(DC\perp BC\) намираме \(\angle DAM=150^\circ\) и \(\angle DCN=150^\circ\).

Триъгълниците \(ADM\) и \(CDN\) имат \(AD=CD\) (страни на квадрат), \(AM=CN\) (страни на равностранните триъгълници) и включени ъгли по \(150^\circ\). По първи признак те са еднакви, следователно \(DM=DN\).

Освен това \(AD=AM\), така че \(\triangle ADM\) е равнобедрен с ъгъл при \(A\), равен на \(150^\circ\); оттук \(\angle ADM=15^\circ\). Аналогично \(\angle CDN=15^\circ\). Понеже \(\angle ADC=90^\circ\), намираме \(\angle MDN=90^\circ-15^\circ-15^\circ=60^\circ\).

Равнобедрен триъгълник с връхен ъгъл \(60^\circ\) е равностранен. Значи \(\triangle MND\) е равностранен. \(\blacksquare\)

За преговор: Първи признак за еднаквост — 7. клас · Ъгли в триъгълник — 7. клас.

24В квадрата \(ABCD\) точки \(E,F\) лежат върху диагонала \(AC\) и са определени с \(AE=CF=AB\). Докажете, че \(BEDF\) е ромб и намерете ъглите му.★ Повишена трудност▼

Решение

Точки E и F са симетрични спрямо O по диагонала AC; новият ромб има диагонали BD и EF.

Нека страната на квадрата е \(a\), а пресечната точка на диагоналите е \(O\). Тъй като \(AE=CF\) и \(AO=OC\), точките \(E,F\) са симетрични спрямо \(O\). Те са различни: ако съвпадаха, щеше да бъде \(AC=AE+FC=2a\), което противоречи на строгото триъгълно неравенство \(AC<AB+BC=2a\) в \(\triangle ABC\). Значи \(E\ne F\) и \(O\) е средата на \(EF\).

Диагоналите на четириъгълника \(BEDF\) са \(BD\) и \(EF\); те се разполовяват в \(O\) и са перпендикулярни. Затова \(BEDF\) е успоредник с перпендикулярни диагонали, тоест ромб.

В \(\triangle ABE\) имаме \(AB=AE\) и \(\angle BAE=45^\circ\); следователно \(\angle ABE=(180^\circ-45^\circ):2=67{,}5^\circ\). А \(\angle ABD=45^\circ\), затова \(\angle EBD=67{,}5^\circ-45^\circ=22{,}5^\circ\).

Диагоналът \(BD\) е ъглополовяща на ромба \(BEDF\). Следователно \(\angle EBF=2\cdot22{,}5^\circ=45^\circ\), а срещуположният при \(D\) също е \(45^\circ\). Останалите два ъгъла при \(E\) и \(F\) са по \(135^\circ\).

За преговор: Ромб — 7. клас · Ъгли в триъгълник — 7. клас.

25В квадрат \(ABCD\) от всяка страна е избрана точка: \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CD\), \(Q\in DA\), така че \(AM=BN=CP=DQ=t\), където \(0<t<AB\). Докажете, че \(MNPQ\) е квадрат, и изразете лицето му чрез \(a=AB\) и \(t\).★ Повишена трудност▼

Решение

При еднакви отстъпи t, измерени последователно по четирите страни, MNPQ е вътрешен квадрат.

Нека \(a=AB\). Тогава \(MB=NC=PD=QA=a-t\). В правоъгълните \(\triangle MBN\), \(\triangle NCP\), \(\triangle PDQ\) и \(\triangle QAM\) катетите са по \(t\) и \(a-t\), само в различен ред. Следователно тези четири триъгълника са еднакви по първи признак и \(MN=NP=PQ=QM\).

Нека острите ъгли на \(\triangle MBN\) са \(\alpha,\beta\). Тъй като \(\alpha+\beta=90^\circ\), при всеки връх на \(MNPQ\) остават \(180^\circ-\alpha-\beta=90^\circ\). Новият четириъгълник има четири равни страни и четири прави ъгъла: той е квадрат.

Лицето му е лицето на големия квадрат минус лицата на четирите еднакви ъглови триъгълника:

\[S_{MNPQ}=a^2-4\cdot\frac{t(a-t)}2=a^2-2at+2t^2=t^2+(a-t)^2.\]

При \(t=a/2\) получаваме \(S_{MNPQ}=a^2/2\). \(\blacksquare\)

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас · Първи признак за еднаквост — 7. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

30 задачи за самостоятелна работа

Първо опитайте сами. После разгърнете отговора и насоката. Задачи 26–30 са с повишена трудност; подусловията са част от съответната задача.

Задача 1Квадрат има страна \(4{,}8\text{ cm}\). Намерете периметъра и лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 1; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(P=4\cdot4{,}8=19{,}2\text{ cm}\), \(S=4{,}8^2=23{,}04\text{ cm}^2\).

За преговор: Действия с десетични дроби — 5. клас · Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас.

Задача 2Периметърът на квадрат е \(76\text{ cm}\). Намерете страната и лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 2; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(a=76:4=19\text{ cm}\); \(S=19^2=361\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас.

Задача 3Лицето на квадрат е \(81\text{ cm}^2\). Намерете страната и периметъра.

Чертеж към самостоятелна задача 3; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(9^2=81\) и дължините са положителни, следователно \(a=9\text{ cm}\) и \(P=36\text{ cm}\).

За преговор: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас · Моделиране с уравнение — 6. клас.

Задача 4Квадрат има страна \(1{,}25\text{ m}\). Намерете периметъра и лицето в съответните мерни единици.

Чертеж към самостоятелна задача 4; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(P=4\cdot1{,}25=5\text{ m}\); \(S=1{,}25^2=1{,}5625\text{ m}^2\).

За преговор: Действия с десетични дроби — 5. клас · Мерни единици и умножение/деление с 10, 100, 1000 — 5. клас.

Задача 5Диагоналите на квадрат се пресичат в \(O\) и \(AO=6\text{ cm}\). Намерете диагонала и лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 5; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(AC=2AO=12\text{ cm}\), а \(S=\frac{12^2}{2}=72\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас.

Задача 6Диагоналът на квадрат е \(8\text{ cm}\). Намерете лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 6; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(S=\frac{8\cdot8}{2}=32\text{ cm}^2\).

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас.

Задача 7За квадрат със страна \(a\) и диагонал \(d\) е известно, че \(d^2=72\text{ cm}^2\). Намерете лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 7; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Използвайте \(S=\frac{d^2}{2}=\frac{72}{2}=36\text{ cm}^2\). Не е нужно да намирате \(d\).

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Част от число — 5. клас.

Задача 8Разстоянието от центъра на квадрат до която и да е от страните му е \(3{,}5\text{ cm}\). Намерете периметъра и лицето.

Чертеж към самостоятелна задача 8; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Страната е два пъти разстоянието: \(a=7\text{ cm}\). Значи \(P=28\text{ cm}\), \(S=49\text{ cm}^2\).

За преговор: Действия с десетични дроби — 5. клас · Перпендикулярни прави — 5. клас.

Задача 9В квадрат \(ABCD\) диагоналите се пресичат в \(O\). Намерете \(\angle OAB\), \(\angle AOB\) и \(\angle DBO\).

Чертеж към самостоятелна задача 9; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Диагоналите разполовяват правите ъгли, така че \(\angle OAB=\angle DBO=45^\circ\); диагоналите са перпендикулярни и \(\angle AOB=90^\circ\).

За преговор: Ъгли в триъгълник — 7. клас · Ромб — 7. клас.

Задача 10В квадрата \(ABCD\) е известно, че \(AB=(3x+1)\text{ cm}\) и \(BC=(5x-7)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и периметъра.

Чертеж към самостоятелна задача 10; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

От равенството на страните \(3x+1=5x-7\) получаваме \(x=4\). Тогава страната е \(13\text{ cm}\), а периметърът \(52\text{ cm}\).

За преговор: Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Моделиране с уравнение — 6. клас.

Задача 11Квадрат има периметър \(40\text{ cm}\). Изчислете квадрата на диагонала му \(d^2\) в \(\text{cm}^2\).

Чертеж към самостоятелна задача 11; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(a=40:4=10\text{ cm}\), следователно \(d^2=2a^2=200\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас.

Задача 12Лицето на квадрат е \(72\text{ cm}^2\). Намерете \(d^2\), където \(d\) е диагоналът.

Чертеж към самостоятелна задача 12; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

От \(S=d^2/2\) следва \(d^2=2S=144\text{ cm}^2\).

За преговор: Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас.

Задача 13Квадрат със страна \(10\text{ cm}\) е разделен от диагонал на два триъгълника. Намерете лицето на всеки.

Чертеж към самостоятелна задача 13; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Двата триъгълника са еднакви. Лицето на квадрата е \(100\text{ cm}^2\), следователно всяко има лице \(50\text{ cm}^2\).

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас · Част от число — 5. клас.

Задача 14Квадратна градина със страна \(15\text{ m}\) има вътрешна пътека с постоянна ширина \(1\text{ m}\) по цялата граница. Намерете лицето на пътеката.

Чертеж към самостоятелна задача 14; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Външното лице е \(225\text{ m}^2\). Вътрешният квадрат има страна \(15-2=13\text{ m}\) и лице \(169\text{ m}^2\). Пътеката заема \(56\text{ m}^2\).

За преговор: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас · Моделиране с уравнение — 6. клас.

Задача 15Страната на квадрат е увеличена с \(10\%\). С колко процента се увеличава лицето?

Чертеж към самостоятелна задача 15; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Новото лице е \((1{,}1a)^2=1{,}21a^2\). Следователно увеличението е \(21\%\).

За преговор: Проценти — 5. клас · Умножение и деление на рационални числа — 6. клас.

Задача 16Под квадратна площадка със страна \(10\text{ m}\) се редят квадратни плочки със страна \(2\text{ m}\), без фуги. Колко плочки са нужни?

Чертеж към самостоятелна задача 16; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

По всяка страна се побират \(10:2=5\) плочки, а общият брой е \(5\cdot5=25\). Проверка по лице: \(100:4=25\).

За преговор: Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас · Права и обратна пропорционалност — 6. клас.

Задача 17В квадрат \(ABCD\) \(M\) е средата на \(BC\). Докажете, че \(AM=DM\).

Чертеж към самостоятелна задача 17; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Сравнете правоъгълните \(\triangle ABM\) и \(\triangle DCM\): \(AB=DC\), \(BM=CM\), а ъглите при \(B,C\) са прави. От еднаквостта им следва \(AM=DM\).

За преговор: Първи признак за еднаквост — 7. клас · Част от число — 5. клас.

Задача 18Докажете, че ако равните по дължина диагонали на ромб се пресичат в \(O\), ромбът е квадрат.

Чертеж към самостоятелна задача 18; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Ромбът е успоредник с равни диагонали, следователно е правоъгълник. Едновременно има всички равни страни; значи е квадрат.

За преговор: Ромб — 7. клас · Правоъгълник — 7. клас.

Задача 19В квадрат \(ABCD\) върху диагонала \(AC\) са взети различни вътрешни точки \(E,F\) с \(AE=CF\). Докажете, че \(BFDE\) е ромб.

Чертеж към самостоятелна задача 19; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Означете \(O=AC\cap BD\). От \(AE=CF\) и \(AO=OC\) следва, че \(OE=OF\). Четириъгълникът \(BFDE\) има диагонали \(BD\) и \(FE\), които се разполовяват в \(O\) и са перпендикулярни. Той е ромб. Изискването \(E\ne F\) изключва израждане.

За преговор: Ромб — 7. клас · Успоредник — 7. клас.

Задача 20Точки \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CD\), \(Q\in DA\) на квадрат \(ABCD\) са такива, че \(MP\perp NQ\). Докажете, че \(MP=NQ\).

Помощните правоъгълни триъгълници MHP и NKQ са показани с пунктирни проекции PH и QK; MP и NQ са начертани.

Отговор и насока

Нека страната на квадрата е \(a\). Спускаме перпендикуляр \(PH\) към \(AB\), където \(H\) е върху \(AB\), и перпендикуляр \(QK\) към \(BC\), където \(K\) е върху \(BC\). Понеже \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), имаме \(PH=QK=a\). Триъгълниците \(MHP\) и \(NKQ\) са правоъгълни. От \(MP\perp NQ\), както и от \(PH\perp QK\), следва, че острите ъгли между \(MP,PH\) и \(NQ,QK\) са равни. Следователно правоъгълните триъгълници са еднакви по втори признак (равен катет и двата прилежащи ъгъла). Хипотенузите им са равни: \(MP=NQ\). Ако \(H=M\), тогава \(MP\) е перпендикулярна на \(AB\); от условието \(NQ\parallel AB\) и \(K=N\). Тогава непосредствено \(MP=PH=a=QK=NQ\).

За преговор: Перпендикулярни прави — 5. клас · Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас.

Задача 21В квадрат \(ABCD\) са избрани точки \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CD\), \(Q\in DA\). Докажете, че \(MP\perp NQ\) точно когато \(AM+CP=BN+DQ\).

Помощните правоъгълни триъгълници MHP и NKQ са показани с пунктирни проекции PH и QK; MP и NQ са начертани.

Отговор и насока

Нека страната на квадрата е \(a\). Спускаме \(PH\perp AB\) с \(H\in AB\) и \(QK\perp BC\) с \(K\in BC\). Тогава \(PH=QK=a\). Нека \(u=a-AM-CP\) и \(v=a-BN-DQ\). Имаме \(MH=|u|\) и \(NK=|v|\). При \(u>0\) точката \(H\) е вдясно от \(M\), а при \(v>0\) точката \(K\) е над \(N\); при отрицателни стойности посоките се обръщат. Необходимост. Ако \(MP\perp NQ\) и \(u\ne0\), то и \(v\ne0\): иначе \(NQ\) би била хоризонтална, а \(MP\) — вертикална, противоречие. При тези условия двата правоъгълни триъгълника \(MHP\) и \(NKQ\) имат равни остри ъгли при \(P\) и \(Q\) (понеже \(MP\perp NQ\) и \(PH\perp QK\)). Заедно с \(PH=QK=a\) това дава еднаквост по втори признак, следователно \(|u|=|v|\). Ако \(u\) и \(v\) имаха противоположни знаци, двете прави биха били наклонени в една и съща посока спрямо страните на квадрата и не биха били перпендикулярни. Значи \(u=v\). Ако \(u=0\), тогава \(MP\) е вертикална, откъдето \(NQ\) е хоризонтална и \(v=0\): отново \(u=v\). Достатъчност. Нека \(u=v\). При \(u=v=0\) правите са успоредни на двете перпендикулярни посоки на квадрата, значи \(MP\perp NQ\). При \(u=v\ne0\) триъгълниците \(MHP\) и \(NKQ\) са еднакви по първи признак: \(PH=QK=a\), \(MH=NK=|u|\) и прави включени ъгли. Значи острите им ъгли са равни. Тъй като \(H,K\) са от едноименните страни на \(M,N\) (стойностите имат един и същи знак), правите \(MP\) и \(NQ\) са перпендикулярни. Накрая \(u=v\) означава \(a-AM-CP=a-BN-DQ\), т.е. точно \(AM+CP=BN+DQ\).

За преговор: Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Перпендикулярни прави — 5. клас.

Задача 22В квадрат \(ABCD\) през \(B\) е построен вътрешен лъч, който образува \(65^\circ\) с \(BC\). Перпендикулярът от \(D\) към този лъч го пресича в \(Q\). Намерете \(\angle DCQ\).

Чертеж към самостоятелна задача 22; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Точката \(Q\) лежи извън квадрата вляво от \(AD\). Диагоналът \(BD\) образува \(45^\circ\) с \(BC\), затова \(\angle DBQ=65^\circ-45^\circ=20^\circ\). Нека \(O\) е средата на \(BD\). Триъгълниците \(BCD\) и \(BQD\) са правоъгълни с хипотенуза \(BD\), следователно медианите от правия ъгъл дават \(OC=OQ=OB=OD\).

От равнобедрения \(\triangle BOQ\) намираме \(\angle BOQ=140^\circ\), а \(\angle BOC=90^\circ\). Следователно \(\angle COQ=130^\circ\) и в равнобедрения \(\triangle COQ\) ъглите при основата са по \(25^\circ\). Понеже \(\angle DCO=45^\circ\), получаваме \(\angle DCQ=45^\circ-25^\circ=20^\circ\).

За преговор: Медиана към хипотенузата — 7. клас · Ъгли в триъгълник — 7. клас.

Задача 23В квадрат \(ABCD\) всяка страна е разделена на две равни части. Намерете отношението между лицето на квадрата, образуван от средите на страните, и лицето на първоначалния.

Чертеж към самостоятелна задача 23; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Четирите ъглови правоъгълни триъгълника имат катети \(a/2\) и \(a/2\). Общото им лице е \(4\cdot(a^2/8)=a^2/2\); следователно вътрешният квадрат също има лице \(a^2/2\). Отношението е \(1:2\).

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас · Отношения и пропорции — 6. клас.

Задача 24Квадрат \(ABCD\) има лице \(128\text{ cm}^2\), а \(O\) е пресечната точка на диагоналите. Точка \(M\) е средата на \(AB\). Намерете лицето на \(\triangle AOM\).

Средата M на AB и отсечката OM образуват правоъгълен триъгълник AOM.

Отговор и насока

\(OM\perp AB\), \(AM=OM=a/2\). Следователно \(S_{AOM}=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=a^2/8\). Понеже \(a^2=128\text{ cm}^2\), лицето е \(16\text{ cm}^2\).

За преговор: Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас · Част от число — 5. клас.

Задача 25В квадрат \(ABCD\) със страна \(12\text{ cm}\) точката \(M\) е средата на \(AB\). Намерете лицата на \(\triangle AMD\) и \(\triangle BMC\).

Чертеж към самостоятелна задача 25; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

\(AM=MB=6\text{ cm}\). Двата триъгълника са правоъгълни: \(S_{AMD}=\frac{12\cdot6}{2}=36\text{ cm}^2\) и \(S_{BMC}=\frac{12\cdot6}{2}=36\text{ cm}^2\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Лице на правоъгълен триъгълник — 5. клас.

Задача 26 · Повишена трудностВ квадрат \(ABCD\) са избрани точки \(M\in AB\), \(N\in BC\), \(P\in CD\), \(Q\in DA\) с \(AM=BN=CP=DQ=t\), \(0<t<a=AB\). Докажете, че \(MNPQ\) е квадрат и че лицето му е не по-малко от половината лице на \(ABCD\). Определете кога настъпва равенство.

Чертеж към самостоятелна задача 26; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

Сравнете четирите ъглови правоъгълни триъгълника с катети \(t\) и \(a-t\). Те са еднакви, затова \(MNPQ\) има равни страни и прави ъгли. Лицето му е \(t^2+(a-t)^2\).

Използвайте тъждеството \(t^2+(a-t)^2=\frac{a^2}{2}+2\left(t-\frac a2\right)^2\ge\frac{a^2}{2}\). Равенство има точно при \(t=a/2\).

За преговор: Лице на триъгълник — 5. клас · Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Първи признак за еднаквост — 7. клас.

Задача 27 · Повишена трудностВ квадрат \(ABCD\) точките \(M\) и \(N\) са среди съответно на \(BC\) и \(CD\). Докажете, че \(AN=DM\) и \(AN\perp DM\).

N и M са среди на две съседни страни. Начертани са AN и DM, които трябва да се докажат равни и перпендикулярни.

Отговор и насока

В \(\triangle ADN\) и \(\triangle DCM\) имаме прави ъгли при \(D\) и \(C\), \(AD=DC=a\), \(DN=CM=a/2\). По първи признак триъгълниците са еднакви, откъдето \(AN=DM\).

Нека \(\alpha=\angle DAN\). От еднаквостта \(\angle CDM=\alpha\). Понеже \(AD\perp DC\), правите \(AN\) и \(DM\) сключват ъгъл \(90^\circ\), следователно са перпендикулярни.

За преговор: Първи признак за еднаквост — 7. клас · Част от число — 5. клас.

Задача 28 · Повишена трудностВ квадрат \(ABCD\) е избрана точка \(E\) строго между \(A\) и \(B\). През \(C\) е построена права, перпендикулярна на \(CE\), която пресича продължението на \(AD\) отвъд \(D\) в \(F\). Вътрешната ъглополовяща на \(\angle ECF\) пресича продължението на \(BA\) отвъд \(A\) в \(M\). Докажете, че \(CM\) е ъглополовяща на \(\angle FME\).

Точките F и M са извън квадрата: F е отвъд D, а M е отвъд A; чертежът показва избрана вътрешна точка E.

Отговор и насока

От перпендикулярността на \(CE\) и \(CF\), както и \(AB\perp BC\), \(AD\perp DC\), получаваме еднаквост на правоъгълните \(\triangle CBE\) и \(\triangle FDC\): \(CB=CD\), \(\angle BCE=\angle DCF\) (двете двойки рамена са съответно перпендикулярни), а \(BC=CD\). Следователно триъгълниците са еднакви по два ъгъла и включена страна; оттук \(BE=DF\). Следователно \(CE=CF\).

Понеже \(CM\) е ъглополовяща на \(\angle ECF\), триъгълниците \(ECM\) и \(FCM\) са еднакви по първи признак: \(CE=CF\), \(CM\) е обща страна, а \(\angle ECM=\angle MCF\). Значи \(\angle CME=\angle FMC\). Това означава, че \(CM\) е ъглополовяща на \(\angle FME\).

Защо изменихме оригиналното условие? При вътрешна точка \(E\) точката \(M\) не лежи върху отсечката \(AB\), а върху нейното продължение отвъд \(A\).

За преговор: Първи признак за еднаквост — 7. клас · Перпендикулярни прави — 5. клас.

Задача 29 · Повишена трудностВ квадрат \(ABCD\) диагоналите се пресичат в \(O\). Нека \(P\) е средата на \(OD\), а \(Q\) е средата на \(BC\). Докажете, че \(AP=PQ\) и \(AP\perp PQ\).

Показани са правоъгълните триъгълници APR и QPT, използвани в доказателството за AP=PQ и AP⊥PQ.

Отговор и насока

Нека страната на квадрата е \(a\). Понеже \(O\) е център на квадрата, а \(P\) е средата на \(OD\), перпендикулярните разстояния от \(P\) до \(AB\) и \(AD\) са съответно \(3a/4\) и \(a/4\). Нека \(R\) е петата на перпендикуляра от \(P\) към \(AB\); тогава \(AR=a/4\), \(PR=3a/4\). Нека \(T\in BC\) е точката на хоризонталната права през \(P\). Тъй като \(Q\) е средата на \(BC\), получаваме \(PT=3a/4\), \(TQ=a/4\). Правоъгълните триъгълници \(APR\) и \(QPT\) са еднакви по първи признак (\(AR=TQ\), \(PR=PT\), включените ъгли при \(R,T\) са прави). Следователно \(AP=PQ\) и \(\angle APR=\angle QPT\). Понеже \(PR\perp PT\), имаме \(\angle RPT=90^\circ\). Лъчът \(PQ\) е вътре в \(\angle RPT\); следователно \(\angle APQ=\angle APR+90^\circ-\angle QPT=90^\circ\). Така \(AP\perp PQ\).

За преговор: Част от число — 5. клас · Първи признак за еднаквост — 7. клас.

Задача 30 · Повишена трудностВ квадрат \(ABCD\) със страна \(a\) точки \(M,N,P,Q\) лежат последователно на \(AB,BC,CD,DA\) и удовлетворяват \(AM=BN=CP=DQ=t\), \(0<t<a\). Лицето на вътрешния квадрат \(MNPQ\) е \(\frac58\) от лицето на \(ABCD\). Намерете всички възможни стойности на \(t/a\).

Чертеж към самостоятелна задача 30; схема, която не замества данните и условията.

Отговор и насока

От резултата за вътрешния квадрат \(t^2+(a-t)^2=\frac58a^2\). Умножаваме по \(8\): \(16t^2-16at+3a^2=0\). Разлагаме произведение \((4t-a)(4t-3a)=0\).

Получаваме \(t=a/4\) или \(t=3a/4\), т.е. \(t/a=1/4\) или \(3/4\). И двете стойности са в интервала \((0,1)\) и са допустими. Това са всички решения.

За преговор: Уравнения от вида ax+b=0 — 6. клас · Отношения и пропорции — 6. клас · Част от число — 5. клас.

📚

Партньорска препоръка

Още задачи за упражнение

Учебници, сборници и помагала по математика в Ozone.bg.

Разгледайте в Ozone.bg

Онлайн тест: 15 въпроса

Във всеки въпрос има точно един верен отговор. Всеки верен отговор носи 4 точки, максимум 60. Оценяването е само за учебна самопроверка, а не официална оценка.

Тест: Квадрат

Изберете един отговор във всеки въпрос и натиснете „Край на теста“.

1Кое твърдение е определение за квадрат?

А) Успоредник с равни диагонали. Б) Правоъгълник с равни съседни страни. В) Ромб с произволни ъгли. Г) Четириъгълник с равни диагонали.

2Кое допълнително условие превръща всеки ромб в квадрат?

А) Един от ъглите му да е прав. Б) Срещуположните страни да са успоредни. В) Диагоналите да се разполовяват. Г) Двете диагонални отсечки да се пресичат.

3Кое условие е достатъчно за произволен изпъкнал четириъгълник да бъде квадрат?

А) Да има равни диагонали. Б) Да има една двойка успоредни страни. В) Диагоналите му да са перпендикулярни. Г) Да има четири прави ъгъла и равни съседни страни.

4Кое твърдение описва напълно диагоналите на квадрат?

А) Те са равни, но не се пресичат. Б) Само се разполовяват. В) Равни са, перпендикулярни са, взаимно се разполовяват и разполовяват ъглите. Г) Само са перпендикулярни.

5Страната на квадрат е \(7{,}5\text{ cm}\). Колко е периметърът?

А) \(30\text{ cm}\) Б) \(15\text{ cm}\) В) \(56{,}25\text{ cm}\) Г) \(75\text{ cm}\)

6Периметърът на квадрат е \(64\text{ cm}\). Намерете страната.

А) \(8\text{ cm}\) Б) \(32\text{ cm}\) В) \(16\text{ cm}\) Г) \(256\text{ cm}\)

7Лицето на квадрат е \(121\text{ cm}^2\). На колко сантиметра е равна страната?

А) \(22\text{ cm}\) Б) \(11\text{ cm}\) В) \(60{,}5\text{ cm}\) Г) \(121\text{ cm}\)

8Диагоналът на квадрат има дължина \(8\text{ cm}\). Намерете лицето.

А) \(64\text{ cm}^2\) Б) \(16\text{ cm}^2\) В) \(8\text{ cm}^2\) Г) \(32\text{ cm}^2\)

9В квадрат \(ABCD\) е дадено \(O=AC\cap BD\) и \(AO=5\text{ cm}\). Намерете \(AC\).

А) \(10\text{ cm}\) Б) \(5\text{ cm}\) В) \(20\text{ cm}\) Г) \(2{,}5\text{ cm}\)

10Какъв е ъгълът между диагоналите на квадрат?

А) \(45^\circ\) Б) \(60^\circ\) В) \(90^\circ\) Г) \(180^\circ\)

11На какви ъгли диагоналът \(AC\) разделя правия ъгъл при \(A\) на квадрат \(ABCD\)?

А) \(30^\circ\) и \(60^\circ\) Б) \(20^\circ\) и \(70^\circ\) В) \(60^\circ\) и \(60^\circ\) Г) \(45^\circ\) и \(45^\circ\)

12Правоъгълник има взаимно перпендикулярни диагонали. Какъв е той?

А) Винаги само ромб, но не квадрат. Б) Квадрат. В) Произволен успоредник. Г) Невъзможна фигура.

13Ромб има равни диагонали. Какъв е той?

А) Квадрат. Б) Никога не може да е квадрат. В) Произволен трапец. Г) Само правоъгълник с неравни страни.

14Страната на квадрат е намалена с \(10\%\). С колко процента е намаляло лицето?

А) \(10\%\) Б) \(20\%\) В) \(21\%\) Г) \(19\%\)

15Квадрат има страна \(a\) и диагонал \(d\). Кое равенство е винаги вярно?

А) \(d^2=a^2\) Б) \(d^2=2a^2\) В) \(d^2=4a^2\) Г) \(d=2a\)

Отговорени въпроси: 0 от 15.

Скала за самопроверка: 50–60 т. — 6; 40–49 т. — 5; 30–39 т. — 4; 15–29 т. — 3; под 15 т. — 2.

Видеоурок

Видео: Квадрат — свойства и задачи

Свързани уроци

7. клас · основа на тематаПравоъгълникРавни диагонали, прави ъгли и признаци, върху които стъпва квадратът.7. клас · основа на тематаРомбРавни страни, перпендикулярни диагонали и ъглополовящи.

Още основни знания: Успоредник — 7. клас; Геометрични фигури, лице и обиколка — 5. клас; Отношения и пропорции — 6. клас.

Използвана и допълнителна литература

1. 1. П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020. (§48 „Квадрат“: разновидности на задачите; новите упражнения са самостоятелно съставени.)
2. 2. Д. Гълъбова и др. Тест Математика 7 клас. Веди, София, 2020.
3. 3. М. Лилкова и др. Сборник задачи по математика за 7 клас. Просвета.
4. 4. З. Паскалева и др. Книга за ученика за 7 клас. Архимед, София, 2018.
5. 5. Б. Савова и др. Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас. Просвета, 2020.
6. 6. Нови пробни изпити за НВО след 7 клас. Регалия 6, 2015.
7. 7. Л. Любенов, Ц. Байчева. Тестове по математика. DOMINO, 2017.
8. 8. М. Рангелова. Нови тематични тестове за 7 клас. Коала Прес, 2008.
9. 9. И. Тонов, Т. Тонова. Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас. Просвета, 2011.
10. 10. Л. Дилкина, К. Бекриев. Тестове по математика за 7 клас. Коала Прес, 2014.
11. 11. П. Рангелова. Сборник контролни работи и тестове. Коала Прес, 2009.
12. 12. Списание Математика; списание Математика+.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци · Тел: 0883 375 433◆ISEE Upper Level · Подготовка за американски колеж◆

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци · Тел: 0883 375 433◆ISEE Upper Level · Подготовка за американски колеж◆