Триъгълник. Сбор на ъгли в триъгълник. Външен ъгъл на триъгълник 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Ъгли в триъгълник

Ъгли в триъгълник
Теореми, външни ъгли и задачи

Пълен урок с теореми, доказателства, разработени задачи и интерактивен тест

7 клас 2 теореми с доказателства 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Сбор от ъглите на триъгълник, външен ъгъл — теореми и задачи за 7 клас

В този урок ще научим на колко е равен сборът от ъглите в произволен триъгълник, какво е външен ъгъл на триъгълник, на колко е равен сборът от всички външни ъгли, и ще решим задачи с ъглополовящи.

Триъгълник с вътрешни ъгли \(\alpha, \beta, \gamma\) и съответните им външни ъгли \(\alpha', \beta', \gamma'\).

Теореми

Теорема 1: Сборът от ъглите на всеки триъгълник е равен на \(180°\): \[\alpha+\beta+\gamma=180°.\]

Следствия от Теорема 1: всеки триъгълник има най-много един тъп ъгъл; сборът от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е равен на \(90°\).

Определение 1: Външен ъгъл на триъгълник се нарича ъгъл, съседен на вътрешен ъгъл на триъгълника. На чертежа по-горе външните ъгли са \(\alpha', \beta', \gamma'\).

Теорема 2: Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от двата несъседни на него вътрешни ъгли: \[\alpha'=\beta+\gamma, \quad \beta'=\alpha+\gamma, \quad \gamma'=\alpha+\beta.\]

Доказателство: От Теорема 1: \(\alpha+\beta+\gamma=180°\), следователно \(\alpha=180°-(\beta+\gamma)\). Тъй като \(\alpha\) и \(\alpha'\) са съседни ъгли: \(\alpha+\alpha'=180°\). Заместваме \(\alpha\): \[180°-(\beta+\gamma)+\alpha'=180° \;\Rightarrow\; \alpha'=\beta+\gamma.\] Доказателствата за \(\beta'\) и \(\gamma'\) са аналогични. ■

Следствие от Теорема 2: всеки външен ъгъл на триъгълника е по-голям от всеки вътрешен, несъседен нему ъгъл.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете ъглите \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) на \(\triangle ABC\), ако \(\alpha:\beta:\gamma=2:5:3\).

▼

Решение Нека \(\alpha=2x\), \(\beta=5x\) и \(\gamma=3x\). От Теорема 1: \[2x+5x+3x=180° \;\Rightarrow\; 10x=180° \;\Rightarrow\; x=18°.\] Следователно \(\alpha=2\cdot18°=36°\), \(\beta=5\cdot18°=90°\), \(\gamma=3\cdot18°=54°\).

2

Докажете, че сборът от външните ъгли на всеки триъгълник е равен на \(360°\).

▼

Решение От Теорема 2: \(\alpha'=\beta+\gamma\), \(\beta'=\alpha+\gamma\), \(\gamma'=\alpha+\beta\). Следователно: \[\alpha'+\beta'+\gamma'=(\beta+\gamma)+(\alpha+\gamma)+(\alpha+\beta)=2(\alpha+\beta+\gamma)=2\cdot180°=360°.\ \blacksquare\]

3

Ъглополовящите \(AA_1\) и \(BB_1\) на \(\triangle ABC\) се пресичат в точката \(O\). Намерете \(\gamma\), ако \(\sphericalangle AOB=125°\).

▼

Решение Тъй като \(AA_1\) и \(BB_1\) са ъглополовящи: \[\sphericalangle OAB=\frac{\alpha}{2}, \qquad \sphericalangle OBA=\frac{\beta}{2}.\] Прилагаме Теорема 1 за \(\triangle AOB\): \[\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+125°=180° \;\Rightarrow\; \frac{\alpha+\beta}{2}=55° \;\Rightarrow\; \alpha+\beta=110°.\] Прилагаме Теорема 1 за \(\triangle ABC\): \[\alpha+\beta+\gamma=180° \;\Rightarrow\; 110°+\gamma=180° \;\Rightarrow\; \gamma=70°.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Намерете мерките на ъглите в един триъгълник, ако те се отнасят като числата \(4:3:2\).

Задача 2Даден е \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle CAB=65°\) и \(\sphericalangle ABC=73°\). Ъглополовящата \(CD\) на \(\sphericalangle BCA\) (\(D\in AB\)) разделя триъгълника на \(\triangle ADC\) и \(\triangle BDC\). Намерете ъглите на тези два триъгълника.

Задача 3Ако мерките на външните ъгли на триъгълник се отнасят като \(4:3:5\), намерете вътрешните му ъгли.

Задача 4В триъгълник един от вътрешните ъгли е \(40°\), а един от външните ъгли е \(30°\). Намерете всички ъгли на триъгълника.

Задача 5В \(\triangle ABC\) ъгълът \(\sphericalangle A\) е с 10% по-голям от \(\sphericalangle B\), а тъпият ъгъл между ъглополовящите \(AL\) и \(CN\) е \(115°\). Намерете \(\sphericalangle C\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Ъгли в триъгълник

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Сборът от ъглите на всеки триъгълник е:

\(90°\) \(180°\) \(270°\) \(360°\)

2Сборът от всички външни ъгли на триъгълника е:

\(180°\) \(360°\) \(540°\) \(270°\)

3\(\alpha:\beta:\gamma=2:5:3\). Намерете \(\beta\).

\(36°\) \(90°\) \(54°\) \(72°\)

4Ъглополовящите \(AA_1\) и \(BB_1\) се пресичат в \(O\). \(\sphericalangle AOB=125°\). Намерете \(\gamma\).

\(55°\) \(65°\) \(70°\) \(80°\)

5Всеки външен ъгъл на триъгълника е равен на:

съседния вътрешен ъгъл сбора от двата несъседни вътрешни ъгли разликата на двата вътрешни ъгли \(180°\)

6Всеки триъгълник има най-много:

два тъпи ъгъла един тъп ъгъл три тъпи ъгъла нула тъпи ъгли

7В правоъгълен триъгълник сборът от двата остри ъгъла е:

\(45°\) \(90°\) \(180°\) \(135°\)

8Ъглите на триъгълник се отнасят като \(4:3:2\). Най-голямият ъгъл е:

\(60°\) \(72°\) \(80°\) \(90°\)

9В \(\triangle ABC\): \(\alpha=36°\), \(\beta=90°\), \(\gamma=54°\). Намерете \(\alpha'\) (външния ъгъл при \(A\)).

\(126°\) \(144°\) \(136°\) \(154°\)

10Всеки външен ъгъл на триъгълника е спрямо несъседните вътрешни ъгли:

по-малък по-голям равен не можем да определим

11\(\sphericalangle CAB=65°\) и \(\sphericalangle ABC=73°\). Намерете \(\sphericalangle BCA\).

\(38°\) \(42°\) \(45°\) \(52°\)

12Zewnętrzните ъгли се отнасят като \(4:3:5\). Намерете най-малкия вътрешен ъгъл.

\(24°\) \(30°\) \(36°\) \(40°\)

13\(\alpha:\beta:\gamma=2:5:3\). Намерете \(\alpha\).

\(30°\) \(36°\) \(40°\) \(45°\)

14Ъглополовящите \(AA_1\) и \(BB_1\) се пресичат в \(O\). Коя е правилната формула за \(\triangle AOB\)?

\(\alpha+\beta+\sphericalangle AOB=180°\) \(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}+\sphericalangle AOB=180°\) \(\alpha+\dfrac{\beta}{2}+\sphericalangle AOB=180°\) \(\dfrac{\alpha}{2}+\beta+\sphericalangle AOB=180°\)

15За \(\triangle ABC\) с \(\beta=60°\) и \(\gamma=50°\), външният ъгъл при \(A\) е:

\(70°\) \(100°\) \(110°\) \(120°\)

---

Видео уроци

Видео урок — Ъгли в триъгълник

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆