Ъгли в триъгълник – 7. клас: теореми, 25 задачи и тест
Ъгли в триъгълник
Сбор на ъглите, външен ъгъл и задачи
Теория: ъгли в триъгълник
В предишния урок разгледахме свойствата на успоредните прави. Именно те дават кратко доказателство на основната теорема в този урок. Ще работим със сбора на вътрешните ъгли, външните ъгли и задачи с лъчи-ъглополовящи.
Полезен преговор: елементите и видовете триъгълници са припомнени в урока за триъгълник от 5. клас, а понятията ъгъл и ъглополовяща — в основни геометрични фигури.
В доказателството използваме точно посоката от предишния урок: от \(d\parallel AB\) извеждаме равенство на съответни/кръстни ъгли. За по-ранна визуална основа вижте и успоредни прави от 5. клас.
- Всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
- В правоъгълен триъгълник сборът на двата остри ъгъла е \(90^\circ\).
- Ако знаем два вътрешни ъгъла, третият се намира като ги извадим от \(180^\circ\).
Задачи с ъглополовящи
Ъглополовящата на ъгъл е лъч. Когато вътрешните лъчи-ъглополовящи на два ъгъла в триъгълник се пресичат в \(O\), в по-малките триъгълници използваме половините на съответните ъгли и отново Теорема 1. Не е необходима нова теорема — зависимостите се извеждат от вече изученото.
Не смесвайте вътрешен и външен ъгъл: те са съседни и имат сбор \(180^\circ\).
Когато казваме „сборът на външните ъгли е \(360^\circ\)“, имаме предвид по един избран външен ъгъл при всеки връх.
Ъглополовящата е лъч. В чертежите отсечката вътре в триъгълника лежи върху този лъч, но не заменя определението.
25 подробно решени и обяснени задачи
Първите три задачи запазват основните типове от старата публикация. №4–20 изграждат системна практика, а №21–25 са реално с повишена трудност.
Основни свойства и приложения — задачи 1–20
1Оригинален тип • отношение на ъглиЪглите \(\alpha,\beta,\gamma\) на \(\triangle ABC\) се отнасят като \(2:5:3\). Намерете трите ъгъла.
Нека \(\alpha=2x\), \(\beta=5x\) и \(\gamma=3x\). Сборът на ъглите в триъгълник е \(180^\circ\), следователно
\[ 2x+5x+3x=180^\circ. \]Получаваме \(10x=180^\circ\), откъдето \(x=18^\circ\). Затова
\[ \boxed{\alpha=36^\circ,\qquad \beta=90^\circ,\qquad \gamma=54^\circ}. \]2Оригинален тип • доказателствоДокажете, че сборът на по един външен ъгъл при всеки връх на триъгълник е \(360^\circ\).
Нека вътрешните ъгли са \(\alpha,\beta,\gamma\), а съседните им външни — \(\alpha',\beta',\gamma'\). За всяка двойка съседни ъгли имаме
\[ \alpha'=180^\circ-\alpha,\quad \beta'=180^\circ-\beta,\quad \gamma'=180^\circ-\gamma. \]Събираме:
\[ \alpha'+\beta'+\gamma' =540^\circ-(\alpha+\beta+\gamma). \]Понеже \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\), получаваме
\[ \boxed{\alpha'+\beta'+\gamma'=360^\circ}. \]3Оригинален тип • ъглополовящиЛъчите-ъглополовящи на \(\angle A\) и \(\angle B\) в \(\triangle ABC\) се пресичат в \(O\). Ако \(\angle AOB=125^\circ\), намерете \(\angle C\).
Понеже \(AO\) и \(BO\) са ъглополовящи, в \(\triangle AOB\) ъглите при \(A\) и \(B\) са съответно \(\alpha/2\) и \(\beta/2\). Следователно
\[ \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+125^\circ=180^\circ. \]Оттук \((\alpha+\beta)/2=55^\circ\), тоест \(\alpha+\beta=110^\circ\). За \(\triangle ABC\):
\[ \gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-110^\circ=\boxed{70^\circ}. \]4Сбор на ъглитеВ \(\triangle ABC\) е дадено \(\angle A=52^\circ\) и \(\angle B=71^\circ\). Намерете \(\angle C\).
Използваме теоремата за сбора на ъглите:
\[ \angle C=180^\circ-52^\circ-71^\circ=\boxed{57^\circ}. \]5Външен ъгълВъншният ъгъл при \(A\) е \(128^\circ\), а \(\angle B=53^\circ\). Намерете \(\angle A\) и \(\angle C\).
Вътрешният и съседният му външен ъгъл при \(A\) имат сбор \(180^\circ\):
\[ \angle A=180^\circ-128^\circ=52^\circ. \]По теоремата за външния ъгъл \(128^\circ=\angle B+\angle C\), следователно
\[ \angle C=128^\circ-53^\circ=\boxed{75^\circ}. \]Отговор: \(\boxed{\angle A=52^\circ,\ \angle C=75^\circ}\).
6Уравнение от сбораЪглите на триъгълник са \(x^\circ\), \((x+20)^\circ\) и \(2x^\circ\). Намерете \(x\) и трите ъгъла.
Сборът им е \(180^\circ\):
\[ x+(x+20)+2x=180. \]Следователно \(4x+20=180\), \(4x=160\), откъдето \(\boxed{x=40}\). Ъглите са
\[ \boxed{40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ}. \]7Външен ъгъл • системаВъншният ъгъл при \(A\) е \(126^\circ\), а \(\angle B-\angle C=18^\circ\). Намерете трите вътрешни ъгъла.
По теоремата за външен ъгъл:
\[\angle B+\angle C=126^\circ.\]Заедно с \(\angle B-\angle C=18^\circ\) получаваме
\[2\angle B=144^\circ\Rightarrow \angle B=72^\circ,\qquad \angle C=54^\circ.\]Тогава
\[\boxed{\angle A=54^\circ,\ \angle B=72^\circ,\ \angle C=54^\circ}.\]8Правоъгълен триъгълникВ правоъгълен триъгълник двата остри ъгъла се отнасят като \(2:3\). Намерете ги.
Двата остри ъгъла в правоъгълен триъгълник имат сбор \(90^\circ\). Нека са \(2x\) и \(3x\):
\[ 2x+3x=90^\circ\Rightarrow x=18^\circ. \]Затова острите ъгли са \(\boxed{36^\circ}\) и \(\boxed{54^\circ}\).
9Външен и вътрешен ъгълВъншният ъгъл при \(A\) е три пъти по-голям от вътрешния \(\angle A\). Освен това \(\angle B:\angle C=2:1\). Намерете трите вътрешни ъгъла.
Нека \(\angle A=\alpha\). Съседният външен е \(3\alpha\), а двата са допълнителни:
\[ \alpha+3\alpha=180^\circ\Rightarrow \alpha=45^\circ. \]Външният ъгъл при \(A\) е \(135^\circ\), следователно \(\angle B+\angle C=135^\circ\). При отношение \(2:1\) нека \(\angle B=2x\), \(\angle C=x\). Тогава \(3x=135^\circ\), т.е. \(x=45^\circ\).
\[ \boxed{\angle A=45^\circ,\ \angle B=90^\circ,\ \angle C=45^\circ}. \]10Три външни ъгълаПо един външен ъгъл при \(A\) и \(B\) е съответно \(105^\circ\) и \(135^\circ\). Намерете вътрешните ъгли и избрания външен ъгъл при \(C\).
Вътрешните ъгли при \(A\) и \(B\) са съседни на дадените външни:
\[ \angle A=75^\circ,\qquad \angle B=45^\circ. \]Тогава
\[ \angle C=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ. \]Съседният външен при \(C\) е
\[ 180^\circ-60^\circ=\boxed{120^\circ}. \]11Ъглополовяща • обратно разсъждениеВ \(\triangle ABC\) лъчът \(CD\) е ъглополовяща на \(\angle C\), \(D\in AB\). Дадено е \(\angle B=50^\circ\) и \(\angle BDC=100^\circ\). Намерете \(\angle A\) и \(\angle C\).
В \(\triangle BCD\):
\[\angle BCD=180^\circ-50^\circ-100^\circ=30^\circ.\]Понеже \(CD\) е ъглополовяща,
\[\angle C=2\cdot30^\circ=60^\circ.\]Следователно
\[\angle A=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ.\]Отговор: \(\boxed{\angle A=70^\circ,\ \angle C=60^\circ}\).
12Равни външни ъглиИзбраните външни ъгли при \(A\) и \(B\) са равни, а \(\angle C=44^\circ\). Намерете трите вътрешни ъгъла и двата дадени външни ъгъла.
Понеже
\[\alpha'=180^\circ-\angle A,\qquad \beta'=180^\circ-\angle B\]и \(\alpha'=\beta'\), следва \(\angle A=\angle B\). Тогава
\[2\angle A+44^\circ=180^\circ\Rightarrow \angle A=\angle B=68^\circ.\]Двата външни ъгъла са
\[180^\circ-68^\circ=\boxed{112^\circ}.\]13Разлика на външни ъглиТри избрани външни ъгъла на триъгълник са \(\alpha',\beta',\gamma'\). Дадено е \(\gamma'=130^\circ\) и \(\alpha'-\beta'=20^\circ\). Намерете всички вътрешни ъгли.
Сборът на трите избрани външни ъгъла е \(360^\circ\), затова
\[ \alpha'+\beta'=360^\circ-130^\circ=230^\circ. \]Заедно с \(\alpha'-\beta'=20^\circ\) получаваме
\[ 2\alpha'=250^\circ\Rightarrow \alpha'=125^\circ,\qquad \beta'=105^\circ. \]Вътрешните са съседни на тях:
\[ \angle A=55^\circ,\quad \angle B=75^\circ,\quad \angle C=50^\circ. \]14Градуси и минутиВ \(\triangle ABC\) е дадено \(\angle A=48^\circ35'\) и \(\angle B=67^\circ20'\). Намерете \(\angle C\).
Събираме дадените ъгли:
\[ 48^\circ35'+67^\circ20'=115^\circ55'. \]Следователно
\[ \angle C=180^\circ00'-115^\circ55'=179^\circ60'-115^\circ55'=\boxed{64^\circ05'}. \]15Ъглополовяща • прав ъгълВ \(\triangle ABC\) лъчът \(CD\) е ъглополовяща на \(\angle C\), \(D\in AB\). Дадено е \(\angle A=58^\circ\) и \(\angle ACD=32^\circ\). Намерете \(\angle B\), \(\angle C\) и \(\angle BDC\).
Понеже \(CD\) е ъглополовяща,
\[\angle C=2\cdot32^\circ=64^\circ.\]От сбора на ъглите в \(\triangle ABC\):
\[\angle B=180^\circ-58^\circ-64^\circ=58^\circ.\]В \(\triangle BCD\) имаме \(\angle B=58^\circ\) и \(\angle BCD=32^\circ\), затова
\[\angle BDC=180^\circ-58^\circ-32^\circ=\boxed{90^\circ}.\]Отговор: \(\boxed{B=58^\circ,\ C=64^\circ,\ BDC=90^\circ}\).
16ДоказателствоДокажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.
Да допуснем противното — че два от ъглите не са остри. Тогава всеки от тях е поне \(90^\circ\), така че сборът им е поне \(180^\circ\).
Но третият ъгъл на триъгълника е положителен, следователно общият сбор би бил по-голям от \(180^\circ\), което противоречи на теоремата за сбора на ъглите.
Следователно \(\boxed{\text{поне два от ъглите на всеки триъгълник са остри}}\).
17Доказателство • външен ъгълДокажете, че външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки от двата несъседни на него вътрешни ъгъла.
Нека външният ъгъл при \(A\) е \(\alpha'\). По теоремата за външния ъгъл
\[ \alpha'=\beta+\gamma. \]Понеже \(\beta>0^\circ\) и \(\gamma>0^\circ\), имаме
\[ \beta+\gamma>\beta,\qquad \beta+\gamma>\gamma. \]Следователно \(\boxed{\alpha'>\beta\text{ и }\alpha'>\gamma}\).
18Външен ъгъл и отношениеВъншният ъгъл при \(A\) е \(140^\circ\), а \(\angle B:\angle C=3:4\). Намерете трите вътрешни ъгъла.
По теоремата за външния ъгъл
\[ \angle B+\angle C=140^\circ. \]Нека \(\angle B=3x\), \(\angle C=4x\). Тогава \(7x=140^\circ\), следователно \(x=20^\circ\). Значи
\[ \angle B=60^\circ,\qquad \angle C=80^\circ. \]Вътрешният при \(A\) е \(180^\circ-140^\circ=40^\circ\). Следователно
\[ \boxed{40^\circ,\ 60^\circ,\ 80^\circ}. \]19Зависимости между вътрешни ъглиВ \(\triangle ABC\) е дадено \(\angle A=2\angle B\) и \(\angle C=\angle B+60^\circ\). Намерете трите ъгъла.
Нека \(\angle B=x\). Тогава \(\angle A=2x\), \(\angle C=x+60^\circ\). От сбора:
\[ 2x+x+(x+60^\circ)=180^\circ. \]Получаваме \(4x=120^\circ\), следователно \(x=30^\circ\). Затова
\[ \boxed{\angle A=60^\circ,\ \angle B=30^\circ,\ \angle C=90^\circ}. \]20Три ъглополовящиВ \(\triangle ABC\) са дадени \(\angle A=50^\circ\), \(\angle B=70^\circ\), \(\angle C=60^\circ\). Вътрешните ъглополовящи се пресичат в \(O\). Намерете \(\angle AOB\), \(\angle BOC\) и \(\angle COA\).
За \(\triangle AOB\) имаме
\[ \angle AOB=180^\circ-\frac{A}{2}-\frac{B}{2} =180^\circ-\frac{A+B}{2} =90^\circ+\frac{C}{2}=120^\circ. \]Аналогично:
\[ \angle BOC=90^\circ+\frac{A}{2}=115^\circ, \qquad \angle COA=90^\circ+\frac{B}{2}=125^\circ. \]Отговор: \(\boxed{120^\circ,\ 115^\circ,\ 125^\circ}\).
21Повишена трудност • система с външни ъглиВ \(\triangle ABC\) външният ъгъл при \(A\) е два пъти \(\angle B\), а външният ъгъл при \(B\) е три пъти \(\angle C\). Намерете трите вътрешни ъгъла.★ Повишена трудност
Нека \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\). От теоремата за външен ъгъл:
\[ \beta+\gamma=2\beta\Rightarrow \gamma=\beta. \]За външния ъгъл при \(B\):
\[ \alpha+\gamma=3\gamma\Rightarrow \alpha=2\gamma. \]Тъй като \(\beta=\gamma\), сборът на вътрешните ъгли дава
\[ 2\gamma+\gamma+\gamma=180^\circ\Rightarrow \gamma=45^\circ. \]Следователно
\[ \boxed{\angle A=90^\circ,\ \angle B=45^\circ,\ \angle C=45^\circ}. \]22Повишена трудност • доказателство с ъглополовящиВътрешните ъглополовящи на \(\angle A\) и \(\angle B\) се пресичат в \(O\). Докажете, че \[ \angle AOB=90^\circ+\frac{\angle C}{2}. \]★ Повишена трудност
В \(\triangle AOB\) ъглите при \(A\) и \(B\) са съответно \(A/2\) и \(B/2\). Следователно
\[ \angle AOB=180^\circ-\frac{A+B}{2}. \]Но от \(A+B+C=180^\circ\) следва \(A+B=180^\circ-C\). Заместваме:
\[ \angle AOB =180^\circ-\frac{180^\circ-C}{2} =180^\circ-90^\circ+\frac{C}{2}. \]Получаваме
\[ \boxed{\angle AOB=90^\circ+\frac{C}{2}}. \]23Повишена трудност • средно аритметичноЗа три избрани външни ъгъла \(\alpha'<\beta'<\gamma'\) е дадено, че \(\beta'=\dfrac{\alpha'+\gamma'}{2}\) и \(\gamma'-\alpha'=80^\circ\). Намерете вътрешните ъгли.★ Повишена трудност
От \(\beta'=\dfrac{\alpha'+\gamma'}{2}\) следва \(\alpha'+\gamma'=2\beta'\). Понеже сборът на трите избрани външни ъгъла е \(360^\circ\), имаме
\[ \alpha'+\beta'+\gamma'=3\beta'=360^\circ, \]откъдето \(\beta'=120^\circ\). Следователно \(\alpha'+\gamma'=240^\circ\). Заедно с \(\gamma'-\alpha'=80^\circ\) получаваме
\[ \alpha'=80^\circ,\qquad \beta'=120^\circ,\qquad \gamma'=160^\circ. \]Съответните вътрешни са
\[ \boxed{100^\circ,\ 60^\circ,\ 20^\circ}. \]24Повишена трудност • система от две неизвестниВ \(\triangle ABC\) \[ \angle A=(2x+y)^\circ,\qquad \angle B=(x+2y)^\circ, \] външният ъгъл при \(C\) е \(135^\circ\), а \(x-y=5\). Намерете \(x,y\) и трите вътрешни ъгъла.★ Повишена трудност
Външният ъгъл при \(C\) е сборът на несъседните вътрешни:
\[ (2x+y)+(x+2y)=135. \]Следователно \(3x+3y=135\), тоест
\[ x+y=45. \]Заедно с \(x-y=5\) получаваме
\[ 2x=50\Rightarrow x=25,\qquad y=20. \]Тогава
\[ \angle A=70^\circ,\quad \angle B=65^\circ,\quad \angle C=45^\circ. \]Отговор: \(\boxed{x=25,\ y=20}\).
25Повишена трудност • ъглополовящи на съседни ъглиПри връх \(A\) на триъгълник са построени лъчът-ъглополовяща на вътрешния \(\angle A\) и лъчът-ъглополовяща на съседния му външен ъгъл. Докажете, че носещите прави на двата лъча са перпендикулярни.★ Повишена трудност
Нека вътрешният ъгъл е \(\alpha\), а съседният външен — \(\alpha'\). Понеже са съседни,
\[ \alpha+\alpha'=180^\circ. \]Двете ъглополовящи разделят тези ъгли на половини. Ъгълът между двата лъча е
\[ \frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha'}{2} =\frac{\alpha+\alpha'}{2} =\frac{180^\circ}{2}=90^\circ. \]Следователно носещите им прави са \(\boxed{\text{перпендикулярни}}\).
30 задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно, преди да отворите отговорите. Последните пет, №26–30, са с повишена трудност.
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Онлайн тест: 15 въпроса
По 4 точки за верен отговор · максимум 60 точки
Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.
Видеоурок
Допълнителни тестове от оригиналната публикация
Следващите два Google Forms теста са запазени без промяна от оригиналната публикация. Те са по алгебра и не са част от текущата геометрична тема.
Използвана литература
Запазени са библиографските записи от първоначалната публикация. Първите три решени типа са преработени от старото съдържание; останалите задачи, решения и SVG чертежи са съставени за настоящата редакция.
- 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, вероятности и статистика
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар