Приложение на пропорциите
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Пропорции › Приложение на пропорциите
Приложение на пропорциите —
мащаб, сплави, смеси и практически задачи
Мащаб, тегловно отношение, сплави и смеси, разпределяне в отношение, процентно съдържание — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест
В този урок разглеждаме практическото приложение на пропорциите. Ще решаваме задачи с мащаб, смеси, сплави, процентно съдържание, разпределяне на количества и производствени ситуации. Така ще видим как пропорциите се използват не само в учебника, но и в практически ситуации.
➕ Мащаб
Определение: Мащабът на карта или чертеж е отношението на разстоянието върху картата или чертежа към действителното разстояние. Записва се като \(1 : n\), където \(n\) показва колко пъти действителното разстояние е по-голямо от изображението.
Формула: Ако разстоянието на картата е \(d\) см, а мащабът е \(1 : n\), то действителното разстояние е:
\[D = d \cdot n.\]
Обратно: \(d = \dfrac{D}{n}.\)
Пример: При мащаб \(1 : 25\,000\) разстояние 3 см върху картата отговаря на \(3 \cdot 25\,000 = 75\,000\) см \(= 750\) м \(= 0{,}75\) км в действителност.
📋 Тегловно отношение и сплави
Определение: Тегловното отношение на съставките в дадена сплав (или смес) показва в какво отношение са масите на отделните компоненти. Ако сплавта се състои от компоненти A и B в тегловно отношение \(a : b\), то масата на A е \(\dfrac{a}{a+b}\) от общата маса.
Формула: Ако общата маса е \(M\) и компонентите са в отношение \(a : b\), то:
\[m_A = \frac{a}{a+b} \cdot M, \qquad m_B = \frac{b}{a+b} \cdot M.\]
🗂 Разпределяне на число в дадено отношение
Метод: За да разпределим числото \(S\) в отношение \(a : b : c\), намираме стойността на една „част”: \(k = \dfrac{S}{a + b + c}\). Тогава частите са \(ak,\; bk,\; ck\).
Пример: Разпределяме 120 в отношение \(3 : 5 : 4\). Една част: \(k = \dfrac{120}{3+5+4} = \dfrac{120}{12} = 10\). Частите са: \(30,\; 50,\; 40\).
✏️ Разработени задачи
Изберете задача, за да видите решението.
1
Отношението на броя на момичетата към броя на момчетата в един клас е 6 : 7. Колко ученици има в този клас, ако момчетата са 14?
▼
РешениеНека момичетата са \(x\). От пропорцията: \(\frac{x}{14} = \frac{6}{7} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 14}{7} = 12\).
Общо ученици: \(12 + 14 = \mathbf{26}\).
Общо ученици: \(12 + 14 = \mathbf{26}\).
2
В VI клас в началото на учебната година имало 25 ученици. В края на първия учебен срок дошли още 2 момичета и 1 момче, след което отношението на броя на момичетата към броя на момчетата станало 4 : 3. Колко момичета и колко момчета е имало първоначално?
▼
РешениеСлед новодошлите: общо \(25 + 3 = 28\) ученици, в отношение \(4 : 3\).
Момичета: \(\frac{4}{7} \cdot 28 = 16\). Момчета: \(\frac{3}{7} \cdot 28 = 12\).
Първоначално: момичета \(16 - 2 = \mathbf{14}\), момчета \(12 - 1 = \mathbf{11}\).
Момичета: \(\frac{4}{7} \cdot 28 = 16\). Момчета: \(\frac{3}{7} \cdot 28 = 12\).
Първоначално: момичета \(16 - 2 = \mathbf{14}\), момчета \(12 - 1 = \mathbf{11}\).
3
Участък с площ 6300 дка е засят с царевица и пшеница, като площта, засята с царевица, се отнася към площта, засята с пшеница, както 7,2 : 7,8. По колко декара са засети с всяка от двете култури?
▼
РешениеСума на частите: \(7{,}2 + 7{,}8 = 15\). Една част: \(\frac{6300}{15} = 420\) дка.
Царевица: \(7{,}2 \cdot 420 = \mathbf{3024}\) дка. Пшеница: \(7{,}8 \cdot 420 = \mathbf{3276}\) дка.
Проверка: \(3024 + 3276 = 6300\). ✓
Царевица: \(7{,}2 \cdot 420 = \mathbf{3024}\) дка. Пшеница: \(7{,}8 \cdot 420 = \mathbf{3276}\) дка.
Проверка: \(3024 + 3276 = 6300\). ✓
4
За изминаването на 50 км една лека кола изразходва 4 л бензин. Колко километра ще измине колата при същия разход на гориво с 15 л бензин? А колко литра бензин ще са необходими за изминаването на 750 км?
▼
РешениеРазстоянието и количеството бензин са правопропорционални.
За 15 л: \(\frac{50}{4} = \frac{x}{15} \Rightarrow x = \frac{50 \cdot 15}{4} = \mathbf{187{,}5}\) км.
За 750 км: \(\frac{4}{50} = \frac{y}{750} \Rightarrow y = \frac{4 \cdot 750}{50} = \mathbf{60}\) л.
За 15 л: \(\frac{50}{4} = \frac{x}{15} \Rightarrow x = \frac{50 \cdot 15}{4} = \mathbf{187{,}5}\) км.
За 750 км: \(\frac{4}{50} = \frac{y}{750} \Rightarrow y = \frac{4 \cdot 750}{50} = \mathbf{60}\) л.
5
В една сплав от злато и сребро отношението между масите им е 4 : 7. Колко грама злато има в бижу, изработено от тази сплав, ако среброто в него е 2,8 г?
▼
Решение\(\frac{\text{злато}}{\text{сребро}} = \frac{4}{7}\). Ако среброто е 2,8 г, получаваме:
\(\text{злато} = \frac{4}{7} \cdot 2{,}8 = \frac{4 \cdot 2{,}8}{7} = \mathbf{1{,}6}\) г.
\(\text{злато} = \frac{4}{7} \cdot 2{,}8 = \frac{4 \cdot 2{,}8}{7} = \mathbf{1{,}6}\) г.
6
Тегловното отношение между захарта и водата в чаша чай е 3 : 22, като захарта е 24 г. Колко грама вода има в чашата?
▼
Решение\(\frac{3}{22} = \frac{24}{x} \Rightarrow x = \frac{22 \cdot 24}{3} = \mathbf{176}\) г вода.
7
Статуя с маса 1,2 т е направена от бронз, в който медта и калаят са в тегловно отношение 23 : 7. Колко килограма калай има в статуята?
▼
РешениеОбща маса: \(1{,}2\) т \(= 1200\) кг. Части: \(23 + 7 = 30\).
Калай: \(\frac{7}{30} \cdot 1200 = \mathbf{280}\) кг.
Калай: \(\frac{7}{30} \cdot 1200 = \mathbf{280}\) кг.
8
Намерете отношението \(\frac{a}{b}\), ако:
а) \(\frac{a}{4} = \frac{b}{7}\); б) \(\frac{8}{a} = \frac{24}{b}\); в) \(5a = 45b\); г) \(b = 3a\); д) \(b\) е 25% от \(a\); е) \(a\) е 60% от \(b\).
а) \(\frac{a}{4} = \frac{b}{7}\); б) \(\frac{8}{a} = \frac{24}{b}\); в) \(5a = 45b\); г) \(b = 3a\); д) \(b\) е 25% от \(a\); е) \(a\) е 60% от \(b\).
▼
Решениеа) \(\frac{a}{4} = \frac{b}{7} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{4}{7}\).
б) \(\frac{8}{a} = \frac{24}{b} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{24}{8} = 3 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}\).
в) \(5a = 45b \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{45}{5} = 9\).
г) \(b = 3a \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}\).
д) \(b = 0{,}25a \Rightarrow \frac{a}{b} = 4\).
е) \(a = 0{,}6b \Rightarrow \frac{a}{b} = 0{,}6 = \frac{3}{5}\).
б) \(\frac{8}{a} = \frac{24}{b} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{24}{8} = 3 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}\).
в) \(5a = 45b \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{45}{5} = 9\).
г) \(b = 3a \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}\).
д) \(b = 0{,}25a \Rightarrow \frac{a}{b} = 4\).
е) \(a = 0{,}6b \Rightarrow \frac{a}{b} = 0{,}6 = \frac{3}{5}\).
9
Колко процента е:
а) 27 от 67,5; б) 35 от 140; в) 12 от 37,5; г) 36 от 300?
а) 27 от 67,5; б) 35 от 140; в) 12 от 37,5; г) 36 от 300?
▼
Решениеа) \(\frac{27}{67{,}5} \cdot 100 = \mathbf{40\%}\).
б) \(\frac{35}{140} \cdot 100 = \mathbf{25\%}\).
в) \(\frac{12}{37{,}5} \cdot 100 = \mathbf{32\%}\).
г) \(\frac{36}{300} \cdot 100 = \mathbf{12\%}\).
б) \(\frac{35}{140} \cdot 100 = \mathbf{25\%}\).
в) \(\frac{12}{37{,}5} \cdot 100 = \mathbf{32\%}\).
г) \(\frac{36}{300} \cdot 100 = \mathbf{12\%}\).
10
Отношението на броя на учениците от 6. клас, участвали в общинския кръг на олимпиадата по математика, към броя на всички ученици от този клас, е 1 : 3. Ако от 6 клас са участвали 9 души, намерете броя на учениците от класа, неучаствали в олимпиадата.
▼
Решение\(\frac{9}{\text{всички}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \text{всички} = 27\).
Неучаствали: \(27 - 9 = \mathbf{18}\) ученици.
Неучаствали: \(27 - 9 = \mathbf{18}\) ученици.
11
В една шивашка работилница за 6 дни се ушиват 120 детски престилки от един и същи модел. За тях се изразходват 96 м плат, а производствените разходи са 192 евро. Намерете:
а) колко престилки ще бъдат ушити, колко метра плат ще се изразходват и какви ще бъдат производствените разходи за 10 работни дни;
б) за колко работни дни ще бъдат ушити 180 престилки, колко метра плат ще се изразходват и какви ще бъдат производствените разходи.
а) колко престилки ще бъдат ушити, колко метра плат ще се изразходват и какви ще бъдат производствените разходи за 10 работни дни;
б) за колко работни дни ще бъдат ушити 180 престилки, колко метра плат ще се изразходват и какви ще бъдат производствените разходи.
▼
РешениеЗа 1 ден: \(\frac{120}{6} = 20\) престилки, \(\frac{96}{6} = 16\) м плат, \(\frac{192}{6} = 32\) евро.
а) За 10 дни: \(20 \cdot 10 = \mathbf{200}\) престилки, \(16 \cdot 10 = \mathbf{160}\) м плат, \(32 \cdot 10 = \mathbf{320}\) евро.
б) 180 престилки: \(\frac{180}{20} = \mathbf{9}\) дни, \(\frac{96 \cdot 180}{120} = \mathbf{144}\) м плат, \(\frac{192 \cdot 180}{120} = \mathbf{288}\) евро.
а) За 10 дни: \(20 \cdot 10 = \mathbf{200}\) престилки, \(16 \cdot 10 = \mathbf{160}\) м плат, \(32 \cdot 10 = \mathbf{320}\) евро.
б) 180 престилки: \(\frac{180}{20} = \mathbf{9}\) дни, \(\frac{96 \cdot 180}{120} = \mathbf{144}\) м плат, \(\frac{192 \cdot 180}{120} = \mathbf{288}\) евро.
12
Четири еднакви буркана събират 4 кг 800 г мед. Най-малко колко такива буркана са необходими, за да се съберат 9 кг мед?
▼
РешениеБроят на бурканите и количеството мед са правопропорционални. \(\frac{4}{4{,}8} = \frac{x}{9} \Rightarrow x = \frac{4 \cdot 9}{4{,}8} = \frac{36}{4{,}8} = \mathbf{7{,}5}\).
Получаваме \(7{,}5\) буркана. Това означава, че 7 буркана няма да са достатъчни, затова са необходими най-малко 8 буркана.
Получаваме \(7{,}5\) буркана. Това означава, че 7 буркана няма да са достатъчни, затова са необходими най-малко 8 буркана.
13
Когато баба Дора прави компот, тя слага на всеки килограм плод по 325 г захар.
а) Колко захар е необходима, ако има 12 кг плодове?
б) Колко килограма плодове трябва да купи, ако иска да използва 6,5 кг захар?
а) Колко захар е необходима, ако има 12 кг плодове?
б) Колко килограма плодове трябва да купи, ако иска да използва 6,5 кг захар?
▼
Решениеа) \(12 \cdot 325 = \mathbf{3900}\) г \(= \mathbf{3{,}9}\) кг захар.
б) \(\frac{1}{325} = \frac{x}{6500} \Rightarrow x = \frac{6500}{325} = \mathbf{20}\) кг плодове.
б) \(\frac{1}{325} = \frac{x}{6500} \Rightarrow x = \frac{6500}{325} = \mathbf{20}\) кг плодове.
14
Сплав, състояща се от никел и хром, съдържа 37,5% никел. Намерете тегловното отношение между никела и хрома в тази сплав. Колко килограма хром ще се съдържат в 400 кг от нея?
▼
РешениеНикел: 37,5%, Хром: \(100 - 37{,}5 = 62{,}5\%\).
Отношение: \(\frac{37{,}5}{62{,}5} = \frac{375}{625} = \frac{3}{5}\), т.е. \(\mathbf{3 : 5}\).
Хром в 400 кг: \(\frac{5}{8} \cdot 400 = \mathbf{250}\) кг.
Отношение: \(\frac{37{,}5}{62{,}5} = \frac{375}{625} = \frac{3}{5}\), т.е. \(\mathbf{3 : 5}\).
Хром в 400 кг: \(\frac{5}{8} \cdot 400 = \mathbf{250}\) кг.
15
Разделете отсечката \(AB = 16\) см на три части, чиито дължини са съответно пропорционални на числата 3, 7 и 6.
▼
РешениеСума на частите: \(3 + 7 + 6 = 16\). Една част: \(\frac{16}{16} = 1\) см.
Частите: \(3 \cdot 1 = \mathbf{3}\) см, \(7 \cdot 1 = \mathbf{7}\) см, \(6 \cdot 1 = \mathbf{6}\) см.
Частите: \(3 \cdot 1 = \mathbf{3}\) см, \(7 \cdot 1 = \mathbf{7}\) см, \(6 \cdot 1 = \mathbf{6}\) см.
16
Разделете числото 33 333 333 на части, съответно пропорционални на числата 5, 3, 1, 0,4 и 0,7.
▼
РешениеСума: \(5 + 3 + 1 + 0{,}4 + 0{,}7 = 10{,}1\).
Една част: \(\frac{33\,333\,333}{10{,}1} = 3\,300\,330\).
Частите: \(5 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{16\,501\,650}\); \(3 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{9\,900\,990}\); \(1 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{3\,300\,330}\); \(0{,}4 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{1\,320\,132}\); \(0{,}7 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{2\,310\,231}\).
Проверка: сумата е 33 333 333. ✓
Една част: \(\frac{33\,333\,333}{10{,}1} = 3\,300\,330\).
Частите: \(5 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{16\,501\,650}\); \(3 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{9\,900\,990}\); \(1 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{3\,300\,330}\); \(0{,}4 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{1\,320\,132}\); \(0{,}7 \cdot 3\,300\,330 = \mathbf{2\,310\,231}\).
Проверка: сумата е 33 333 333. ✓
17
Летва с дължина 2 м е разрязана на 5 части, чиито дължини се отнасят като 5 : 3 : 2 : 7 : 8. Намерете дължините на тези части в сантиметри.
▼
РешениеОбща дължина: 200 см. Сума на частите: \(5 + 3 + 2 + 7 + 8 = 25\).
Една част: \(\frac{200}{25} = 8\) см.
Дължини: \(\mathbf{40}\) см, \(\mathbf{24}\) см, \(\mathbf{16}\) см, \(\mathbf{56}\) см, \(\mathbf{64}\) см.
Една част: \(\frac{200}{25} = 8\) см.
Дължини: \(\mathbf{40}\) см, \(\mathbf{24}\) см, \(\mathbf{16}\) см, \(\mathbf{56}\) см, \(\mathbf{64}\) см.
18
На географска карта разстоянието между селищата A и B е 5 см, а между A и C е 12,5 см. Разстоянието между селищата A и B по въздушен път е 50 км. Определете:
а) разстоянието между селищата A и C по въздушен път;
б) мащаба на картата;
в) разстоянието на картата между селищата C и D, ако разстоянието по въздушен път между C и D е 350 км.
а) разстоянието между селищата A и C по въздушен път;
б) мащаба на картата;
в) разстоянието на картата между селищата C и D, ако разстоянието по въздушен път между C и D е 350 км.
▼
РешениеПърво намираме мащаба.
б) Мащаб: \(\frac{5 \text{ см}}{50 \text{ км}} = \frac{5}{5\,000\,000} = \mathbf{1 : 1\,000\,000}\).
а) \(\frac{5}{12{,}5} = \frac{50}{x} \Rightarrow x = \frac{50 \cdot 12{,}5}{5} = \mathbf{125}\) км.
в) \(d = \frac{350 \text{ км}}{1\,000\,000} = \frac{35\,000\,000 \text{ см}}{1\,000\,000} = \mathbf{35}\) см.
б) Мащаб: \(\frac{5 \text{ см}}{50 \text{ км}} = \frac{5}{5\,000\,000} = \mathbf{1 : 1\,000\,000}\).
а) \(\frac{5}{12{,}5} = \frac{50}{x} \Rightarrow x = \frac{50 \cdot 12{,}5}{5} = \mathbf{125}\) км.
в) \(d = \frac{350 \text{ км}}{1\,000\,000} = \frac{35\,000\,000 \text{ см}}{1\,000\,000} = \mathbf{35}\) см.
19
Метален детайл с обем 600 куб. см има маса 4,8 кг. Парче с какъв обем трябва да се отреже от този детайл, ако останалата част трябва да има маса 3 кг?
▼
РешениеМасата и обемът са правопропорционални.
Маса на отрязваното парче: \(4{,}8 - 3 = 1{,}8\) кг.
\(\frac{600}{4{,}8} = \frac{x}{1{,}8} \Rightarrow x = \frac{600 \cdot 1{,}8}{4{,}8} = \mathbf{225}\) куб. см.
Маса на отрязваното парче: \(4{,}8 - 3 = 1{,}8\) кг.
\(\frac{600}{4{,}8} = \frac{x}{1{,}8} \Rightarrow x = \frac{600 \cdot 1{,}8}{4{,}8} = \mathbf{225}\) куб. см.
20
Семейство от баща, майка и син разпределило сумата от семейния бюджет, предназначена за лични разходи, в отношение 3 : 3 : 1, като синът получил най-малката сума. По колко евро е получил всеки член на семейството, ако за лични разходи е била разпределена сумата 252 евро?
▼
РешениеЧасти: \(3 + 3 + 1 = 7\). Една част: \(\frac{252}{7} = 36\) евро.
Баща: \(3 \cdot 36 = \mathbf{108}\) евро. Майка: \(3 \cdot 36 = \mathbf{108}\) евро. Син: \(1 \cdot 36 = \mathbf{36}\) евро.
Баща: \(3 \cdot 36 = \mathbf{108}\) евро. Майка: \(3 \cdot 36 = \mathbf{108}\) евро. Син: \(1 \cdot 36 = \mathbf{36}\) евро.
⭐ Задачи с повишена трудност
21
Трима автори на сборник си поделили получения хонорар в отношение 3 : 4 : 2, като вторият получил с 1300 евро повече от третия автор. По колко евро е получил всеки от авторите? ⭐ Повишена трудност
▼
РешениеРазликата между втория и третия: \(4 - 2 = 2\) части \(= 1300\) евро.
Една част: \(\frac{1300}{2} = 650\) евро.
Първи: \(3 \cdot 650 = \mathbf{1950}\) евро. Втори: \(4 \cdot 650 = \mathbf{2600}\) евро. Трети: \(2 \cdot 650 = \mathbf{1300}\) евро.
Една част: \(\frac{1300}{2} = 650\) евро.
Първи: \(3 \cdot 650 = \mathbf{1950}\) евро. Втори: \(4 \cdot 650 = \mathbf{2600}\) евро. Трети: \(2 \cdot 650 = \mathbf{1300}\) евро.
22
Изготвена е сплав от мед и калай, взети в тегловно отношение 2 : 5. Към 28 кг от тази сплав са добавени 12 кг чист калай. В какво тегловно отношение ще бъдат медта и калаят в новата сплав? ⭐ Повишена трудност
▼
РешениеВ 28 кг сплав: мед \(= \frac{2}{7} \cdot 28 = 8\) кг, калай \(= \frac{5}{7} \cdot 28 = 20\) кг.
След добавяне на 12 кг калай: мед = 8 кг, калай \(= 20 + 12 = 32\) кг.
Ново отношение: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\), т.е. \(\mathbf{1 : 4}\).
След добавяне на 12 кг калай: мед = 8 кг, калай \(= 20 + 12 = 32\) кг.
Ново отношение: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\), т.е. \(\mathbf{1 : 4}\).
23
За изработване на определен вид детайл в един цех инсталирали автомати с еднаква производителност. Ако 4 автомата за 6 работни дни произвеждат 9000 детайла, колко такива автомата трябва да работят за 4 работни дни, ако е необходимо да се произведат с \(33\frac{1}{3}\%\) повече детайли от това количество? ⭐ Повишена трудност
▼
РешениеНужни детайли: \(9000 + \frac{1}{3} \cdot 9000 = 9000 + 3000 = 12\,000\).
Производителност на 1 автомат за 1 ден: \(\frac{9000}{4 \cdot 6} = 375\) детайла.
За 4 дни 1 автомат произвежда \(375 \cdot 4 = 1500\) детайла.
Брой автомати: \(\frac{12\,000}{1500} = \mathbf{8}\) автомата.
Производителност на 1 автомат за 1 ден: \(\frac{9000}{4 \cdot 6} = 375\) детайла.
За 4 дни 1 автомат произвежда \(375 \cdot 4 = 1500\) детайла.
Брой автомати: \(\frac{12\,000}{1500} = \mathbf{8}\) автомата.
24
Трима работници решили да разпределят помежду си общо заработена сума. Отначало те я разпределили в отношение 5 : 6 : 9, но след обсъждане променили решението си и направили ново разделяне в отношение 2 : 3 : 5. Така един от тях получил с 1 евро повече, отколкото щял да получи преди това. Колко евро е заработената сума и по колко евро е получил всеки работник? ⭐ Повишена трудност
▼
РешениеНека общата сума е \(S\).
Първо разпределяне: \(\frac{5}{20}S,\; \frac{6}{20}S,\; \frac{9}{20}S\), т.е. \(\frac{S}{4},\; \frac{3S}{10},\; \frac{9S}{20}\).
Второ разпределяне: \(\frac{2}{10}S,\; \frac{3}{10}S,\; \frac{5}{10}S\), т.е. \(\frac{S}{5},\; \frac{3S}{10},\; \frac{S}{2}\).
Сравняваме: вторият получава еднакво. Третият получава повече: \(\frac{S}{2} - \frac{9S}{20} = \frac{S}{20} = 1\) евро.
\(S = \mathbf{20}\) евро. Окончателно: \(\mathbf{4}\) евро, \(\mathbf{6}\) евро, \(\mathbf{10}\) евро.
Първо разпределяне: \(\frac{5}{20}S,\; \frac{6}{20}S,\; \frac{9}{20}S\), т.е. \(\frac{S}{4},\; \frac{3S}{10},\; \frac{9S}{20}\).
Второ разпределяне: \(\frac{2}{10}S,\; \frac{3}{10}S,\; \frac{5}{10}S\), т.е. \(\frac{S}{5},\; \frac{3S}{10},\; \frac{S}{2}\).
Сравняваме: вторият получава еднакво. Третият получава повече: \(\frac{S}{2} - \frac{9S}{20} = \frac{S}{20} = 1\) евро.
\(S = \mathbf{20}\) евро. Окончателно: \(\mathbf{4}\) евро, \(\mathbf{6}\) евро, \(\mathbf{10}\) евро.
25
Три момчета набрали 106 гъби. Броят на гъбите на първото момче се отнася към броя на гъбите на второто момче както 5 : 3, а броят на гъбите на второто момче се отнася към броя на гъбите на третото момче както 4 : 7. По колко гъби е набрало всяко от момчетата? ⭐ Повишена трудност
▼
РешениеНека гъбите са \(a, b, c\). Имаме \(\frac{a}{b} = \frac{5}{3}\) и \(\frac{b}{c} = \frac{4}{7}\).
Привеждаме към общ \(b\): \(\frac{a}{b} = \frac{20}{12}\), \(\frac{b}{c} = \frac{12}{21}\). Следователно \(a : b : c = 20 : 12 : 21\).
Сума: \(20 + 12 + 21 = 53\). Една част: \(\frac{106}{53} = 2\).
Първо: \(20 \cdot 2 = \mathbf{40}\). Второ: \(12 \cdot 2 = \mathbf{24}\). Трето: \(21 \cdot 2 = \mathbf{42}\).
Привеждаме към общ \(b\): \(\frac{a}{b} = \frac{20}{12}\), \(\frac{b}{c} = \frac{12}{21}\). Следователно \(a : b : c = 20 : 12 : 21\).
Сума: \(20 + 12 + 21 = 53\). Една част: \(\frac{106}{53} = 2\).
Първо: \(20 \cdot 2 = \mathbf{40}\). Второ: \(12 \cdot 2 = \mathbf{24}\). Трето: \(21 \cdot 2 = \mathbf{42}\).
📝 Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите задачите самостоятелно.
Задача 1В училище за танцово изкуство отношението на броя на момичетата и броя на момчетата е 2 : 1. Момчетата са 42. Колко са всички ученици в училището?
Отг.: 126 ученици.
Отг.: 126 ученици.
Задача 2Лека кола изминава 65 км за 1 час и 6 минути. Ако колата се движи с постоянна скорост, намерете: а) какво разстояние ще измине тя за 11 часа; б) за колко време колата ще измине 325 км.
Отг.: а) 650 км; б) 5 ч 30 мин.
Отг.: а) 650 км; б) 5 ч 30 мин.
Задача 3Един работник изготвя 5 детайла за 6 часа и 15 минути. Ако работникът работи с една и съща производителност, намерете: а) за колко часа ще изготви 16 такива детайла; б) колко детайла може да изготви работникът за 75 часа.
Отг.: а) 20 ч; б) 60 детайла.
Отг.: а) 20 ч; б) 60 детайла.
Задача 4Колко грама спирт и колко грама вода има в 600 г спиртен разтвор, ако тегловното отношение на спирта и водата в разтвора е 3 : 5? Колко грама вода трябва да се добавят към тези 600 г спиртен разтвор, за да се получи разтвор, в който тегловното отношение на спирта и водата да е 1 : 4?
Отг.: 225 г спирт и 375 г вода; трябва да се добавят 525 г вода.
Отг.: 225 г спирт и 375 г вода; трябва да се добавят 525 г вода.
Задача 5Ако масата на дадена сплав, съдържаща злато, е разделена на 24 равни части и \(k\) от тези части се падат на чистото злато, приема се, че златото в тази сплав е \(k\) карата. Сплав от мед и злато с маса 90 г съдържа 36 г чисто злато. Намерете: а) отношението на масата на златото към масата на медта в тази сплав; б) колко процента е съдържанието на злато в сплавта; в) колко карата е златото в сплавта.
Отг.: а) 2 : 3; б) 40%; в) 9,6 карата.
Отг.: а) 2 : 3; б) 40%; в) 9,6 карата.
Задача 6Разделете отсечката \(AB = 16\) см на три части, чиито дължини са съответно пропорционални на числата 3, 7 и 6. Начертайте тези отсечки.
Отг.: 3 см, 7 см, 6 см.
Отг.: 3 см, 7 см, 6 см.
Задача 7На кръговата диаграма е показано съотношението между дължините на сухоземните, речните и морските граници на България. Дължината на речните граници е 686 км, а те са 30,56% от общата дължина. Пресметнете общата дължина на българските граници с точност до 1 км.
Отг.: 2245 км.
Отг.: 2245 км.
Задача 8В една оранжерия има само три вида цветя — рози, гербери и карамфили. Оказало се, че 20% от броя на розите са равни на 25% от броя на герберите и на броя на карамфилите. Ако броят на розите, герберите и карамфилите е съответно \(x\), \(y\) и \(z\), намерете отношението \(x : y : z\).
Отг.: 5 : 4 : 1.
Отг.: 5 : 4 : 1.
Задача 9Сборът на четири числа е 447. Първото число е 5 пъти по-малко от четвъртото, второто се отнася към третото като 4 : 15, а първото се отнася към третото като 3 : 25. Намерете числата.
Отг.: 27, 60, 225, 135.
Отг.: 27, 60, 225, 135.
Задача 10В сплав от мед и сребро съдържанието на среброто е 10%. Колко грама трябва да се вземат от тази сплав, така че в нея да има: а) 40 г сребро; б) 180 г мед?
Отг.: а) 400 г; б) 200 г.
Отг.: а) 400 г; б) 200 г.
Задача 11Моторна лодка изминава в езеро разстоянието между две пристанища A и B, движейки се със скорост 12,5 км/ч, за 3 часа и 12 минути. За колко време лодката ще измине 3 пъти последователно разстоянието между A и B, ако за цялото пътуване са предвидени общо 4 престоя по 20 минути?
Отг.: 10 ч 56 мин.
Отг.: 10 ч 56 мин.
Задача 12Половината от обема на басейн се пълни от една тръба за 2 часа и 50 минути. За колко време от тази тръба ще се напълни обем, равен на: а) \(\frac{3}{4}\) от обема на басейна; б) 40% от обема на басейна?
Отг.: а) 4 ч 15 мин; б) 2 ч 16 мин.
Отг.: а) 4 ч 15 мин; б) 2 ч 16 мин.
Задача 13В един туристически справочник е дадена следната информация за разстоянията от връх Остър: хижа „Роза” е на 11 км, а на картата — 20 см; връх Омая е на 6,6 км; Синьото езеро е на 2,365 км. Намерете мащаба на картата, както и разстоянията върху картата до връх Омая и до Синьото езеро.
Отг.: Мащаб 1 : 55 000. Връх Омая: 12 см; Синьото езеро: 4,3 см.
Отг.: Мащаб 1 : 55 000. Връх Омая: 12 см; Синьото езеро: 4,3 см.
Задача 14Масите на лимон и портокал се отнасят както 1 : 2, а на портокал и грейпфрут — както 6 : 11. Грейпфрутът е с 320 г по-тежък от лимона. Каква е масата на портокала?
Отг.: 240 г.
Отг.: 240 г.
Задача 15Нека \(a, b, c\) и \(d\) са естествени числа, такива, че \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{d}{5}\) и \(a \cdot b \cdot c \cdot d = 1920\). Намерете числата \(a, b, c\) и \(d\).
Отг.: \(a = 4,\; b = 6,\; c = 8,\; d = 10\).
Отг.: \(a = 4,\; b = 6,\; c = 8,\; d = 10\).
Задача 16Една сплав съдържа мед, цинк, олово и желязо. Отношението на медта към желязото е 2 : 3, на оловото към цинка е 5 : 6 и медта е два пъти повече от цинка. Колко грама олово има в 1,230 кг от тази сплав?
Отг.: 150 г олово.
Отг.: 150 г олово.
Задача 17За боядисването на стена с площ 24 кв. м се изразходват 5 кг боя и се заплащат 16,80 евро за работа. а) Колко квадратни метра могат да се боядисат със 7 кг боя и каква сума трябва да се заплати? б) Ако за боядисването е заплатена сумата 25,20 евро, колко квадратни метра стена са боядисани и какъв е разходът на боя?
Отг.: а) 33,6 кв. м и 23,52 евро; б) 36 кв. м и 7,5 кг боя.
Отг.: а) 33,6 кв. м и 23,52 евро; б) 36 кв. м и 7,5 кг боя.
Задача 18Три момчета набрали 106 гъби. Броят на гъбите на първото момче се отнася към броя на гъбите на второто момче както 5 : 3, а броят на гъбите на второто момче се отнася към броя на гъбите на третото момче както 4 : 7. По колко гъби е набрало всяко от момчетата?
Отг.: 40, 24, 42.
Отг.: 40, 24, 42.
Задача 19Село Желява има 544 жители. Отношението на броя на децата, мъжете и жените е 8 : 11 : 13. С колко жените в селото са повече от мъжете?
Отг.: с 34.
Отг.: с 34.
Задача 20Обиколката на четириъгълник е 75 см. Намерете страните му, ако една от тях е 16% от обиколката му, а останалите са в отношение 1 : 3 : 5.
Отг.: 12 см; 7 см, 21 см, 35 см.
Отг.: 12 см; 7 см, 21 см, 35 см.
Задача 21Средногодишните температури в пустиня, на индонезийски остров и в европейска държава се отнасят както 3 : 4 : 6. Разликата между средногодишните температури в европейската държава и в пустинята е 21°C. Колко е средногодишната температура на индонезийския остров?
Отг.: 28°C.
Отг.: 28°C.
Задача 22Трима братя решили да си разделят количките от своята колекция в отношение 3 : 4 : 6, но най-големият не се съгласил и ги разделили в отношение 2 : 3 : 5. При новото разделяне се оказало, че най-големият брат взел с 10 колички повече, отколкото би взел първия път. Колко са общо количките в колекцията и по колко колички е получил всеки брат, ако най-малкият е получил най-малко колички?
Отг.: 260 общо; 52, 78, 130.
Отг.: 260 общо; 52, 78, 130.
Задача 23Обемът на правоъгълен паралелепипед е 1080 куб. см, а дължините на ръбовете му се отнасят като 2 : 4 : 5. Намерете лицето на повърхнината му.
Отг.: 684 кв. см.
Отг.: 684 кв. см.
Задача 24Отношението на дължините на страните на четириъгълник е 2 : 3 : 5 : 6. Намерете обиколката на четириъгълника, ако разликата между най-дългата и най-късата страна е 6 см.
Отг.: 24 см.
Отг.: 24 см.
Задача 25В една книжарница три различни книги се продавали на една и съща цена. Заради интереса на купувачите собственикът променил цените по следния начин: цената на първата книга била намалена с 40%, на втората — увеличена с 20%, а на третата — намалена с \(\frac{3}{20}\) от първоначалната си стойност. Намерете отношението на новите цени на трите книги.
Отг.: 12 : 24 : 17.
Отг.: 12 : 24 : 17.
Задача 26За изработване на определен вид детайл в един цех инсталирали автомати с еднаква производителност. Ако 4 автомата за 6 работни дни произвеждат 9000 детайла, колко такива автомата трябва да работят за 4 работни дни, ако е необходимо да се произведат с \(33\frac{1}{3}\%\) повече детайли от това количество?
Отг.: 8 автомата.
Отг.: 8 автомата.
Задача 27При нови цени Галя си купила по една от трите книги и платила 15,90 евро. Каква е цената на всяка от книгите? (Използвайте отношението от задача 25.)
Отг.: 3,60 евро; 7,20 евро; 5,10 евро.
Отг.: 3,60 евро; 7,20 евро; 5,10 евро.
Задача 28Учените смятат, че отровните са 15% от всички видове змии, съществуващи на Земята. Останалите видове не са отровни. Ако общият брой видове змии е 3400, колко са отровните и колко — неотровните?
Отг.: 510 отровни; 2890 неотровни.
Отг.: 510 отровни; 2890 неотровни.
Задача 29От един тон руда се получават средно 80 кг чисто желязо. Намерете: а) колко тона руда трябва да се преработят за добиването на 1 тон чисто желязо; б) отношението между количествата на желязото и останалите съставки в тази руда.
Отг.: а) 12,5 т; б) 2 : 23.
Отг.: а) 12,5 т; б) 2 : 23.
Задача 30Сплав е съставена от желязо и цинк, взети в тегловно отношение 11 : 14. Определете процентното съдържание на желязо в тази сплав.
Отг.: 44%.
Отг.: 44%.
✅ Онлайн тест
Приложение на пропорциите — тест
15 въпроса × 4 точки = 60 точки • ≥50→6 • ≥40→5 • ≥30→4 • ≥15→3
1На карта с мащаб 1 : 50 000 разстоянието между два обекта е 4 см. Какво е действителното разстояние?
2В сплав медта и калаят са в тегловно отношение 3 : 2. Колко кг мед има в 50 кг от сплавта?
3Числото 120 е разпределено в отношение 2 : 3 : 5. Най-голямата част е:
4Ако \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5}\), то \(\frac{a}{b}\) е равно на:
5Колко процента е 27 от 90?
6Сплав съдържа 40% никел. Колко кг никел има в 250 кг от сплавта?
7Отношението на момичетата и момчетата в клас е 3 : 4. Ако момчетата са 16, колко са момичетата?
8Летва с дължина 100 см е разрязана на три части в отношение 2 : 3 : 5. Най-късата част е:
9Ако \(b\) е 25% от \(a\), то \(\frac{a}{b}\) е равно на:
10За изминаването на 80 км кола изразходва 6 л бензин. Колко литра ще изразходва за 200 км?
11Бронзова статуя с маса 600 кг е от мед и калай в отношение 5 : 1. Колко кг калай съдържа?
12Инженер чертае план с мащаб 1 : 500. Действително разстояние от 15 м ще бъде на плана:
13Сумата 180 евро е разпределена между двама души в отношение 4 : 5. По-голямата част е:
14Тегловното отношение на захарта и водата в разтвор е 1 : 8. Колко грама захар има в 450 г разтвор?
15Ако \(5a = 45b\), то \(\frac{a}{b}\) е равно на:
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
▶
Права и обратна пропорционалност
Определения, свойства, графики — 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и онлайн тест.
Прочети →
▶
Всички уроци по математика
Пълен каталог с всички разработени уроци, задачи и тестове за 5.–12. клас.
Вижте всички →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити
- ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал
- ›Математически анализ, Линейна алгебра, Теория на вероятностите, Статистика
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар