Умножение и деление на рационални числа
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Рационални числа › Умножение и деление
Умножение и деление
на рационални числа
Правила за знаците, свойства на умножението и делението, разпределително свойство, опростяване на изрази — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа и онлайн тест за 6. клас
В предишните уроци научихме как се събират и изваждат рационални числа. Сега ще разгледаме умножението и делението — двете действия, при които трябва внимателно да следим знаците на числата. Ще научим свойствата на умножението, разпределителното свойство и как да опростяваме алгебрични изрази.
✕ Умножение на рационални числа
Правило за знаците при умножение. Ако \(a\) и \(b\) са рационални числа:
\[a \cdot b = \begin{cases} |a|\cdot|b|, & \text{ако } a \text{ и } b \text{ са с еднакви знаци} \\ -|a|\cdot|b|, & \text{ако } a \text{ и } b \text{ са с различни знаци.}\end{cases}\]
Примери: \(5\cdot4=20\); \((-5)\cdot(-4)=20\); \((-5)\cdot4=-20\); \(5\cdot(-4)=-20\).
Знак на произведение от много множители. Произведението е положително, ако броят на отрицателните множители е четен, и отрицателно, ако е нечетен. Нула в произведението дава нула.
📋 Свойства на умножението
1. Разместително (комутативно): \(a\cdot b = b\cdot a\)
2. Съдружително (асоциативно): \(a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c\)
3. Разпределително (дистрибутивно): \((a\pm b)\cdot c = a\cdot c \pm b\cdot c\)
4. \(1\cdot a = a\cdot 1 = a\)
5. \((-1)\cdot a = a\cdot(-1) = -a\)
6. \(0\cdot a = a\cdot 0 = 0\)
2. Съдружително (асоциативно): \(a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c\)
3. Разпределително (дистрибутивно): \((a\pm b)\cdot c = a\cdot c \pm b\cdot c\)
4. \(1\cdot a = a\cdot 1 = a\)
5. \((-1)\cdot a = a\cdot(-1) = -a\)
6. \(0\cdot a = a\cdot 0 = 0\)
➗ Деление на рационални числа
Правило за знаците при деление. Ако \(a\) и \(b\) са рационални числа и \(b\neq0\):
\[a : b = a\cdot\frac{1}{b} = \frac{a}{b} = \begin{cases} \dfrac{|a|}{|b|}, & \text{ако } a \text{ и } b \text{ са с еднакви знаци} \\[6pt] -\dfrac{|a|}{|b|}, & \text{ако } a \text{ и } b \text{ са с различни знаци.}\end{cases}\]
Освен това: \(-(a:b)=(-a):b=a:(-b)\) и \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\).
Свойства на делението:
1. \(a:1=a\) 2. \(a:(-1)=-a\) 3. \(a:a=1\) и \(a\cdot\tfrac{1}{a}=1\) (\(a\neq0\)) 4. \(0:a=0\) (\(a\neq0\))
5. На 0 не се дели. 6. Разпределително: \((a\pm b):c = a:c\pm b:c\) (\(c\neq0\))
1. \(a:1=a\) 2. \(a:(-1)=-a\) 3. \(a:a=1\) и \(a\cdot\tfrac{1}{a}=1\) (\(a\neq0\)) 4. \(0:a=0\) (\(a\neq0\))
5. На 0 не се дели. 6. Разпределително: \((a\pm b):c = a:c\pm b:c\) (\(c\neq0\))
🔢 Опростяване на изрази
Изнасяне на общ множител извън скоби (обратно на разпределителното свойство):
\[2x - 9x + 3x = (2-9+3)x = -4x\]
\[7a + a = (7+1)a = 8a\]
\[-2{,}5b - b - 3{,}5b = (-2{,}5-1-3{,}5)b = -7b\]
Разкриване на скоби с умножение:
\[5(x+7a) = 5x + 35a\]
\[-3(5-2a) = -15+6a\]
\[-\tfrac{2}{3}(3x-6a+1) = -2x+4a-\tfrac{2}{3}\]
Най-чести грешки — внимавайте!
- \((-5)\cdot(-4)=20\) (не \(-20\)) — минус по минус дава плюс.
- \((-1)\cdot a = -a\), т.е. умножението по \(-1\) обръща знака.
- При изнасяне на общ множител — всеки член се дели по него.
- \(13a - 7a + 7 = 6a + 7\) — членът \(7\) не съдържа \(a\) и не може да се събере с \(6a\).
✍️ Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.
1
Пресметнете: а) \((-7)\cdot5\); б) \((-9)\cdot(-8)\); в) \((-1)\cdot(-25)\); г) \(-15\cdot6\).
▼
Решение
Прилагаме правилото за знаците: еднакви знаци → плюс, различни → минус.
\[\text{а) }(-7)\cdot5=-35;\quad\text{б) }(-9)\cdot(-8)=72;\quad\text{в) }(-1)\cdot(-25)=25;\quad\text{г) }-15\cdot6=-90.\;\blacksquare\]2
Пресметнете: а) \((-0{,}5)\cdot1{,}2\); б) \(-3{,}5\cdot(-0{,}4)\); в) \(0{,}35\cdot(-400)\).
▼
Решение
\[\text{а) }(-0{,}5)\cdot1{,}2=-0{,}6;\quad\text{б) }(-3{,}5)\cdot(-0{,}4)=1{,}4;\quad\text{в) }0{,}35\cdot(-400)=-140.\;\blacksquare\]
3
Пресметнете произведението на обикновените дроби: а) \(-\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{5}{14}\); б) \(-\dfrac{12}{25}\cdot\left(-\dfrac{15}{16}\right)\); в) \(-2\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{11}\).
▼
Решение
\[\text{а) }-\frac{2}{15}\cdot\frac{5}{14}=-\frac{10}{210}=-\frac{1}{21}.\]
\[\text{б) }-\frac{12}{25}\cdot\left(-\frac{15}{16}\right)=+\frac{180}{400}=\frac{9}{20}.\]
\[\text{в) }-\frac{11}{4}\cdot\frac{8}{11}=-\frac{88}{44}=-2.\;\blacksquare\]
4
Пресметнете произведението: а) \((-2)\cdot(-5)\cdot(-3)\); б) \(12\cdot(-5)\cdot(-7)\); в) \((-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-7)\).
▼
Решение
Определяме знака: броим отрицателните множители.
а) 3 отрицателни (нечетен брой) → резултатът е отрицателен: \((-2)\cdot(-5)\cdot(-3)=-(2\cdot5\cdot3)=-30\).
б) 2 отрицателни (четен брой) → положителен: \(12\cdot(-5)\cdot(-7)=12\cdot35=420\).
в) 4 отрицателни → положителен: \(1\cdot2\cdot3\cdot7=42.\quad\blacksquare\)
5
Пресметнете по рационален начин: а) \((-4)\cdot21\cdot(-25)\); б) \(2\cdot(-7{,}31)\cdot(-50)\).
▼
Решение
Групираме удобни множители.
\[\text{а) }(-4)\cdot(-25)\cdot21=100\cdot21=2100.\] \[\text{б) }2\cdot(-50)\cdot(-7{,}31)=100\cdot7{,}31=731.\;\blacksquare\]6
Намерете пропуснатото число: а) \(-9\cdot\square=-81\); б) \(\square\cdot(-3)=42\); в) \(-6\cdot\square=48\).
▼
Решение
Делим произведението на известния множител.
\[\text{а) }\square=(-81):(-9)=9;\quad\text{б) }\square=42:(-3)=-14;\quad\text{в) }\square=48:(-6)=-8.\;\blacksquare\]7
Извършете делението: а) \(48:(-6)\); б) \(-102:6\); в) \(-209:(-19)\); г) \(0:(-35)\).
▼
Решение
\[\text{а) }-8;\quad\text{б) }-17;\quad\text{в) }11;\quad\text{г) }0.\;\blacksquare\]
8
Пресметнете: а) \(8{,}5:(-10)\); б) \(-32:(-0{,}05)\); в) \(\dfrac{8}{15}:\left(-\dfrac{4}{25}\right)\).
▼
Решение
\[\text{а) }8{,}5:(-10)=-0{,}85.\]
\[\text{б) }-32:(-0{,}05)=32:0{,}05=640.\]
\[\text{в) }\frac{8}{15}\cdot\left(-\frac{25}{4}\right)=-\frac{200}{60}=-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3}.\;\blacksquare\]
9
Като приложите разпределителното свойство, пресметнете по два начина: а) \((1276-276)\cdot(-5)\); б) \(92\cdot(-17)+8\cdot(-17)\).
▼
Решение
а) Начин 1 (пресмятаме скобата): \(1000\cdot(-5)=-5000\).
Начин 2 (разпределително): \(1276\cdot(-5)-276\cdot(-5)=-6380+1380=-5000\). ✓
б) Начин 1 (изнасяме \(-17\)): \((92+8)\cdot(-17)=100\cdot(-17)=-1700\).
Начин 2 (директно): \(-1564+(-136)=-1700\). ✓\(\blacksquare\)
10
Пресметнете по рационален начин: а) \(46\cdot(-219)+54\cdot(-219)\); б) \(0{,}8\cdot55{,}28-0{,}8\cdot65{,}28\).
▼
Решение
\[\text{а) }(46+54)\cdot(-219)=100\cdot(-219)=-21\,900.\]
\[\text{б) }0{,}8\cdot(55{,}28-65{,}28)=0{,}8\cdot(-10)=-8.\;\blacksquare\]
11
Опростете произведението: а) \(5\cdot(-1)\cdot x\); б) \(-\dfrac{2}{7}\cdot(-7)\cdot a\); в) \(-4\cdot\left(-3\dfrac{1}{4}\right)\cdot y\).
▼
Решение
\[\text{а) }5\cdot(-1)\cdot x=-5x.\]
\[\text{б) }-\frac{2}{7}\cdot(-7)\cdot a=2a.\]
\[\text{в) }-4\cdot\left(-\frac{13}{4}\right)\cdot y=13y.\;\blacksquare\]
12
Като приложите разпределителното свойство, разкрийте скобите: а) \(5(8-x)\); б) \(-2(x-0{,}5)\); в) \(-3(-x+2a+1)\); г) \(0{,}8(5a+10b-2)\).
▼
Решение
\[\text{а) }40-5x;\quad\text{б) }-2x+1;\quad\text{в) }3x-6a-3;\quad\text{г) }4a+8b-1{,}6.\;\blacksquare\]
13
Опростете израза чрез изнасяне на общ множител извън скоби: а) \(12x+9x\); б) \(30a-51a\); в) \(6x-2x+x\); г) \(-19x-x+10x\).
▼
Решение
\[\text{а) }(12+9)x=21x;\quad\text{б) }(30-51)a=-21a;\quad\text{в) }(6-2+1)x=5x;\quad\text{г) }(-19-1+10)x=-10x.\;\blacksquare\]
14
Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите: а) \(-7a+9a+a-7a\), ако \(a=-2{,}5\); б) \(2x-3x-(5x-4x)\), ако \(x=3\dfrac{1}{2}\).
▼
Решение
а) Опростяваме: \(-7a+9a+a-7a=(-7+9+1-7)a=-4a\). При \(a=-2{,}5\): \(-4\cdot(-2{,}5)=10\).
б) Опростяваме: \(2x-3x-(5x-4x)=2x-3x-x=-2x\). При \(x=3\tfrac{1}{2}\): \(-2\cdot\tfrac{7}{2}=-7\).\(\blacksquare\)
15
Пресметнете: а) \(40-8\cdot(-7)\); б) \(-9\cdot11+5\cdot(-3)\); в) \(7+3^2\cdot(-5)\); г) \(6-2\cdot(-15)-11\).
▼
Решение
Спазваме реда на действията: степенуване → умножение → събиране/изваждане.
\[\text{а) }40-(-56)=40+56=96.\] \[\text{б) }-99+(-15)=-114.\] \[\text{в) }7+9\cdot(-5)=7-45=-38.\] \[\text{г) }6+30-11=25.\;\blacksquare\]16
Намерете стойността на израза: а) \(9a-15b+27c\), ако \(3a-5b+9c=-8\); б) \(15x-45wz-60w\), ако \(x-3wz-4w=-28\).
▼
Решение
а) Забелязваме: \(9a-15b+27c=3\cdot(3a-5b+9c)=3\cdot(-8)=-24\).
б) \(15x-45wz-60w=15(x-3wz-4w)=15\cdot(-28)=-420\).\(\blacksquare\)
17
Като приложите разпределителното свойство на делението, пресметнете по два начина: а) \((-32+24):(-8)\); б) \(185:25-285:25\).
▼
Решение
а) Начин 1: \((-8):(-8)=1\). Начин 2: \((-32):(-8)+(24):(-8)=4+(-3)=1\). ✓
б) Начин 1: \((185-285):25=(-100):25=-4\). Начин 2: \(185:25-285:25=7{,}4-11{,}4=-4\). ✓\(\blacksquare\)
18
Пресметнете рационално: а) \(-452\dfrac{17}{28}:7\dfrac{5}{8}+574\dfrac{17}{28}:7\dfrac{5}{8}\); б) \(25\cdot11-25\cdot8+25\).
▼
Решение
\[\text{а) }\left(-452\tfrac{17}{28}+574\tfrac{17}{28}\right):\left(7\tfrac{5}{8}\right)=122:\left(7\tfrac{5}{8}\right)=122:\tfrac{61}{8}=122\cdot\tfrac{8}{61}=16.\]
\[\text{б) }25\cdot(11-8+1)=25\cdot4=100.\;\blacksquare\]
19
Намерете \(\dfrac{3}{5}\) от \(-105\) и \(25\%\) от \(-436\).
▼
Решение
\[\frac{3}{5}\cdot(-105)=-63.\]
\[25\%\cdot(-436)=\frac{25}{100}\cdot(-436)=\frac{1}{4}\cdot(-436)=-109.\;\blacksquare\]
20
Без да извършвате действията, поставете знак \(<\), \(>\) или \(=\): а) \(-5\cdot9\cdot7\cdot(-1)\cdot(-35)\cdot52\;\square\;0\); б) \(732\cdot(-256)\cdot(-348)\;\square\;-1253\).
▼
Решение
а) Броим отрицателните множители: \(-5, -1, -35\) — три отрицателни (нечетен брой) → произведението е отрицателно → \(\lt 0\).
б) Два отрицателни множителя → произведението е положително → \(732\cdot(-256)\cdot(-348)\gt 0 \gt -1253\), т.е. \(\gt -1253\).\(\blacksquare\)
⭐ Задачи с повишена трудност
Задачите по-долу изискват комбиниране на няколко умения наведнъж.
21
Пресметнете: \(\dfrac{2}{5}\cdot\left(-\dfrac{5}{8}\right)\cdot\dfrac{8}{11}\cdot\left(-\dfrac{11}{14}\right)\). ⭐ трудна
▼
Решение
Два отрицателни множителя → резултатът е положителен. Съкращаваме последователно:
\[\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{11}\cdot\frac{11}{14}=\frac{2\cdot5\cdot8\cdot11}{5\cdot8\cdot11\cdot14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.\;\blacksquare\]22
Пресметнете: \(\left(-\dfrac{4}{7}\right)\cdot\left(-\dfrac{21}{25}\right)\cdot\left(-\dfrac{35}{36}\right)\). ⭐ трудна
▼
Решение
Три отрицателни множителя → резултатът е отрицателен. Съкращаваме последователно: \(\tfrac{4}{7}\cdot\tfrac{21}{25}=\tfrac{12}{25}\), след това \(\tfrac{12}{25}\cdot\tfrac{35}{36}=\tfrac{7}{15}\). Резултат: \(-\tfrac{7}{15}\).\(\blacksquare\)
23
Опростете израза и пресметнете стойността му: \(A=(9-(x+a))-(1-(x-(3-a)))+7(-2x-3)\), ако \(a=-5762{,}5\) и \(x=\dfrac{|(-5)(-2)+2|}{|-3(10-3)(-2)|}\). ⭐ трудна
▼
Решение
Намираме \(x\): Числител: \(|(-5)(-2)+2|=|10+2|=12\). Знаменател: \(|-3\cdot7\cdot(-2)|=|42|=42\). Следователно \(x=\tfrac{12}{42}=\tfrac{2}{7}\).
Опростяваме \(A\):
\[A=9-x-a-1+x-(3-a)+7(-2x-3).\] \[=9-x-a-1+x-3+a-14x-21.\]Буквите \(x\): \(-x+x-14x=-14x\). Буквите \(a\): \(-a+a=0\). Числата: \(9-1-3-21=-16\).
\[A=-14x-16=-14\cdot\tfrac{2}{7}-16=-4-16=-20.\;\blacksquare\]24
Пресметнете рационално: \(\left(3541\dfrac{51}{173}\right)\cdot(-3{,}8)+\left(3531\dfrac{51}{173}\right)\cdot3{,}8\). ⭐ трудна
▼
Решение
Изнасяме \(3{,}8\) пред скоби, като отбелязваме, че \(-3{,}8=-(3{,}8)\):
\[\left(3541\tfrac{51}{173}\right)\cdot(-3{,}8)+\left(3531\tfrac{51}{173}\right)\cdot3{,}8 = 3{,}8\cdot\left(-3541\tfrac{51}{173}+3531\tfrac{51}{173}\right).\] \[= 3{,}8\cdot(-10)=-38.\;\blacksquare\]25
Пресметнете: \(500\cdot\left(-\dfrac{111}{125}+\dfrac{202}{250}-\dfrac{9}{500}\right)\). ⭐ трудна
▼
Решение
Умножаваме всяко събираемо по 500:
\[500\cdot\left(-\frac{111}{125}\right)+500\cdot\frac{202}{250}+500\cdot\left(-\frac{9}{500}\right).\] \[=-\frac{500\cdot111}{125}+\frac{500\cdot202}{250}-9=-4\cdot111+2\cdot202-9.\] \[=-444+404-9=-49.\;\blacksquare\]📝 Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите задачите самостоятелно.
Задача 1Пресметнете: а) \(-9\cdot8\); б) \(-9\cdot(-8)\); в) \(9\cdot(-8)\).
Отг.: а) \(-72\); б) \(72\); в) \(-72\).
Отг.: а) \(-72\); б) \(72\); в) \(-72\).
Задача 2Пресметнете: а) \(-15\cdot(-6)\); б) \(15\cdot(-6)\); в) \(-15\cdot6\).
Отг.: а) \(90\); б) \(-90\); в) \(-90\).
Отг.: а) \(90\); б) \(-90\); в) \(-90\).
Задача 3Пресметнете: а) \(-0{,}5\cdot1{,}2\); б) \(-0{,}5\cdot(-12)\); в) \(0{,}5\cdot(-0{,}12)\).
Отг.: а) \(-0{,}6\); б) \(6\); в) \(-0{,}06\).
Отг.: а) \(-0{,}6\); б) \(6\); в) \(-0{,}06\).
Задача 4Намерете произведението на обикновените дроби: а) \(-\dfrac{9}{16}\cdot\left(-1\dfrac{7}{9}\right)\); б) \(3\dfrac{3}{5}\cdot\left(-2\dfrac{2}{9}\right)\).
Отг.: а) \(1\); б) \(-8\).
Отг.: а) \(1\); б) \(-8\).
Задача 5Пресметнете произведението: а) \((-2{,}5)\cdot(-3{,}2)\cdot(-4)\); б) \((-1)\cdot(-29{,}7)\cdot(-10)\).
Отг.: а) \(-32\); б) \(-297\).
Отг.: а) \(-32\); б) \(-297\).
Задача 6Пресметнете по рационален начин: а) \(1\dfrac{7}{8}\cdot17{,}5\cdot\left(-\dfrac{8}{15}\right)\); б) \(\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{15}{2}\right)\cdot\dfrac{8}{11}\cdot\left(-\dfrac{11}{14}\right)\).
Отг.: а) \(-\tfrac{35}{2}=-17{,}5\); б) \(\tfrac{18}{7}=2\tfrac{4}{7}\).
Отг.: а) \(-\tfrac{35}{2}=-17{,}5\); б) \(\tfrac{18}{7}=2\tfrac{4}{7}\).
Задача 7Намерете пропуснатото число: а) \(-15\cdot\square=-75\); б) \(\square\cdot(-11)=121\); в) \(-25\cdot\square=150\).
Отг.: а) \(5\); б) \(-11\); в) \(-6\).
Отг.: а) \(5\); б) \(-11\); в) \(-6\).
Задача 8Извършете делението: а) \(-102:6\); б) \((+16):(-8)\); в) \(-171:300\); г) \(-100:(-3{,}3)\).
Отг.: а) \(-17\); б) \(-2\); в) \(-0{,}57\); г) \(30\tfrac{10}{33}\).
Отг.: а) \(-17\); б) \(-2\); в) \(-0{,}57\); г) \(30\tfrac{10}{33}\).
Задача 9Пресметнете: а) \(156:(-6{,}5)\); б) \(-5\dfrac{1}{4}:\left(-5\dfrac{1}{4}\right)\); в) \(2\dfrac{2}{5}:\left(-1\dfrac{1}{15}\right)\).
Отг.: а) \(-24\); б) \(1\); в) \(-\tfrac{9}{4}=-2{,}25\).
Отг.: а) \(-24\); б) \(1\); в) \(-\tfrac{9}{4}=-2{,}25\).
Задача 10Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{5}{9}\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right)\cdot\dfrac{18}{25}\); б) \(\left(9\dfrac{3}{4}:\left(-6\dfrac{1}{2}\right)\right)\cdot(-8)\).
Отг.: а) \(-\tfrac{3}{10}\); б) \(12\).
Отг.: а) \(-\tfrac{3}{10}\); б) \(12\).
Задача 11Пресметнете: а) \(364:(-14)+96:(-6)\); б) \(-22{,}02:2-3+33:(-3)\).
Отг.: а) \(-26-16=-42\); б) \(-11{,}01-3-11=-25{,}01\).
Отг.: а) \(-26-16=-42\); б) \(-11{,}01-3-11=-25{,}01\).
Задача 12Като приложите разпределителното свойство, пресметнете по два начина: а) \((-360-420):60\); б) \((-75-25):(-5)\).
Отг.: а) \(-13\); б) \(20\).
Отг.: а) \(-13\); б) \(20\).
Задача 13Пресметнете по рационален начин: а) \(-652:75+201:75+149:(-75)\); б) \((-0{,}7+1{,}2-0{,}9):\left(-\dfrac{1}{10}\right)\).
Отг.: а) \((-652+201-149):75=\tfrac{-600}{75}=-8\); б) \(-\tfrac{4}{10}\cdot(-10)=4\).
Отг.: а) \((-652+201-149):75=\tfrac{-600}{75}=-8\); б) \(-\tfrac{4}{10}\cdot(-10)=4\).
Задача 14Опростете произведението: а) \((-8a)\cdot3\); б) \((-0{,}25)\cdot(4y)\); в) \((-10)\cdot(-1{,}9)\cdot x\cdot(-1)\).
Отг.: а) \(-24a\); б) \(-y\); в) \(-19x\).
Отг.: а) \(-24a\); б) \(-y\); в) \(-19x\).
Задача 15Разкрийте скобите: а) \(3(5x-2)\); б) \(-3(-x+2a+1)\); в) \(\left(12x-18y+6\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)\).
Отг.: а) \(15x-6\); б) \(3x-6a-3\); в) \(-2x+3y-1\).
Отг.: а) \(15x-6\); б) \(3x-6a-3\); в) \(-2x+3y-1\).
Задача 16Опростете: а) \(7{,}2x-3{,}5x-1{,}2x-0{,}5x\); б) \(6y-3y-22y+y+17y\).
Отг.: а) \(2x\); б) \(-y\).
Отг.: а) \(2x\); б) \(-y\).
Задача 17Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите: а) \((-7b-5b+15b)\cdot\left(-11\dfrac{2}{3}\right)\), ако \(b=-\dfrac{1}{7}\); б) \(-3\cdot(-2x)+\dfrac{4}{5}\cdot(-15x)-(-5x)\), ако \(x=-12345\).
Отг.: а) \((-7-5+15)b=3b\); при \(b=-\tfrac{1}{7}\): \(3\cdot(-\tfrac{1}{7})=-\tfrac{3}{7}\); после \(-\tfrac{3}{7}\cdot(-11\tfrac{2}{3})=-\tfrac{3}{7}\cdot(-\tfrac{35}{3})=5\); б) \(6x-12x+5x=-x=12345\).
Отг.: а) \((-7-5+15)b=3b\); при \(b=-\tfrac{1}{7}\): \(3\cdot(-\tfrac{1}{7})=-\tfrac{3}{7}\); после \(-\tfrac{3}{7}\cdot(-11\tfrac{2}{3})=-\tfrac{3}{7}\cdot(-\tfrac{35}{3})=5\); б) \(6x-12x+5x=-x=12345\).
Задача 18Без да извършвате действията, поставете знак: а) \((-25{,}3)\cdot(-31{,}8)\cdot0\cdot(-9)\;\square\;4\tfrac{1}{9}\cdot\left(-29\tfrac{1}{4}\right)\); б) \(-17-18-19-20\;\square\;(-1{,}7)\cdot(-1{,}8)\cdot(-1{,}9)\cdot(-2)\).
Отг.: а) \((-25{,}3)\cdot(-31{,}8)\cdot0\cdot(-9)=0\gt4\tfrac{1}{9}\cdot(-29\tfrac{1}{4})\) → знак \(\gt\); б) лява \(-74\), дясна \(\gt0\) → знак \(\lt\).
Отг.: а) \((-25{,}3)\cdot(-31{,}8)\cdot0\cdot(-9)=0\gt4\tfrac{1}{9}\cdot(-29\tfrac{1}{4})\) → знак \(\gt\); б) лява \(-74\), дясна \(\gt0\) → знак \(\lt\).
Задача 19Намерете \(40\%\) от \(-250\) и \(35\%\) от \(-340\).
Отг.: \(-100\) и \(-119\).
Отг.: \(-100\) и \(-119\).
Задача 20Пресметнете стойността на израза: а) \(4\cdot(3{,}2-5)-3{,}2\cdot4\); б) \(-2{,}5\cdot1{,}8-1{,}8\cdot(7-2{,}5)\).
Отг.: а) \(4\cdot3{,}2-20-3{,}2\cdot4=-20\); б) \(-1{,}8\cdot(2{,}5+7-2{,}5)=-1{,}8\cdot7=-12{,}6\).
Отг.: а) \(4\cdot3{,}2-20-3{,}2\cdot4=-20\); б) \(-1{,}8\cdot(2{,}5+7-2{,}5)=-1{,}8\cdot7=-12{,}6\).
Задача 21В редицата \(1,-2,4,\ldots\) всяко следващо число се получава от предходното с умножаване по \(-2\). а) Намерете следващите две числа. б) Кое е десетото число?
Отг.: а) \(-8\) и \(16\); б) \(1\cdot(-2)^9=-512\).
Отг.: а) \(-8\) и \(16\); б) \(1\cdot(-2)^9=-512\).
Задача 22Определете знака на множителя \(a\), ако: а) \(5a\gt0\); б) \(-12a\gt0\); в) \(-5{,}72a\lt0\); г) \(-9a\cdot(-6)\lt0\).
Отг.: а) \(a\gt0\); б) \(a\lt0\); в) \(a\gt0\); г) \(54a\lt0\Rightarrow a\lt0\).
Отг.: а) \(a\gt0\); б) \(a\lt0\); в) \(a\gt0\); г) \(54a\lt0\Rightarrow a\lt0\).
Задача 23При какви стойности на рационалните числа \(a\) и \(b\) е вярно: а) \(ab=0\); б) \(ab\gt0\); в) \(ab\lt0\)?
Отг.: а) поне едно е 0; б) еднакви знаци; в) различни знаци.
Отг.: а) поне едно е 0; б) еднакви знаци; в) различни знаци.
Задача 24Намерете произведението на всички цели числа \(a\), за които е изпълнено \(2\leq|a|\lt5\).
Отг.: Числата са \(-4,-3,-2,2,3,4\). Произведение: \((-4)\cdot(-3)\cdot(-2)\cdot2\cdot3\cdot4=-(4\cdot3\cdot2)^2=-576\).
Отг.: Числата са \(-4,-3,-2,2,3,4\). Произведение: \((-4)\cdot(-3)\cdot(-2)\cdot2\cdot3\cdot4=-(4\cdot3\cdot2)^2=-576\).
Задача 25Умножете най-малкото и най-голямото от целите числа, чиято абсолютна стойност е по-малка от \(5{,}2\).
Отг.: Числата са \(-5,-4,\ldots,5\). Най-малко: \(-5\), най-голямо: \(5\). Произведение: \(-25\).
Отг.: Числата са \(-5,-4,\ldots,5\). Най-малко: \(-5\), най-голямо: \(5\). Произведение: \(-25\).
Задача 26Пресметнете рационално: \(\dfrac{4}{27}\cdot\dfrac{7}{13}-\dfrac{15}{26}\cdot\dfrac{4}{27}-\dfrac{4}{27}\).
Отг.: \(\tfrac{4}{27}\cdot\left(\tfrac{7}{13}-\tfrac{15}{26}-1\right)=\tfrac{4}{27}\cdot\left(\tfrac{14}{26}-\tfrac{15}{26}-\tfrac{26}{26}\right)=\tfrac{4}{27}\cdot\left(-\tfrac{27}{26}\right)=-\tfrac{4}{26}=-\tfrac{2}{13}\).
Отг.: \(\tfrac{4}{27}\cdot\left(\tfrac{7}{13}-\tfrac{15}{26}-1\right)=\tfrac{4}{27}\cdot\left(\tfrac{14}{26}-\tfrac{15}{26}-\tfrac{26}{26}\right)=\tfrac{4}{27}\cdot\left(-\tfrac{27}{26}\right)=-\tfrac{4}{26}=-\tfrac{2}{13}\).
Задача 27Пресметнете: \(\left(-\dfrac{1}{7}-\dfrac{9}{14}-\dfrac{17}{21}-1\right)\cdot(-42)\).
Отг.: \(\left(-\tfrac{6+27+34+42}{42}\right)\cdot(-42)=-\tfrac{109}{42}\cdot(-42)=109\).
Отг.: \(\left(-\tfrac{6+27+34+42}{42}\right)\cdot(-42)=-\tfrac{109}{42}\cdot(-42)=109\).
Задача 28Опростете: \(3x-((7{,}3x-(-0{,}4x+x)+1{,}3x-x)-(-8x))+x\).
Отг.: Вътрешни скоби: \(-0{,}4x+x=0{,}6x\); \(7{,}3x-0{,}6x+1{,}3x-x=7x\); \(7x+8x=15x\). Изразът: \(3x-15x+x=-11x\).
Отг.: Вътрешни скоби: \(-0{,}4x+x=0{,}6x\); \(7{,}3x-0{,}6x+1{,}3x-x=7x\); \(7x+8x=15x\). Изразът: \(3x-15x+x=-11x\).
Задача 29Намерете стойността на \(\tfrac{1}{2}p-\tfrac{1}{3}pq+\tfrac{1}{7}q\), ако \(21p-14pq+6q=-42\).
Отг.: \(42\cdot\left(\tfrac{1}{2}p-\tfrac{1}{3}pq+\tfrac{1}{7}q\right)=21p-14pq+6q=-42\), следователно търсеният израз \(=\tfrac{-42}{42}=-1\).
Отг.: \(42\cdot\left(\tfrac{1}{2}p-\tfrac{1}{3}pq+\tfrac{1}{7}q\right)=21p-14pq+6q=-42\), следователно търсеният израз \(=\tfrac{-42}{42}=-1\).
Задача 30Пресметнете: \(-(2a+3(2a-7a))+2(-5a-2(a-5(2a+3a)))\), ако \(a=\tfrac{1}{14}\).
Отг.: Опростяваме: \(-(2a-15a)+2(-5a-2(a-25a))=13a+2(-5a+48a)=13a+86a=99a=99\cdot\tfrac{1}{14}=\tfrac{99}{14}=7\tfrac{1}{14}\).
Отг.: Опростяваме: \(-(2a-15a)+2(-5a-2(a-25a))=13a+2(-5a+48a)=13a+86a=99a=99\cdot\tfrac{1}{14}=\tfrac{99}{14}=7\tfrac{1}{14}\).
✅ Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Умножение и деление на рационални числа
Изберете верния отговор. | Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
3
Събиране и изваждане на рационални числа
Правила, свойства на събирането, въвеждане и разкриване на скоби, алгебричен сбор — 25 разработени задачи и онлайн тест.
Преглед на урока →
4
Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител
Правила за прехвърляне, три вида неизвестно — 25 разработени задачи и онлайн тест.
Преглед на урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар