Отношения и пропорции. Свойства на пропорциите

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Пропорции › Отношения, пропорции и свойства

Отношения, пропорции и свойства на пропорциите —
пълен урок за 6. клас

Отношение на две числа, пропорция, крайни и средни членове, основно свойство на пропорцията, намиране на неизвестен член, разделяне в дадено отношение, геометрични задачи и задачи с проценти — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за домашна работа и онлайн тест

6. клас Отношение Пропорция Основно свойство Разделяне в отношение Д-р Атанас Илчев

В този урок ще разгледаме една от най-важните теми в 6. клас — отношенията и пропорциите. Ще научим как да записваме и опростяваме отношения на числа, как да разпознаваме и съставяме пропорции, ще усвоим основното свойство на пропорцията и ще го използваме за намиране на неизвестен член. В края ще приложим знанията си за решаване на практически задачи: разделяне в дадено отношение, геометрични задачи и задачи с проценти.

Отношение. Частното \(\dfrac{a}{b}\) (или \(a:b\)) на числата \(a\) и \(b\), където \(b\neq0\), се нарича отношение на тези числа. Чете се „\(a\) към \(b\)" или „\(a\) се отнася към \(b\)".

Ако двете числа изразяват различни величини (разстояния, маси, време и др.), те трябва да бъдат в една и съща мерна единица.

Пример: \(6:9=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\), т.е. опростеното отношение е \(2:3\).

Ако отношението на две положителни числа \(a\) и \(b\) е \(\dfrac{a}{b}=k\), то:

• при \(k\lt1\) — отношението показва каква част \(a\) е от \(b\);
• при \(k\gt1\) — отношението показва колко пъти \(a\) е по-голямо от \(b\);
• при \(k=1\) — числата \(a\) и \(b\) са равни.

Пропорция. Равенството на две отношения \[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\quad\text{или}\quad a:b=c:d,\] където \(b\neq0\) и \(d\neq0\), се нарича пропорция. Чете се „\(a\) към \(b\), както \(c\) към \(d\)".

Числата \(a\) и \(d\) се наричат крайни членове, а \(b\) и \(c\) — средни членове на пропорцията.

Основно свойство на пропорцията. Произведението на крайните членове е равно на произведението на средните: \[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff a\cdot d=b\cdot c.\]

Това свойство е основният инструмент за работа с пропорции — позволява ни както да проверим дали дадено равенство е пропорция, така и да намерим неизвестен член.

Пример: От \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{20}\) следва \(3\cdot20=4\cdot15\), т.е. \(60=60\) ✓.

Производни свойства. От пропорцията \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) следват още:

1. Смяна на крайните членове: \(\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}\).
2. Смяна на средните членове: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\).
3. Обръщане: \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\).
4. \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}\) и \(\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\).
5. Свойство на равните отношения: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\).

Намиране на неизвестен член. Ако един от членовете на пропорцията е неизвестен, го намираме така:

• Всеки краен член е равен на произведението на средните, разделено на другия краен: от \(\dfrac{x}{b}=\dfrac{c}{d}\) следва \(x=\dfrac{b\cdot c}{d}\), а от \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}\) следва \(x=\dfrac{b\cdot c}{a}\).
• Всеки среден член е равен на произведението на крайните, разделено на другия среден: от \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{d}\) следва \(x=\dfrac{a\cdot d}{c}\), а от \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{d}\) следва \(x=\dfrac{a\cdot d}{b}\).

Пропорционални числа. Ако за числата \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) (\(b_i\neq0\)) е вярно равенството \[\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\ldots=\dfrac{a_n}{b_n}=k,\] то казваме, че числата \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) са пропорционални на числата \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) с коефициент на пропорционалност \(k\) и записваме: \[a_1:a_2:\ldots:a_n=b_1:b_2:\ldots:b_n.\]

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

• Отношения

1

Запишете и опростете отношението на числата: а) \(27\) и \(54\); б) \(0{,}6\) и \(3{,}6\); в) \(1\dfrac{2}{3}\) и \(2\dfrac{5}{6}\); г) \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{7}{8}\).

▼

Решение

Отношение на две числа \(a\) и \(b\) е частното \(\dfrac{a}{b}\) (при \(b\neq0\)). Опростяваме като обикновена дроб.

а) \(27:54=\dfrac{27}{54}=\dfrac{1}{2}\), т.е. \(1:2\).

б) Умножаваме числителя и знаменателя по \(10\), за да се освободим от десетичната запетая:

\[0{,}6:3{,}6=\dfrac{0{,}6}{3{,}6}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6},\text{ т.е. }1:6.\]

в) Превръщаме смесените числа в обикновени дроби: \(1\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}\) и \(2\dfrac{5}{6}=\dfrac{17}{6}\). Тогава:

\[\dfrac{5}{3}:\dfrac{17}{6}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{6}{17}=\dfrac{30}{51}=\dfrac{10}{17},\text{ т.е. }10:17.\]

г) \(\dfrac{3}{8}:\dfrac{7}{8}=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{3}{7}\), т.е. \(3:7\).\(\;\blacksquare\)

2

Дадени са отношенията \(\dfrac{7}{10}\), \(\dfrac{12}{5}\), \(\dfrac{0{,}6}{0{,}09}\), \(9:12\), \(1\dfrac{2}{3}:\dfrac{9}{11}\) и \(\dfrac{11}{12}\). Запишете на отделни редове отношенията, съответно по-малки от \(1\), равни на \(1\) или по-големи от \(1\).

▼

Решение

Отношение a:b е по-малко от \(1\), когато числителят е по-малък от знаменателя (\(a\lt b\)); равно на \(1\), когато \(a=b\); по-голямо от \(1\), когато \(a\gt b\).

Отношение	Изчисление	Категория
\(\dfrac{7}{10}\)	\(7\lt10\)	по-малко от \(1\)
\(\dfrac{12}{5}\)	\(12\gt5\)	по-голямо от \(1\)
\(\dfrac{0{,}6}{0{,}09}=\dfrac{60}{9}\)	\(60\gt9\)	по-голямо от \(1\)
\(9:12=\dfrac{3}{4}\)	\(3\lt4\)	по-малко от \(1\)
\(1\dfrac{2}{3}:\dfrac{9}{11}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{11}{9}=\dfrac{55}{27}\)	\(55\gt27\)	по-голямо от \(1\)
\(\dfrac{11}{12}\)	\(11\lt12\)	по-малко от \(1\)

Равни на \(1\) — няма.\(\;\blacksquare\)

3

Запишете като отношение на две числа (чрез най-малки естествени числа): а) \(1\) см към \(1\) м; б) \(2\) г към \(1\) кг; в) \(5\) с към \(1\) ч; г) \(10\) мин към \(3\) ч.

▼

Решение

Когато двете числа изразяват различни величини, те трябва да са в една и съща мерна единица, преди да съставим отношението.

а) \(1\) м \(=100\) см, тогава: \(1\) см към \(1\) м \(=1:100\).

б) \(1\) кг \(=1000\) г, тогава: \(2\) г към \(1\) кг \(=2:1000=1:500\).

в) \(1\) ч \(=3600\) с, тогава: \(5\) с към \(1\) ч \(=5:3600=1:720\).

г) \(3\) ч \(=180\) мин, тогава: \(10\) мин към \(3\) ч \(=10:180=1:18\).\(\;\blacksquare\)

4

Намерете отношението \(a:b\), ако: а) \(a=6b\); б) \(3{,}5a=4{,}5b\); в) \(a=\dfrac{1}{5}\) от \(b\); г) \(a=30\%\) от \(b\); д) \(b=75\%\) от \(a\).

▼

Решение

За да намерим отношението \(a:b\), изразяваме частното \(\dfrac{a}{b}\).

а) От \(a=6b\) следва \(\dfrac{a}{b}=6\), т.е. \(a:b=6:1\).

б) От \(3{,}5a=4{,}5b\) следва \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{4{,}5}{3{,}5}=\dfrac{9}{7}\), т.е. \(a:b=9:7\).

в) \(a=\dfrac{1}{5}b\) означава \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{5}\), т.е. \(a:b=1:5\).

г) \(a=30\%\cdot b=\dfrac{30}{100}b=\dfrac{3}{10}b\), следователно \(a:b=3:10\).

д) От \(b=75\%\cdot a=\dfrac{3}{4}a\) следва \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}\), т.е. \(a:b=4:3\).\(\;\blacksquare\)

5

Намерете отношението \(m:n\), ако: а) \(m\) е с \(20\%\) по-голямо от \(n\); б) \(m\) е с \(10\%\) по-малко от \(n\); в) \(m\) е \(3\) пъти по-малко от \(n\).

▼

Решение

Прочитаме условието внимателно и превръщаме думите в математически запис.

а) „\(m\) е с \(20\%\) по-голямо от \(n\)" означава \(m=n+20\%\cdot n=n+0{,}2n=1{,}2n\), тогава:

\[\dfrac{m}{n}=1{,}2=\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5},\text{ т.е. }m:n=6:5.\]

б) „\(m\) е с \(10\%\) по-малко от \(n\)" означава \(m=n-10\%\cdot n=0{,}9n\), тогава:

\[\dfrac{m}{n}=0{,}9=\dfrac{9}{10},\text{ т.е. }m:n=9:10.\]

в) „\(m\) е \(3\) пъти по-малко от \(n\)" означава \(m=\dfrac{n}{3}\), тогава:

\[\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{3},\text{ т.е. }m:n=1:3.\,\blacksquare\]

• Пропорции — проверка и основно свойство

6

Проверете по два начина дали отношенията образуват пропорция: а) \(\dfrac{5}{30}\) и \(\dfrac{2}{12}\); б) \(\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{8}\) и \(6:7\); в) \(0{,}036:0{,}9\) и \(0{,}4:1\).

▼

Решение

I начин: опростяваме двете отношения и проверяваме дали са равни.

II начин: прилагаме основното свойство — произведението на крайните членове трябва да е равно на произведението на средните.

а) I начин: \(\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\) → равни. II начин: \(5\cdot12=60\) и \(30\cdot2=60\) → равни. ✓ Образуват пропорция.

б) Първо опростяваме: \(\dfrac{3}{4}:\dfrac{7}{8}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{6}{7}\). А \(6:7=\dfrac{6}{7}\). ✓

II начин: приведено към \(6:7\) и \(6:7\), т.е. \(6\cdot7=42\) и \(7\cdot6=42\) → равни.

в) \(0{,}036:0{,}9=\dfrac{0{,}036}{0{,}9}=\dfrac{36}{900}=\dfrac{1}{25}\), а \(0{,}4:1=\dfrac{2}{5}\). Различни!

Или: \(0{,}036\cdot1=0{,}036\), а \(0{,}9\cdot0{,}4=0{,}36\). Не са равни. Отношенията не образуват пропорция.\(\;\blacksquare\)

7

Може ли да се състави пропорция от числата: а) \(20;\ 7;\ 60;\ 21\); б) \(3;\ 5;\ 11;\ 2\)? Ако е възможно, запишете поне една пропорция.

▼

Решение

Четири числа \(a, b, c, d\) могат да образуват пропорция, ако от тях можем да съставим две двойки с равни произведения.

а) Проверяваме произведенията: \(20\cdot21=420\) и \(7\cdot60=420\). ✓ Равни са!

Една възможна пропорция: \(\dfrac{20}{7}=\dfrac{60}{21}\) (или \(20:7=60:21\)).

б) Проверяваме всички произведения по двойки:

• \(3\cdot5=15\) и \(11\cdot2=22\) — различни.
• \(3\cdot11=33\) и \(5\cdot2=10\) — различни.
• \(3\cdot2=6\) и \(5\cdot11=55\) — различни.

Никое произведение не съвпада, следователно не може да се състави пропорция от числата \(3, 5, 11, 2\).\(\;\blacksquare\)

8

Запишете като пропорция твърдението: а) числата \(2\) и \(5\) са съответно пропорционални на числата \(22\) и \(55\); б) числата \(0{,}8\) и \(1{,}3\) са съответно пропорционални на числата \(4{,}8\) и \(7{,}8\); в) числото \(a\) се отнася към числото \(b\), както \(1{,}5\) към \(7\).

▼

Решение

„Числата \(a\) и \(b\) са съответно пропорционални на числата \(c\) и \(d\)" означава равенство на отношенията: \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\) или еквивалентно \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

а) \(\dfrac{2}{22}=\dfrac{5}{55}\) или \(2:22=5:55\).

Проверка: \(2\cdot55=110\) и \(22\cdot5=110\). ✓

б) \(\dfrac{0{,}8}{4{,}8}=\dfrac{1{,}3}{7{,}8}\) или \(0{,}8:4{,}8=1{,}3:7{,}8\).

Проверка: \(0{,}8\cdot7{,}8=6{,}24\) и \(4{,}8\cdot1{,}3=6{,}24\). ✓

в) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1{,}5}{7}\) или \(a:b=1{,}5:7\). За да запишем отношението с естествени числа, умножаваме двата члена по \(10\): \(a:b=15:70=3:14\).\(\;\blacksquare\)

9

Напишете всички пропорции, които следват от равенството \(5\cdot12=6\cdot10\).

▼

Решение

Ако за четири числа е изпълнено \(a\cdot d=b\cdot c\), от тях можем да образуваме четири различни пропорции, получени чрез пермутация на членовете.

Тук \(a=5, d=12, b=6, c=10\). Получаваме:

\[\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}\quad\text{(основна)}\] \[\dfrac{5}{10}=\dfrac{6}{12}\quad\text{(смяна на средните)}\] \[\dfrac{12}{6}=\dfrac{10}{5}\quad\text{(смяна на крайните)}\] \[\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}\quad\text{(обратни отношения)}\]

Проверка на първата: \(5\cdot12=60\) и \(6\cdot10=60\). ✓ За всяка от тях произведенията кръстосано са равни.\(\;\blacksquare\)

10

Като приложите основното свойство на пропорциите, проверете дали равенствата са верни: а) \(\dfrac{15}{5}=\dfrac{12}{4}\); б) \(81:9=9:1\); в) \(\dfrac{3}{8}:\dfrac{7}{8}=3:7\); г) \(\dfrac{3{,}1}{0{,}2}=\dfrac{31}{2}\).

▼

Решение

Равенство на отношения е пропорция точно тогава, когато произведението на крайните членове е равно на произведението на средните.

а) Проверяваме \(15\cdot4=5\cdot12\): \(60=60\). ✓ Вярна пропорция.

б) \(81:9=9:1\) означава \(\dfrac{81}{9}=\dfrac{9}{1}\). Проверяваме \(81\cdot1=9\cdot9\): \(81=81\). ✓ Вярна пропорция.

в) \(\dfrac{3}{8}:\dfrac{7}{8}=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{8}{7}=\dfrac{3}{7}\). Значи \(\dfrac{3}{8}:\dfrac{7}{8}=3:7\). ✓ Вярна пропорция.

г) Проверяваме \(3{,}1\cdot2=0{,}2\cdot31\): \(6{,}2=6{,}2\). ✓ Вярна пропорция.\(\;\blacksquare\)

• Намиране на неизвестен член

11

Намерете неизвестното число \(x\) от пропорцията: а) \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{10}{6}\); б) \(\dfrac{2{,}1}{x}=\dfrac{3}{10}\); в) \(\dfrac{15}{0{,}5}=\dfrac{x}{4}\); г) \(\dfrac{12{,}3}{7}=\dfrac{43{,}05}{x}\).

▼

Решение

Прилагаме основното свойство: произведение на крайните = произведение на средните.

а) \(6x=3\cdot10=30\Rightarrow x=5\). Проверка: \(\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{6}\) ✓

б) \(3x=2{,}1\cdot10=21\Rightarrow x=7\). Проверка: \(\dfrac{2{,}1}{7}=0{,}3=\dfrac{3}{10}\) ✓

в) \(0{,}5x=15\cdot4=60\Rightarrow x=120\). Проверка: \(\dfrac{15}{0{,}5}=30\) и \(\dfrac{120}{4}=30\) ✓

г) \(12{,}3x=7\cdot43{,}05=301{,}35\Rightarrow x=\dfrac{301{,}35}{12{,}3}=24{,}5\). Проверка: \(\dfrac{43{,}05}{24{,}5}=\dfrac{12{,}3}{7}\approx1{,}757\) ✓\(\;\blacksquare\)

12

Намерете \(x\): а) \(x:0{,}8=10:0{,}5\); б) \(\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{5}{4}\); в) \(\dfrac{2}{3x+1}=\dfrac{1}{8}\).

▼

Решение

а) От \(x:0{,}8=10:0{,}5\) записваме като дроби: \(\dfrac{x}{0{,}8}=\dfrac{10}{0{,}5}\).

Прилагаме осн. свойство: \(0{,}5x=0{,}8\cdot10=8\Rightarrow x=16\).

Проверка: \(16:0{,}8=20\) и \(10:0{,}5=20\). ✓

б) От \(\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{5}{4}\) следва \(4(x+2)=3\cdot5=15\).

Значи \(4x+8=15\Rightarrow 4x=7\Rightarrow x=\dfrac{7}{4}=1\dfrac{3}{4}=1{,}75\).

Проверка: \(\dfrac{1{,}75+2}{3}=\dfrac{3{,}75}{3}=1{,}25=\dfrac{5}{4}\). ✓

в) От \(\dfrac{2}{3x+1}=\dfrac{1}{8}\) следва \(2\cdot8=1\cdot(3x+1)\Rightarrow16=3x+1\).

Значи \(3x=15\Rightarrow x=5\).

Проверка: \(3\cdot5+1=16\), \(\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}\). ✓\(\;\blacksquare\)

13

Намерете \(x\): а) \(\dfrac{7}{x}=\dfrac{12}{x+4}\); б) \((x+3):2=(x+5):3\); в) \(5:x=7:(x+10)\).

▼

Решение

И тук прилагаме основното свойство на пропорциите, като след това решаваме обикновено уравнение.

а) От \(\dfrac{7}{x}=\dfrac{12}{x+4}\) следва \(7(x+4)=12x\).

Разкриваме скобите: \(7x+28=12x\Rightarrow 5x=28\Rightarrow x=5{,}6\).

Проверка: \(\dfrac{7}{5{,}6}=1{,}25\) и \(\dfrac{12}{9{,}6}=1{,}25\). ✓

б) От \((x+3):2=(x+5):3\) следва \(3(x+3)=2(x+5)\).

\(3x+9=2x+10\Rightarrow x=1\).

Проверка: \(4:2=2\) и \(6:3=2\). ✓

в) От \(5:x=7:(x+10)\) следва \(5(x+10)=7x\).

\(5x+50=7x\Rightarrow 2x=50\Rightarrow x=25\).

Проверка: \(5:25=\dfrac{1}{5}\) и \(7:35=\dfrac{1}{5}\). ✓\(\;\blacksquare\)

14

(2002 г., Математическо състезание — Монтана) Кое от числата \(2, 8, 32\) и \(64\) е неизвестният член в пропорцията \(32:x=x:2\)?

▼

Решение

От \(32:x=x:2\) прилагаме основното свойство: \(x\cdot x=32\cdot2\), т.е. \(x^2=64\).

За положителни стойности получаваме \(x=8\) (взимаме само положителния корен, тъй като обикновено разглеждаме положителни стойности).

Проверка: \(32:8=4\) и \(8:2=4\). ✓

Забележка: в пропорция от вида \(a:x=x:b\) неизвестното \(x\) се нарича средно пропорционално на \(a\) и \(b\).

Верният отговор е \(x=8\).\(\;\blacksquare\)

15

Намерете всички възможни стойности на четвъртата пропорционална величина на числата \(10, 25\) и \(60\).

▼

Решение

„Четвърта пропорционална" на три числа е число \(x\), така че от четирите да се образува пропорция. Разположението на трите числа променя отговора.

Възможните пропорции с неизвестно на четвърто място са:

1. \(10:25=60:x\Rightarrow10x=25\cdot60=1500\Rightarrow x=150\).

2. \(10:60=25:x\Rightarrow10x=60\cdot25=1500\Rightarrow x=150\).

3. \(25:10=60:x\Rightarrow25x=10\cdot60=600\Rightarrow x=24\).

4. \(25:60=10:x\Rightarrow25x=60\cdot10=600\Rightarrow x=24\).

Получаваме само две различни стойности: \(x=24\) или \(x=150\).\(\;\blacksquare\)

• Приложения — разделяне в отношение

16

В една чаша има \(220\) мл капучино, което се състои от \(60\) мл кафе и останалата част е мляко. В какво отношение са млякото и кафето в тази чаша?

▼

Решение

Първо намираме количеството мляко в чашата: \(220-60=160\) мл.

Отношението на млякото към кафето е:

\[160:60=\dfrac{160}{60}=\dfrac{8}{3},\text{ т.е. }8:3.\]

Значи в капучиното има \(8\) части мляко и \(3\) части кафе.\(\;\blacksquare\)

17

Двама автори на сборник си поделили получения хонорар в отношение \(3:4\). Първият от тях получил \(930\) лв. Колко лева е получил вторият автор?

▼

Решение

Нека едната част от хонорара е \(x\) лв. Тогава първият автор получава \(3x\) лв, а вторият \(4x\) лв.

От условието \(3x=930\) следва \(x=310\) лв.

Вторият автор е получил \(4x=4\cdot310=1240\) лв.

Проверка: Отношението е \(930:1240=\dfrac{930}{1240}=\dfrac{3}{4}\). ✓\(\;\blacksquare\)

18

В нашата градина са цъфнали само жълти и червени лалета. Червените са \(12\), а отношението на жълтите и червените лалета е \(7\) към \(4\). Намерете общия брой лалета в нашата градина.

▼

Решение

Нека жълтите лалета са \(x\). От условието отношението на жълтите към червените е \(7:4\):

\[\dfrac{x}{12}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow 4x=12\cdot7=84\Rightarrow x=21\text{ жълти лалета}.\]

Общият брой лалета е \(21+12=33\) лалета.

Проверка: Отношението \(21:12=7:4\) ✓\(\;\blacksquare\)

19

Намерете лицето на правоъгълник с обиколка \(92\) см, ако дължините на страните му се отнасят както \(11:12\).

▼

Решение

Нека едната част е \(x\) см. Тогава страните на правоъгълника са \(11x\) и \(12x\) см.

Обиколката е сборът от двете дължини и двете ширини:

\[2(11x+12x)=92\Rightarrow 2\cdot23x=92\Rightarrow 46x=92\Rightarrow x=2\text{ см}.\]

Следователно страните са \(11\cdot2=22\) см и \(12\cdot2=24\) см.

Лицето на правоъгълника е:

\[S=22\cdot24=528\text{ см}^2.\]

Проверка: \(P=2(22+24)=2\cdot46=92\) см ✓\(\;\blacksquare\)

20

Трите ъгъла на триъгълник се отнасят както \(2:3:4\). Намерете мерките на ъглите.

▼

Решение

Нека една част от ъглите е \(x\) градуса. Тогава трите ъгъла са \(2x\), \(3x\) и \(4x\) градуса.

Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е \(180°\):

\[2x+3x+4x=180°\Rightarrow 9x=180°\Rightarrow x=20°.\]

Ъглите са:

• \(2x=2\cdot20°=40°\)
• \(3x=3\cdot20°=60°\)
• \(4x=4\cdot20°=80°\)

Проверка: \(40°+60°+80°=180°\) ✓ и \(40:60:80=2:3:4\) ✓\(\;\blacksquare\)

• Задачи с повишена трудност

21

Дадена е отсечка \(AB\) с дължина \(12\) см и точки \(M\) и \(N\) от нея такива, че \(AM=MN=NB\). Намерете отношението на дължините на отсечките: а) \(AM\) и \(MB\); б) \(AN\) и \(NB\); в) \(AM\) и \(AB\); г) \(AB\) и \(MB\). ⭐ трудна

▼

Решение

Тъй като точките \(M\) и \(N\) делят отсечката \(AB\) на три равни части, получаваме \(AM=MN=NB=\dfrac{12}{3}=4\) см.

а) \(MB=MN+NB=4+4=8\) см, тогава \(AM:MB=4:8=1:2\).

б) \(AN=AM+MN=4+4=8\) см, тогава \(AN:NB=8:4=2:1\).

в) \(AM:AB=4:12=1:3\).

г) \(AB:MB=12:8=3:2\).\(\;\blacksquare\)

22

Намерете лицето на правоъгълник, ако периметърът му е \(88\) см и дължините на страните му се отнасят както \(5:6\). Сравнете с правоъгълник с лице \(480\) см\(^2\) и страни в същото отношение — колко е обиколката му? ⭐ трудна

▼

Решение

Първа част. Нека страните на първия правоъгълник са \(5x\) и \(6x\) см. От обиколката:

\[2(5x+6x)=88\Rightarrow 2\cdot11x=88\Rightarrow x=4\text{ см}.\]

Страните са \(20\) и \(24\) см, а лицето:

\[S_1=20\cdot24=480\text{ см}^2.\]

Втора част (обратна задача). Нека сега страните на втория правоъгълник са \(5y\) и \(6y\) см. От лицето:

\[5y\cdot6y=480\Rightarrow 30y^2=480\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=4\text{ см}.\]

(Вземаме положителното решение, защото страната е дължина.)

Страните са отново \(20\) и \(24\) см, а обиколката:

\[P_2=2(20+24)=88\text{ см}.\]

Двата правоъгълника са еднакви! Това показва, че при фиксирано отношение на страните \(5:6\), задаването на обиколка \(88\) см или лице \(480\) см\(^2\) описва един и същ правоъгълник.\(\;\blacksquare\)

23

Намерете отношението \(a:b:c\) на положителните числа \(a, b\) и \(c\), ако: а) \(a:b=7:12\) и \(b:c=12:5\); б) \(a:b=2:3\) и \(b:c=6:7\). ⭐ трудна

▼

Решение

За да съставим отношение от вида \(a:b:c\), е необходимо стойността на \(b\) да е една и съща в двете дадени отношения.

а) В \(a:b=7:12\) и \(b:c=12:5\) стойността на \(b\) е \(12\) и в двете — вече е съгласувано!

\[a:b:c=7:12:5.\]

б) В \(a:b=2:3\) стойността на \(b\) е \(3\), а в \(b:c=6:7\) стойността на \(b\) е \(6\). Намираме най-малкото общо кратно: \(\text{НОК}(3,6)=6\).

Умножаваме \(a:b=2:3\) с \(2\): получаваме \(a:b=4:6\).

Сега \(b=6\) и в двете отношения, следователно:

\[a:b:c=4:6:7.\,\blacksquare\]

24

(2003 г., Великденско математическо състезание) Баща има три деца — на \(6\) г., на \(8\) г. и на \(11\) г. Седмично им отпуска \(15\) лв, като всяко дете получава сума, пропорционална на годините му. Колко лева се полагат на най-голямото дете? ⭐ трудна

▼

Решение

„Пропорционално на годините" означава, че сумите, които получават, се отнасят както годините им:

\[A:B:C=6:8:11.\]

Нека една част е \(x\) лв. Тогава децата получават съответно \(6x\), \(8x\) и \(11x\) лв.

Общата сума е \(15\) лв:

\[6x+8x+11x=15\Rightarrow 25x=15\Rightarrow x=\dfrac{15}{25}=0{,}60\text{ лв}.\]

Най-голямото дете получава:

\[11x=11\cdot0{,}60=6{,}60\text{ лв}.\]

Проверка: \(6\cdot0{,}60+8\cdot0{,}60+11\cdot0{,}60=3{,}60+4{,}80+6{,}60=15\) лв ✓\(\;\blacksquare\)

25

(1999 г., Великденско математическо състезание) Трима приятели на състезание по математика получили награди на обща стойност \(21900\) лв. Стойностите на наградите били обратно пропорционални на годините им \(16\), \(14\) и \(12\). Каква е наградата на всеки от тях? ⭐ трудна

▼

Решение

„Обратно пропорционално на годините" означава, че сумите се отнасят както реципрочните на годините. Колкото по-малка е възрастта, толкова по-голяма е наградата.

\[A:B:C=\dfrac{1}{16}:\dfrac{1}{14}:\dfrac{1}{12}.\]

За да запишем отношението с естествени числа, намираме най-малкото общо кратно на \(16, 14\) и \(12\):

\[\text{НОК}(16,14,12)=336.\]

Умножаваме всяко отношение с \(336\):

\[\dfrac{336}{16}:\dfrac{336}{14}:\dfrac{336}{12}=21:24:28.\]

Значи \(A:B:C=21:24:28\). Нека една част е \(x\) лв. Тогава:

\[21x+24x+28x=21900\Rightarrow 73x=21900\Rightarrow x=300\text{ лв}.\]

Наградите са:

• 16-годишният: \(21\cdot300=6300\) лв.
• 14-годишният: \(24\cdot300=7200\) лв.
• 12-годишният: \(28\cdot300=8400\) лв.

Проверка: \(6300+7200+8400=21900\) лв ✓. Забележете, че най-младият от тримата получава най-голямата награда — тъй като наградите са обратно пропорционални на възрастите, по-малката възраст съответства на по-голяма награда.\(\;\blacksquare\)

---

📝 Задачи за домашна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Запишете и опростете отношението на числата: а) \(10\) и \(5\); б) \(3\) и \(9\); в) \(7\) и \(9{,}1\); г) \(1\dfrac{2}{3}\) и \(2\dfrac{5}{6}\).
Отг.: а) \(10:5=2:1\); б) \(3:9=1:3\); в) \(7:9{,}1=10:13\); г) \(1\dfrac{2}{3}:2\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{3}:\dfrac{17}{6}=10:17\).

Задача 2Запишете чрез възможно най-малки естествени числа: а) \(1{,}2:0{,}6\); б) \(2\dfrac{1}{4}:1{,}5\); в) \(0{,}012:2{,}4\); г) \(2\dfrac{2}{3}:1\dfrac{1}{9}\).
Отг.: а) \(2:1\); б) \(3:2\); в) \(1:200\); г) \(\dfrac{8}{3}:\dfrac{10}{9}=24:10=12:5\).

Задача 3Запишете отношението: а) \(2\) км към \(110\) м; б) \(5\) т към \(20\) кг; в) \(6\) л към \(3\) дм\(^3\).
Отг.: а) \(2000:110=200:11\); б) \(5000:20=250:1\); в) \(1\) л \(=1\) дм\(^3\), тогава \(6:3=2:1\).

Задача 4Запишете процентите като отношение на две числа: а) \(53\%\); б) \(12{,}3\%\); в) \(125\%\).
Отг.: а) \(53:100\); б) \(12{,}3:100=123:1000\); в) \(125:100=5:4\).

Задача 5Намерете отношението \(a:b\), ако: а) \(12a=b\); б) \(a=0{,}15b\); в) \(2\dfrac{1}{3}a=b\); г) \(a:3=b:1{,}5\).
Отг.: а) \(a:b=1:12\); б) \(a:b=15:100=3:20\); в) \(a:b=1:\dfrac{7}{3}=3:7\); г) от \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{1{,}5}=2\), значи \(a:b=2:1\).

Задача 6Намерете отношението \(a:b\), ако: а) \(a=120\%\) от \(b\); б) \(b=5\%\) от \(a\).
Отг.: а) \(a=1{,}2b\), \(a:b=6:5\); б) \(b=0{,}05a\), \(a:b=20:1\).

Задача 7Проверете дали отношенията образуват пропорция: а) \(\dfrac{10}{3}\) и \(\dfrac{20}{6}\); б) \(\dfrac{4}{17}\) и \(\dfrac{12}{34}\).
Отг.: а) \(10\cdot6=60\), \(3\cdot20=60\) ✓ — образуват; б) \(4\cdot34=136\), \(17\cdot12=204\) — не образуват.

Задача 8Може ли да се състави пропорция от числата: а) \(3, 9, 27\) и \(81\); б) \(25, 15, 35\) и \(21\); в) \(-12, -18, 9\) и \(24\)?
Отг.: а) \(3\cdot81=243\), \(9\cdot27=243\) ✓ — да, напр. \(\dfrac{3}{9}=\dfrac{27}{81}\); б) \(25\cdot21=525\), \(15\cdot35=525\) ✓ — да, напр. \(\dfrac{25}{15}=\dfrac{35}{21}\); в) \((-12)\cdot(-18)=216\) и \(24\cdot9=216\) ✓ — да, напр. \(\dfrac{-12}{24}=\dfrac{9}{-18}\) или \(-12:24=9:(-18)\).

Задача 9Напишете всички пропорции от равенството \(7\cdot12=21\cdot4\).
Отг.: \(\dfrac{7}{21}=\dfrac{4}{12}\); \(\dfrac{7}{4}=\dfrac{21}{12}\); \(\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}\); \(\dfrac{12}{4}=\dfrac{21}{7}\).

Задача 10Образуват ли пропорция отношенията \(\dfrac{2}{7}\) и \(\dfrac{12}{42}\)?
Отг.: \(2\cdot42=84\) и \(7\cdot12=84\) ✓ — да, \(\dfrac{2}{7}=\dfrac{12}{42}\).

Задача 11Запишете като пропорция: а) числата \(m\) и \(n\) са съответно пропорционални на числата \(5\) и \(7\); б) числата \(4, 10, 14\) са съответно пропорционални на числата \(2, 5, 7\).
Отг.: а) \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{5}{7}\) или \(m:n=5:7\); б) \(\dfrac{4}{2}=\dfrac{10}{5}=\dfrac{14}{7}\) или \(4:10:14=2:5:7\).

Задача 12Кои две от числата \(1; 5; 2{,}5; 8; 4; 3; 6\) и \(40\) са съответно пропорционални на числата \(2\) и \(1\)?
Отг.: Търсим две числа \(a, b\) от списъка така, че \(a:b=2:1\), т.е. \(a=2b\). Всички такива двойки са: \(5\) и \(2{,}5\); \(8\) и \(4\); \(6\) и \(3\).

Задача 13Намерете \(x\): а) \(x:12=14:24\); б) \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{9}{7}\); в) \(3:x=8:4\); г) \(\dfrac{0{,}5}{0{,}2}=\dfrac{x}{1{,}2}\).
Отг.: а) \(24x=168\Rightarrow x=7\); б) \(7x=54\Rightarrow x=\dfrac{54}{7}=7\dfrac{5}{7}\); в) \(8x=12\Rightarrow x=1{,}5\); г) \(0{,}2x=0{,}6\Rightarrow x=3\).

Задача 14Намерете \(x\): а) \(\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{x+1}\); б) \(\dfrac{x+2}{12}=\dfrac{6}{5}\); в) \(\dfrac{x}{x+8}=\dfrac{3}{4}\).
Отг.: а) \(5(x+1)=14\Rightarrow x=1{,}8\); б) \(5(x+2)=72\Rightarrow x=12{,}4\); в) \(4x=3(x+8)\Rightarrow x=24\).

Задача 15Намерете \(x\): а) \(2\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{4}:x\); б) \(x:\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{7}:\dfrac{1}{5}\).
Отг.: а) \(2{,}5\cdot x=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\); б) \(\dfrac{1}{5}x=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{7}\Rightarrow x=\dfrac{5}{7}\).

Задача 16Намерете \(x\): а) \((x+3):x=12:11\); б) \((8-x):x=21:11\).
Отг.: а) \(11(x+3)=12x\Rightarrow 11x+33=12x\Rightarrow x=33\); б) \(11(8-x)=21x\Rightarrow 88=32x\Rightarrow x=\dfrac{88}{32}=2{,}75\).

Задача 17Намерете \(x\): \(4:x=8:(9-x)\).
Отг.: \(4(9-x)=8x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3\).

Задача 18Намерете отношението \(x:y\), ако \(7x=56y\).
Отг.: \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{56}{7}=8\), т.е. \(x:y=8:1\).

Задача 19Отношението на две числа е \(2\), а сборът им е \(12{,}3\). Намерете числата.
Отг.: \(\dfrac{a}{b}=2\Rightarrow a=2b\). От \(2b+b=12{,}3\) следва \(b=4{,}1\), \(a=8{,}2\).

Задача 20Броят на момчетата в един клас се отнася към броя на момичетата като \(5:8\). Колко са учениците общо, ако момичетата са \(16\)?
Отг.: Нека момчетата са \(x\). \(\dfrac{x}{16}=\dfrac{5}{8}\Rightarrow x=10\). Общо: \(10+16=26\).

Задача 21Разделете числото \(36\) на две части, които се отнасят както \(2:7\).
Отг.: \(2x+7x=36\Rightarrow x=4\). Частите: \(8\) и \(28\).

Задача 22Разделете числото \(150\) на три части в отношение \(2:3:5\).
Отг.: \(10x=150\Rightarrow x=15\). Частите: \(30, 45, 75\).

Задача 23Отношението на две числа е \(3:5\), а сборът им е \(48\). Намерете числата.
Отг.: \(3x+5x=48\Rightarrow x=6\). Числата: \(18\) и \(30\).

Задача 24Периметърът на правоъгълник е \(48\) см, а дължините на страните му се отнасят както \(2:1\). Намерете лицето му.
Отг.: \(2(2x+x)=48\Rightarrow x=8\). Страни: \(8\) и \(16\) см. Лице: \(128\) см\(^2\).

Задача 25(1998 г., МС Габрово) Пет риби струват \(6\) марки. Колко марки струват \(6\) риби?
Отг.: От \(\dfrac{5}{6}=\dfrac{6}{x}\) следва \(5x=36\), \(x=7{,}2\) марки.

Задача 26Отношението на жълти и сини топки в кошница е \(3:5\). Ако сините са с \(10\) повече от жълтите, колко са всички топки?
Отг.: Нека жълтите са \(3x\), сините \(5x\). \(5x-3x=10\Rightarrow x=5\). Общо: \(8x=40\).

Задача 27Шоколадови и ментови бонбони в купа са в отношение \(12:5\). Ментовите са \(35\). С колко шоколадовите са повече от ментовите?
Отг.: \(\dfrac{x}{35}=\dfrac{12}{5}\Rightarrow x=84\) шокол. Разлика: \(84-35=49\).

Задача 28(2001 г., ВМС) Отношението на три естествени числа е \(2:3:6\). Третото число е с \(6\) по-голямо от второто. Намерете произведението на числата.
Отг.: \(6x-3x=6\Rightarrow x=2\). Числата: \(4, 6, 12\). Произведение: \(4\cdot6\cdot12=288\).

Задача 29(2006 г., МК НПМГ) Три естествени числа се отнасят както \(2:3:9\), а сборът им е \(28\). Намерете ги.
Отг.: \(14x=28\Rightarrow x=2\). Числата: \(4, 6, 18\).

Задача 30В трицифрено число цифрите на единиците, на десетиците и на стотиците се отнасят както \(1:2:3\), а сборът от цифрите е \(18\). Намерете числото.
Отг.: \(x+2x+3x=18\Rightarrow x=3\). Цифрите са \(3, 6, 9\) → числото е \(\overline{963}=963\).

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Отношения, пропорции и свойства на пропорциите

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Отношението \(\dfrac{12}{5}\) е:

по-малко от \(1\) равно на \(1\) по-голямо от \(1\) не може да се определи

2Отношението \(1{,}2:0{,}6\) записано с най-малки естествени числа е:

\(12:6\) \(6:3\) \(2:1\) \(1:2\)

3Отношението \(5\) с към \(1\) мин е равно на:

\(5:1\) \(1:12\) \(5:6\) \(1:60\)

4Ако \(a=3b\), то отношението \(a:b\) е равно на:

\(1:3\) \(3:1\) \(2:1\) \(1:2\)

5Отношенията \(\dfrac{2}{7}\) и \(\dfrac{12}{42}\) образуват ли пропорция?

Да, защото \(2\cdot42=7\cdot12\) Не, защото произведенията на крайните и средните не са равни Не Не може да се определи

6От пропорцията \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{10}{6}\) получаваме \(x=\):

\(3\) \(5\) \(6\) \(20\)

7От пропорцията \(\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{5}{4}\) получаваме \(x=\):

\(\dfrac{3}{4}\) \(1{,}75\) \(2{,}5\) \(7\)

8(МС Монтана) Кое от числата \(2, 8, 32\) и \(64\) е неизвестният член в пропорцията \(32:x=x:2\)?

\(2\) \(8\) \(32\) \(64\)

9Коя от пропорциите следва от равенството \(5\cdot12=6\cdot10\)?

\(\dfrac{5}{12}=\dfrac{6}{10}\) \(\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}\) \(\dfrac{5}{10}=\dfrac{12}{6}\) \(\dfrac{12}{5}=\dfrac{6}{10}\)

10Двама автори си поделили хонорар в отношение \(3:4\). Ако първият получил \(930\) лв, вторият е получил:

\(620\) лв \(930\) лв \(1240\) лв \(1860\) лв

11Разделяме числото \(20\) на две части в отношение \(1:4\). По-малката част е:

\(2\) \(4\) \(5\) \(16\)

12(ВМС) Отношението на две числа е \(5:4\), а сборът им е \(81\). По-голямото число е:

\(36\) \(45\) \(54\) \(60\)

13Периметърът на правоъгълник е \(92\) см, а страните се отнасят като \(11:12\). Лицето му е:

\(264\) см\(^2\) \(528\) см\(^2\) \(552\) см\(^2\) \(1056\) см\(^2\)

14Ъглите на триъгълник се отнасят като \(2:3:4\). Най-големият ъгъл е:

\(40°\) \(60°\) \(80°\) \(90°\)

15(МС Габрово) Броят на момчетата в клас се отнася към броя на момичетата като \(5:8\). Колко са учениците общо, ако момичетата са \(16\)?

\(21\) \(24\) \(26\) \(32\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

12

Моделиране с уравнение от вида \(ax+b=0\)

Текстови задачи с моделиране: задачи от числа, геометрия, движение, работа, смеси и проценти — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

11

Числови равенства – свойства. Уравнение от вида \(ax+b=0\)

Свойства на числовите равенства, решаване на линейни уравнения от вида ax+b=0, разкриване на скоби, уравнения с дроби — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆