Моделиране с уравнение от вида $ax+b=0$

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Уравнения › Моделиране с уравнение

Моделиране с уравнение от вида ax+b=0 —
текстови задачи за 6. клас

Решаване на текстови задачи чрез съставяне на уравнение: задачи за числа, геометрични задачи, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и проценти — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за домашна работа и онлайн тест

6. клас Моделиране Уравнение ax+b=0 Текстови задачи От движение От работа Д-р Атанас Илчев

В този урок ще научим как да решаваме текстови задачи чрез съставяне на уравнение от вида \(ax+b=0\). Това е едно от най-важните умения в математиката — да преведем дадена ситуация на математически език. Ще разгледаме задачи от най-разнообразен характер: задачи за числа, геометрични задачи, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и проценти.

Етапи при моделиране с уравнение:

I етап — Записваме данните на математически език:

1. Определяме участващите величини и избираме неизвестната \(x\).
2. Определяме допустимите стойности на \(x\) (напр. дали е естествено число, положително и т.н.).
3. Описваме връзките между \(x\) и известните величини (и ги привеждаме в една и съща мерна система).
4. Съставяме уравнение от вида \(ax+b=0\) по данните от условието.

II етап — Решаваме уравнението.

III етап — Тълкуваме резултата: проверяваме дали намереният корен отговаря на допустимите стойности и на логиката на задачата.

Полезни формули за задачите в урока:

• Движение: \(s=v\cdot t\) (разстояние = скорост × време).
• Движение по / срещу течение: \(v_{\text{по}}=v_l+v_r\); \(v_{\text{срещу}}=v_l-v_r\) (\(v_l\) — скорост в спокойна вода, \(v_r\) — скорост на течението).
• Работа: ако работата се свършва за \(T\) дни, за ден се свършва \(\dfrac{1}{T}\) от нея.
• Проценти: \(p\%\) от \(A\) е \(\dfrac{p}{100}\cdot A\).

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

• Задачи за числа

1

Сборът на четири последователни естествени числа е \(86\). Намерете числата.

▼

Решение

Представяне на четирите последователни числа

Число	Представяне с x
Първо	\(x\)
Второ	\(x+1\)
Трето	\(x+2\)
Четвърто	\(x+3\)

I етап — записваме данните на математически език:

Нека първото число е \(x\). Тогава следващите три са \(x+1\), \(x+2\), \(x+3\).

Условието за сбора: \(x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=86\).

II етап — решаваме уравнението:

\(4x+6=86\Rightarrow 4x=80\Rightarrow x=20\).

III етап — тълкуваме: \(20\) е естествено число → приемливо. Четирите числа са \(20, 21, 22, 23\). Проверка: \(20+21+22+23=86\). ✓\(\;\blacksquare\)

2

Двуцифрено число има цифра на десетиците, равна на половината от цифрата на единиците. Разликата между числото и числото, записано със същите цифри в обратен ред, е \(-27\). Намерете числото.

▼

Решение

Двуцифрено число и числото с обратен ред на цифрите

Число	Цифра на десетиците	Цифра на единиците	Стойност
Първоначално	\(x\)	\(2x\)	\(10x+2x=12x\)
Обратен ред	\(2x\)	\(x\)	\(10\cdot2x+x=21x\)

Нека цифрата на десетиците е \(x\). Тогава цифрата на единиците е \(2x\).

Числото е \(10x+2x=12x\). Числото с обратен ред на цифрите: \(10\cdot2x+x=21x\).

Уравнение от условието: \(12x-21x=-27\Rightarrow -9x=-27\Rightarrow x=3\).

Проверка: \(x=3\) е цифра от \(1\) до \(9\) → допустимо. \(2x=6\) също е цифра. Числото е \(36\); обратното — \(63\); \(36-63=-27\). ✓

Търсеното число е \(36\).\(\;\blacksquare\)

3

Кое естествено число трябва да прибавим към числителя и знаменателя на дробта \(\dfrac{13}{19}\), за да получим дробта \(\dfrac{7}{9}\)?

▼

Решение

Нека търсеното число е \(x\). След прибавянето дробта става \(\dfrac{13+x}{19+x}\). Условието:

\(\dfrac{13+x}{19+x}=\dfrac{7}{9}\).

Умножаваме кръстосано: \(9(13+x)=7(19+x)\).

\(117+9x=133+7x\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8\).

Проверка: \(\dfrac{13+8}{19+8}=\dfrac{21}{27}=\dfrac{7}{9}\). ✓\(\;\blacksquare\)

4

Намислих едно число. Към него прибавих половината му и още \(1\) и получих \(100\). Кое число намислих?

▼

Решение

Нека намисленото число е \(x\). Условието:

\(x+\dfrac{x}{2}+1=100\).

Умножаваме двете страни с \(2\): \(2x+x+2=200\).

\(3x=198\Rightarrow x=66\).

Проверка: \(66+33+1=100\). ✓\(\;\blacksquare\)

5

Трима ученици имат общо \(225\) евро. Първият има \(\dfrac{2}{3}\) от парите на втория, а вторият — \(\dfrac{3}{4}\) от парите на третия. По колко евро има всеки?

▼

Решение

Представяне на парите на тримата ученици

Ученик	Пари	Представяне с x
Трети	Има \(x\) евро	\(x\)
Втори	\(\tfrac{3}{4}\) от парите на третия	\(\tfrac{3}{4}x\)
Първи	\(\tfrac{2}{3}\) от парите на втория	\(\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{4}x=\tfrac{1}{2}x\)

Нека третият има \(x\) евро. Тогава:

вторият има \(\dfrac{3}{4}x\) евро; първият има \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}x=\dfrac{1}{2}x\) евро

Общо: \(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}x+x=225\).

Умножаваме с \(4\): \(2x+3x+4x=900\Rightarrow 9x=900\Rightarrow x=100\).

Третият има \(100\) евро; вторият — \(75\) евро; първият — \(50\) евро

Проверка: \(50+75+100=225\). ✓\(\;\blacksquare\)

• Геометрични задачи

6

Триъгълник има обиколка \(9\) дм. Едната му страна е \(2\) пъти по-голяма от втората и с \(1\) дм по-голяма от третата. Намерете страните.

▼

Решение

Триъгълник с обиколка 9 дм

Нека втората страна е \(x\) дм. Тогава първата е \(2x\) дм, а третата — \(2x-1\) дм.

Обиколка: \(x+2x+(2x-1)=9\).

\(5x-1=9\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2\) дм.

Проверка: първа — \(4\) дм; втора — \(2\) дм; трета — \(3\) дм. Сбор \(4+2+3=9\). ✓

Проверка на триъгълното неравенство: \(4\lt2+3=5\). ✓ Триъгълникът съществува.\(\;\blacksquare\)

7

Обиколката на равнобедрен триъгълник е \(28\) см. Намерете страните му, ако бедрото е с \(2\) см по-дълго от основата.

▼

Решение

Равнобедрен триъгълник с обиколка 28 см

Нека основата е \(x\) см. Тогава бедрото е \(x+2\) см. В равнобедрен триъгълник двете бедра са равни.

Обиколка: \(x+(x+2)+(x+2)=28\).

\(3x+4=28\Rightarrow 3x=24\Rightarrow x=8\) см.

Основата е \(8\) см, бедрата — по \(10\) см. Проверка на триъгълното неравенство: \(8\lt10+10\). ✓\(\;\blacksquare\)

8

Обиколката на ромб е с \(10{,}4\) дм по-голяма от обиколката на равностранен триъгълник. Страната на равностранния триъгълник е с \(180\) мм по-малка от страната на ромба. Намерете дължините на страната на ромба и на равностранния триъгълник.

▼

Решение

Ромб и равностранен триъгълник

Привеждаме към едни мерни единици: \(10{,}4\) дм \(=104\) см; \(180\) мм \(=18\) см.

Нека страната на ромба е \(x\) см. Тогава страната на равностранния триъгълник е \(x-18\) см.

Обиколка на ромба: \(4x\); обиколка на триъгълника: \(3(x-18)\).

Условието: \(4x-3(x-18)=104\).

\(4x-3x+54=104\Rightarrow x=50\) см.

Страната на ромба е \(50\) см; страната на триъгълника — \(32\) см.

Проверка: \(4\cdot50-3\cdot32=200-96=104\) см \(=10{,}4\) дм. ✓\(\;\blacksquare\)

9

В триъгълник едната страна е половината от \(\dfrac{2}{3}\) от периметъра му, втората е \(\dfrac{4}{15}\) от периметъра, а третата — \(24\) см. Намерете периметъра.

▼

Решение

Триъгълник от з.9 (P = периметър)

Нека периметърът е \(P\) см.

Първа страна: \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}P=\dfrac{1}{3}P\).

Втора страна: \(\dfrac{4}{15}P\).

Трета страна: \(24\) см.

Сбор на страните дава периметъра: \(\dfrac{1}{3}P+\dfrac{4}{15}P+24=P\).

Привеждаме под общ знаменател \(15\): \(\dfrac{5}{15}P+\dfrac{4}{15}P+24=P\Rightarrow \dfrac{9}{15}P+24=P\).

Следователно \(24=\dfrac{6}{15}P=\dfrac{2}{5}P\Rightarrow P=60\) см.

Страните са: \(\dfrac{1}{3}\cdot60=20\) см; \(\dfrac{4}{15}\cdot60=16\) см; \(24\) см.

Проверка на триъгълното неравенство: \(24\lt20+16=36\). ✓ Триъгълникът съществува.\(\;\blacksquare\)

• Практическа текстова задача

10

В понеделник Дара сложила в касичката си, която била празна, няколко монети по \(0{,}50\) евро. Всеки следващ ден тя слагала с \(3\) евро повече от предходния. След като сложила и сумата за петък, в касичката имало \(40\) евро. Намерете колко евро е сложила Дара в сряда и колко монети по \(0{,}50\) евро е поставила в понеделник.

▼

Решение

Спестяванията на Дара от понеделник до петък

Нека в понеделник Дара е сложила \(x\) евро. Тогава:

във вторник — \(x+3\) евро; в сряда — \(x+6\) евро; в четвъртък — \(x+9\) евро; в петък — \(x+12\) евро

Общо: \(x+(x+3)+(x+6)+(x+9)+(x+12)=40\).

\(5x+30=40\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2\) евро

В сряда Дара е сложила \(2+6=8\) евро

В понеделник е сложила \(2\) евро в монети по \(0{,}50\) евро, т.е. \(2\div0{,}5=4\) монети.

Проверка: \(2+5+8+11+14=40\) евро ✓\(\;\blacksquare\)

• Задачи от движение

11

Автомобил изминал разстоянието между градовете \(A\) и \(B\) със скорост \(70\) км/ч. На връщане скоростта на автомобила била с \(10\) км/ч по-малка и той пътувал \(45\) минути повече, отколкото на отиване. Намерете разстоянието между градовете \(A\) и \(B\).

▼

Решение

Автомобил: отиване и връщане между градовете A и B

Движение на автомобила в двете посоки

	Скорост v (км/ч)	Време t (ч)	Разстояние s (км)
Отиване	70	\(t\)	\(70t\)
Връщане	60	\(t+\tfrac{3}{4}\)	\(60\left(t+\tfrac{3}{4}\right)\)

Нека времето на отиване е \(t\) часа. Тогава времето на връщане е \(t+\dfrac{45}{60}=t+\dfrac{3}{4}\) часа.

Разстоянието е едно и също: \(70t=60\left(t+\dfrac{3}{4}\right)\).

\(70t=60t+45\Rightarrow 10t=45\Rightarrow t=4{,}5\) часа.

Разстоянието: \(s=70\cdot4{,}5=315\) км.

Проверка: време на връщане \(4{,}5+0{,}75=5{,}25\) ч; \(60\cdot5{,}25=315\) км. ✓\(\;\blacksquare\)

12

Разстоянието между градовете \(A\) и \(B\) е \(144\) км. Едновременно един срещу друг тръгнали два автомобила, като скоростта на единия била с \(6\) км/ч по-малка от тази на другия. След \(72\) минути те се срещнали. Намерете скоростите на автомобилите.

▼

Решение

Два автомобила тръгват един срещу друг

Два автомобила един срещу друг

Автомобил	Скорост v (км/ч)	Време t (ч)	Разстояние s (км)
Първи	\(x\)	1,2	\(1{,}2x\)
Втори	\(x+6\)	1,2	\(1{,}2(x+6)\)

Превръщаме: \(72\) мин \(=\dfrac{72}{60}=1{,}2\) часа.

Нека скоростта на по-бавния автомобил е \(x\) км/ч. Тогава скоростта на другия е \(x+6\) км/ч.

При срещуположно движение сборът на разстоянията е цялото разстояние:

\(x\cdot1{,}2+(x+6)\cdot1{,}2=144\).

\(1{,}2(2x+6)=144\Rightarrow 2x+6=120\Rightarrow 2x=114\Rightarrow x=57\) км/ч.

Скоростите са \(57\) км/ч и \(63\) км/ч. Проверка: \((57+63)\cdot1{,}2=120\cdot1{,}2=144\). ✓\(\;\blacksquare\)

13

От един град тръгва мотоциклетист. След \(1{,}2\) часа от същия град след него тръгва автомобил, скоростта на който е с \(36\) км/ч по-голяма от скоростта на мотоциклетиста. Намерете скоростите им, ако автомобилът е настигнал мотоциклетиста \(1{,}5\) часа след тръгването си.

▼

Решение

Автомобилът настига мотоциклетиста

Догонване (автомобилът настига мотоциклетиста)

	Скорост v (км/ч)	Време t (ч)	Разстояние s (км)
Мотоциклетист	\(x\)	2,7	\(2{,}7x\)
Автомобил	\(x+36\)	1,5	\(1{,}5(x+36)\)

Нека скоростта на мотоциклетиста е \(x\) км/ч. Скоростта на автомобила е \(x+36\) км/ч.

До срещата мотоциклетистът е пътувал \(1{,}2+1{,}5=2{,}7\) часа; автомобилът — \(1{,}5\) часа. Те са изминали едно и също разстояние:

\(2{,}7x=1{,}5(x+36)\).

\(2{,}7x=1{,}5x+54\Rightarrow 1{,}2x=54\Rightarrow x=45\) км/ч.

Скоростта на мотоциклетиста е \(45\) км/ч; на автомобила — \(81\) км/ч.

Проверка: \(2{,}7\cdot45=121{,}5\) км; \(1{,}5\cdot81=121{,}5\) км. ✓\(\;\blacksquare\)

14

Моторна лодка изминала разстоянието между две речни пристанища по течението на реката за \(1{,}5\) часа и се върнала обратно за \(2\) часа. Намерете разстоянието между пристанищата, ако скоростта на лодката в спокойна вода е \(14\) км/ч.

▼

Решение

Моторна лодка по и срещу течение (v — скорост на течението)

Моторна лодка (\(v\) — скорост на течението)

	Скорост v (км/ч)	Време t (ч)	Разстояние s (км)
По течението	\(14+v\)	1,5	\(1{,}5(14+v)\)
Срещу течението	\(14-v\)	2	\(2(14-v)\)

Нека скоростта на течението е \(v\) км/ч.

Скорост по течението: \(14+v\); скорост срещу течението: \(14-v\).

Разстоянието е едно и също: \(1{,}5(14+v)=2(14-v)\).

\(21+1{,}5v=28-2v\Rightarrow 3{,}5v=7\Rightarrow v=2\) км/ч.

Разстоянието: \(s=1{,}5\cdot(14+2)=1{,}5\cdot16=24\) км.

Проверка: \(2\cdot(14-2)=2\cdot12=24\) км. ✓\(\;\blacksquare\)

15

От едно село към близкия град е тръгнал пешеходец със скорост \(4{,}25\) км/ч, а \(1\) час и \(30\) минути след него тръгва велосипедист със скорост \(17\) км/ч. След колко минути велосипедистът ще настигне пешеходеца и на колко километра от селото?

▼

Решение

Пешеходец и велосипедист (t — време за велосипедиста)

	Скорост v (км/ч)	Време t (ч)	Разстояние s (км)
Пешеходец	4,25	\(t+1{,}5\)	\(4{,}25(t+1{,}5)\)
Велосипедист	17	\(t\)	\(17t\)

Нека велосипедистът да пътува \(t\) часа до настигането.

Пешеходецът пътува \(t+1{,}5\) часа. Изминатите разстояния са равни:

\(4{,}25(t+1{,}5)=17t\).

\(4{,}25t+6{,}375=17t\Rightarrow 12{,}75t=6{,}375\Rightarrow t=0{,}5\) часа \(=30\) минути.

Разстояние от селото: \(s=17\cdot0{,}5=8{,}5\) км.

Проверка: пешеходецът пътува \(2\) часа; \(4{,}25\cdot2=8{,}5\) км. ✓\(\;\blacksquare\)

• Задачи от работа и смеси

16

В два бидона има мляко, като в първия има половината от количеството мляко във втория. След като в първия бидон добавили \(12\) литра, а от втория излели \(6\) литра, количеството мляко в двата бидона се изравнило. Намерете първоначалното количество мляко във всеки от бидоните.

▼

Решение

Мляко в двата бидона

Бидон	Първоначално (л)	След промяната (л)
Първи	\(x\)	\(x+12\)
Втори	\(2x\)	\(2x-6\)

Нека в първия бидон първоначално има \(x\) литра. Тогава във втория има \(2x\) литра.

След промените:

в първия: \(x+12\); във втория: \(2x-6\).

Количествата се изравняват: \(x+12=2x-6\Rightarrow x=18\) литра.

В първия бидон първоначално е имало \(18\) литра; във втория — \(36\) литра.

Проверка: \(18+12=30\); \(36-6=30\). ✓\(\;\blacksquare\)

17

Един работник може сам да свърши определена работа за \(6\) дни, а друг — за \(12\) дни. За колко дни двамата работници заедно ще свършат работата?

▼

Решение

Работа на двамата работници

Работник	Време за сам (дни)	Част за ден
Първи	6	\(\tfrac{1}{6}\)
Втори	12	\(\tfrac{1}{12}\)
Заедно	\(x\)	\(\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{12}\)

Цялата работа приемаме за \(1\). За ден първият работник свършва \(\dfrac{1}{6}\) от работата; вторият — \(\dfrac{1}{12}\).

Нека двамата заедно свършат работата за \(x\) дни.

За \(x\) дни двамата свършват: \(\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{12}=1\).

Умножаваме с \(12\): \(2x+x=12\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4\) дни.\(\;\blacksquare\)

18

Рибар може да оплете една мрежа за \(10\) дни. Ако друг рибар му помага \(2\) дни, мрежата ще е готова за \(6\) дни. За колко дни вторият рибар може сам да оплете мрежата?

▼

Решение

Работа на двамата рибари

Рибар	Част за ден	Работи дни	Изплита
Първи	\(\tfrac{1}{10}\)	6	\(\tfrac{6}{10}\)
Втори	\(x\)	2	\(2x\)

Първият рибар изплита за ден \(\dfrac{1}{10}\) от мрежата.

Нека вторият рибар изплита за един ден \(x\) част от мрежата.

За \(6\) дни първият изплита \(\dfrac{6}{10}\) от мрежата, а вторият за \(2\) дни изплита \(2x\).

Понеже мрежата е готова, получаваме:

\(\dfrac{6}{10}+2x=1\).

\(2x=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow x=\dfrac{1}{5}\).

Значи вторият рибар за ден изплита \(\dfrac{1}{5}\) от мрежата, следователно сам може да я оплете за \(5\) дни.\(\;\blacksquare\)

19

Басейн се пълни от две тръби и се изпразва от трета. Първата тръба пълни целия басейн за \(6\) часа, втората — за \(12\) часа, а третата изпразва за \(4\) часа. Ако басейнът е празен и се отворят едновременно и трите тръби, ще се напълни ли басейнът?

▼

Решение

Три тръби на басейна

Тръба	Време (ч)	Част за час	Действие
Първа	6	\(+\tfrac{1}{6}\)	пълни
Втора	12	\(+\tfrac{1}{12}\)	пълни
Трета	4	\(-\tfrac{1}{4}\)	изпразва

За час:

първата тръба напълва \(\dfrac{1}{6}\) от басейна; втората — \(\dfrac{1}{12}\); третата изпразва \(\dfrac{1}{4}\).

Общо изменение за час: \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{4}\).

Привеждаме под общ знаменател \(12\): \(\dfrac{2+1-3}{12}=\dfrac{0}{12}=0\).

Нивото на водата не се променя. Басейнът няма да се напълни — количеството вода в него се запазва постоянно.\(\;\blacksquare\)

20

Градинар прекопал \(\dfrac{3}{4}\) от градината. После прекопал още \(7{,}5\) кв. м. и му оставало да прекопае още \(\dfrac{3}{16}\) от градината. Колко квадратни метра е площта на градината?

▼

Решение

Нека площта на градината е \(S\) кв. м. Градинарят е прекопал:

\(\dfrac{3}{4}S+7{,}5\) кв. м.

Остава му \(\dfrac{3}{16}S\). Цялата градина:

\(\dfrac{3}{4}S+7{,}5+\dfrac{3}{16}S=S\).

Умножаваме с \(16\): \(12S+120+3S=16S\Rightarrow 120=S\).

Площта на градината е \(120\) кв. м. Проверка: \(\dfrac{3}{4}\cdot120+7{,}5+\dfrac{3}{16}\cdot120=90+7{,}5+22{,}5=120\). ✓\(\;\blacksquare\)

⭐ Задачи с повишена трудност

Конкурсни и историко-математически задачи.

21

(Роман Хайнацки, 2007 г.) Иванчо казал на по-големия си брат: „Братко, пресметнах, че преди \(9\) години ти си бил \(3\) пъти по-възрастен от мен, а само една година по-късно си бил два пъти по-възрастен от мен“. На колко години е Иванчо сега? ⭐ трудна

▼

Решение

Възрастите на Иванчо и брат му

	Сега	Преди 9 години	Преди 8 години
Иванчо	\(x\)	\(x-9\)	\(x-8\)
По-голям брат	\(y\)	\(y-9\)	\(y-8\)

Нека сегашната възраст на Иванчо е \(x\) години, а на по-големия му брат — \(y\) години.

Преди \(9\) години: Иванчо е бил \(x-9\), брат му — \(y-9\). Условие: \(y-9=3(x-9)\).

Преди \(8\) години: Иванчо е бил \(x-8\), брат му — \(y-8\). Условие: \(y-8=2(x-8)\).

От второто: \(y=2x-8\). Заместваме в първото:

\(2x-8-9=3x-27\Rightarrow 2x-17=3x-27\Rightarrow x=10\).

Тогава \(y=2\cdot10-8=12\).

Следователно Иванчо е на \(10\) години, а по-големият му брат е на \(12\) години.\(\;\blacksquare\)

22

(Роман Хайнацки, 2008 г.) Ако велосипедист се движи от вкъщи до съседния град със скорост \(10\) км/ч, ще закъснее с \(1\) час. Ако велосипедистът се движи със скорост \(15\) км/ч до съседния град, ще пристигне \(1\) час по-рано. С колко километра в час трябва да се движи велосипедистът, за да пристигне точно навреме? ⭐ трудна

▼

Решение

Три варианта за пътуването на велосипедиста

Скорост (км/ч)	Време (ч)	Разстояние (км)	Какво става
10	\(t+1\)	\(s=10(t+1)\)	закъснява с 1 ч
15	\(t-1\)	\(s=15(t-1)\)	пристига 1 ч по-рано
\(v\) (търсено)	\(t\)	\(s=vt\)	точно навреме

Нека разстоянието е \(s\) км, а времето за пристигане точно навреме — \(t\) часа.

При скорост \(10\) км/ч: времето е \(t+1\), значи \(s=10(t+1)\).

При скорост \(15\) км/ч: времето е \(t-1\), значи \(s=15(t-1)\).

Приравняваме: \(10(t+1)=15(t-1)\).

\(10t+10=15t-15\Rightarrow 25=5t\Rightarrow t=5\) часа.

Разстоянието: \(s=10\cdot6=60\) км.

Търсената скорост: \(v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{60}{5}=12\) км/ч.\(\;\blacksquare\)

23

(Роман Хайнацки, 2011 г.) Майсторът свършва цялата работа за \(6\) дни, а заедно с ученика си — за \(5\) дни. За колко дни ученикът сам ще свърши цялата работа? ⭐ трудна

▼

Решение

Работа на майстора и ученика

	Време за сам (дни)	Част за ден
Майстор	6	\(\tfrac{1}{6}\)
Ученик	неизвестно	\(x\)
Заедно	5	\(\tfrac{1}{5}\)

Майсторът свършва за ден \(\dfrac{1}{6}\) от работата.

Нека ученикът свършва за ден \(x\) част от работата.

Заедно за ден двамата свършват \(\dfrac{1}{5}\) от работата, защото заедно я завършват за \(5\) дни.

Следователно:

\(\dfrac{1}{6}+x=\dfrac{1}{5}\).

\(x=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{6-5}{30}=\dfrac{1}{30}\).

Ученикът свършва \(\dfrac{1}{30}\) част от работата за ден, следователно сам ще свърши цялата работа за \(30\) дни.\(\;\blacksquare\)

24

(Задача от Папируса на Ахмес, Египет, около 1650 г. пр.н.е.) Идва пастир със \(70\) бика. Питат го: „Каква част водиш от многобройното си стадо?“, а той отговаря: „Водя две трети от третината от стадото“. Колко бика има в стадото? ⭐ трудна

▼

Решение

Нека в стадото има \(x\) бика. Пастирът води \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}x=\dfrac{2}{9}x\) бика.

Условие: \(\dfrac{2}{9}x=70\).

Умножаваме с \(\dfrac{9}{2}\): \(x=70\cdot\dfrac{9}{2}=315\) бика.

Проверка: \(\dfrac{2}{9}\cdot315=\dfrac{630}{9}=70\). ✓\(\;\blacksquare\)

25

(Роман Хайнацки, 2009 г.) Всяка сутрин професор Забраванов отива на лекции, като се движи пеша от дома си до Университета със скорост \(4\) км/ч. Една сутрин по средата на пътя потърсил очилата си в джоба и като не ги намерил, се върнал да ги вземе. Точно пред дома си намерил очилата в другия си джоб и тръгнал обратно към Университета, като закъснял за лекцията си с \(15\) минути. На какво разстояние от Университета живее професор Забраванов? ⭐ трудна

▼

Решение

Пътят на професор Забраванов (общо 2s км)

Нека разстоянието от дома до Университета е \(s\) км.

При обичайния си път професорът изминава разстояние \(s\) км, затова времето му е \(\dfrac{s}{4}\) часа.

В този ден той е изминал:

\[\frac{s}{2}+\frac{s}{2}+s=2s\text{ км},\]

следователно общото време е:

\[\frac{2s}{4}=\frac{s}{2}\text{ часа}.\]

Закъснението е:

\[\frac{s}{2}-\frac{s}{4}=\frac{s}{4}\text{ часа}.\]

Понеже закъснението е \(15\) минути \(=\dfrac{1}{4}\) час, получаваме:

\[\frac{s}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow s=1\text{ км}.\]

Значи професор Забраванов живее на \(1\) км от Университета.\(\;\blacksquare\)

---

📝 Задачи за домашна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Намерете три последователни цели числа, чийто сбор е \(48\).
Отг.: Нека числата са \(x,x+1,x+2\). \(3x+3=48\Rightarrow x=15\). Числата: \(15,16,17\).

Задача 2Намерете три последователни четни числа, чийто сбор е \(138\).
Отг.: Числата са \(x,x+2,x+4\). \(3x+6=138\Rightarrow x=44\). Числата: \(44,46,48\).

Задача 3Намерете три последователни нечетни числа, чийто сбор е \(87\).
Отг.: Числата са \(x,x+2,x+4\). \(3x+6=87\Rightarrow x=27\). Числата: \(27,29,31\).

Задача 4Към естествено число прибавих \(625\) и то се увеличи \(26\) пъти. Кое е това число?
Отг.: \(x+625=26x\Rightarrow 25x=625\Rightarrow x=25\).

Задача 5Светла избра едно число. Към него прибави \(5\). Раздели резултата на \(7\). Частното умножи по \(6\). От произведението извади \(4\). Тази разлика раздели на \(8\) и получи \(7\). Кое число избра Светла?
Отг.: \(\tfrac{1}{8}\left(\tfrac{6(x+5)}{7}-4\right)=7\Rightarrow \tfrac{6(x+5)}{7}-4=56\Rightarrow \tfrac{6(x+5)}{7}=60\Rightarrow 6(x+5)=420\Rightarrow x+5=70\Rightarrow x=65\).

Задача 6Сборът на две числа е \(26\dfrac{2}{5}\), а частното им е \(3{,}4\). Кое е по-малкото число?
Отг.: Нека малкото число е \(x\), голямото \(3{,}4x\). \(x+3{,}4x=26{,}4\Rightarrow 4{,}4x=26{,}4\Rightarrow x=6\).

Задача 7Сега Радко е на \(9\) години, а Боби — на \(1\) година. След колко години Радко ще бъде \(3\) пъти по-възрастен от Боби?
Отг.: След \(x\) години: \(9+x=3(1+x)\Rightarrow 9+x=3+3x\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3\) години.

Задача 8Сашко е на \(3\) години, а баща му — на \(31\) години. След колко години бащата ще бъде \(5\) пъти по-възрастен от сина си?
Отг.: \(31+x=5(3+x)\Rightarrow 31+x=15+5x\Rightarrow 4x=16\Rightarrow x=4\) години.

Задача 9Елица е на \(28\) години, а майка ѝ — на \(50\) години. Преди колко години Елица е била на половината от възрастта на майка си?
Отг.: \(50-x=2(28-x)\Rightarrow 50-x=56-2x\Rightarrow x=6\) години.

Задача 10Сашо е на \(5\) години. Баща му е на \(35\) години. След колко години бащата ще бъде \(4\) пъти по-възрастен от сина?
Отг.: \(35+x=4(5+x)\Rightarrow 35+x=20+4x\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5\) години.

Задача 11Обиколката на триъгълник е \(34\) см. Първата страна е с \(4\) см по-малка от втората, а третата е с \(2\) см по-голяма от втората. Намерете страните.
Отг.: Нека втората е \(x\). \((x-4)+x+(x+2)=34\Rightarrow 3x-2=34\Rightarrow 3x=36\Rightarrow x=12\) см. Страните са \(8\) см, \(12\) см и \(14\) см.

Задача 12Периметърът на правоъгълник е \(48\) см. Дължината е с \(4\) см по-голяма от ширината. Намерете страните.
Отг.: Нека ширината е \(x\). Периметър: \(2x+2(x+4)=48\Rightarrow 4x+8=48\Rightarrow x=10\). Страни: \(10\) см и \(14\) см.

Задача 13Обиколката на равнобедрен триъгълник е \(28\) см. Намерете страните, ако бедрото е с \(2\) см по-дълго от основата.
Отг.: Нека основата е \(x\). \(x+2(x+2)=28\Rightarrow 3x=24\Rightarrow x=8\) см. Бедра: \(10\) см.

Задача 14Обиколката на ромб е \(52\) см. Страната е с \(3\) см по-малка от страната на квадрат с периметър \(64\) см. Вярно ли е условието?
Отг.: Страна на ромб \(=52:4=13\) см. Страна на квадрат \(=64:4=16\) см. \(16-13=3\) ✓ Условието е вярно.

Задача 15Два автомобила тръгнали едновременно един срещу друг от два града, отстоящи на \(210\) км. Скоростта на единия е \(55\) км/ч, а на другия — \(50\) км/ч. След колко часа ще се срещнат?
Отг.: \(55t+50t=210\Rightarrow 105t=210\Rightarrow t=2\) часа.

Задача 16От град \(A\) тръгва велосипедист със скорост \(12\) км/ч. След \(2\) часа след него тръгва мотоциклетист със скорост \(36\) км/ч. След колко часа мотоциклетистът ще настигне велосипедиста?
Отг.: \(12(t+2)=36t\Rightarrow 24=24t\Rightarrow t=1\) час след тръгване на мотоциклетиста.

Задача 17Лодка изминава \(30\) км по течение на река за \(2\) часа, а същото разстояние срещу течението — за \(3\) часа. Намерете скоростта на лодката в спокойна вода.
Отг.: Скорост по течението \(=15\); срещу \(=10\). Ако \(v_l\) е скорост в спокойна вода, \(v_r\) — на течението: \(v_l+v_r=15\); \(v_l-v_r=10\). \(v_l=12{,}5\) км/ч; \(v_r=2{,}5\) км/ч.

Задача 18Конник със скорост \(12\) км/ч трябва да настигне пешеходец, тръгнал преди \(7\) часа със скорост \(5\) км/ч. Колко часа са необходими на конника?
Отг.: \(12t=5(t+7)\Rightarrow 7t=35\Rightarrow t=5\) часа.

Задача 19От \(A\) към \(B\) тръгва автомобил със скорост \(80\) км/ч. Едновременно от \(B\) към \(A\) тръгва друг със скорост \(60\) км/ч. Разстоянието \(AB\) е \(280\) км. След колко часа ще се срещнат и на какво разстояние от \(A\)?
Отг.: \(80t+60t=280\Rightarrow t=2\) часа. Разстояние от \(A\): \(80\cdot2=160\) км.

Задача 20Два влака тръгват едновременно от гари \(A\) и \(B\), отстоящи на \(340\) км една от друга, един срещу друг. Скоростта на единия е с \(5\) км/ч по-голяма от скоростта на другия. Намерете скоростите им, ако \(2\) часа след тръгването им разстоянието между тях е \(30\) км.
Отг.: Нека скоростите са \(v\) и \(v+5\). За \(2\) ч изминали общо \(340-30=310\) км. \(2v+2(v+5)=310\Rightarrow 4v+10=310\Rightarrow v=75\) км/ч. Скорости: \(75\) и \(80\) км/ч.

Задача 21Моторница изминава \(126\) км по течението на река за \(3\) часа. Скоростта на течението е \(4\) км/ч. Колко километра ще измине моторницата за \(5\) часа срещу течението на реката?
Отг.: Скорост по течението: \(126:3=42\) км/ч. Скорост в спокойна вода: \(42-4=38\) км/ч. Срещу течението: \(38-4=34\) км/ч. За \(5\) часа: \(170\) км.

Задача 22Две гари \(A\) и \(B\) са на разстояние \(120\) км. В 10:00 ч. от \(A\) към \(B\) тръгва влак със скорост \(60\) км/ч, а \(15\) мин. по-късно от \(B\) за \(A\) тръгва друг влак със скорост \(80\) км/ч. В колко часа ще се срещнат?
Отг.: До тръгването на втория влак първият е изминал \(15\) км. Остава \(105\) км. \(60t+80t=105\Rightarrow t=0{,}75\) ч \(=45\) мин. Срещата е в 11:00 ч.

Задача 23Един работник може да свърши работата за \(8\) часа, друг — за \(12\) часа. За колко часа ще я свършат заедно?
Отг.: \(\tfrac{x}{8}+\tfrac{x}{12}=1\Rightarrow 3x+2x=24\Rightarrow x=4{,}8\) часа.

Задача 24Първа тръба пълни басейн за \(5\) часа, втора — за \(4\) часа. За колко часа ще го напълнят заедно?
Отг.: \(\tfrac{x}{5}+\tfrac{x}{4}=1\Rightarrow 4x+5x=20\Rightarrow x=\tfrac{20}{9}\approx2{,}22\) часа.

Задача 25Майстор може да построи къща за \(1\) година, втори — за \(2\) години, трети — за \(3\) години, четвърти — за \(4\) години. Ще успеят ли четиримата заедно да построят къщата за половин година?
Отг.: За година заедно свършват \(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{25}{12}\) къщи. За половин година: \(\tfrac{25}{24}\gt1\). Да, ще успеят (за \(\tfrac{12}{25}\) години \(\approx175\) дни).

Задача 26Слонът може да изпие езеро за \(3\) ч., слоницата — за \(5\) ч., слончето — за \(6\) ч. За колко време заедно ще го изпият?
Отг.: За час заедно: \(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{10+6+5}{30}=\tfrac{21}{30}=\tfrac{7}{10}\). Време: \(\tfrac{10}{7}\approx1{,}43\) ч.

Задача 27Дивата патица лети \(7\) дни от южното до северното море. Дивата гъска лети \(9\) дни от северното до южното море. Ако те излетят едновременно, след колко дни ще се срещнат?
Отг.: \(\tfrac{x}{7}+\tfrac{x}{9}=1\Rightarrow 9x+7x=63\Rightarrow x=\tfrac{63}{16}\approx3{,}94\) дни.

Задача 28Морската вода съдържа \(5\%\) сол. Колко литра чиста вода трябва да прибавим към \(40\) л. морска вода, за да се получи вода с \(2\%\) сол?
Отг.: Количеството сол остава същото: \(0{,}05\cdot40=2\) л. Нека прибавим \(x\) л. чиста вода. Общо \((40+x)\) л. разтвор с \(2\%\) сол: \(0{,}02(40+x)=2\Rightarrow 40+x=100\Rightarrow x=60\) л.

Задача 29За рождения ден на Вальо неговите приятели решили да му подарят картина. Те пресметнали, че ако всеки даде по \(20\) евро, няма да им стигнат \(20\) евро, а ако съберат по \(24{,}50\) евро, ще им останат \(2{,}50\) евро. Колко са приятелите на Вальо и колко струва картината?
Отг.: Нека приятелите са \(n\). Цена = \(20n+20=24{,}50n-2{,}50\Rightarrow 22{,}50=4{,}50n\Rightarrow n=5\). Цена: \(20\cdot5+20=120\) евро.

Задача 30(Ръкопис от Бакшали, VI–VIII в.) От четирима жертвоприносители вторият дал два пъти повече от първия, третият — \(3\) пъти повече от втория, четвъртият — \(4\) пъти повече от третия, а всички заедно дали \(132\) монети. Колко е дал първият?
Отг.: Нека първият дал \(x\). Вторият \(2x\), третият \(6x\), четвъртият \(24x\). \(x+2x+6x+24x=132\Rightarrow 33x=132\Rightarrow x=4\) монети.

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Моделиране с уравнение от вида ax+b=0

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Сборът на три последователни цели числа е \(48\). По-малкото число е:

\(14\) \(15\) \(16\) \(17\)

2Към естествено число прибавих \(625\) и то се увеличи \(26\) пъти. Числото е:

\(20\) \(24\) \(25\) \(125\)

3Обиколката на равнобедрен триъгълник е \(28\) см. Ако бедрото е с \(2\) см по-дълго от основата, основата е:

\(6\) см \(8\) см \(10\) см \(12\) см

4Сега Радко е на \(9\) години, а Боби — на \(1\) година. След колко години Радко ще бъде \(3\) пъти по-възрастен от Боби?

\(5\) \(4\) \(2\) \(3\)

5Два автомобила тръгват едновременно един срещу друг от два града, отстоящи на \(210\) км. Скоростите им са \(55\) и \(50\) км/ч. След колко часа ще се срещнат?

\(2\) часа \(3\) часа \(1\) час \(4\) часа

6От град \(A\) тръгва велосипедист със скорост \(12\) км/ч. След \(2\) часа след него тръгва мотоциклетист със скорост \(36\) км/ч. След колко часа (от тръгването на мотоциклетиста) ще го настигне?

\(0{,}5\) ч \(1{,}5\) ч \(1\) ч \(2\) ч

7Моторна лодка изминала разстоянието между две пристанища по течението за \(1{,}5\) ч и се върнала за \(2\) ч. Скоростта в спокойна вода е \(14\) км/ч. Скоростта на течението е:

\(2\) км/ч \(1\) км/ч \(3\) км/ч \(4\) км/ч

8Разстоянието между двете пристанища от задача 7 е:

\(18\) км \(20\) км \(21\) км \(24\) км

9Един работник свършва работата за \(6\) дни, друг — за \(12\) дни. Заедно ще я свършат за:

\(3\) дни \(4\) дни \(5\) дни \(9\) дни

10Първа тръба пълни басейн за \(6\) ч, втора — за \(12\) ч, а трета изпразва за \(4\) ч. Ако отворим и трите, басейнът:

ще се напълни за \(3\) ч ще се напълни за \(6\) ч нивото няма да се промени ще се изпразни

11В първия бидон има половината от количеството мляко във втория. След като в първия добавят \(12\) л, а от втория излеят \(6\) л, количествата се изравняват. Първоначално в първия е имало:

\(12\) л \(15\) л \(24\) л \(18\) л

12Трима ученици имат общо \(225\) евро. Първият има \(\tfrac{2}{3}\) от парите на втория, а вторият — \(\tfrac{3}{4}\) от парите на третия. Третият има:

\(75\) евро \(100\) евро \(125\) евро \(150\) евро

13Няколко приятели решават да купят подарък. Ако всеки даде по \(20\) евро, не стигат \(20\) евро; ако всеки даде по \(24{,}50\) евро, остават \(2{,}50\) евро. Приятелите са:

\(5\) \(4\) \(6\) \(7\)

14Морската вода съдържа \(5\%\) сол. Колко литра чиста вода трябва да се прибавят към \(40\) л., за да се получи вода с \(2\%\) сол?

\(40\) л \(50\) л \(80\) л \(60\) л

15Иванчо казал на по-големия си брат: „Преди \(9\) години ти беше \(3\) пъти по-възрастен от мен, а година по-късно беше \(2\) пъти по-възрастен от мен“. На колко години е сега Иванчо?

\(8\) \(9\) \(10\) \(12\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

11

Числови равенства – свойства. Уравнение от вида \(ax+b=0\)

Свойства на числовите равенства, решаване на линейни уравнения от вида ax+b=0, разкриване на скоби, уравнения с дроби — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

10

Питагорова теорема

Приложения в правоъгълен триъгълник, Питагорови тройки, височина към хипотенузата, диагонал на правоъгълник — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆