Питагорова теорема
Питагорова теорема —
приложения, Питагорови тройки, височина, координатна система
Питагоровата теорема е една от най-прочутите и най-приложими теореми в геометрията. Тя носи името на Питагор — древногръцкия математик и философ, живял преди 2500 години, който виждал във Вселената хармония, изразена чрез числа (за живота и откритията му препоръчваме статията Питагор и математическата хармония във Вселената). В този урок разглеждаме систематично нейните приложения: директно намиране на страни в правоъгълен триъгълник, диагонал на правоъгълник и квадрат, височина към хипотенузата, Питагорови тройки, разстояние между точки в координатна система, приложения в равнобедрен триъгълник и в трапец.
В правоъгълен триъгълник с катети \(a,b\) и хипотенуза \(c\) е изпълнено:
\[a^2+b^2=c^2.\]Обратно: ако в триъгълник със страни \(a,b,c\) е в сила \(a^2+b^2=c^2\), то триъгълникът е правоъгълен с хипотенуза \(c\) (обратна на Питагоровата теорема).
- Диагонал на правоъгълник със страни \(a,b\): \(d^2=a^2+b^2\).
- Ако \((a,b,d)\) е Питагорова тройка, диагоналът \(d\) е цяло число. Примери: страни \(3\) и \(4\) → \(d=5\); страни \(5\) и \(12\) → \(d=13\); страни \(8\) и \(15\) → \(d=17\).
- Височина в равнобедрен триъгълник към основата се намира в правоъгълния триъгълник, образуван от половината основа, бедрото и височината: \(h^2=\text{бедро}^2-\left(\dfrac{\text{основа}}{2}\right)^2\).
В правоъгълен триъгълник с катети \(a,b\) и хипотенуза \(c\), височината към хипотенузата се намира по формулата:
\[h_c=\frac{a\cdot b}{c}.\]Тя произлиза от това, че лицето на правоъгълен триъгълник може да се изрази по два начина: чрез катетите (\(S=\frac{ab}{2}\)) и чрез хипотенуза и височина към нея (\(S=\frac{c\cdot h_c}{2}\)).
В задачите подбираме координати така, че \(|AB|^2\) да е квадрат на цяло число, т.е. да се получава чиста Питагорова тройка.
Извеждане чрез правоъгълен триъгълник с катети, успоредни на осите
Правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза c
Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.
Правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при C, катети AC=3 и BC=4, хипотенуза AB=5
По теоремата на Питагор: \(AB^2=AC^2+BC^2\).
\[AB^2=3^2+4^2=9+16=25.\]Понеже \(5^2=25\), то \(AB=5\) см.\(\;\blacksquare\)
(Тройката \(3,4,5\) е най-известната Питагорова тройка.)
Правоъгълен триъгълник 7-24-25 (прав ъгъл при C)
От \(AB^2=AC^2+BC^2\) следва \(AC^2=AB^2-BC^2\).
\[AC^2=25^2-24^2=625-576=49.\]Понеже \(7^2=49\), то \(AC=7\) см.\(\;\blacksquare\)
(Тройката \(7,24,25\) също е Питагорова.)
Правоъгълен триъгълник 8-15-17 с обиколка 40 дм (прав ъгъл при C)
Намираме хипотенузата:
\[AB^2=AC^2+BC^2=15^2+8^2=225+64=289.\]Понеже \(17^2=289\), то \(AB=17\) дм.
Обиколка: \(P=AC+BC+AB=15+8+17=40\) дм.\(\blacksquare\)
Правоъгълен триъгълник 12-35-37 (прав ъгъл при C)
Намираме катета \(AC\):
\[AC^2=AB^2-BC^2=37^2-35^2=1369-1225=144.\]Понеже \(12^2=144\), то \(AC=12\) см.
(Тройката \(12,35,37\) е Питагорова.)
\[S=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{12\cdot35}{2}=210\text{ кв. см}.\;\blacksquare\]Правоъгълник с диагонал AC (илюстрация към пресмятане по Питагор)
Диагоналът на правоъгълник се намира по Питагор от двете страни.
а) Превръщаме в едни мерни единици: \(AB=40\) см, \(BC=9\) см.
\[AC^2=40^2+9^2=1600+81=1681.\]Понеже \(41^2=1681\), то \(AC=41\) см.
б) \(DC=160\) мм \(=16\) см, \(AD=12\) см.
\[AC^2=12^2+16^2=144+256=400.\]Понеже \(20^2=400\), то \(AC=20\) см.\(\;\blacksquare\)
Да предположим, че страните \(a,b,c\) са нечетни числа и \(a^2+b^2=c^2\).
Основно наблюдение: квадратът на нечетно число винаги е нечетен. Ако \(a\) е нечетно (например \(3,5,7,11,\ldots\)), то \(a^2\) също е нечетно (\(9,25,49,121,\ldots\)). Същото важи за \(b\) и \(c\).
Сега сравняваме двете страни на равенството \(a^2+b^2=c^2\):
- Лявата страна: \(a^2+b^2\) — сбор на две нечетни числа, следователно е четно число.
- Дясната страна: \(c^2\) — квадрат на нечетно число, следователно е нечетно число.
Получаваме, че четно число е равно на нечетно число, което е невъзможно. Следователно не съществува правоъгълен триъгълник с три нечетни страни.\(\blacksquare\)
Правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при C, катети AC и BC
Намираме хипотенузата: \(AB^2=9+16=25\), а понеже \(5^2=25\), то \(AB=5\) см.
Лицето на правоъгълен триъгълник може да се изрази по два начина: чрез катетите и чрез хипотенуза и височина към нея.
\[S=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot h_c}{2}\Rightarrow h_c=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ см}.\;\blacksquare\]Правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при C и височина h_c към хипотенузата
Намираме другия катет: \(AC^2=AB^2-BC^2=169-25=144\). Понеже \(12^2=144\), то \(AC=12\) см.
\[h_c=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}\approx4{,}62\text{ см}.\;\blacksquare\]От лицето: \(S=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=30\Rightarrow BC=\dfrac{60}{AC}=\dfrac{60}{12}=5\) см.
Намираме хипотенузата: \(AB^2=12^2+5^2=144+25=169\). Понеже \(13^2=169\), то \(AB=13\) см.
\[h_c=\frac{2S}{AB}=\frac{2\cdot30}{13}=\frac{60}{13}\approx4{,}62\text{ см}.\;\blacksquare\]а) \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\). ✓ Питагорова тройка.
б) \(3^2+5^2=9+25=34\neq36=6^2\). ✗ Не е.
в) \(20^2+21^2=400+441=841=29^2\). ✓ Питагорова тройка.
г) \(99^2+4900^2=9801+24\,010\,000=24\,019\,801\); \(4901^2=24\,019\,801\). ✓ Питагорова тройка.\(\blacksquare\)
Четириъгълник ABCD, разделен от диагонала AC на два правоъгълни триъгълника
а) От \(\triangle ABC\) с прав ъгъл при \(B\): \(BC^2=AC^2-AB^2=169-25=144\). Понеже \(12^2=144\), то \(BC=12\) см.
б) \(DC=7\cdot BC=7\cdot12=84\) см. От \(\triangle ACD\) с прав ъгъл при \(C\): \(AD^2=AC^2+DC^2=169+7056=7225\). Понеже \(85^2=7225\), то \(AD=85\) см.
в) Обиколка: \(P=AB+BC+CD+DA=5+12+84+85=186\) см.
Лице: \(S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\dfrac{5\cdot12}{2}+\dfrac{13\cdot84}{2}=30+546=576\) кв. см.\(\blacksquare\)
Построяваме правоъгълен триъгълник \(APB\) с прав ъгъл при точката \(P(x_B;y_A)\) (катетите му са успоредни на осите).
Катети: \(|AP|=|x_A-x_B|\) (хоризонтална отсечка); \(|PB|=|y_A-y_B|\) (вертикална отсечка).
По Питагоровата теорема:
\[|AB|^2=|AP|^2+|PB|^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2.\]В задачи с конкретни координати се избират стойности така, че \(|AB|^2\) да е квадрат на цяло число, т.е. \(|AB|\) да е цяло число.\(\blacksquare\)
Правоъгълен триъгълник ABC в координатна система
\(A\) и \(C\) имат еднаква абсциса (\(x=-4\)) \(\Rightarrow AC\parallel Oy\); \(|AC|=|6-(-2)|=8\) см.
\(B\) и \(C\) имат еднаква ордината (\(y=-2\)) \(\Rightarrow BC\parallel Ox\); \(|BC|=|11-(-4)|=15\) см.
\(\triangle ABC\) е правоъгълен при \(C\) (катети \(AC\) и \(BC\) лежат на перпендикулярни прави).
Хипотенуза: \(|AB|^2=8^2+15^2=64+225=289\). Понеже \(17^2=289\), то \(|AB|=17\) см.
Обиколка: \(P=8+15+17=40\) см. Лице: \(S=\dfrac{8\cdot15}{2}=60\) кв. см.\(\blacksquare\)
Правоъгълен триъгълник ABC при симетрии в координатна система
Прилагаме правилата за симетрии: \(B(4;-3)\), \(C(4;3)\).
\(A(-4;-3)\) и \(B(4;-3)\) имат еднаква ордината \(\Rightarrow|AB|=|{-4}-4|=8\).
\(B(4;-3)\) и \(C(4;3)\) имат еднаква абсциса \(\Rightarrow|BC|=|{-3}-3|=6\).
\(\triangle ABC\) е правоъгълен при \(B\). По Питагор: \(|AC|^2=8^2+6^2=100\). Понеже \(10^2=100\), то \(|AC|=10\) см.
Периметър на \(\triangle ABC\): \(P=8+6+10=24\) см.\(\blacksquare\)
Трапец ABCD в координатна система
Анализираме страните:
\(A\) и \(B\) имат еднаква ордината (\(y=-12\)) \(\Rightarrow AB\parallel Ox\); \(|AB|=|{-12}-18|=30\) см.
\(C\) и \(D\) имат еднаква ордината (\(y=12\)) \(\Rightarrow CD\parallel Ox\); \(|CD|=|8-(-5)|=13\) см.
\(AB\parallel CD\), но \(|AB|\neq|CD|\), значи \(ABCD\) е трапец с основи \(AB\) и \(CD\). Височината е разстоянието между двете хоризонтални прави: \(h=|{-12}-12|=24\) см.
Бедрата \(BC\) и \(AD\) намираме по Питагор:
\(|BC|^2=(18-8)^2+(-12-12)^2=100+576=676\). Понеже \(26^2=676\), то \(|BC|=26\) см.
\(|AD|^2=(-12-(-5))^2+(-12-12)^2=49+576=625\). Понеже \(25^2=625\), то \(|AD|=25\) см.
Обиколка: \(P=30+26+13+25=94\) см.
Лице (на трапец): \(S=\dfrac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\dfrac{(30+13)\cdot24}{2}=\dfrac{43\cdot24}{2}=516\) кв. см.\(\blacksquare\)
Триъгълник ABC в координатна система
а) Височината от \(C\) към \(AB\) (\(AB\parallel Ox\) с \(y=5\)) е разстоянието по вертикала: \(h=|5-(-7)|=12\) см.
От \(S=\dfrac{AB\cdot h}{2}=84\): \(AB=\dfrac{168}{12}=14\) см.
б) \(|AB|=|{-3}-b|=14\); тъй като \(b\gt0\), получаваме \(b-(-3)=14\Rightarrow b=11\). Значи \(B(11;5)\).
в) Пресмятаме другите страни:
\(|AC|^2=(-3-2)^2+(5-(-7))^2=25+144=169\). Понеже \(13^2=169\), то \(|AC|=13\) см.
\(|BC|^2=(11-2)^2+(5-(-7))^2=81+144=225\). Понеже \(15^2=225\), то \(|BC|=15\) см.
Периметър: \(P=14+13+15=42\) см.\(\blacksquare\)
Триъгълник ABC с височина CH към основата AB
а) От \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot CH}{2}=240\): \(CH=\dfrac{480}{40}=12\) см.
б) Нека \(AH=x\), тогава \(BH=7x\). От \(AH+BH=AB\): \(x+7x=40\Rightarrow x=5\). Значи \(AH=5\) см, \(BH=35\) см.
в) Триъгълникът \(ACH\) е правоъгълен при \(H\) (\(CH\perp AB\)). По Питагор:
\[AC^2=AH^2+CH^2=5^2+12^2=25+144=169.\]Понеже \(13^2=169\), то \(AC=13\) см.\(\;\blacksquare\)
Равнобедрен триъгълник с основа AB=6 и бедра AC=BC=5; височина към основата
В равнобедрен триъгълник височината към основата съвпада с медианата, т.е. разделя основата на две равни части: \(\tfrac{AB}{2}=3\) см.
Образуваме правоъгълен триъгълник с хипотенуза бедрото \(5\) и катет \(3\). По Питагор:
\[h^2=5^2-3^2=25-9=16.\]Понеже \(4^2=16\), то \(h=4\) см.
\[S=\frac{AB\cdot h}{2}=\frac{6\cdot4}{2}=12\text{ кв. см}.\;\blacksquare\]Равнобедрен трапец с височини
Спускаме височини от \(C\) и \(D\) към \(AB\). В равнобедрен трапец двете крайни отсечки са равни:
\[\frac{AB-CD}{2}=\frac{18-6}{2}=6\text{ см}.\]В правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(BC=10\) и катет \(6\): \(h^2=10^2-6^2=64\). Понеже \(8^2=64\), то \(h=8\) см.
\[S=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{24\cdot8}{2}=96\text{ кв. см}.\;\blacksquare\]Правоъгълник с диагонал AC (илюстрация към пресмятане по Питагор)
Диагоналът в правоъгълник образува два правоъгълни триъгълника с катети — страните на правоъгълника.
а) \(d^2=9^2+12^2=81+144=225\). Понеже \(15^2=225\), то \(d=15\) см (тройка \(9,12,15\) е кратна на \(3,4,5\)).
б) \(d^2=20^2+21^2=400+441=841\). Понеже \(29^2=841\), то \(d=29\) см (Питагорова тройка \(20,21,29\)).\(\blacksquare\)
Конкурсни задачи и доказателства от по-високо ниво.
Геометрично доказателство — два квадрата със страна (a+b)
Пресмятаме лицето на квадрата \(ABCD\) по два различни начина.
Начин 1: Страната е \(a+b\), следователно:
\[S_{ABCD}=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]Начин 2: Лицето е сума от 4-те правоъгълни триъгълника и вписания квадрат със страна \(c\):
\[S_{ABCD}=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2.\]От \(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\) получаваме:
\[a^2+b^2=c^2.\;\blacksquare\]Нека \(a,b\) са катети, \(c\) — хипотенуза, тогава \(a^2+b^2=c^2\), откъдето \(a\lt c\) и \(b\lt c\) (\(a\) и \(b\) са положителни).
Сравняваме \(a^3+b^3\) и \(c^3\). Преобразуваме:
\[a^3+b^3=a\cdot a^2+b\cdot b^2\lt c\cdot a^2+c\cdot b^2=c(a^2+b^2)=c\cdot c^2=c^3.\]Следователно \(a^3+b^3\lt c^3\).\(\blacksquare\)
Четириъгълник ABCD с перпендикулярни диагонали AC и BD
Нека \(O\) е пресечната точка на диагоналите. Означаваме \(OA=p\), \(OB=q\), \(OC=r\), \(OD=s\).
Понеже \(AC\perp BD\), четирите триъгълника \(\triangle OAB\), \(\triangle OBC\), \(\triangle OCD\), \(\triangle ODA\) са правоъгълни при \(O\). По Питагор:
\(AB^2=p^2+q^2\); \(\quad CD^2=r^2+s^2\); \(\quad AD^2=p^2+s^2\); \(\quad BC^2=q^2+r^2\).
Следователно:
\[AB^2+CD^2=p^2+q^2+r^2+s^2=AD^2+BC^2.\;\blacksquare\]Нека \(c\) е хипотенузата. Лицето изразяваме по два начина:
\[S=\frac{ab}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}\Rightarrow h_c=\frac{ab}{c}.\]Следователно:
\[\frac{1}{h_c^2}=\frac{c^2}{a^2b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{a^2}{a^2b^2}+\frac{b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}.\;\blacksquare\]Правоъгълен триъгълник с катети, разделени на равни части (прав ъгъл при C)
а) Нека дължината на една равна отсечка е \(x\). Тогава катетите са \(4x\) и \(3x\). По Питагор:
\[(4x)^2+(3x)^2=35^2\Rightarrow 16x^2+9x^2=1225\Rightarrow25x^2=1225\Rightarrow x^2=49.\]Понеже \(7^2=49\), то \(x=7\) см.
Катетите са \(4\cdot7=28\) см и \(3\cdot7=21\) см.
б) Височината към хипотенузата:
\[h_c=\frac{ab}{c}=\frac{28\cdot21}{35}=\frac{588}{35}=16{,}8\text{ см}.\;\blacksquare\]Опитайте да решите задачите самостоятелно.
Отг.: \(13\) см.
Отг.: \(17\) см.
Отг.: \(8\) см.
Отг.: \(AB=6{,}5\) см; \(P=6+2{,}5+6{,}5=15\) см.
Отг.: \(AC=9\) см; \(P=15+12+9=36\) см.
Отг.: \(AC=16\) см; \(S=\tfrac{16\cdot12}{2}=96\) кв. см.
Отг.: \(81+1600=1681=41^2\) ✓ Да.
Отг.: \(25+144=169=13^2\) ✓; \(36+64=100=10^2\) ✓. И двете са Питагорови.
Отг.: \(d=15\) см.
Отг.: \(d=29\) см.
Отг.: \(x^2=25^2-24^2=625-576=49\); понеже \(7^2=49\), то \(x=7\) см (тройка \(7,24,25\)).
Отг.: Другата страна \(24\) см; \(S=7\cdot24=168\) кв. см.
Отг.: \(c=15\); \(h_c=\tfrac{9\cdot12}{15}=7{,}2\) см.
Отг.: Другият катет \(20\); \(h_c=\tfrac{15\cdot20}{25}=12\) см.
Отг.: \(c=10\); \(h_c=\tfrac{48}{10}=4{,}8\). \(\tfrac{1}{4{,}8^2}=\tfrac{1}{23{,}04}\); \(\tfrac{1}{64}+\tfrac{1}{36}=\tfrac{9+16}{576}=\tfrac{25}{576}=\tfrac{1}{23{,}04}\). ✓
Отг.: \(h^2=13^2-5^2=169-25=144\); понеже \(12^2=144\), то \(h=12\) см.
Отг.: \(h=6\) см; \(S=\tfrac{16\cdot6}{2}=48\) кв. см.
Отг.: Крайна отсечка \(\tfrac{20-8}{2}=6\); \(h=8\) см; \(S=\tfrac{28\cdot8}{2}=112\) кв. см.
Отг.: хоризонтална разлика \(14-2=12\); \(BC^2=12^2+5^2=144+25=169\); понеже \(13^2=169\), то \(BC=13\) см. \(S=\tfrac{(14+2)\cdot5}{2}=40\) кв. см.
Отг.: \(|AB|=5\).
Отг.: \(|AB|=10\).
Отг.: Правоъгълен при \(B\); \(|AB|=6\), \(|BC|=8\), \(|AC|=10\). \(P=24\); \(S=\tfrac{6\cdot8}{2}=24\) кв. ед.
Отг.: \(D(-1;2)\); страни \(4\) и \(3\); \(P=14\) ед.
Отг.: \(B(6;-2)\), \(D(-3;2)\). Трапец с основи \(|AB|=12\), \(|CD|=6\), височина \(4\). \(S=\tfrac{18\cdot4}{2}=36\); бедра: \(|BC|=5\); \(|AD|=5\); \(P=12+5+6+5=28\) ед.
Отг.: \(S=\tfrac{d_1\cdot d_2}{2}\Rightarrow d_2=12\); страна \(a\): от \(a^2=8^2+6^2=100\) следва \(a=10\) см.
Отг.: \(h=12\) м.
Отг.: Половината хорда е \(6\); \(d=8\) см.
Отг.: катети \(3k\) и \(4k\): \(9k^2+16k^2=400\), т.е. \(25k^2=400\); \(k^2=16\), а понеже \(4^2=16\), то \(k=4\). Катети: \(12\) см и \(16\) см.
Отг.: В равнобедрен трапец \(AH=\tfrac{AB-CD}{2}=6\), височина \(DH=8\). Понеже сборът на основите е равен на сбора на бедрата, имаме \(AB+CD=20\), а от \(AB-CD=12\) получаваме \(AB=16\), \(CD=4\). Избираме координати \(A(0;0)\), \(B(16;0)\), \(D(6;8)\), \(C(10;8)\). Тъй като \(M\) е средата на \(AD\), то \(M(3;4)\). Тогава \(S_{\triangle BMC}=\tfrac{1}{2}|16(4-8)+3(8-0)+10(0-4)|=\tfrac{1}{2}\cdot80=40\) кв. см.
Отг.: В правоъгълните \(\triangle ACH\) и \(\triangle BCH\) (с общ катет \(CH\)) по Питагор: \(AC^2=AH^2+CH^2\); \(BC^2=BH^2+CH^2\). Изваждаме: \(AC^2-BC^2=AH^2-BH^2\). ✓
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар