Декартова координатна система
Декартова координатна система —
координати, симетрии, дължини и лица
В този урок разглеждаме декартовата (правоъгълна) координатна система: координатни оси, координати на точка, квадранти, симетрии относно осите и началото, дължина на отсечка успоредна на координатна ос, среда на отсечка и пресмятане на периметри и лица на фигури с върхове в координатната равнина. Задачите обхващат всички подтеми — от основни понятия до конкурсни приложения.
- Две взаимно перпендикулярни числови оси \(Ox\) (абсциса, хоризонтална) и \(Oy\) (ордината, вертикална).
- Общо начало — точка \(O(0;0)\). Точка се задава с наредена двойка \((x;y)\).
- Квадранти (в посока обратна на часовниковата): I (\(x\gt0,y\gt0\)); II (\(x\lt0,y\gt0\)); III (\(x\lt0,y\lt0\)); IV (\(x\gt0,y\lt0\)).
- Точките с ордината \(0\) лежат върху \(Ox\); точките с абсциса \(0\) — върху \(Oy\).
- Относно \(Ox\): \((x;y)\to(x;-y)\) — ординатите са противоположни.
- Относно \(Oy\): \((x;y)\to(-x;y)\) — абсцисите са противоположни.
- Относно началото \(O\): \((x;y)\to(-x;-y)\) — и двете координати са противоположни.
Трите вида симетрии на точка A(3;2)
- Ако \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\) имат еднаква ордината (\(AB\parallel Ox\)): \(|AB|=|x_A-x_B|\).
- Ако имат еднаква абсциса (\(AB\parallel Oy\)): \(|AB|=|y_A-y_B|\).
- Среда на отсечка: \(M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
Хоризонтална отсечка AB със среда M; вертикална отсечка CD
- Ако страните на многоъгълник са успоредни на координатните оси, дължините им се четат направо от координатите (разстояние по хоризонтала \(=|x_A-x_B|\); разстояние по вертикала \(=|y_A-y_B|\)).
- За триъгълник с основа върху \(Ox\), височината към тази основа е равна на модула на ординатата на третия връх.
- За триъгълник с основа върху \(Oy\), височината е равна на модула на абсцисата на третия връх.
- Когато фигурата не се свежда лесно до основа и височина, може да се разбие на триъгълници и правоъгълници, лицата на които се пресмятат лесно.
Декартова координатна система с четирите квадранта
Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.
Разположение на точките по квадранти
Правило: I квадрант — \(x\gt0,y\gt0\); II — \(x\lt0,y\gt0\); III — \(x\lt0,y\lt0\); IV — \(x\gt0,y\lt0\).
\(A(-2;3)\): \(x\lt0, y\gt0\) → II квадрант.
\(B(-2;-5)\): \(x\lt0, y\lt0\) → III квадрант.
\(C(2;-3)\): \(x\gt0, y\lt0\) → IV квадрант.
\(D(1;3)\): \(x\gt0, y\gt0\) → I квадрант.
\(E(-3;-2)\): \(x\lt0, y\lt0\) → III квадрант.\(\blacksquare\)
Точки върху координатните оси
Точките с ордината \(0\) лежат върху абсцисната ос \(Ox\), точките с абсциса \(0\) — върху ординатната ос \(Oy\).
\(A(-2;0)\): \(y=0\) → върху \(Ox\).
\(B(0;3)\): \(x=0\) → върху \(Oy\).
\(C(0{,}5;0)\): \(y=0\) → върху \(Ox\).
\(D(0;-2{,}5)\): \(x=0\) → върху \(Oy\).
\(E(1;2)\): нито едно не е \(0\) → точката не е върху ос (в I квадрант).\(\blacksquare\)
Разположение на точките в координатната равнина
\(M(-2;3)\): абсциса \(-2\), ордината \(3\); II квадрант.
\(N(0;1)\): абсциса \(0\), ордината \(1\); върху оста \(Oy\) (положителна част).
\(C(-5;-3)\): абсциса \(-5\), ордината \(-3\); III квадрант.
\(R(-2;-3)\): абсциса \(-2\), ордината \(-3\); III квадрант.\(\blacksquare\)
Трите точки са върху абсцисната ос \(Ox\), защото ординатата им е \(0\).
Всяка точка с ордината \(0\) има вида \((x;0)\) и лежи върху \(Ox\). Следователно:
Всички точки с ордината \(0\) лежат върху абсцисната ос \(Ox\).
Аналогично точките с абсциса \(0\) (вида \((0;y)\)) лежат върху ординатната ос \(Oy\).\(\blacksquare\)
Намираме знака на \(x_N\): от \((-7)\cdot x_N\lt0\) и \(-7\lt0\) следва \(x_N\gt0\) (отрицателно по положително дава отрицателно).
Намираме знака на \(y_N\): \(-|6{,}2|=-6{,}2\lt0\). От \(\dfrac{-6{,}2}{y_N}\gt0\) следва, че \(y_N\lt0\) (отрицателно/отрицателно = положително).
Следователно \(x_N\gt0\) и \(y_N\lt0\), т.е. точка \(N\) е в IV квадрант.\(\blacksquare\)
Всички точки с ордината −4 лежат на права, успоредна на Ox
И четирите точки имат ордината \(-4\).
Всички точки с ордината \(-4\) имат вида \((x;-4)\) и лежат на права, която е успоредна на абсцисната ос \(Ox\) и минава през точката \((0;-4)\), т.е. на разстояние \(4\) единици надолу от \(Ox\).
Общо: точките с еднаква ордината лежат върху права, успоредна на \(Ox\). Точките с еднаква абсциса — върху права, успоредна на \(Oy\).\(\blacksquare\)
Симетрични точки на A(3;−2) относно Ox, Oy и O
Правила за симетрии:
- Относно \(Ox\): знакът на \(y\) се сменя: \((x;y)\to(x;-y)\).
- Относно \(Oy\): знакът на \(x\) се сменя: \((x;y)\to(-x;y)\).
- Относно \(O\): сменят се и двете (координатите са противоположни): \((x;y)\to(-x;-y)\).
\(A_1=(3;2)\); \(\quad A_2=(-3;-2)\); \(\quad A_3=(-3;2)\).\(\blacksquare\)
Нека \(M(a;b)\). Тогава:
\(N\) е симетрична на \(M\) относно \(Oy\) \(\Rightarrow N(-a;b)\).
\(P\) е симетрична на \(N\) относно \(Ox\) \(\Rightarrow P(-a;-b)\).
Сравняваме \(M(a;b)\) и \(P(-a;-b)\) — координатите им са противоположни числа, т.е. \(M\) и \(P\) са симетрични относно началото \(O\).\(\blacksquare\)
\(A(-1;-3)\) и \(B(5;-3)\) имат еднаква ордината (\(y=-3\)) → \(AB\parallel Ox\); \(|AB|=|{-1}-5|=6\).
\(B(5;-3)\) и \(C(5;3)\) имат еднаква абсциса (\(x=5\)) → \(BC\parallel Oy\); \(|BC|=|{-3}-3|=6\).
Следователно \(ABCD\) е правоъгълник със страни, успоредни на осите.
В правоъгълник срещуположните страни са равни и успоредни: \(AD\parallel BC\) и \(CD\parallel AB\). Тъй като \(A\) и \(B\) са долните два върха (\(y=-3\)), а \(C\) е горният десен, то \(D\) е горният ляв връх, с абсциса като \(A\) и ордината като \(C\): \(D(-1;3)\).\(\blacksquare\)
Отсечка AB и трите ѝ симетрични отсечки
Прилагаме правилата за симетрии на всеки връх:
Относно \(Ox\): \(A_1(-2;-2)\), \(B_1(3;-3)\).
Относно \(Oy\): \(A_2(2;2)\), \(B_2(-3;3)\).
Относно \(O\): \(A_3(2;-2)\), \(B_3(-3;-3)\).\(\blacksquare\)
Отсечка AB върху абсцисната ос
Точките имат ордината \(0\), значи лежат на \(Ox\). Дължината се получава от абсцисите:
а) \(|AB|=|{-4}-3|=|-7|=7\) см. Проверка: \(|3-(-4)|=7\) см. ✓
б) \(|AB|=|{-2}-1|=3\) см.
Формула: Ако \(A(x_A;0)\) и \(B(x_B;0)\), то \(|AB|=|x_A-x_B|\). Формулата работи, защото винаги взимаме абсолютната стойност — резултатът е положителен, независимо коя точка е по-вдясно.\(\blacksquare\)
Отсечка AB върху ординатната ос
Точките са върху ординатната ос (абсциса \(0\)). Дължината се получава от ординатите:
а) \(|AB|=|{-3}-5|=8\) см.
б) \(|AB|=|{-7}-(-2)|=|{-5}|=5\) см.
Формула: Ако \(A(0;y_A)\) и \(B(0;y_B)\), то \(|AB|=|y_A-y_B|\). Същата логика — модулът гарантира положителен резултат.\(\blacksquare\)
\(A\) и \(B\) имат еднаква ордината (\(y=3\)) → \(AB\) е успоредна на \(Ox\):
\(|AB|=|x_A-x_B|=|{-3}-(-7)|=4\) м.ед.
\(C\) и \(D\) имат еднаква абсциса (\(x=-6\)) → \(CD\) е успоредна на \(Oy\):
\(|CD|=|y_C-y_D|=|{-1}-(-5)|=4\) м.ед.\(\blacksquare\)
\(M\) и \(N\) имат еднаква абсциса (\(x=2\)), значи \(MN\) е успоредна на \(Oy\):
\(|MN|=|y_M-y_N|=|{-3}-4|=7\) м.ед.
От условието: \(|AB|=|MN|+6=7+6=13\) м.ед.
\(A\) и \(B\) имат еднаква ордината (\(y=1\)), значи \(AB\) е успоредна на \(Ox\):
\(|AB|=|x-(-5)|=|x+5|=13\). Значи \(x+5=13\) или \(x+5=-13\), т.е. \(x=8\) или \(x=-18\).
Тъй като \(B\) е в I квадрант (\(x\gt0\)): \(x=8\).\(\blacksquare\)
Правоъгълник ABCD със страни, успоредни на осите
Страните:
\(|AB|=|0-4|=4\); \(|CD|=|4-0|=4\); \(|AB|=|CD|\) и двете са успоредни на \(Ox\).
\(|BC|=|0-3|=3\); \(|AD|=|0-3|=3\); и двете са успоредни на \(Oy\).
Страните са успоредни на осите и \(Ox\perp Oy\), значи срещуположните страни са успоредни, а съседните — перпендикулярни. Следователно \(ABCD\) е правоъгълник.
\(S_{ABCD}=|AB|\cdot|BC|=4\cdot3=12\) кв. мерни единици.\(\blacksquare\)
\(A\) и \(B\) имат равна ордината (\(y=-3\)) \(\Rightarrow\) \(AB\parallel Ox\); \(|AB|=|{-4}-4|=8\) м.ед.
\(B\) и \(C\) имат равна абсциса (\(x=4\)) \(\Rightarrow\) \(BC\parallel Oy\); \(|BC|=|{-3}-5|=8\) м.ед.
По симетрия \(|CD|=8\), \(|AD|=8\). Четириъгълникът е квадрат.
Една мерна единица \(=2\) см, значи \(AB=8\cdot2=16\) см, \(BC=16\) см.
Периметър: \(P=4\cdot16=64\) см. Лице: \(S=16\cdot16=256\) кв. см.\(\blacksquare\)
Триъгълник ABC с основа AB върху Ox
\(A\) и \(B\) лежат на \(Ox\), значи \(AB\) е основата:
\(|AB|=|x_B-x_A|=|6-2|=4\) см.
Височината към \(AB\) е перпендикулярът от \(C\) към \(Ox\) — тя е равна на ординатата на \(C\): \(h=y_C=3\) см.
\[S_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot h}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6\text{ кв. см}.\;\blacksquare\]\(P\) и \(M\) лежат на абсцисната ос \(Ox\), значи \(PM\) е основата:
\(|PM|=|{-3}-2{,}5|=5{,}5\) м.ед.
Височината към \(PM\) е разстоянието от \(N\) до \(Ox\), равно на \(|y_N|=|-4{,}8|=4{,}8\) м.ед.
\[S_{\triangle PMN}=\frac{5{,}5\cdot4{,}8}{2}=\frac{26{,}4}{2}=13{,}2\text{ кв. м.ед.}\;\blacksquare\]Трапец ABCD с основи, успоредни на Ox
\(A\) и \(B\) имат равна ордината \(y=1\) → \(AB\parallel Ox\); \(|AB|=|{-3}-2|=5\).
\(C\) и \(D\) имат равна ордината \(y=4\) → \(CD\parallel Ox\); \(|CD|=|5-(-5)|=10\).
\(AB\parallel CD\), но \(|AB|\neq|CD|\) → \(ABCD\) е трапец с основи \(AB=5\) и \(CD=10\).
Височината е разстоянието между двете хоризонтални прави: \(h=|1-4|=3\).
\[S=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{(5+10)\cdot3}{2}=\frac{45}{2}=22{,}5\text{ кв. м.ед.}\;\blacksquare\]Формула за среда на отсечка: \(M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
а) \(M\left(\dfrac{2+6}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)=(4;1)\).
б) \(M\left(\dfrac{-3+7}{2};\dfrac{-1+(-1)}{2}\right)=(2;-1)\).
в) \(M\left(\dfrac{-1+5}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)=(2;2)\).\(\blacksquare\)
Конкурсни задачи от математически турнири и олимпиади.
Стъпка 1. Симетричните на \(B(2;4)\) и \(C(5;1)\) относно \(Oy\) се получават чрез смяна на знака на абсцисата: \(B_1(-2;4)\), \(C_1(-5;1)\).
Стъпка 2. Четириъгълникът \(A_1CBB_1\) е трапец с основи \(A_1C\) и \(B_1B\) (успоредни на \(Ox\)):
\(|A_1C|=|{-2}-5|=7\); \(\quad|B_1B|=|{-2}-2|=4\); височина \(h=|1-4|=3\).
\[S_{A_1CBB_1}=\frac{(7+4)\cdot3}{2}=16{,}5\text{ кв. м.ед.}\]Стъпка 3. Триъгълниците \(\triangle AA_1C\) и \(\triangle AB_1B\) са правоъгълни (катетите са успоредни на осите):
\(S_{\triangle AA_1C}=\dfrac{|A_1C|\cdot|AA_1|}{2}=\dfrac{7\cdot2}{2}=7\), където \(|AA_1|=|3-1|=2\).
\(S_{\triangle AB_1B}=\dfrac{|B_1B|\cdot|4-3|}{2}=\dfrac{4\cdot1}{2}=2\).
Стъпка 4. Лицето на \(\triangle ABC\) получаваме като извадим двата правоъгълни триъгълника от лицето на трапеца:
\[S_{\triangle ABC}=S_{A_1CBB_1}-S_{\triangle AA_1C}-S_{\triangle AB_1B}=16{,}5-7-2=7{,}5\text{ кв. м.ед.}\;\blacksquare\]Никоя страна на триъгълника не лежи върху координатна ос. Затова използваме допълнителна формула, подходяща за по-сложни задачи — лице на триъгълник по координати на върховете:
\[S=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|.\]За \(A(0;4)\), \(B(6;-4)\), \(C(-2;1)\):
\[S=\frac{1}{2}\left|0\cdot(-4-1)+6\cdot(1-4)+(-2)\cdot(4-(-4))\right|=\frac{1}{2}|0-18-16|=\frac{34}{2}=17\text{ кв. м.ед.}\;\blacksquare\]В успоредник средите на двата диагонала съвпадат. При три дадени върха \(P,Q,R\) четвъртият връх може да бъде на три различни места — в зависимост от подредбата на върховете.
Възможност 1. Диагонали \(PR\) и \(QS_1\): средата на \(PR\) е \(\left(\dfrac{1-4}{2};\dfrac{1-2}{2}\right)=(-1{,}5;-0{,}5)\). Тогава \(S_1=(2\cdot(-1{,}5)-(-2);2\cdot(-0{,}5)-1)=(-1;-2)=L\).
Възможност 2. Диагонали \(PQ\) и \(RS_2\): средата на \(PQ\) е \((-0{,}5;1)\). Тогава \(S_2=(2\cdot(-0{,}5)-(-4);2\cdot1-(-2))=(3;4)=K\).
Възможност 3. Диагонали \(QR\) и \(PS_3\): средата на \(QR\) е \((-3;-0{,}5)\). Тогава \(S_3=(2\cdot(-3)-1;2\cdot(-0{,}5)-1)=(-7;-2)=T\).
Следователно \(K\), \(L\) и \(T\) могат да бъдат четвърти връх, а точката \(N(-5;1)\) не може. \(\boxed{N(-5;1)}\).\(\blacksquare\)
Координата на \(D\) (среда на \(AB\) върху числовата ос): \(d=\dfrac{-7+3}{2}=-2\).
Координата на \(C\): противоположното на \(-4\) е \(4\), значи \(c=4\).
Дължина \(|CD|=|c-d|=|4-(-2)|=6\) м.ед.\(\blacksquare\)
Четириъгълник OBAC с върхове в координатната система
а) Цялото \(y\) изисква \((3+2|x|)\) да дели \(18\). Тъй като \(|x|\geq0\), то \(3+2|x|\geq3\) и трябва да е делител на \(18\): \(\{3,6,9,18\}\).
Случай 1: \(3+2|x|=3\Rightarrow|x|=0\Rightarrow x=0\); \(y=\dfrac{18}{3}=6\).
Случай 2: \(3+2|x|=6\Rightarrow|x|=\tfrac{3}{2}\) — не е цяло.
Случай 3: \(3+2|x|=9\Rightarrow|x|=3\Rightarrow x=\pm3\); \(y=\dfrac{18}{9}=2\).
Случай 4: \(3+2|x|=18\Rightarrow|x|=\tfrac{15}{2}\) — не е цяло.
Получаваме точките \(A(0;6)\), \(B(3;2)\), \(C(-3;2)\).
б) Лице. Заедно с началото \(O(0;0)\) образуваме четириъгълник \(OBAC\). Той е симетричен относно \(Oy\) (защото \(B\) и \(C\) са симетрични).
Основа \(BC\): \(|BC|=|{-3}-3|=6\), височина от \(A\) до \(BC\) (по \(y\)): \(h_1=6-2=4\). Триъгълник \(ABC\): лице \(\dfrac{6\cdot4}{2}=12\).
Триъгълник \(OBC\): основа \(BC=6\), височина от \(O\) до \(BC\): \(h_2=2\). Лице \(\dfrac{6\cdot2}{2}=6\).
Общо лице: \(S_{OBAC}=12+6=18\) кв. м.ед.\(\blacksquare\)
Опитайте да решите задачите самостоятелно.
Отг.: \(A\)-I; \(B\)-II; \(C\)-I; \(D\)-IV; \(E\)-III; \(F\)-IV; \(G\)-II; \(H\)-III.
Отг.: напр. а) \(M(-1;2)\); б) \(P(3;-4)\); в) \(Q(-2;-5)\); г) \(N(1;1)\).
Отг.: напр. а) \(L(3;0)\); б) \(K(0;-2)\); в) \(S(0;0)\).
Отг.: върху права, успоредна на \(Oy\) и минаваща през точка \((3;0)\).
Отг.: а) вертикална права, успоредна на \(Oy\); б) хоризонтална, успоредна на \(Ox\); в) оста \(Oy\); г) оста \(Ox\).
Отг.: \(|15-7|=8\gt0\); от \(8\cdot x_N\lt0\) следва \(x_N\lt0\). Числителят \(-7-15=-22\lt0\); от \(\dfrac{-22}{y_N}\lt0\) следва \(y_N\gt0\). Точка в II квадрант.
Отг.: а) \(B(-3;-4)\); б) \(C(3;4)\); в) Да, защото координатите на \(B\) и \(C\) са противоположни числа.
Отг.: \(A_1(5;0)\); \(B_1(1;3)\); \(C_1(3;-2)\); \(D_1(0;4)\); \(E_1(-3;1)\).
Отг.: \(A_2(-5;0)\); \(B_2(-1;-3)\); \(C_2(-3;2)\); \(D_2(0;-4)\); \(E_2(3;-1)\).
Отг.: \(A_3(-5;0)\); \(B_3(-1;3)\); \(C_3(-3;-2)\); \(D_3(0;4)\); \(E_3(3;1)\).
Отг.: а) \(4\); б) \(4\); в) \(3\) м.ед.
Отг.: а) \(8\); б) \(3\); в) \(5\) м.ед.
Отг.: а) \(3\); б) \(4\); в) \(7\). Да, формулата важи за точки с еднаква ордината.
Отг.: а) \(1{,}5\); б) \(4\); в) \(6\) м.ед. Формула: \(|CD|=|y_C-y_D|\).
Отг.: а) \(4\); б) \(2\); в) \(1\). Във всички случаи \(|AB|=|x_A-x_B|\).
Отг.: а) \(M(4;1)\); б) \(M(-5;-2)\); в) \(M(2;2)\). Формула: \(x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\).
Отг.: \(|AB|=6\), \(|CD|=6\), и двете успоредни на \(Ox\), височина \(5\). \(AB\) и \(CD\) са равни и успоредни, следователно \(ABCD\) е успоредник. Лице \(=6\cdot5=30\) кв. м.ед.
Отг.: Диагонали: \(|AC|=6\) (на \(Ox\)), \(|BD|=8\) (на \(Oy\)). Четириъгълникът е ромб. Лице \(=\dfrac{6\cdot8}{2}=24\) кв. м.ед.
Отг.: правоъгълник с \(|AB|=8\), \(|BC|=5\); \(S=40\) кв. м.ед.
Отг.: \(PM\) на \(Ox\), \(PN\) на \(Oy\), \(\triangle\) е правоъгълен. \(S=\dfrac{5{,}2\cdot6}{2}=15{,}6\) кв. м.ед.
Отг.: основа \(|PM|=2\), височина \(|y_N|=3\); \(S=\dfrac{2\cdot3}{2}=3\) кв. м.ед.
Отг.: \(AB\parallel Oy\) с \(|AB|=6\); \(CD\parallel Oy\) с \(|CD|=3\); \(BC\parallel Ox\) с \(|BC|=2\). Трапец с основи \(6\) и \(3\), височина \(2\). \(S=\dfrac{(6+3)\cdot2}{2}=9\) кв. м.ед.
Отг.: правоъгълник с размери \(3\times2\); \(S=6\) кв. м.ед.
Отг.: \(S=\dfrac{1}{2}|{-2}(3-5)+4(5-2)+0(2-3)|=\dfrac{1}{2}|4+12|=8\) кв. м.ед.
Отг.: \(|MN|=7\), \(|AB|=13\). От \(|x+5|=13\) и \(x\gt0\): \(x=8\).
Отг.: Средите на диагоналите съвпадат. Среда на \(AC=(0;-1{,}5)\). \(D=(2\cdot0-2;2\cdot(-1{,}5)-(-2))=(-2;-1)\).
Отг.: Нека \(A(a;b)\). Тогава \(B(-a;-b)\), \(C(-a;b)\). Точките \(A(a;b)\) и \(C(-a;b)\) имат еднакви ординати и противоположни абсциси, значи са симетрични относно \(Oy\).
Отг.: радиус \(r=|DM|=|4-1|=3\); обиколка \(\ell=2\pi r\approx18{,}84\); лице \(S=\pi r^2\approx28{,}26\) кв. м.ед.
Отг.: \(a\): всички точки с \(y=1{,}8\); \(b\): всички точки с \(x=-3{,}2\). Пресечна: \(A(-3{,}2;1{,}8)\).
Отг.: \(|AM|=1-\dfrac{a}{b}=\dfrac{b-a}{b}\); \(|BM|=\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{b-a}{a}\). Тъй като \(a\lt b\), то \(\dfrac{b-a}{a}\gt\dfrac{b-a}{b}\), значи \(|BM|\gt|AM|\). Следователно точка \(A\) е по-близо до \(M\).
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар