Степенуване на рационални числа. Степенуване с показател цяло число. Стандартен запис на число
Степенуване на рационални числа —
цял показател и стандартен запис
В този урок разглеждаме систематично степенуването на рационални числа: определение и знак на степента, свойства на степените с равни основи, разширяване до цял показател (включително нулев и отрицателен) и приложение в стандартния запис на число. Задачите обхващат всички подтеми — пресмятане, записване като степен, опростяване, рационално пресмятане, сравняване, намиране на показател и практически приложения.
- \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ пъти}}\) за \(n\geq1\); \(a^1=a\); \(1^n=1\); \(0^n=0\) за \(n\geq1\).
- Ако \(a\gt0\), то \(a^n\gt0\). Ако \(a\lt0\) и \(n\) е четно, \(a^n\gt0\); ако \(n\) е нечетно, \(a^n\lt0\).
- Внимание: \(-a^n=-(a\cdot a\cdot\ldots\cdot a)\), а \((-a)^n=(-a)(-a)\ldots(-a)\) — две различни неща при четно \(n\)!
- Умножение с равни основи: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
- Деление с равни основи: \(a^m:a^n=a^{m-n}\), когато \(m\geq n\) (след въвеждането на цели показатели формулата важи за всички \(m,n\))
- Степен на произведение: \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)
- Степен на частно: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
- Степен на степен: \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
- Нулев показател: \(a^0=1\) (при \(a\neq0\); \(0^0\) не се дефинира).
- Отрицателен показател: \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\); еквивалентно: \(a^n=\dfrac{1}{a^{-n}}\).
- Важно следствие: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n\).
- Всичките пет свойства от блок 2 важат и за цели показатели \(m,n\).
Положителното число \(N\) е записано в стандартен вид, ако \(N=k\cdot10^n\), където \(1\leq k\lt10\) и \(n\) е цяло число. Числото \(n\) се нарича порядък на числото. Стандартният запис улеснява сравняването на много големи и много малки числа.
Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.
\((-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81\) (четна степен — положителен резултат).
\((-2)^5=-32\) (нечетна степен на отрицателно число — отрицателен).
\((-1)^{2026}=1\) (2026 е четно).\(\blacksquare\)
\(-5^2=-(5\cdot5)=-25\), а \((-5)^2=25\). Следователно \(-5^2\neq(-5)^2\).
\(-2^4=-16\), а \((-2)^4=16\). Пак \(-2^4\neq(-2)^4\).
Извод: при четен показател знаците пред отрицателната основа имат съществена разлика.\(\blacksquare\)
а) \((-7)^3\). б) \(\left(-\dfrac{3}{7}\right)^5\). в) \((-2b)^6\).\(\blacksquare\)
\(25=(-5)^2\) (също и \(5^2\) — с положителна основа).
\(-0{,}027=(-0{,}3)^3\).
\(\dfrac{16}{81}=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^4\) (също и \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\)).\(\blacksquare\)
\((-1{,}37)^2\gt0\) (четна степен на отрицателно).
\(-19^5=-(19^5)\lt0\).
\(-19^6=-(19^6)\lt0\) (минусът отпред отрицава положителното \(19^6\)).
\(0^{25}=0\).
\((-1)^{20}=1\gt0\).\(\blacksquare\)
а) \(x^2\cdot x^{16}=x^{2+16}=x^{18}\).
б) \(a^4\cdot a^4\cdot a=a^{4+4+1}=a^9\).
в) \((-2{,}19)^7\cdot(-2{,}19)^{12}=(-2{,}19)^{19}\).\(\blacksquare\)
а) \(\dfrac{(-3{,}7)^{10}}{(-3{,}7)^6}=(-3{,}7)^{10-6}=(-3{,}7)^4\).
б) \(\dfrac{(-9)^{23}}{(-9)^1}=(-9)^{22}\) (положително, защото 22 е четно).
в) \(\dfrac{x^{101}}{x^{100}}=x^1=x\).\(\blacksquare\)
а) \(\left((-11)^2\right)^{16}=(-11)^{32}=11^{32}\).
б) \(\left((-a)^5\right)^4=(-a)^{20}=a^{20}\).
в) \(\left(x^4\right)^3\cdot x^7=x^{12}\cdot x^7=x^{19}\).\(\blacksquare\)
а) \(2^5\cdot5^5=(2\cdot5)^5=10^5=100\,000\).
б) \((-0{,}3)^4\cdot10^4=[(-0{,}3)\cdot10]^4=(-3)^4=81\).
в) \((-125\cdot0{,}2\cdot0{,}4)^4=(-10)^4=10\,000\).\(\blacksquare\)
а) \(\left(\dfrac{9}{-15}\right)^2=\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{9}{25}\).
б) \(\left(\dfrac{-40}{-8}\right)^3=5^3=125\).
в) \(\left(\dfrac{0{,}35}{-3{,}5}\right)^3=(-0{,}1)^3=-0{,}001\).\(\blacksquare\)
а) \(2^n=2^4\Rightarrow n=4\).
б) \(3^n=3^3\Rightarrow n=3\).
в) \((-5)^n=(-5)^3\Rightarrow n=3\) (нечетна степен за отрицателен резултат).
г) \(2^{n+1}=2^3\Rightarrow n+1=3\Rightarrow n=2\).
д) \(10^{n-1}=10^6\Rightarrow n=7\).\(\blacksquare\)
а) \(7^{200}=(7^2)^{100}=49^{100}\); \((-2)^{700}=2^{700}=(2^7)^{100}=128^{100}\). Тъй като \(49\lt128\), то \(7^{200}\lt(-2)^{700}\).
б) \((-5)^{15}=-5^{15}\); \((-2)^{35}=-2^{35}\). Сравняваме положителните: \(5^{15}=(5^3)^5=125^5\), \(2^{35}=(2^7)^5=128^5\). Значи \(5^{15}\lt2^{35}\), откъдето \(-5^{15}\gt-2^{35}\), т.е. \((-5)^{15}\gt(-2)^{35}\).
в) \(12^{18}=(12^3)^6=1728^6\); \(18^{12}=(18^2)^6=324^6\). Значи \(12^{18}\gt18^{12}\), откъдето \(-12^{18}\lt-18^{12}\).\(\blacksquare\)
Използваме \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) и \(a^0=1\) (при \(a\neq0\)):
а) \(2^{-6}=\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{64}\).
б) \((-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}\).
в) \(\left(\dfrac{1}{8}\right)^0=1\).
г) \(0{,}04^{-2}=\dfrac{1}{0{,}04^2}=\dfrac{1}{0{,}0016}=625\).
д) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{2}\).\(\blacksquare\)
а) \([-2\cdot(-6)]^{-3}=12^{-3}=\dfrac{1}{12^3}=\dfrac{1}{1728}\). Или: \((-2)^{-3}\cdot(-6)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}\cdot\dfrac{1}{(-6)^3}=\dfrac{1}{-8}\cdot\dfrac{1}{-216}=\dfrac{1}{1728}\).
б) \(\left(\dfrac{5}{-6}\right)^{-3}=\left(\dfrac{-6}{5}\right)^{3}=\dfrac{-216}{125}=-1{,}728\).
в) \(\left(\dfrac{-8}{9}\right)^{-2}=\left(\dfrac{9}{-8}\right)^{2}=\dfrac{81}{64}\).\(\blacksquare\)
а) \(2^7\cdot2^{-5}=2^{7+(-5)}=2^2=4\).
б) \((-5)^{-3}\cdot(-5)^{-7}=(-5)^{-3-7}=(-5)^{-10}=\dfrac{1}{5^{10}}\).
в) \(6^5:6^{-7}=6^{5-(-7)}=6^{12}\).
г) \(11^{-2}:11^{-8}=11^{-2-(-8)}=11^6\).\(\blacksquare\)
Изнасяме \((-0{,}3)^{-4}\) в числителя:
\[\frac{(-0{,}3)^{-4}\left[(-0{,}3)^{-1}+1\right]}{(-0{,}3)^{-4}}=(-0{,}3)^{-1}+1=\frac{1}{-0{,}3}+1=-\frac{10}{3}+1=-\frac{7}{3}=-2\tfrac{1}{3}.\;\blacksquare\]а) \(121^{6n}=(11^2)^{6n}=11^{12n}\). От \(11^{-36}=11^{12n}\) следва \(12n=-36\), т.е. \(n=-3\).
б) \(\left(\dfrac{1}{3^{-5}}\right)^n=(3^5)^n=3^{5n}\); \(\dfrac{1}{3^{-20}}=3^{20}\). От \(3^{5n}=3^{20}\) следва \(n=4\).
в) \((a^2)^n=a^{2n}=a^{-6}\Rightarrow 2n=-6\Rightarrow n=-3\).\(\blacksquare\)
\(0{,}006=\dfrac{6}{1000}=6\cdot10^{-3}\) — порядък \(-3\).
\(0{,}00281=2{,}81\cdot10^{-3}\) — порядък \(-3\).
\(7\,520\,149=7{,}520149\cdot10^6\) — порядък \(6\).
\(0{,}0000073=7{,}3\cdot10^{-6}\) — порядък \(-6\).\(\blacksquare\)
Подреждаме първо по порядъка \(n\) (колкото е по-малък, толкова е по-малко числото):
\(5{,}5\cdot10^{-7}\) (\(n=-7\)) \(\lt 1{,}1\cdot10^{-3}\) (\(n=-3\)) \(\lt 9{,}3\cdot10^2\) (\(n=2\)) \(\lt 1{,}2\cdot10^4\) (\(n=4\)) \(\lt 3{,}5\cdot10^5\) (\(n=5\)) \(\lt 5{,}2\cdot10^7\) (\(n=7\)).\(\blacksquare\)
\(1\) дм \(=10\) см, затова \(1\) кв. дм \(=10^2\) кв. см. Лице на квадрата:
\[S=25^2=625 \text{ кв. дм}=625\cdot10^2 \text{ кв. см}=62\,500 \text{ кв. см}=6{,}25\cdot10^4 \text{ кв. см}.\;\blacksquare\]Конкурсни задачи от математически турнири и олимпиади.
Първа дроб: \(\dfrac{(-4)^{12}}{(-4)^{10}}=(-4)^2=16\).
Втора дроб: \(\dfrac{(-0{,}57)^{16}}{(-0{,}57)^{15}}=(-0{,}57)^1=-0{,}57\).
\[16\cdot(-0{,}57)=-9{,}12.\;\blacksquare\]Представяме удобните числа като степени на 10 и като обикновени дроби: \(0{,}1=10^{-1}\), \(0{,}01=10^{-2}\), \(0{,}001=10^{-3}\), \(-0{,}25=-\tfrac{1}{4}\), \(-0{,}5=-\tfrac{1}{2}\).
Числител: \(10^{-5}\cdot(-4)^4\cdot(-10^2)^1=10^{-5}\cdot256\cdot(-100)=-256\cdot10^{-3}\).
Знаменател: \(10^{-3}\cdot10^{-6}\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{10^{-9}}{16}\).
\[\frac{-256\cdot10^{-3}}{\tfrac{10^{-9}}{16}}=-256\cdot10^{-3}\cdot\frac{16}{10^{-9}}=-4096\cdot10^{6}=-4{,}096\cdot10^{9}.\;\blacksquare\]Първо: \((-3)^6=3^6\) (четна). Изнасяме \(3^6\):
\[\frac{3^6(3^2+1)}{3^6}=9+1=10.\]Второ: Изнасяме \(11^{24}\) в числителя:
\[\frac{11^{24}(11-11^3)}{11^{24}}=11-1331=-1320.\;\blacksquare\]Опростяваме: \(\dfrac{x^8\cdot x^7}{x^{14}\cdot x}=\dfrac{x^{15}}{x^{15}}=1\) за всяко \(x\neq0\).
Следователно и за \(x=0{,}3\), и за \(x=-\tfrac{1}{2}\) стойността е \(1\).\(\blacksquare\)
Стандартен запис:
Русия: \(17\,075\,200=1{,}70752\cdot10^7\) кв. км — порядък \(7\).
Китай: \(9\,571\,300=9{,}5713\cdot10^6\) кв. км — порядък \(6\).
България: \(110\,994=1{,}10994\cdot10^5\) кв. км — порядък \(5\).
Русия е от порядък \(7\), България — от порядък \(5\). България е с \(2\) порядъка по-малка от Русия. Числено Русия е приблизително \(154\) пъти по-голяма (\(17\,075\,200:110\,994\approx153{,}8\)). Разликата в порядъците дава само приблизителна ориентация, но не точно отношение.\(\blacksquare\)
Опитайте да решите задачите самостоятелно.
Отг.: \(64;\;-64;\;9;\;-27\).
Отг.: \(6{,}25;\;-\tfrac{27}{125};\;\tfrac{64}{9}\).
Отг.: \(-100;\;-125;\;10^{-6};\;-\tfrac{1}{121}\).
Отг.: \(\gt,\;\lt,\;=,\;\lt\).
Отг.: \((-2)^3\);\;\((-5)^2\);\;\(\left(-\tfrac{1}{7}\right)^2\);\;\((-0{,}3)^3\);\;\(\left(-\tfrac{2}{3}\right)^4\).
Отг.: \(4;\;-8;\;16;\;-32\).
Отг.: \(x^{18};\;(-4)^{22}\).
Отг.: \((-18)^6;\;(-9)^{22}=9^{22}\).
Отг.: \((-11)^{32}=11^{32};\;(-a)^{20}=a^{20}\).
Отг.: \(100\,000;\;81;\;-1000\).
Отг.: \(-0{,}001;\;\tfrac{9}{25};\;125\).
Отг.: а) \((-3)^6\); б) \(9^3\); в) \((-27)^2\).
Отг.: \(32\cdot(-16)\cdot64=-32\,768=(-2)^{15}\).
Отг.: \(a^{13-12}=a\).
Отг.: \(n=4;\;n=3;\;n=2;\;n=3\).
Отг.: \(n=2;\;n=7\).
Отг.: а) \(n=-3\); б) \(n=-3\); в) \(n=4\).
Отг.: а) \(2^{20}\) и \(4^{10}=2^{20}\) — равни; б) \((-3)^{22}=3^{22}=(3^2)^{11}=9^{11}\), а \((-2)^{33}=-(2^{33})=-8^{11}\); следователно \((-3)^{22}\gt(-2)^{33}\); в) \(3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}\), \(5^{50}=(5^2)^{25}=25^{25}\); значи \(3^{75}\gt5^{50}\).
Отг.: \(\tfrac{1}{64};\;-\tfrac{1}{125};\;1;\;\tfrac{3}{2}\).
Отг.: \(-\tfrac{1}{64};\;-1;\;49;\;\tfrac{27}{8}\).
Отг.: а) \(2^2=4\); б) \(6^{12}\); в) \(11^6\).
Отг.: \((-0{,}3)^{-1}+1=-\tfrac{10}{3}+1=-\tfrac{7}{3}=-2\tfrac{1}{3}\).
Отг.: \(10^{-2};\;3{,}5\cdot10^{-1};\;2{,}03\cdot10^{-3};\;8{,}06\cdot10^{-2}\).
Отг.: \(5{,}6\cdot10^0;\;1{,}203\cdot10^1;\;7{,}2508\cdot10^1;\;7{,}520149\cdot10^3\).
Отг.: \(512{,}8;\;314\,000;\;0{,}0011;\;6900\).
Отг.: \(1{,}6\cdot10^{-5}\lt7\cdot10^{-4}\lt2{,}5\cdot10^{-2}\lt1{,}2\cdot10^{-1}\).
Отг.: \(97\cdot10^{-6}=9{,}7\cdot10^{-5}\) кв. км; \(860\cdot10^{-9}=8{,}6\cdot10^{-7}\) куб. м.
Отг.: \((12)^3=1728\) куб. дм \(=1{,}728\cdot10^3\) куб. дм.
Отг.: \(-4\cdot(-27)-8=108-8=100\).
Отг.: числител \(=5{,}5-6{,}25\cdot\tfrac{1}{125}=5{,}5-0{,}05=5{,}45\); резултат \(=1\).
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар