📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Рационални числа › Общи задачи

Действия с рационални числа —
общи задачи

Разнообразни и нестандартни задачи, включително конкурсни — събиране, изваждане, умножение, деление, смесени изрази, уравнения — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за домашна работа и онлайн тест за 6. клас

6. клас Рационални числа Общи задачи Конкурсни задачи 25 решени задачи Д-р Атанас Илчев

В този урок ще затвърдим и систематизираме всички действия с рационални числа — събиране, изваждане, умножение, деление и смесени изрази. Задачите са разнообразни, а част от тях са конкурсни задачи от математически турнири и олимпиади. Целта не е само да пресметнем вярно, а и да намерим най-рационалния подход.

Ключови стратегии:

• Изнасяне на общ множител — когато едно число се среща на много места.
• Удобно групиране — групиране на числа с удобни суми или произведения.
• Ред на действията — степенуване → умножение/деление → събиране/изваждане.
• Опростяване преди пресмятане — съкращавай дроби и групирай преди да смяташ.
• Проверка — при уравнения винаги заместяй намерения корен.

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Пресметнете стойността на израза \(3\dfrac{3}{11}\cdot21{,}7-16{,}2\cdot3\dfrac{3}{11}\).

▼

Решение

Изнасяме общия множител \(3\tfrac{3}{11}\):

\[3\tfrac{3}{11}\cdot(21{,}7-16{,}2) = 3\tfrac{3}{11}\cdot5{,}5 = \frac{36}{11}\cdot\frac{11}{2} = 18.\;\blacksquare\]

2

Пресметнете стойността на израза \(2\dfrac{3}{23}\cdot11{,}7+11{,}3\cdot2\dfrac{3}{23}\).

▼

Решение

Изнасяме общия множител \(2\tfrac{3}{23}\):

\[2\tfrac{3}{23}\cdot(11{,}7+11{,}3) = \frac{49}{23}\cdot23 = 49.\;\blacksquare\]

3

Пресметнете: \((-2{,}5)\cdot3\dfrac{1}{5}+(-2{,}5)\cdot(-1{,}2)-(-2{,}5)\cdot2\).

▼

Решение

Изнасяме \(-2{,}5\):

\[(-2{,}5)\cdot\left(3\tfrac{1}{5}+(-1{,}2)-2\right) = (-2{,}5)\cdot(3{,}2-1{,}2-2) = (-2{,}5)\cdot0 = 0.\;\blacksquare\]

4

Намерете неизвестното число \(x\) от равенството: \(\dfrac{(5+15\cdot0{,}04)\cdot\frac{5}{7}}{(0{,}9:0{,}3)-x}=2\).

▼

Решение

Пресмятаме числителя: \((5+0{,}6)\cdot\tfrac{5}{7}=5{,}6\cdot\tfrac{5}{7}=\tfrac{28}{5}\cdot\tfrac{5}{7}=4\).

Знаменателят: \(0{,}9:0{,}3=3\). Уравнението: \(\dfrac{4}{3-x}=2\), следователно \(3-x=2\), откъдето \(x=1\).

Проверка: \(\dfrac{4}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2\). ✓\(\blacksquare\)

5

Намерете \(x\) от равенството: \(\dfrac{-22\cdot0{,}05\cdot\frac{1}{19}}{(9:180)+x}=0{,}05\).

▼

Решение

Числител: \(-22\cdot0{,}05\cdot\tfrac{1}{19}=-\tfrac{1{,}1}{19}=-\tfrac{11}{190}\).

Уравнение: \(\dfrac{-11/190}{9:180+x}=\tfrac{1}{20}\). Знаменател: \((9:180)+x=\tfrac{1}{20}+x\).

\(\dfrac{-11/190}{1/20+x}=\tfrac{1}{20}\Rightarrow \tfrac{1}{20}+x=\dfrac{-11/190}{1/20}=-\tfrac{11}{190}\cdot20=-\tfrac{220}{190}=-\tfrac{22}{19}\).

\[x=-\tfrac{22}{19}-\tfrac{1}{20}=-\tfrac{440}{380}-\tfrac{19}{380}=-\tfrac{459}{380}\approx-1{,}208.\;\blacksquare\]

6

Пресметнете: \(\dfrac{49^5\cdot15^7\cdot6^8}{(-21)^{10}\cdot10^8\cdot(-3)^5}\).

▼

Решение

Разлагаме на прости множители: \(49=7^2\), \(15=3\cdot5\), \(6=2\cdot3\), \(21=3\cdot7\), \(10=2\cdot5\).

\[\frac{7^{10}\cdot3^7\cdot5^7\cdot2^8\cdot3^8}{3^{10}\cdot7^{10}\cdot2^8\cdot5^8\cdot(-1)^5\cdot3^5} = \frac{3^{15}\cdot5^7\cdot2^8\cdot7^{10}}{(-1)\cdot3^{15}\cdot5^8\cdot2^8\cdot7^{10}} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}.\;\blacksquare\]

7

Намерете \(x\): \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot1{,}2-x=-3{,}25\cdot1\dfrac{3}{13}-6\).

▼

Решение

Лява страна: \(-\tfrac{1}{3}\cdot1{,}2-x=-0{,}4-x\).

Дясна страна: \(-3{,}25\cdot\tfrac{16}{13}-6=-\tfrac{52}{13}-6=-4-6=-10\).

Уравнение: \(-0{,}4-x=-10\Rightarrow x=-0{,}4+10=9{,}6\).\(\blacksquare\)

8

Намерете неизвестното \(x\): \(10x-0{,}2=\dfrac{5}{9}+0{,}9+\dfrac{38}{45}\).

▼

Решение

Дясна страна: \(\tfrac{5}{9}+\tfrac{38}{45}=\tfrac{25+38}{45}=\tfrac{63}{45}=\tfrac{7}{5}=1{,}4\).

\[10x-0{,}2=1{,}4+0{,}9=2{,}3\Rightarrow 10x=2{,}5\Rightarrow x=0{,}25.\;\blacksquare\]

9

Пресметнете стойността на израза \(A = \dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}:\left(-2\dfrac{1}{3}\right) - \dfrac{13\frac{1}{3}-15\frac{1}{5}}{15\frac{1}{5}-17\frac{1}{7}}\cdot\dfrac{2}{49}\).

▼

Решение

Забелязваме структурата: \(\dfrac{a-b}{b-c}\) в двете части, където \(a=\tfrac{1}{3},b=\tfrac{1}{5},c=\tfrac{1}{7}\) и аналогично за второто отношение.

\(\tfrac{1/3-1/5}{1/5-1/7}=\tfrac{2/15}{2/35}=\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac{35}{2}=\tfrac{7}{3}\). Тогава: \(\tfrac{7}{3}:\left(-\tfrac{7}{3}\right)=-1\).

\(\tfrac{13\tfrac{1}{3}-15\tfrac{1}{5}}{15\tfrac{1}{5}-17\tfrac{1}{7}}=\tfrac{40/3-76/5}{76/5-120/7}=\tfrac{(200-228)/15}{(532-600)/35}=\tfrac{-28/15}{-68/35}=\tfrac{28}{15}\cdot\tfrac{35}{68}=\tfrac{980}{1020}=\tfrac{49}{51}\).

Втора дроб: \(\tfrac{49}{51}\cdot\tfrac{2}{49}=\tfrac{2}{51}\).

\[A = -1 - \frac{2}{51} = -\frac{53}{51} \approx -1{,}039.\;\blacksquare\]

10

Пресметнете: \(A = 2(2x-2(2x+2(-2x)))\), ако \(x = 33\dfrac{1}{3}\%\) от 603.

▼

Решение

\(x=\tfrac{1}{3}\cdot603=201\). Опростяваме \(A\) първо:

\[A=2(2x-2(2x-4x))=2(2x-2(-2x))=2(2x+4x)=2\cdot6x=12x.\] \[A=12\cdot201=2412.\;\blacksquare\]

11

Намерете \(x\): \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}=5\).

▼

Решение \[\frac{3x-2x}{6}=5\Rightarrow \frac{x}{6}=5\Rightarrow x=30.\;\blacksquare\]

12

С колко неизвестното число в равенството \(x-(4{,}5-3{,}2)=3{,}2\) е по-голямо от стойността на израза \([(5-3)\cdot(-4)-9\cdot(-2)+(-2)]:(-1)\)?

▼

Решение

Намираме \(x\): \(x-1{,}3=3{,}2\Rightarrow x=4{,}5\).

Стойността на израза: \([(2)\cdot(-4)-(-18)+(-2)]:(-1)=[-8+18-2]:(-1)=8:(-1)=-8\).

Разлика: \(4{,}5-(-8)=12{,}5\).\(\blacksquare\)

13

С колко единици коренът на \(\dfrac{x}{2}-\dfrac{15-x}{-4}=-1\) е по-малък от корена на \(\dfrac{y-2(y+1)}{3}+2=\dfrac{y-4}{9}\)?

▼

Решение

Уравнение 1: \(\tfrac{x}{2}+\tfrac{15-x}{4}=-1\). Умножаваме по 4: \(2x+15-x=-4\Rightarrow x=-19\).

Уравнение 2: \(\tfrac{y-2y-2}{3}+2=\tfrac{y-4}{9}\Rightarrow\tfrac{-y-2}{3}+2=\tfrac{y-4}{9}\). Умножаваме по 9: \(-3(y+2)+18=y-4\Rightarrow -3y-6+18=y-4\Rightarrow 16=4y\Rightarrow y=4\).

Корен 1 е \(-19\), корен 2 е \(4\). По-малък с \(4-(-19)=23\) единици.\(\blacksquare\)

14

Пресметнете и сравнете по големина: \(A = \dfrac{(-2)\cdot0{,}75+\frac{2}{3}\cdot(-9)}{\frac{3}{2}+(-3)\cdot\frac{5}{6}} - \dfrac{(-5)\cdot\frac{3}{10}-\frac{3}{4}\cdot(-8)}{1\frac{1}{2}+3\cdot\frac{5}{6}}\) и \(C=0{,}25\) (корен на \(10x-0{,}2=\tfrac{5}{9}+0{,}9+\tfrac{38}{45}\)).

▼

Решение

Числител 1: \(-1{,}5-6=-7{,}5\). Знаменател 1: \(1{,}5-2{,}5=-1\). Дроб 1: \(\tfrac{-7{,}5}{-1}=7{,}5\).

Числител 2: \(-\tfrac{3}{2}+6=\tfrac{9}{2}\). Знаменател 2: \(\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{2}=4\). Дроб 2: \(\tfrac{9/2}{4}=\tfrac{9}{8}\).

\[A=7{,}5-\tfrac{9}{8}=\tfrac{60}{8}-\tfrac{9}{8}=\tfrac{51}{8}=6{,}375.\]

От задача 8: \(C=0{,}25\). Следователно \(C\lt A\).\(\blacksquare\)

15

Намерете \(x\): \(2\cdot x+2\cdot\left(-1\dfrac{2}{3}+1\dfrac{1}{2}\right)=3\dfrac{2}{3}\).

▼

Решение

Пресмятаме скобата: \(-\tfrac{5}{3}+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{10}{6}+\tfrac{9}{6}=-\tfrac{1}{6}\).

\[2x+2\cdot\left(-\tfrac{1}{6}\right)=\tfrac{11}{3}\Rightarrow 2x-\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{3}\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2.\;\blacksquare\]

16

Намерете \(n\) и \(x\), за които е изпълнено \((n+6)^2+|x-2002|=0\).

▼

Решение

Сумата от две неотрицателни числа е равна на 0, следователно и двете са 0:

\[(n+6)^2=0\Rightarrow n=-6;\quad |x-2002|=0\Rightarrow x=2002.\;\blacksquare\]

17

Пресметнете: \((-6a-4)\), ако \(a=-\dfrac{1}{3}\); \(\;(-20:a+\dfrac{3}{7})\), ако \(a=5\).

▼

Решение

а) \(-6\cdot(-\tfrac{1}{3})-4=2-4=-2\).

б) \(-20:5+\tfrac{3}{7}=-4+\tfrac{3}{7}=-\tfrac{25}{7}=-3\tfrac{4}{7}\).\(\blacksquare\)

18

Пресметнете: \(-3-64a\), ако \(a=-\dfrac{1}{4}\); \(\quad -6\dfrac{2}{9}-35:a\), ако \(a=-7\).

▼

Решение

а) \(-3-64\cdot(-\tfrac{1}{4})=-3+16=13\).

б) \(-6\tfrac{2}{9}-35:(-7)=-6\tfrac{2}{9}+5=-1\tfrac{2}{9}\).\(\blacksquare\)

19

Сравнете: а) \(12\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)\) и \(15\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)\); б) \(49:\left(-\dfrac{7}{2}\right)\) и \(-10:\dfrac{5}{4}\); в) \(8:\left(-\dfrac{2}{7}\right)\) и \(-27:\dfrac{9}{10}\).

▼

Решение

а) \(-2\) и \(-3\): \(-2\gt-3\).

б) \(-14\) и \(-8\): \(-14\lt-8\).

в) \(-28\) и \(-30\): \(-28\gt-30\).\(\blacksquare\)

20

Намерете \(x\), ако \(x\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{3}{8}\); \(\quad x:\left(-\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{5}{8}\); \(\quad 4:x=-\dfrac{8}{9}\); \(\quad -2\dfrac{1}{5}:x=-\dfrac{11}{25}\).

▼

Решение

а) \(x=\tfrac{3}{8}:\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-\tfrac{1}{2}\).

б) \(x=-\tfrac{5}{8}\cdot\left(-\tfrac{2}{5}\right)=\tfrac{1}{4}\).

в) \(x=4:\left(-\tfrac{8}{9}\right)=-\tfrac{9}{2}=-4{,}5\).

г) \(-\tfrac{11}{5}:x=-\tfrac{11}{25}\Rightarrow x=-\tfrac{11}{5}:\left(-\tfrac{11}{25}\right)=5\).\(\blacksquare\)

⭐ Задачи с повишена трудност

Конкурсни задачи от математически турнири и олимпиади.

21

(2000, МО — Казанлък) Пресметнете и сравнете по големина \(A\), \(B\) и \(C\), ако \(b=\big||{-0{,}3}|-(2{,}3)\big|\), \[A=\dfrac{(-2)\cdot0{,}75+\tfrac{2}{3}\cdot(-9)}{\tfrac{3}{2}+(-3)\cdot\tfrac{5}{6}}-\dfrac{(-5)\cdot\tfrac{3}{10}-\tfrac{3}{4}\cdot(-8)}{1\tfrac{1}{2}+3\cdot\tfrac{5}{6}},\quad B=-\left|b-\dfrac{b}{4}-\dfrac{b}{5}\right|,\quad C=0{,}25.\] ⭐ трудна

▼

Решение

\(b=|0{,}3-2{,}3|=|-2|=2\).

\[B=-\left|2-\tfrac{2}{4}-\tfrac{2}{5}\right|=-\left|\tfrac{20-5-4}{10}\right|=-\tfrac{11}{10}=-1{,}1.\]

Пресмятаме \(A\): Числител 1: \((-2)\cdot0{,}75+\tfrac{2}{3}\cdot(-9)=-1{,}5-6=-7{,}5\). Знаменател 1: \(\tfrac{3}{2}+(-3)\cdot\tfrac{5}{6}=1{,}5-2{,}5=-1\). Дроб 1: \(7{,}5\). Числител 2: \((-5)\cdot\tfrac{3}{10}-\tfrac{3}{4}\cdot(-8)=-\tfrac{3}{2}+6=\tfrac{9}{2}\). Знаменател 2: \(1\tfrac{1}{2}+3\cdot\tfrac{5}{6}=\tfrac{3}{2}+\tfrac{5}{2}=4\). Дроб 2: \(\tfrac{9}{8}\).

\[A=7{,}5-\tfrac{9}{8}=\tfrac{60-9}{8}=\tfrac{51}{8}=6{,}375.\quad C=0{,}25.\]

Следователно \(B=-1{,}1\lt C=0{,}25\lt A=6{,}375\).\(\blacksquare\)

22

(Конкурсна) Пресметнете рационално: \[\left(3541\tfrac{51}{173}\right)\cdot(-3{,}8)+\left(3531\tfrac{51}{173}\right)\cdot3{,}8.\] ⭐ трудна

▼

Решение

Изнасяме \(3{,}8\) пред скоби:

\[3{,}8\cdot\left(-3541\tfrac{51}{173}+3531\tfrac{51}{173}\right)=3{,}8\cdot(-10)=-38.\;\blacksquare\]

23

(2002, МО) Пресметнете стойността на \(A\), ако \[A=\frac{3:\!\left(-\tfrac{3}{5}\right)-\left(-\tfrac{4}{5}:2\right)+5\!\left(0{,}4-\tfrac{2}{5}\cdot(-2)\right)+(-1):\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3\tfrac{2}{5}\cdot(-1)}{\left|4-6:1\tfrac{3}{7}\right|+\left|-3\tfrac{2}{5}+\tfrac{4}{5}\right|+\left|-\tfrac{5}{3}\cdot1\tfrac{4}{5}\right|}.\] След това намерете \(n\) и \(x\), за които \((n+6)^2+|x-2002|=A\). ⭐ трудна

▼

Решение

Числител: \(3:(-\tfrac{3}{5})=-5\); \(-(-\tfrac{4}{5}:2)=\tfrac{2}{5}\); \(5(0{,}4+\tfrac{4}{5})=5\cdot1{,}2=6\); \((-1):(-\tfrac{1}{2})=2\); \(3\tfrac{2}{5}\cdot(-1)=-\tfrac{17}{5}\).

Сума: \(-5+\tfrac{2}{5}+6+2-\tfrac{17}{5}=3+\tfrac{2-17}{5}=3-3=0\).

\(A=0\). Следователно \((n+6)^2+|x-2002|=0\Rightarrow n=-6,\; x=2002\).\(\blacksquare\)

24

(2004, МО) Пресметнете \(A=\dfrac{|a-x|}{3}-\dfrac{|-a+2x|}{2}\), където \(a=\dfrac{-5:(-\frac{1}{7})+2{,}1:(-0{,}3)}{5:(-\frac{1}{3})-2:(-0{,}25)}\) и \(x\) е корен на \(\tfrac{1}{3}\cdot1{,}2-x=-3{,}25\cdot1\tfrac{3}{13}-6\). ⭐ трудна

▼

Решение

Намираме \(a\): Числител: \(35+(-7)=28\). Знаменател: \(-15-(-8)=-15+8=-7\). \(a=28:(-7)=-4\).

Намираме \(x\): \(\tfrac{1}{3}\cdot1{,}2-x=-3{,}25\cdot1\tfrac{3}{13}-6\), тоест \(0{,}4-x=-10\), откъдето \(x=10{,}4\).

Тъй като \(a=-4\) и \(x=10{,}4\): \(|a-x|=14{,}4\), \(|-a+2x|=24{,}8\).

\[A=\frac{14{,}4}{3}-\frac{24{,}8}{2}=4{,}8-12{,}4=-7{,}6=-\frac{38}{5}.\;\blacksquare\]

25

(1997, КМС) Пресметнете стойността на израза \(\dfrac{\left(1{,}88+2\dfrac{2}{25}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{16}\right)}{0{,}625-\dfrac{13}{18}:\dfrac{26}{6}}\). ⭐ трудна

▼

Решение

Числител: \(1{,}88+2\tfrac{2}{25}=1{,}88+2{,}08=3{,}96=\tfrac{99}{25}\). Числителят: \(\tfrac{99}{25}\cdot\left(-\tfrac{3}{16}\right)=-\tfrac{297}{400}\).

Знаменател: \(\tfrac{13}{18}:\tfrac{26}{6}=\tfrac{13}{18}\cdot\tfrac{6}{26}=\tfrac{1}{6}\). Следователно \(0{,}625-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{8}-\tfrac{1}{6}=\tfrac{11}{24}\).

\[-\frac{297}{400}\cdot\frac{24}{11}=-\frac{81}{50}=-1{,}62.\;\blacksquare\]

---

📝 Задачи за домашна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Пресметнете: \(5\tfrac{5}{7}\cdot(-3{,}2)+5\tfrac{5}{7}\cdot1{,}2\).
Отг.: \(5\tfrac{5}{7}\cdot(-3{,}2+1{,}2)=\tfrac{40}{7}\cdot(-2)=-\tfrac{80}{7}\approx-11{,}43\).

Задача 2Пресметнете: \((-1{,}5)\cdot4\tfrac{2}{3}+(-1{,}5)\cdot(-2\tfrac{2}{3})\).
Отг.: \((-1{,}5)\cdot(4\tfrac{2}{3}-2\tfrac{2}{3})=(-1{,}5)\cdot2=-3\).

Задача 3Намерете \(x\): \(\dfrac{(3+12\cdot0{,}2)\cdot\frac{5}{9}}{(1{,}5:0{,}5)-x}=1{,}5\).
Отг.: \((3+12\cdot0{,}2)\cdot\tfrac{5}{9}=5{,}4\cdot\tfrac{5}{9}=3\). Уравнение: \(\tfrac{3}{3-x}=1{,}5\Rightarrow 3=1{,}5(3-x)=4{,}5-1{,}5x\Rightarrow x=1\).

Задача 4Пресметнете: \(\dfrac{7^8\cdot6^5\cdot5^4}{(-14)^4\cdot(-3)^5\cdot25^2}\).
Отг.: \(\dfrac{7^8\cdot2^5\cdot3^5\cdot5^4}{2^4\cdot7^4\cdot(-1)^4\cdot(-1)^5\cdot3^5\cdot5^4}=-\dfrac{7^4\cdot2}{1}=-4802\).

Задача 5Намерете \(x\): \(10x-1{,}5=\dfrac{7}{9}+1{,}2+\dfrac{5}{9}\).
Отг.: \(\tfrac{7}{9}+\tfrac{5}{9}=\tfrac{12}{9}=\tfrac{4}{3}\); \(\tfrac{4}{3}+\tfrac{6}{5}=\tfrac{20+18}{15}=\tfrac{38}{15}\); \(10x=\tfrac{38}{15}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{76+45}{30}=\tfrac{121}{30}\); \(x=\tfrac{121}{300}\approx0{,}4033\).

Задача 6Намерете \(n\) и \(x\): \((n-3)^2+|x+1999|=0\).
Отг.: \(n=3\), \(x=-1999\).

Задача 7Пресметнете: \(-2a-6:b-18\), ако \(a=-\tfrac{1}{4}\) и \(b=-\tfrac{3}{5}\).
Отг.: \(\tfrac{1}{2}+10-18=-7\tfrac{1}{2}\).

Задача 8Пресметнете: \(3{,}4a-7{,}2:b-\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\), ако \(a=-2\) и \(b=-9\).
Отг.: \(-6{,}8+0{,}8-\tfrac{2}{9}+\tfrac{9}{2}=-6{,}8+0{,}8-0{,}2\overline{2}+4{,}5=-1{,}7\overline{2}\approx-1\tfrac{13}{18}\).

Задача 9Намерете \(x\): \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=2\).
Отг.: \(\tfrac{x}{12}=2\Rightarrow x=24\).

Задача 10Намерете \(x\): \(\dfrac{2x}{5}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{11}{15}\).
Отг.: \(\tfrac{6x+5x}{15}=\tfrac{11}{15}\Rightarrow x=1\).

Задача 11Сравнете: \(-2\cdot(-\tfrac{3}{2})\) и \(-3\cdot(-\tfrac{3}{2})\).
Отг.: \(3\lt4{,}5\).

Задача 12Пресметнете: \(A=2(2x-2(2x+2(-2x)))\), ако \(x=50\).
Отг.: \(A=12x=600\).

Задача 13Намерете \(x\): \(\dfrac{(7+5\cdot0{,}06)\cdot\frac{2}{3}}{(2{,}4:0{,}8)-x}=2\).
Отг.: числител \(=\tfrac{7{,}3\cdot2}{3}\approx\tfrac{14{,}6}{3}\); уравнение \(\tfrac{14{,}6/3}{3-x}=2\Rightarrow 3-x=\tfrac{7{,}3}{3}\Rightarrow x=3-\tfrac{7{,}3}{3}=\tfrac{1{,}7}{3}\approx0{,}57\).

Задача 14Пресметнете: \(-15:a-9b-23\), ако \(a=-\tfrac{5}{6}\) и \(b=-\tfrac{1}{18}\).
Отг.: \(18+\tfrac{1}{2}-23=-4\tfrac{1}{2}\).

Задача 15Намерете \(x\): \(\dfrac{3x-1}{2}=\dfrac{x+3}{4}\).
Отг.: \(2(3x-1)=x+3\Rightarrow 5x=5\Rightarrow x=1\).

Задача 16Намерете \(x\): \(5x-3(x-2)=8-x\).
Отг.: \(5x-3x+6=8-x\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\tfrac{2}{3}\).

Задача 17Пресметнете: \(\dfrac{(-3)\cdot0{,}5+\frac{1}{4}\cdot(-8)}{\frac{5}{2}+(-2)\cdot\frac{3}{4}}-\dfrac{(-4)\cdot\frac{1}{6}-\frac{1}{3}\cdot(-6)}{2\frac{1}{2}+2\cdot\frac{3}{4}}\).
Отг.: \(\tfrac{-1{,}5-2}{2{,}5-1{,}5}-\tfrac{-2/3+2}{4}=\tfrac{-3{,}5}{1}-\tfrac{4/3}{4}=-3{,}5-\tfrac{1}{3}=-3\tfrac{5}{6}\).

Задача 18Намерете \(x\): \(\left(-\tfrac{2}{3}+1\tfrac{1}{5}\right):x=-3\tfrac{1}{5}\).
Отг.: \(\tfrac{8}{15}:x=-\tfrac{16}{5}\Rightarrow x=\tfrac{8}{15}:\left(-\tfrac{16}{5}\right)=-\tfrac{1}{6}\).

Задача 19Пресметнете стойността на израза \(|a-x|+|a+x|\), ако \(a=3\) и \(x=-5\).
Отг.: \(|8|+|-2|=10\).

Задача 20Намерете \(x\): \(\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{1}{6}\).
Отг.: \(3(x-1)-2(x+2)=1\Rightarrow x=8\).

Задача 21Пресметнете: \(3{,}4\cdot(-1{,}5)+3{,}4\cdot(-3{,}5)+3{,}4\cdot5\).
Отг.: \(3{,}4\cdot(-1{,}5-3{,}5+5)=3{,}4\cdot0=0\).

Задача 22Намерете \(x\), ако \((2x-1)^2+\left|3-\dfrac{x}{2}\right|=0\).
Отг.: \((2x-1)^2=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}\); проверка: \(|3-\tfrac{1}{4}|=\tfrac{11}{4}\neq0\) — системата няма решение.

Задача 23Пресметнете: \(\dfrac{3^8\cdot(-5)^4\cdot(-2)^7}{(-6)^4\cdot(-10)^3\cdot4^2}\).
Отг.: числителят е \(3^8\cdot5^4\cdot(-2)^7\) (отрицателен), знаменателят е \(3^4\cdot2^4\cdot(-1)^3\cdot2^3\cdot5^3\cdot2^4\) (отрицателен). Минус по минус — положителен резултат: \(\dfrac{3^8\cdot5^4\cdot2^7}{3^4\cdot2^{11}\cdot5^3}=\dfrac{3^4\cdot5}{2^4}=\dfrac{405}{16}=25\tfrac{5}{16}\).

Задача 24Намерете \(x\): \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-2}{6}=\dfrac{5}{2}\).
Отг.: \(2(2x+1)-(x-2)=15\Rightarrow 3x+4=15\Rightarrow x=\tfrac{11}{3}\).

Задача 25Ако числото \(b\lt0\), определете знака на \(A=-b\cdot(|b+b|+31+b)+3\).
Отг.: \(|b+b|=|2b|=-2b\) (тъй като \(b\lt0\)). Следователно \(A=-b(-2b+31+b)+3=-b(31-b)+3\). При \(b\lt0\): \(-b\gt0\) и \(31-b\gt31\gt0\), значи \(-b(31-b)\gt0\) и \(A\gt0\) за всяко \(b\lt0\).

Задача 26Намерете \(x\): \(0{,}125x-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(\tfrac{1}{8}x-\tfrac{3}{8}=\tfrac{1}{4}x+\tfrac{1}{2}\Rightarrow -\tfrac{1}{8}x=\tfrac{7}{8}\Rightarrow x=-7\).

Задача 27Намерете всички цели числа \(x\), за които \(|2x-3|\leq5\).
Отг.: \(-1\leq x\leq4\), т.е. \(x\in\{-1,0,1,2,3,4\}\).

Задача 28Пресметнете \(-20:a+\tfrac{3}{7}\), ако \(a=5\); и \(-6a-4\), ако \(a=-\tfrac{1}{3}\).
Отг.: а) \(-4+\tfrac{3}{7}=-3\tfrac{4}{7}\); б) \(2-4=-2\).

Задача 29Намерете \(x\): \(\dfrac{-x}{2}-\dfrac{15+x}{-4}=-1\).
Отг.: \(-\tfrac{x}{2}+\tfrac{15+x}{4}=-1\Rightarrow -2x+15+x=-4\Rightarrow x=19\).

Задача 30(Конкурсна) Дробите \(\tfrac{3}{5}\) и \(\tfrac{5}{3}\) са изобразени с точки \(A\) и \(B\) на числовата ос. Коя от двете точки е по-близо до точка \(M\), образ на 1?
Отг.: \(|A-1|=|3/5-1|=2/5\); \(|B-1|=|5/3-1|=2/3\). Тъй като \(2/5\lt2/3\), точка \(A\) е по-близо до \(M\).

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Действия с рационални числа — общи задачи

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Стойността на \(3\dfrac{3}{11}\cdot21{,}7-16{,}2\cdot3\dfrac{3}{11}\) е:

\(\dfrac{648}{11}\) \(18\) \(0\) \(180\)

2Стойността на \(2\dfrac{3}{23}\cdot11{,}7+11{,}3\cdot2\dfrac{3}{23}\) е:

\(46\) \(\dfrac{648}{23}\) \(49\) \(6\)

3Корeнът на \(\dfrac{(5+15\cdot0{,}04)\cdot\frac{5}{7}}{(0{,}9:0{,}3)-x}=2\) е:

\(\dfrac{13}{14}\) \(-1{,}7\) \(2{,}6\) \(1\)

4Коренът на \(10x-0{,}2=\dfrac{5}{9}+0{,}9+\dfrac{38}{45}\) е:

\(0{,}25\) \(2{,}5\) \(0{,}025\) \(-0{,}25\)

5\(\dfrac{49^5\cdot15^7\cdot6^8}{(-21)^{10}\cdot10^8\cdot(-3)^5}=\)

\(\dfrac{1}{5}\) \(-\dfrac{1}{5}\) \(5\) \(-5\)

6За кои стойности на \(n\) и \(x\) е изпълнено \((n+6)^2+|x-2002|=0\)?

\(n=6,\; x=2002\) \(n=-6,\; x=-2002\) \(n=0,\; x=0\) \(n=-6,\; x=2002\)

7\((-6a-4)\) при \(a=-\dfrac{1}{3}\) е равно на:

\(-6\) \(2\) \(-2\) \(6\)

8Коренът на \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=2\) е:

\(6\) \(12\) \(24\) \(48\)

9При \(-3-64a\) за \(a=-\dfrac{1}{4}\) стойността е:

\(-19\) \(19\) \(-13\) \(13\)

10Коренът на \(5x-3(x-2)=8-x\) е:

\(1\) \(-1\) \(\dfrac{2}{3}\) \(2\)

11Коренът на \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-2}{6}=\dfrac{5}{2}\) е:

\(\dfrac{11}{3}\) \(3\) \(-3\) \(-\dfrac{11}{3}\)

12\((-2{,}5)\cdot3\dfrac{1}{5}+(-2{,}5)\cdot(-1{,}2)-(-2{,}5)\cdot2\) е равно на:

\(-5\) \(5\) \(0\) \(-2{,}5\)

13Дробите \(\tfrac{3}{5}\) и \(\tfrac{5}{3}\) са изобразени с точки \(A\) и \(B\). Коя е по-близо до образа на 1?

Точка \(B\) Еднакво отдалечени Точка \(A\) Не може да се определи

14Коренът на \(0{,}125x-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\) е:

\(7\) \(-7\) \(3\) \(-3\)

15\(A=2(2x-2(2x+2(-2x)))\) при \(x=33\dfrac{1}{3}\%\) от 603 е равно на:

\(201\) \(1206\) \(402\) \(2412\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

5

Умножение и деление на рационални числа

Правила за знаците, свойства, разпределително свойство — 25 разработени задачи и онлайн тест.

Преглед на урока →

3

Събиране и изваждане на рационални числа

Правила, свойства на събирането, въвеждане и разкриване на скоби, алгебричен сбор — 25 разработени задачи и онлайн тест.

Преглед на урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆