Ъгли при пресичане на две прави с трета – 7. клас: 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Ъгли при пресичане на две прави с трета

Ъгли при пресичане на две прави с трета
Кръстни, съответни, прилежащи • признаци за успоредност

Теория с прецизни векторни чертежи, 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

7. класГеометрия25 решени задачи5 с повишена трудност30 упражненияТест: 15 въпроса

В този урок

Теория25 решени задачиЗадачи 21–2530 за самостоятелна работаТестВидеоурокСвързани уроци

Теория: ъгли при пресичане на две прави с трета

Нека правата c пресича две различни прави a и b в две различни точки. Правата c се нарича сечаща права. При двете пресичания се образуват осем ъгъла. Понятията за прави, ъгли и перпендикулярност можете да преговорите в урока за основни геометрични фигури от 5. клас, а съседните и връхните ъгли са непосредствената предходна тема.

Стандартно номериране на осемте ъгъла. Правите a и b не се приемат за успоредни само по чертежа.

Как различаваме вътрешни и външни ъгли. Нека \(O=a\cap c\) и \(P=b\cap c\). При \(O\) вътрешни са двата ъгъла, в чиито вътрешности лежи лъчът \(OP\); при \(P\) вътрешни са двата ъгъла, в чиито вътрешности лежи лъчът \(PO\). Останалите четири са външни.

Кръстни ъгли. Кръстните ъгли лежат от различни страни на сечащата права. Вътрешните кръстни са между правите \(a\) и \(b\), а външните — извън областта между тях. При стандартното номериране:

• вътрешни кръстни: \((3,5)\) и \((4,6)\);
• външни кръстни: \((1,7)\) и \((2,8)\).

Вътрешни кръстни: (3,5) и (4,6). Външни кръстни: (1,7) и (2,8).

Съответни ъгли. Съответните ъгли заемат еднакво относително положение при двете пресичания на сечащата с правите \(a\) и \(b\). При стандартното номериране двойките са \[ (1,5),\quad(2,6),\quad(3,7),\quad(4,8). \]

Примери за съответни двойки: (1,5) и (2,6).

Прилежащи ъгли. Прилежащите ъгли лежат от една и съща страна на сечащата права. Вътрешните прилежащи са между \(a\) и \(b\), а външните — извън областта между тях. При стандартното номериране:

• вътрешни прилежащи: \((3,6)\) и \((4,5)\);
• външни прилежащи: \((1,8)\) и \((2,7)\).

Терминологична бележка. „Прилежащи“ тук означава двойки ъгли при двете различни пресичания, разположени от една и съща страна на сечащата. Не ги бъркайте със „съседни ъгли“ от предишния урок, които имат общ връх и общо рамо.

Вътрешни прилежащи: (3,6) и (4,5).

Признаци за успоредност

Признак 1 — кръстни ъгли. Ако при пресичане на две прави с трета ъглите от една двойка кръстни ъгли са равни, то двете прави са успоредни.

Признак 2 — съответни ъгли. Ако ъглите от една двойка съответни ъгли са равни, то двете прави са успоредни.

Признак 3 — прилежащи ъгли. Ако сборът на ъглите от една двойка прилежащи ъгли е \(180^\circ\), то двете прави са успоредни.

Признак 4 — перпендикулярност към една и съща права. Ако \(a\perp c\) и \(b\perp c\), то \(a\parallel b\).

Обяснение. Правите \(a\) и \(b\) образуват с \(c\) равни съответни ъгли по \(90^\circ\). Затова прилагаме Признак 2.

Ако a⊥c и b⊥c, тогава a∥b.

Чести грешки:

• да приемаме \(a\parallel b\) само защото линиите изглеждат успоредни на чертежа;

• да бъркаме връхни ъгли при едно пресичане с кръстни ъгли при две различни пресичания;

• при прилежащи ъгли да търсим равенство вместо сбор \(180^\circ\);

• да прилагаме признак, без първо да сме проверили, че избраната двойка е точно от нужния вид.

Важно разграничение: в този урок използваме признаците — от отношения между ъглите заключаваме, че правите са успоредни. В следващия урок за свойствата на успоредните прави посоката е обратната: от \(a\parallel b\) извеждаме свойства на образуваните ъгли.

---

25 подробно решени и обяснени задачи

Задачи №1–2 запазват идеите на оригиналните разработени задачи, но са преформулирани така, че да не зависят от неясен растерен чертеж. №3–20 изграждат системна работа с трите признака. №21–25 са с повишена трудност.

Основни задачи — №1–20

1Признак чрез съответни ъглиПри пресичането на правите \(a\) и \(b\) с третата права \(c\) е дадено \(\angle2=30^\circ\). При второто пресичане \(\angle6\) е една пета от съседния си \(\angle5\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Съответните ъгли 2 и 6 трябва да се сравнят; 5 и 6 са съседни.

Понеже \(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни,

\[ \angle5+\angle6=180^\circ. \]

Нека \(\angle6=x\). Тогава \(\angle5=5x\), затова

\[ 5x+x=180^\circ\Rightarrow x=30^\circ. \]

Получаваме \(\angle6=30^\circ=\angle2\). Ъглите \(2\) и \(6\) са съответни, следователно по признака за успоредност

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

2Връхни и съседни ъглиНамерете мерките на осемте номерирани ъгъла, ако \(\angle1+\angle3=40^\circ\) и \(\angle5:\angle6=4:5\).▼

Решение

Горните връхни 1 и 3 имат сбор 40°; долу 5:6=4:5.

\(\angle1\) и \(\angle3\) са връхни, следователно са равни. От сбора им:

\[ 2\angle1=40^\circ\Rightarrow \angle1=\angle3=20^\circ. \]

Съседните на тях са

\[ \angle2=\angle4=180^\circ-20^\circ=160^\circ. \]

При второто пресичане нека \(\angle5=4x,\ \angle6=5x\). Те са съседни:

\[ 4x+5x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ. \]

Следователно

\[ \boxed{\angle5=\angle7=80^\circ,\qquad \angle6=\angle8=100^\circ}. \]

3Разпознаване на двойкиПо стандартното номериране определете вида на двойките \((3,5)\), \((2,6)\), \((4,5)\) и \((1,7)\).▼

Решение

Използвайте стандартното номериране 1–8, за да разпознаете видовете двойки.

От положението им спрямо двете прави и сечащата:

• \((3,5)\) — вътрешни кръстни;
• \((2,6)\) — съответни;
• \((4,5)\) — вътрешни прилежащи;
• \((1,7)\) — външни кръстни.

4Признак чрез вътрешни кръстниАко \(\angle3=68^\circ\) и \(\angle5=68^\circ\), докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Равни вътрешни кръстни ъгли.

\(\angle3\) и \(\angle5\) са вътрешни кръстни и са равни. Следователно директно по признака за успоредност:

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

5Признак чрез съответниАко \(\angle2=117^\circ\) и \(\angle6=117^\circ\), докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Равни съответни ъгли.

\(\angle2\) и \(\angle6\) са съответни и имат равни мерки. Затова

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

6Признак чрез прилежащиАко \(\angle4=73^\circ\) и \(\angle5=107^\circ\), докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Вътрешни прилежащи ъгли със сбор 180°.

\(\angle4\) и \(\angle5\) са вътрешни прилежащи. Проверяваме сбора:

\[ 73^\circ+107^\circ=180^\circ. \]

Следователно по признака чрез прилежащи ъгли:

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

7Връхни + съответниДадено е \(\angle1+\angle3=56^\circ\) и \(\angle5=28^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Ъглите 1 и 3 са връхни; 5 е съответен на 1.

\(\angle1\) и \(\angle3\) са връхни, затова са равни:

\[ 2\angle1=56^\circ\Rightarrow \angle1=28^\circ. \]

Тогава \(\angle1=\angle5=28^\circ\). Ъглите \(1\) и \(5\) са съответни, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

8Параметър в съответни ъглиЗа коя стойност на \(x\) от равенствата \(\angle1=(3x+15)^\circ\) и \(\angle5=(5x-25)^\circ\) следва \(a\parallel b\)?▼

Решение

За успоредност по съответни ъгли търсим стойност, при която двете мерки са равни.

За да приложим признака чрез съответни ъгли, изискваме

\[ 3x+15=5x-25. \]

Следователно \(2x=40\), т.е.

\[ \boxed{x=20}. \]

Тогава и двата ъгъла са \(75^\circ\), следователно \(a\parallel b\).

9Параметър в прилежащи ъглиЗа коя стойност на \(x\), ако \(\angle4=(2x+20)^\circ\) и \(\angle5=(4x+10)^\circ\), можем да заключим, че \(a\parallel b\)?▼

Решение

Ъглите 4 и 5 са вътрешни прилежащи.

\(\angle4\) и \(\angle5\) са вътрешни прилежащи. Нужно е сборът им да е \(180^\circ\):

\[ (2x+20)+(4x+10)=180. \] \[ 6x+30=180\Rightarrow \boxed{x=25}. \]

Тогава ъглите са \(70^\circ\) и \(110^\circ\), чийто сбор е \(180^\circ\).

10Две прави, перпендикулярни на третаДадено е \(a\perp c\) и \(b\perp c\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Ако a⊥c и b⊥c, тогава a∥b.

Правите \(a\) и \(b\) образуват с \(c\) съответни прави ъгли. Те са равни на \(90^\circ\). По признака чрез съответни ъгли:

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

11Двуетапно използване на признакАко \(\angle1=138^\circ\) и \(\angle6=42^\circ\), докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

От 138° намираме съседния ъгъл при горното пресичане.

\(\angle1\) и \(\angle2\) са съседни:

\[ \angle2=180^\circ-138^\circ=42^\circ. \]

Следователно \(\angle2=\angle6=42^\circ\). Те са съответни, затова

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

12Отношение при второто пресичанеДадено е \(\angle1=72^\circ\) и \(\angle5:\angle6=2:3\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Долу 5:6=2:3; горе е даден съответният ъгъл 1.

Нека \(\angle5=2x,\ \angle6=3x\). Те са съседни:

\[ 5x=180^\circ\Rightarrow x=36^\circ. \]

Следователно \(\angle5=72^\circ=\angle1\). Понеже \(1\) и \(5\) са съответни,

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

13Отношение и кръстни ъглиДадено е \(\angle3=75^\circ\) и \(\angle5:\angle6=5:7\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Долу 5:6=5:7; сравнете 3 и 5.

Нека \(\angle5=5x,\ \angle6=7x\). Понеже са съседни:

\[ 12x=180^\circ\Rightarrow x=15^\circ. \]

Тогава \(\angle5=75^\circ=\angle3\). Ъглите \(3\) и \(5\) са вътрешни кръстни, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

14Алгебричен моделАко \(\angle4=(2x+30)^\circ\) и \(\angle5=(4x-30)^\circ\), намерете \(x\), за което \(a\parallel b\) следва от признака за прилежащи ъгли.▼

Решение

За вътрешните прилежащи 4 и 5 използваме сбор 180°.

Изискваме:

\[ (2x+30)+(4x-30)=180. \] \[ 6x=180\Rightarrow \boxed{x=30}. \]

Тогава и двата ъгъла са \(90^\circ\), а сборът им е \(180^\circ\).

15ПараметърАко \(\angle2=(m+20)^\circ\) и \(\angle6=(3m-40)^\circ\), намерете \(m\), за което от равенството на тези ъгли следва \(a\parallel b\).▼

Решение

Съответните ъгли 2 и 6.

Ъглите \(2\) и \(6\) са съответни. Полагаме:

\[ m+20=3m-40. \] \[ 60=2m\Rightarrow \boxed{m=30}. \]

Тогава \(\angle2=\angle6=50^\circ\).

16Съседен ъгъл и съответниДадено е \(\angle1=35^\circ\) и \(\angle6=145^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Намерете 5 като съседен на 6 и го сравнете със съответния 1.

При второто пресичане \(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни:

\[ \angle5=180^\circ-145^\circ=35^\circ. \]

Така \(\angle1=\angle5\). Това са съответни ъгли, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

17Съседен ъгъл и кръстниДадено е \(\angle3=68^\circ\) и \(\angle6=112^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Намерете 5 като съседен на 6 и използвайте вътрешните кръстни 3 и 5.

\(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни:

\[ \angle5=180^\circ-112^\circ=68^\circ. \]

Следователно \(\angle3=\angle5\). Те са вътрешни кръстни, затова

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

18Признак чрез външни прилежащиДадено е \(\angle1=64^\circ\) и \(\angle8=116^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Външните прилежащи ъгли 1 и 8 имат сбор 180°.

Ъглите \(1\) и \(8\) са външни прилежащи. Проверяваме сбора:

\[ 64^\circ+116^\circ=180^\circ. \]

Следователно по признака чрез прилежащи ъгли

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

19Връхни ъгли + кръстниДадено е \(\angle1+\angle3=100^\circ\) и \(\angle5=50^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).▼

Решение

Ъглите 1 и 3 са връхни и имат сбор 100°.

\(\angle1\) и \(\angle3\) са връхни, следователно равни:

\[ 2\angle3=100^\circ\Rightarrow \angle3=50^\circ. \]

Тогава \(\angle3=\angle5\). Те са вътрешни кръстни, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

20Намиране на мерки и признакВътрешните прилежащи ъгли \(\angle3\) и \(\angle6\) се отнасят като \(2:3\). Ако сборът им е \(180^\circ\), намерете ги и направете заключение за \(a\) и \(b\).▼

Решение

Вътрешните прилежащи 3 и 6 имат сбор 180°.

Нека \(\angle3=2x,\ \angle6=3x\). Тогава

\[ 5x=180^\circ\Rightarrow x=36^\circ. \]

Следователно

\[ \angle3=72^\circ,\qquad \angle6=108^\circ. \]

Понеже са вътрешни прилежащи и сборът им е \(180^\circ\),

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

Задачи с повишена трудност — №21–25

21Косвен признак чрез съответниДадено е \(\angle1+\angle6=180^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).Повишена трудност▼

Решение

Схематичен чертеж; успоредността не се приема предварително.

При долното пресичане \(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни, затова

\[ \angle5+\angle6=180^\circ. \]

Но по условие също \(\angle1+\angle6=180^\circ\). Изваждаме \(\angle6\) от двете равенства и получаваме

\[ \angle1=\angle5. \]

Ъглите \(1\) и \(5\) са съответни, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

22Отношение и косвен признакДадено е \(\angle1:\angle6=7:5\) и \(\angle1+\angle6=180^\circ\). Намерете всичките осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).Повишена трудност▼

Решение

Схематичен чертеж; успоредността не се приема предварително.

Нека \(\angle1=7x\), \(\angle6=5x\). От сбора им:

\[ 12x=180^\circ\Rightarrow x=15^\circ. \]

Следователно \(\angle1=105^\circ\), \(\angle6=75^\circ\).

При горното пресичане:

\[ \angle1=\angle3=105^\circ,\qquad \angle2=\angle4=75^\circ. \]

При долното пресичане \(\angle5+\angle6=180^\circ\), затова

\[ \angle5=\angle7=105^\circ,\qquad \angle6=\angle8=75^\circ. \]

Получихме \(\angle1=\angle5\). Това са съответни ъгли, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

23Параметър и косвен признакДадено е \(\angle4=(2m+15)^\circ\), \(\angle7=(m+30)^\circ\) и \(\angle4+\angle7=180^\circ\). Намерете \(m\), всичките осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).Повишена трудност▼

Решение

Схематичен чертеж; успоредността не се приема предварително.

От условието:

\[ (2m+15)+(m+30)=180, \] \[ 3m+45=180\Rightarrow \boxed{m=45}. \]

Тогава \(\angle4=105^\circ\), \(\angle7=75^\circ\). Понеже \(\angle7\) и \(\angle8\) са съседни,

\[ \angle8=105^\circ. \]

Следователно \(\angle4=\angle8\). Това са съответни ъгли, затова \(a\parallel b\).

Всички мерки са:

\[ \angle1=\angle3=75^\circ,\quad \angle2=\angle4=105^\circ, \] \[ \angle5=\angle7=75^\circ,\quad \angle6=\angle8=105^\circ. \]

24Връхни ъгли и признакДадено е \(\angle1+\angle3=140^\circ\) и \(\angle5=70^\circ\). Намерете всичките осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).Повишена трудност▼

Решение

Схематичен чертеж; успоредността не се приема предварително.

\(\angle1\) и \(\angle3\) са връхни, следователно са равни. От сбора им:

\[ 2\angle1=140^\circ\Rightarrow \angle1=\angle3=70^\circ. \]

Тъй като \(\angle5=70^\circ\), получаваме \(\angle1=\angle5\). Това са съответни ъгли, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

Останалите ъгли са:

\[ \angle2=\angle4=110^\circ,\quad \angle6=\angle8=110^\circ,\quad \angle7=70^\circ. \]

25Система от две зависимостиДадено е \(\angle2+\angle5=180^\circ\) и \(\angle2-\angle5=20^\circ\). Намерете всичките осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).Повишена трудност▼

Решение

Схематичен чертеж; успоредността не се приема предварително.

Решаваме системата

\[ \begin{cases} \angle2+\angle5=180^\circ,\\ \angle2-\angle5=20^\circ. \end{cases} \]

Събираме двете равенства:

\[ 2\angle2=200^\circ\Rightarrow \angle2=100^\circ, \]

а оттук \(\angle5=80^\circ\).

При долното пресичане \(\angle5+\angle6=180^\circ\), следователно \(\angle6=100^\circ\). Така \(\angle2=\angle6\) са равни съответни ъгли, следователно

\[ \boxed{a\parallel b}. \]

Всички мерки са:

\[ \angle1=\angle3=80^\circ,\quad \angle2=\angle4=100^\circ, \] \[ \angle5=\angle7=80^\circ,\quad \angle6=\angle8=100^\circ. \]

---

30 задачи за самостоятелна работа

Задачите са подредени от разпознаване на двойки до доказателствени и параметрични задачи. Оригиналната задача за успоредни ъглополовящи е запазена като задача за надграждане. Всеки чертеж показва данните и конфигурацията, без да замества доказателството.

Основна практика — №1–25

Задача 1Дадено е \(\angle2=36^\circ\). При второто пресичане \(\angle6:\angle5=1:4\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Дадените величини; успоредността трябва да се докаже.

Отговор и насока

От \(\angle5+\angle6=180^\circ\) и отношението \(4:1\) получаваме \(\angle6=36^\circ\). Следователно \(\angle2=\angle6\) са равни съответни ъгли и \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 2Определете вида на двойките \((3,5)\), \((1,5)\), \((3,6)\) и \((2,8)\).

Стандартно номериране на осемте ъгъла.

Отговор и насока

\((3,5)\) — вътрешни кръстни; \((1,5)\) — съответни; \((3,6)\) — вътрешни прилежащи; \((2,8)\) — външни кръстни.

Задача 3Ако \(\angle4=52^\circ\) и \(\angle6=52^\circ\), какво следва за \(a\) и \(b\)?

Ъглите 4 и 6 са вътрешни кръстни.

Отговор и насока

\(\angle4\) и \(\angle6\) са равни вътрешни кръстни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 4Намерете \(x\), за което от \(\angle1=(2x+10)^\circ\) и \(\angle5=(4x-30)^\circ\) следва \(a\parallel b\).

Съответни ъгли 1 и 5.

Отговор и насока

Съответните ъгли трябва да са равни: \(2x+10=4x-30\Rightarrow\boxed{x=20}\).

Задача 5Дадено е \(\angle3=64^\circ\) и \(\angle6=116^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Вътрешни прилежащи 3 и 6.

Отговор и насока

\(64^\circ+116^\circ=180^\circ\). Това са вътрешни прилежащи ъгли, затова \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 6Дадено е \(\angle2=124^\circ\) и \(\angle7=56^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Стандартно номериране на осемте ъгъла.

Отговор и насока

Ъглите \(2\) и \(7\) са външни прилежащи и \[124^\circ+56^\circ=180^\circ.\] Следователно по признака чрез прилежащи ъгли \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 7Дадено е \(\angle1+\angle3=72^\circ\) и \(\angle5=36^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Ъглите 1 и 3 са връхни.

Отговор и насока

\(\angle1=\angle3\) са връхни, следователно всеки е \(36^\circ\). Тогава \(\angle1=\angle5\) са равни съответни и \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 8Дадено е \(\angle1=108^\circ\) и \(\angle5:\angle6=3:2\). Докажете, че \(a\parallel b\).

При долното пресичане 5:6=3:2.

Отговор и насока

От \(3x+2x=180^\circ\) получаваме \(x=36^\circ\), т.е. \(\angle5=108^\circ=\angle1\). Следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 9Намерете \(m\), ако \(\angle4=(2m+20)^\circ\), \(\angle5=(4m+40)^\circ\) и искаме да приложим признака за прилежащи ъгли.

Вътрешни прилежащи 4 и 5.

Отговор и насока

\((2m+20)+(4m+40)=180\Rightarrow6m=120\Rightarrow\boxed{m=20}\).

Задача 10Ако \(\angle1=47^\circ\) и \(\angle7=47^\circ\), докажете, че \(a\parallel b\).

Външни кръстни 1 и 7.

Отговор и насока

\(\angle1\) и \(\angle7\) са равни външни кръстни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 11Дадено е \(\angle1=122^\circ\) и \(\angle6=58^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Използвайте съседния на 6 ъгъл 5.

Отговор и насока

\(\angle5=180^\circ-58^\circ=122^\circ=\angle1\). Ъглите \(1\) и \(5\) са съответни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 12Дадено е \(\angle3=80^\circ\) и \(\angle5:\angle6=4:5\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Долу 5:6=4:5.

Отговор и насока

\(4x+5x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ\), следователно \(\angle5=80^\circ=\angle3\). Получаваме \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 13Намерете \(k\), за което по признака чрез съответни ъгли от равенството \(\angle2=\angle6\) следва \(a\parallel b\), ако \(\angle2=(3k+8)^\circ\) и \(\angle6=(5k-12)^\circ\).

Съответни 2 и 6.

Отговор и насока

\(3k+8=5k-12\Rightarrow\boxed{k=10}\).

Задача 14Намерете \(k\), ако \(\angle4=(2k+30)^\circ\) и \(\angle6=(4k-10)^\circ\) трябва да са равни вътрешни кръстни ъгли.

Вътрешни кръстни 4 и 6.

Отговор и насока

\(2k+30=4k-10\Rightarrow\boxed{k=20}\).

Задача 15Намерете \(x\), за което по признака чрез вътрешни прилежащи ъгли от \(\angle3=(x+35)^\circ\) и \(\angle6=(2x+25)^\circ\) следва \(a\parallel b\).

Вътрешни прилежащи 3 и 6.

Отговор и насока

\((x+35)+(2x+25)=180\Rightarrow3x=120\Rightarrow\boxed{x=40}\).

Задача 16При горното пресичане \(\angle1+\angle3=60^\circ\). При долното \(\angle5:\angle6=1:5\). Намерете всички осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).

Горе 1 и 3 са връхни; долу 5:6=1:5.

Отговор и насока

Горе: \(\angle1=\angle3=30^\circ,\ \angle2=\angle4=150^\circ\). Долу: \(\angle5=\angle7=30^\circ,\ \angle6=\angle8=150^\circ\). Равните съответни ъгли дават \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 17При двете пресичания е дадено \(\angle1:\angle2=2:7\) и \(\angle5:\angle6=2:7\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Еднакво отношение 2:7 при двете пресичания.

Отговор и насока

Във всяка двойка \(9x=180^\circ\), т.е. съответно \(40^\circ\) и \(140^\circ\). Следователно например \(\angle1=\angle5=40^\circ\) и \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 18Какъв признак за успоредност използваме, ако знаем, че \(\angle4=\angle6\)?

Разпознайте двойката 4 и 6.

Отговор и насока

\(\angle4\) и \(\angle6\) са вътрешни кръстни. Използваме признака: равни кръстни ъгли \(\Rightarrow\) успоредни прави.

Задача 19Ако \(\angle2=90^\circ\) и \(\angle6=90^\circ\), какво следва за \(a\) и \(b\)?

Съответни прави ъгли.

Отговор и насока

Това са равни съответни ъгли, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 20Дадено е \(\angle3=75^\circ\) и \(\angle6=105^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Вътрешни прилежащи 3 и 6.

Отговор и насока

Ъглите \(3\) и \(6\) са вътрешни прилежащи и \(75^\circ+105^\circ=180^\circ\). Следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 21Дадено е \(\angle1=35^\circ30'\) и \(\angle5=35^\circ30'\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Съответни ъгли с градуси и минути.

Отговор и насока

Ъглите \(1\) и \(5\) са равни съответни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 22При горното пресичане \(\angle3:\angle4=5:7\), а при долното \(\angle5=75^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

При горното пресичане 3:4=5:7.

Отговор и насока

\(5x+7x=180^\circ\Rightarrow x=15^\circ\), така \(\angle3=75^\circ=\angle5\). Те са вътрешни кръстни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 23Намерете \(p\), ако \(\angle2=(4p+10)^\circ\), \(\angle6=(6p-20)^\circ\) и успоредността се доказва чрез тези съответни ъгли.

Съответни 2 и 6.

Отговор и насока

\(4p+10=6p-20\Rightarrow30=2p\Rightarrow\boxed{p=15}\).

Задача 24Дадено е \(\angle1+\angle3=130^\circ\) и \(\angle5=65^\circ\). Докажете, че \(a\parallel b\).

Горе връхните 1 и 3 имат сбор 130°.

Отговор и насока

Връхните \(\angle1=\angle3=65^\circ\). Следователно \(\angle1=\angle5\) са равни съответни и \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 25Дадено е \(\angle2=60^\circ\) и \(\angle6=65^\circ\). Можем ли да приложим признака чрез тази двойка съответни ъгли?

Проверете дали дадената съответна двойка е равна.

Отговор и насока

Не. За този признак е необходимо \(\angle2=\angle6\), а \(60^\circ\ne65^\circ\). От тези две данни сами по себе си не следва успоредност.

За надграждане — №26–30

Задача 26 За надгражданеДокажете, че ако ъглополовящите на два вътрешни кръстни ъгъла са успоредни, то правите \(a\) и \(b\) са успоредни.

Схематичен чертеж към доказателствената задача с ъглополовящи.

Тази задача е мост към следващия урок и използва свойството, че успоредни прави образуват равни съответни ъгли със сечаща.

Отговор и насока

Нека кръстните ъгли са \(\alpha,\beta\). Ъглополовящите им образуват със сечащата права ъгли \(\alpha/2\) и \(\beta/2\). Понеже ъглополовящите са успоредни, съответните им ъгли със сечащата са равни, така че \(\alpha/2=\beta/2\), следователно \(\alpha=\beta\). По признака чрез кръстни ъгли \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 27 За надгражданеДадено е \(\angle5:\angle6=4:5\) и \(\angle2=2\angle5-60^\circ\). Намерете \(\angle2,\angle5,\angle6\) и докажете, че \(a\parallel b\).

Схематичен чертеж; използвайте съседните 5 и 6 и съответните 2 и 6.

Отговор и насока

Понеже \(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни, нека \(\angle5=4x\), \(\angle6=5x\). Тогава \[9x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ,\] следователно \(\angle5=80^\circ\) и \(\angle6=100^\circ\). От другото условие \[\angle2=2\cdot80^\circ-60^\circ=100^\circ.\] Получаваме \(\angle2=\angle6\). Те са съответни ъгли, затова \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 28 За надгражданеДадено е \(\angle4:\angle7=4:5\) и \(\angle4+\angle7=180^\circ\). Намерете всичките осем ъгъла и докажете, че \(a\parallel b\).

Схематичен чертеж; данните са отношението 4:5 и сборът 180°.

Отговор и насока

Нека \(\angle4=4x,\ \angle7=5x\). Тогава \(9x=180^\circ\), следователно \(x=20^\circ\). Значи \(\angle4=80^\circ,\ \angle7=100^\circ\). При долното пресичане \(\angle8=80^\circ\), така че \(\angle4=\angle8\) са равни съответни ъгли. Следователно \(\boxed{a\parallel b}\). Всички остри ъгли са \(80^\circ\), а всички тъпи — \(100^\circ\).

Задача 29 За надгражданеДадено е \(\angle2=(3m+5)^\circ\), \(\angle5=(2m+25)^\circ\) и \(\angle2+\angle5=180^\circ\). Намерете \(m\) и докажете, че \(a\parallel b\).

Схематичен чертеж към параметрична задача.

Отговор и насока

\((3m+5)+(2m+25)=180\Rightarrow5m=150\Rightarrow\boxed{m=30}\). Тогава \(\angle2=95^\circ,\ \angle5=85^\circ\). Понеже \(\angle5+\angle6=180^\circ\), получаваме \(\angle6=95^\circ=\angle2\). Те са съответни, следователно \(\boxed{a\parallel b}\).

Задача 30 За надгражданеНека \(m\in\mathbb N\), \(\angle3=(2m+10)^\circ\) и \(\angle5=(5m-35)^\circ\). Намерете \(m\), за което по признака чрез вътрешни кръстни ъгли следва \(a\parallel b\), и определете всичките осем ъгъла.

Вътрешни кръстни 3 и 5.

Отговор и насока

\(2m+10=5m-35\Rightarrow3m=45\Rightarrow\boxed{m=15}\). Тогава \(\angle3=\angle5=40^\circ\). Всички остри ъгли са \(40^\circ\), а всички тъпи — \(140^\circ\).

🛍️

Партньорска препоръка

Открий нещо интересно в Ozone.bg

Книги, техника, игри, подаръци, учебни материали и още много предложения за цялото семейство.

Разгледай Ozone.bg →

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка, а не стандартизирано оценяване.

Скала: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2.

Тест: кръстни, съответни и прилежащи ъгли

Отговорете на всички въпроси и натиснете „Край на теста“.

За въпросите с номера на ъгли използвайте следната схема:

Номериране 1–8, използвано в теста.

1Кои са вътрешни кръстни ъгли при стандартното номериране?

\(1\) и \(5\)\(3\) и \(5\)\(3\) и \(6\)\(1\) и \(8\)

2Коя двойка е съответна?

\(3\) и \(5\)\(4\) и \(5\)\(2\) и \(6\)\(1\) и \(7\)

3Коя двойка е вътрешно прилежаща?

\(3\) и \(6\)\(3\) и \(5\)\(2\) и \(6\)\(1\) и \(7\)

4Ако ъглите от една двойка вътрешни кръстни ъгли са равни, какво следва за двете прави?

Перпендикулярни саСъвпадатНе може да се заключи нищоУспоредни са

5Ако ъглите от една двойка съответни ъгли са равни, правите са:

перпендикулярниуспореднисъвпадащипроизволни

6Ако сборът на ъглите от една двойка вътрешни прилежащи ъгли е \(180^\circ\), правите са:

перпендикулярнисъвпадащиуспореднинищо не следва

7Ако \(a\perp c\) и \(b\perp c\), то:

\(a\parallel b\)\(a\perp b\)\(a=b\)не може да се определи

8Ако \(\angle1+\angle3=40^\circ\) и \(\angle1,\angle3\) са връхни, колко е \(\angle1\)?

\(40^\circ\)\(10^\circ\)\(80^\circ\)\(20^\circ\)

9Ако съседните \(\angle5:\angle6=4:5\), колко е \(\angle5\)?

\(100^\circ\)\(80^\circ\)\(72^\circ\)\(90^\circ\)

10Дадено е \(\angle2=30^\circ\). При второто пресичане \(\angle5=5\angle6\), като \(\angle5\) и \(\angle6\) са съседни. Какво следва?

\(a\perp b\)не може да се определи\(a\parallel b\)\(a=b\)

11Коя двойка е външно кръстна?

\(1\) и \(7\)\(1\) и \(5\)\(3\) и \(6\)\(2\) и \(6\)

12Ако \(\angle4+\angle5=180^\circ\), а те са вътрешни прилежащи, то:

правите са перпендикулярниъглите са връхнинищо не следваправите са успоредни

13Ако съответните \(\angle2=(3x+5)^\circ\) и \(\angle6=(5x-15)^\circ\) трябва да са равни, колко е \(x\)?

\(5\)\(10\)\(15\)\(20\)

14Кое твърдение е признак за успоредност на две прави?

Ъглите от една двойка връхни ъгли са равниЕдин ъгъл е остърЪглите от една двойка съответни ъгли са равниДве съседни ъгъла са равни

15Дадено е \(\angle3=75^\circ\) и \(\angle6=105^\circ\), като 3 и 6 са вътрешни прилежащи. Какво следва?

\(a\parallel b\)\(a\perp b\)ъглите са връхнинищо не следва

---

Видео урок

Видео урок — кръстни, съответни и прилежащи ъгли

---

Допълнителни тестове от оригиналната публикация

Следващите два Google Forms теста са запазени без промяна от стария урок. Те са по алгебра и не са част от настоящата геометрична тема.

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Свързани уроци и материали

Темата стъпва върху основните понятия за ъгъл и перпендикулярност и подготвя свойствата на успоредните прави.

44Основни геометрични фигури — 5. класОтсечка, лъч, видове ъгли, перпендикулярни прави и разстояние от точка до права.Преглед на урока → 7Декартова координатна система — 6. класПрави, точки и работа с геометрични зависимости в координатна среда.Преглед на урока → 45Триъгълник. Елементи и видове — 5. класПрактика с ъгли и геометрични фигури преди по-сложните доказателства.Преглед на урока → 16Съседни и връхни ъгли — 7. класНепосредственият предходен урок: връхни, съседни и перпендикулярни ъгли.Преглед на урока → 18Свойства на успоредните прави — 7. класСледващата стъпка: от успоредност към равенства и сборове на образуваните ъгли.Преглед на урока →

Използвана литература

Запазена е литературата от първоначалната публикация. Старите растерни чертежи са заменени с контролирани SVG схеми; новите задачи и решения са самостоятелно съставени за настоящата редакция.

1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение

• ›Усвояване на текущия учебен материал
• ›Подготовка по алгебра и геометрия

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆