Права и обратна пропорционалност | Д-р Атанас Илчев

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Пропорции › Права и обратна пропорционалност

Права и обратна пропорционалност —
определения, свойства и задачи

Правопропорционални и обратнопропорционални величини, коефициент на пропорционалност, графики — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест

6. клас Права пропорционалност Обратна пропорционалност Пропорции Д-р Атанас Илчев

В този урок разглеждаме двата основни вида пропорционалност между величини — права и обратна. Ще научим как да разпознаваме вида на зависимостта, да намираме коефициента, да попълваме таблици и да решаваме разнообразни приложни задачи.

➕ Права пропорционалност

Определение: Величините \(x\) и \(y\) се наричат правопропорционални, ако за всяка двойка съответни стойности с \(x \neq 0\) отношението \(\dfrac{y}{x}\) е равно на едно и също число \(k \neq 0\).

Формула и свойство: \[y = k \cdot x, \quad k \neq 0,\] където \(k\) е коефициентът на пропорционалност. Ако \(x_1, x_2\) са две стойности на \(x\), а \(y_1, y_2\) — съответните стойности на \(y\), то: \[\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}.\]

Графика: Графиката на \(y = kx\) е права линия, минаваща през началото \(O(0;0)\). При \(k \gt 0\) — минава през I и III квадрант; при \(k \lt 0\) — през II и IV. В приложните задачи величините обикновено са положителни и графиката се разглежда само в I квадрант.

📋 Обратна пропорционалност

Определение: Величините \(x\) и \(y\) се наричат обратнопропорционални, ако произведението на всяка двойка съответни стойности е едно и също число \(k \neq 0\), т.е. \(x \cdot y = k\).

Формула и свойство: \[y = \frac{k}{x}, \quad x \neq 0,\; k \neq 0.\] Ако \(x_1, x_2\) и \(y_1, y_2\) са двойки съответни стойности: \[\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1}.\]

Графика: Графиката на \(y = \dfrac{k}{x}\) е хипербола, централно симетрична спрямо началото \(O(0;0)\). При \(k \gt 0\) клоновете са в I и III квадрант; при \(k \lt 0\) — в II и IV. В практиката величините са положителни и се използва само клонът в I квадрант.

🗂 Сравнителна таблица

Права пропорционалност

• Формула: \(y = kx\)
• \(\dfrac{y}{x} = k = \text{постоянно число}\)
• Графика: права през \(O\)
• При \(k \gt 0\) и положителни стойности: \(x \uparrow\) следва \(y \uparrow\)
• Примери: цена и количество; изминат път и време при постоянна скорост

Обратна пропорционалност

• Формула: \(y = \dfrac{k}{x}\)
• \(x \cdot y = k = \text{постоянно число}\)
• Графика: хипербола
• При положителни величини: \(x \uparrow\) следва \(y \downarrow\)
• Примери: работници и дни при една и съща работа; скорост и време при едно и също разстояние

Важно: Ако числата \(x, y, z\) са правопропорционални на \(a, b, c\), то \(x : y : z = a : b : c\), т.е. \(x = ka,\; y = kb,\; z = kc\). Ако \(x, y, z\) са обратнопропорционални на \(a, b, c\), то те са правопропорционални на \(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\).

✏️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

Величините \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални с коефициент \(k = 4\). Запишете зависимостта и попълнете таблицата:

\(x\)	2	4	6	7,2	14,4	28,8
\(y\)

▼

Решение\(y = \dfrac{4}{x}\).
\(x=2 \Rightarrow y=2;\; x=4 \Rightarrow y=1;\; x=6 \Rightarrow y=\frac{2}{3};\; x=7{,}2 \Rightarrow y=\frac{5}{9};\; x=14{,}4 \Rightarrow y=\frac{5}{18};\; x=28{,}8 \Rightarrow y=\frac{5}{36}\).

Величините \(x\) и \(y\) са обратнопропорционални с коефициент \(k = \frac{1}{4}\). Попълнете таблицата:

\(x\)	1	1,5	2	2,5	3	3,5
\(y\)

▼

Решение\(y = \dfrac{1/4}{x} = \dfrac{1}{4x}\).
\(x=1 \Rightarrow y=0{,}25;\; x=1{,}5 \Rightarrow y=\frac{1}{6};\; x=2 \Rightarrow y=0{,}125;\; x=2{,}5 \Rightarrow y=0{,}1;\; x=3 \Rightarrow y=\frac{1}{12};\; x=3{,}5 \Rightarrow y=\frac{1}{14}\).

Попълнете таблицата, така че \(x\) и \(y\) да са обратнопропорционални. Определете коефициента \(k\) и запишете зависимостта. Дадено: при \(x = 10\), \(y = 20\).

\(x\)	0,2	0,5	1	2	2,5	4	10	20	100
\(y\)							20

▼

Решение\(k = 10 \cdot 20 = 200\), \(y = \frac{200}{x}\).
Стойности: 1000; 400; 200; 100; 80; 50; 20; 10; 2.

Дадена е обратнопропорционална зависимост \(xy = 80\). Намерете:
а) стойностите на \(y\) при \(x = 1;\; 1{,}6;\; 4;\; 5;\; 20;\; 160\);
б) стойностите на \(x\) при \(y = 2;\; 5;\; 20;\; 40;\; 80;\; 240;\; 800\).

▼

Решениеа) \(y = \frac{80}{x}\): 80; 50; 20; 16; 4; 0,5.
б) \(x = \frac{80}{y}\): 40; 16; 4; 2; 1; \(\frac{1}{3}\); 0,1.

Правопропорционални ли са:
а) дължината на страната на квадрат и обиколката му;
б) дължината на страната на квадрат и лицето му;
в) дължината на окръжност и радиуса ѝ;
г) числителят на дроб с постоянен ненулев знаменател и стойността на тази дроб;
д) \(a\) и \(a + 5\)?

▼

Решениеа) \(P = 4a \Rightarrow \frac{P}{a} = 4 = \text{пост. число}\). Да.
б) \(S = a^2 \Rightarrow \frac{S}{a} = a \neq \text{пост. число}\). Не.
в) \(l = 2\pi r \Rightarrow \frac{l}{r} = 2\pi = \text{пост. число}\). Да.
г) Нека \(y = \frac{a}{n},\; n \neq 0\). Тогава \(\frac{y}{a} = \frac{1}{n} = \text{пост. число}\). Да.
д) \(\frac{a+5}{a} = 1 + \frac{5}{a} \neq \text{пост. число}\). Не.

Три тетрадки струват 1,50 евро. Колко струват 7 такива тетрадки? А 11?

▼

РешениеЦената и броят на тетрадките са правопропорционални. Цена за 1: \(\frac{1{,}50}{3} = 0{,}50\) евро
7 тетрадки: \(7 \cdot 0{,}50 = \mathbf{3{,}50}\) евро
11 тетрадки: \(11 \cdot 0{,}50 = \mathbf{5{,}50}\) евро

Пет литра течност имат маса 4 кг. Какъв обем от същата течност има маса 72 кг?

▼

РешениеОбемът и масата на една и съща течност са правопропорционални. \(\frac{5}{4} = \frac{x}{72} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 72}{4} = \mathbf{90}\) литра.

Четири еднакви крана пълнят резервоар за 6 ч. За колко часа ще го напълнят три от тях?

▼

РешениеОбратнопропорционални (повече кранове → по-малко време).
\(4 \cdot 6 = 3 \cdot x \Rightarrow x = \frac{24}{3} = \mathbf{8}\) часа.

За триъгълник със страна \(a\) см, височина \(h_a\) см и лице 60 кв. см попълнете таблицата:

\(a\)			3	5	9	15
\(h_a\)	120	60

Каква е зависимостта между \(h_a\) и \(a\)?

▼

Решение\(S = \frac{a \cdot h_a}{2} = 60 \Rightarrow a \cdot h_a = 120\). Зависимостта е обратна пропорционалност с \(k = 120\).
\(h_a = 120 \Rightarrow a = 1;\; h_a = 60 \Rightarrow a = 2;\; a = 3 \Rightarrow h_a = 40;\; a = 5 \Rightarrow h_a = 24;\; a = 9 \Rightarrow h_a = \frac{40}{3};\; a = 15 \Rightarrow h_a = 8\).

Камион изминава разстоянието от София до Пловдив със скорост 70 км/ч за 2 ч. За колко време ще измине същото разстояние лека кола със скорост 100 км/ч?

▼

РешениеСкоростта и времето са обратнопропорционални при постоянно разстояние.
\(70 \cdot 2 = 100 \cdot t \Rightarrow t = \frac{140}{100} = \mathbf{1{,}4}\) ч = 1 ч 24 мин.

Ако 50 еднакви молива струват 20 евро, колко струват 9 такива молива?

▼

РешениеЦената и броят на моливите са правопропорционални. \(x = \frac{20 \cdot 9}{50} = \frac{180}{50} = \mathbf{3{,}60}\) евро.

В час по физическа култура Иван пробягал 100 м за 15 секунди. За колко секунди Станислав е пробягал 100 м, ако скоростта му е 1,2 пъти по-голяма от скоростта на Иван?

▼

РешениеСкоростта и времето са обратнопропорционални при едно и също разстояние.
Скоростта на Станислав е 1,2 пъти по-голяма → \(\frac{1}{1{,}2}\) пъти по-малко време.
\(t = \frac{15}{1{,}2} = \mathbf{12{,}5}\) секунди.

Две машини произвеждат еднакви детайли. За 60 минути първата произвежда 15 детайла, а втората — 30 детайла. Коя машина изразходва повече време за изработката на един детайл и колко пъти повече?

▼

РешениеМашина 1: \(\frac{60}{15} = 4\) мин/детайл. Машина 2: \(\frac{60}{30} = 2\) мин/детайл.
Машина 1 изразходва 2 пъти повече време.

Намерете \(x, y, z\), ако те са правопропорционални на 5, 7, 9 и сборът им е 420.

▼

Решение\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9} = k\). \(5k + 7k + 9k = 420 \Rightarrow 21k = 420 \Rightarrow k = 20\).
\(x = 100,\; y = 140,\; z = 180\).

Намерете \(x, y, z\), ако те са обратнопропорционални на 2, 3, 4 и сборът им е 26.

▼

РешениеОбратнопропорционални на 2, 3, 4 ⇔ правопропорционални на \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\).
\(x = \frac{k}{2},\; y = \frac{k}{3},\; z = \frac{k}{4}\). Сума: \(k \cdot \frac{13}{12} = 26 \Rightarrow k = 24\).
\(x = 12,\; y = 8,\; z = 6\).

Турист се изкачил от хижа до върха на планината за 5 часа и 20 минути. На връщане той се спуснал по същия път, но се движел 2 пъти по-бързо. В колко часа е пристигнал в хижата, ако е тръгнал от върха в 15 ч и 10 мин?

▼

РешениеСкорост и време са обратнопропорционални. 2 пъти по-бързо → 2 пъти по-малко време.
Спускане: \(\frac{320}{2} = 160\) мин = 2 ч 40 мин.
Туристът е пристигнал в \(\mathbf{17\!:\!50}\).

За транспортирането на 4,5 т стока на разстояние 20 км били заплатени 80 евро. Колко ще струва транспортирането на 9 т от същата стока на разстояние 40 км?

▼

РешениеЦената е правопропорционална на масата на стоката и на разстоянието.
\(x = \frac{80 \cdot 9 \cdot 40}{4{,}5 \cdot 20} = \frac{28800}{90} = \mathbf{320}\) евро

Дадена е обратнопропорционална зависимост \(xy = 120\). Намерете всички наредени двойки естествени числа, които са съответни стойности при тази зависимост.

▼

РешениеТърсим делителите на 120: (1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12), (12,10), (15,8), (20,6), (24,5), (30,4), (40,3), (60,2), (120,1). Общо 16 наредени двойки.

Правоъгълник има дължина \(5a\) см и ширина \(3a\) см. С колко сантиметра, изразено чрез \(a\), трябва да се увеличи ширината, ако дължината се намали с \(a\) см, за да се запази лицето?

▼

РешениеЛице: \(S = 5a \cdot 3a = 15a^2\). Нова дължина: \(4a\). Нова ширина: \(b = \frac{15a^2}{4a} = \frac{15a}{4} = 3{,}75a\).
Увеличение: \(3{,}75a - 3a = \mathbf{0{,}75a}\) см.

Автомобил изминава 120 км за 2 ч. Колко километра ще измине за 5 ч? За 13 ч?

▼

РешениеИзминатото разстояние и времето са правопропорционални при постоянна скорост. Скорост: \(v = 60\) км/ч.
5 ч: \(60 \cdot 5 = \mathbf{300}\) км. 13 ч: \(60 \cdot 13 = \mathbf{780}\) км.

⭐ Задачи с повишена трудност

Влак трябва да измине разстоянието между гарите А и В за 5 часа с постоянна скорост. Един ден тръгването му се забавило с 1 час. За да пристигне по разписание, скоростта му била увеличена с 10 км/ч. Намерете разстоянието и скоростта по разписание. ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека \(v\) км/ч е скоростта по разписание. Разстояние: \(S = 5v\).
При закъснение: \(4(v+10) = 5v \Rightarrow 4v + 40 = 5v \Rightarrow v = \mathbf{40}\) км/ч.
Разстояние: \(S = 5 \cdot 40 = \mathbf{200}\) км.

Общата сума за определена работа е разпределена поравно между три бригади. В отделните бригади парите са разпределени поравно между работниците. Във втората бригада е имало 2 пъти повече работници, отколкото в третата, а в първата бригада е имало 3 пъти повече работници, отколкото в третата. В коя бригада заплащането на един работник е най-високо и колко пъти е по-високо в сравнение със заплащането в останалите бригади? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека в III бригада има \(n\) работници. Тогава във II бригада има \(2n\) работници, а в I бригада — \(3n\) работници. Всяка получава \(\frac{S}{3}\).
Заплата: III: \(\frac{S}{3n}\); II: \(\frac{S}{6n}\); I: \(\frac{S}{9n}\).
Най-високо е заплащането в III бригада — 2 пъти по-високо от това във II бригада и 3 пъти по-високо от това в I бригада.

В едно учреждение заделили определена сума за закупуване на столове по 30 евро. Този модел столове вече не бил наличен и за същата сума закупили с 30 стола по-малко, но на цена 45 евро за стол. Колко стола са закупили? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека първоначално са планирани \(n\) стола. Сума: \(30n = 45(n-30)\).
\(30n = 45n - 1350 \Rightarrow 15n = 1350 \Rightarrow n = 90\).
Закупени: \(90 - 30 = \mathbf{60}\) стола. Проверка: \(60 \cdot 45 = 2700 = 90 \cdot 30\). ✓

Дадена е обратнопропорционална зависимост \(xy = 5\). Нека \(x_1 : x_2 : x_3 = 2 : 3 : 4\). Пресметнете \(\frac{1}{y_1} : \frac{1}{y_2} : \frac{1}{y_3}\) и \(y_1 : y_2 : y_3\). Вярно ли е, че \(y_1 : y_2 : y_3 = \frac{1}{x_1} : \frac{1}{x_2} : \frac{1}{x_3}\)? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеОт \(y = \frac{5}{x}\) следва \(\frac{1}{y} = \frac{x}{5}\).
\(\frac{1}{y_1} : \frac{1}{y_2} : \frac{1}{y_3} = x_1 : x_2 : x_3 = \mathbf{2 : 3 : 4}\).
\(y_1 : y_2 : y_3 = \frac{1}{x_1} : \frac{1}{x_2} : \frac{1}{x_3} = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = \mathbf{6 : 4 : 3}\). Да, вярно е.

Два правоъгълника имат еднаква форма (\(\frac{a}{b} = \frac{x}{y}\)). а) Ако периметърът на по-големия правоъгълник е 2 пъти по-голям от периметъра на по-малкия, намерете отношението на лицата им. б) Ако лицето на по-малкия правоъгълник е 9 пъти по-малко от лицето на по-големия, намерете отношението на периметрите на по-малкия и по-големия. ⭐ Повишена трудност

▼

Решениеа) Ако периметърът е 2 пъти по-голям, страните са 2 пъти по-големи. Лицата: \(\frac{S_{\text{голям}}}{S_{\text{малък}}} = 2^2 = \mathbf{4}\). Следователно \(S_{\text{голям}} : S_{\text{малък}} = \mathbf{4 : 1}\).
б) Нека малкият правоъгълник има страни \(a, b\), а големият — \(ka, kb\). Тогава \(\frac{S_{\text{малък}}}{S_{\text{голям}}} = \frac{ab}{k^2 ab} = \frac{1}{k^2} = \frac{1}{9}\), следователно \(k = 3\). Периметрите: \(\frac{P_{\text{малък}}}{P_{\text{голям}}} = \frac{1}{k} = \frac{1}{3}\). Отношението на периметрите е \(\mathbf{1 : 3}\).

📝 Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Ако 5 кг захар струват 14,90 евро, колко струват 7 кг?
Отг.: 20,86 евро.

Задача 2Четирима работници свършват дадена работа за 6 ч. За колко часа ще я свършат шестима работници?
Отг.: 4 ч.

Задача 3От 6 кг сурово кафе се получават 5 кг изпечено. Колко килограма сурово кафе са необходими за получаването на 60 кг изпечено кафе?
Отг.: 72 кг.

Задача 4Инженер чертае план с мащаб 1 : 1000. Как ще нанесе разстояние от 200 м?
Отг.: 20 см.

Задача 5Две еднакви тръби пълнят басейн за 5 ч. За колко часа ще го напълнят три такива тръби?
Отг.: \(\frac{10}{3} \approx 3{,}33\) ч = 3 ч 20 мин.

Задача 6От 50 кг зърно се получават 40 кг брашно. Колко килограма зърно са необходими за получаването на 300 кг брашно?
Отг.: 375 кг.

Задача 7Парче метал с обем 2 куб. см тежи 5,2 г. Какъв обем има парче, тежащо 26 г?
Отг.: 10 куб. см.

Задача 8Разстоянието между два града е 180 км. Два автомобила тръгват едновременно един срещу друг. Скоростта на единия е 2 пъти по-голяма от скоростта на другия. Колко километра ще измине по-бързият до срещата?
Отг.: 120 км.

Задача 9Три еднакви крана пълнят басейн за 4 ч. За колко часа ще го напълнят пет такива крана?
Отг.: 2,4 ч = 2 ч 24 мин.

Задача 10Ако \(a\) и \(b\) са правопропорционални и при \(a=3\), \(b=5\), попълнете: \(a=2,\; a=1{,}1,\; a=\frac{1}{2}\).
Отг.: \(b = \frac{10}{3};\; b = \frac{11}{6};\; b = \frac{5}{6}\).

Задача 11Ако 5 кг захар струват 14,90 евро, колко струват 9 кг захар?
Отг.: 26,82 евро.

Задача 12Един басейн се пълни от една тръба за 9 ч. За колко време тръба с дебит, равен на една трета от дебита на първата тръба, ще напълни същия басейн?
Отг.: 27 ч.

Задача 13Три еднакви трактора изорават една нива за 200 ч. За колко часа ще изорат същата нива 16 такива трактора?
Отг.: 37,5 ч.

Задача 14На карта с мащаб 1:35 000 000 разстоянието между Рим и Париж е 3 см. Колко е действителното?
Отг.: 1 050 км.

Задача 15Три крави изяждат 192 кг фураж за 8 дни. За колко дни 4 крави ще изядат същото количество фураж?
Отг.: 6 дни.

Задача 16Намерете \(x, y, z\), ако са правопропорционални на \(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}\) и сборът им е 12.
Отг.: \(x = 4,\; y = 2,\; z = 6\).

Задача 17Десет камиона превозват 1500 т за 4 дни по 8 курса на ден. За колко дни същите десет камиона ще превозят 15 000 т, ако правят по 10 курса на ден?
Отг.: 32 дни.

Задача 18Една и половина котки изяждат три и половина мишки за два и половина дни. Колко мишки ще изядат 100 котки за 45 дни? (Фолклорна задача)
Отг.: 4 200 мишки.

Задача 19За напълването на съд с 600 л вода 4 крана работят 2 часа. За колко време 6 крана ще напълнят 1200 л?
Отг.: 2 ч 40 мин.

Задача 20Петима ученици поръчали пица и всеки трябвало да плати по 2,40 евро. После пристигнали още трима. Колко плаща всеки от 8-те?
Отг.: 1,50 евро.

Задача 2112 души разполагат с храна за 60 дни. Те приютили още 3 души. За колко дни ще им стигне храната?
Отг.: 48 дни.

Задача 22Намерете \(x, y, z\), ако са обратнопропорционални на \(0{,}2;\; 0{,}5;\; 0{,}3\) и сборът им е 62.
Отг.: \(x=30,\; y=12,\; z=20\).

Задача 23Дванайсет работници, работещи по 8 ч дневно, свършват дадена работа за 5 дни. За колко дни ще свършат същата работа 15 работници, ако работят по 4 ч дневно?
Отг.: 8 дни.

Задача 24Резервоар се пълни от два източници — за 2 и за 3 дни. Тръба го изпразва за 6 дни. Ако пуснем едновременно двата източника и изпразващата тръба, за колко дни ще се напълни резервоарът?
Отг.: 1,5 дни.

Задача 25Нива има форма на правоъгълен триъгълник. Единият катет се намалява 6 пъти. Колко пъти трябва да се увеличи другият катет, за да се запази лицето на нивата?
Отг.: 6 пъти.

Задача 26Четирима работници свършват дадена работа за 2 дни, като работят по 4 ч дневно. За колко дни ще свършат същата работа двама работници, ако работят по 8 ч дневно?
Отг.: 2 дни.

Задача 27Автомобил изминава 120 км за 2 ч. Колко километра ще измине за 4 ч?
Отг.: 240 км.

Задача 28Три ябълки имат маса 420 г. Каква е масата на 7 такива ябълки?
Отг.: 980 г.

Задача 29Една кокошка изяжда купа жито за 15 дни. За колко дни три кокошки ще изядат същото количество жито?
Отг.: 5 дни.

Задача 30Три лястовички за 5 дни изяждат 99 000 насекоми. Колко лястовички ще изядат 231 000 насекоми за 7 дни?
Отг.: 5 лястовички.

✅ Онлайн тест

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

🔗 Свързани уроци

▶

Всички уроци по математика

Пълен каталог с всички разработени уроци, задачи и тестове за 5.–12. клас.

Вижте всички →

📚 Използвана литература

Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
Списание Математика.
Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 7 клас
›НВО по математика след 10 клас
›Кандидатстудентски изпити
›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

›Усвояване на текущия учебен материал
›Студенти: Математически анализ, Линейна алгебра, Теория на вероятностите, Статистика

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Използвай за да намериш това което ти трябва

Математика с д-р Атанас Илчев