Първи и втори признак за еднаквост на триъгълници 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Еднакви триъгълници

Еднакви триъгълници
Признаци за еднаквост и задачи

Пълен урок с определения, I и II признак за еднаквост, доказателства и интерактивен тест

7 клас 2 признака 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Определение за еднакви триъгълници, I и II признак за еднаквост — урок за 7 клас

Определения и признаци

Определение 1: Два триъгълника, които имат съответно равни страни и съответно равни ъгли, се наричат еднакви. Твърдението „\(\triangle ABC\) е еднакъв на \(\triangle A_1B_1C_1\)" означаваме: \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\).

Теорема 1 (I признак за еднаквост): Ако две страни и ъгълът, заключен между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл, заключен между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Теорема 2 (II признак за еднаквост): Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Определение 2: В два еднакви триъгълника височините, медианите и ъглополовящите през съответните върхове се наричат съответни височини, съответни медиани и съответни ъглополовящи.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Отсечките \(AB\) и \(CD\) се пресичат в общата им среда — точката \(O\). Докажете, че \(\triangle AOC\cong\triangle BOD\).

▼

Решение Разглеждаме \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\):

1

\(AO=BO\) — точката \(O\) е среда на \(AB\)

2

\(CO=DO\) — точката \(O\) е среда на \(CD\)

3

\(\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD\) — връхни ъгли

Следователно \(\triangle AOC\cong\triangle BOD\) по I признак. ■

2

В остроъгълния \(\triangle ABC\) височините \(AH_1\) и \(BH_2\) сключват с \(AB\) равни ъгли (\(\sphericalangle H_2BA=\sphericalangle H_1AB=\alpha\)). Докажете: а) \(\triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1\); б) \(\triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C\); в) \(\triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1\), където \(O\) е пресечната точка на \(AH_1\) и \(BH_2\).

▼

Решение Тъй като \(AH_1\) и \(BH_2\) са височини: \(\sphericalangle AH_1B=90°\) и \(\sphericalangle BH_2A=90°\). Следователно \(\sphericalangle ABH_1=90°-\alpha\) и \(\sphericalangle BAH_2=90°-\alpha\).

а) \(\triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1\)

1

\(AB\) — обща страна

2

\(\sphericalangle H_2BA=\sphericalangle H_1AB=\alpha\) — по условие

3

\(\sphericalangle BAH_2=\sphericalangle ABH_1=90°-\alpha\)

\(\triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1\) по II признак. Следва \(AH_1=BH_2\). ■

б) \(\triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C\)

Нека \(\sphericalangle C=\gamma\), следователно \(\sphericalangle H_1AC=90°-\gamma\) и \(\sphericalangle H_2BC=90°-\gamma\).

1

\(\sphericalangle AH_1C=\sphericalangle BH_2C=90°\)

2

\(\sphericalangle H_1AC=\sphericalangle H_2BC=90°-\gamma\)

3

\(AH_1=BH_2\) — от подточка а)

\(\triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C\) по II признак. ■

в) \(\triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1\)

1

\(AH_2=BH_1\) — от подточка а)

2

\(\sphericalangle H_2AO=\sphericalangle H_1BO\) — от подточка б)

3

\(\sphericalangle AH_2O=\sphericalangle BH_1O=90°\)

\(\triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1\) по II признак. ■

3

В четириъгълника \(ABCD\) диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAD\) и на \(\sphericalangle BCD\). а) Докажете \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\). б) Ако периметърът на \(ABCD\) е \(26\) cm и \(AC=10\) cm, намерете периметъра на \(\triangle ABC\).

▼

Решение

а) \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\)

Нека \(\sphericalangle BAD=\alpha\) и \(\sphericalangle BCD=\beta\). Тъй като \(AC\) е ъглополовяща: \[\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAC=\tfrac{\alpha}{2}, \qquad \sphericalangle BCA=\sphericalangle DCA=\tfrac{\beta}{2}.\]

1

\(\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAC=\dfrac{\alpha}{2}\)

2

\(\sphericalangle BCA=\sphericalangle DCA=\dfrac{\beta}{2}\)

3

\(AC\) — обща страна

\(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) по II признак. ■

б) Периметър на \(\triangle ABC\)

От \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) следва \(BC=DC\) и \(AB=AD\). Периметърът на \(ABCD\): \[P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2AB+2BC=26\ \text{cm} \;\Rightarrow\; AB+BC=13\ \text{cm}.\] Следователно: \[P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=13+10=\mathbf{23}\ \text{cm}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 За \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) е дадено, че медианите \(CM\) и \(C_1M_1\) са равни. Ако \(AB=A_1B_1\) и \(AC=A_1C_1\), докажете: а) \(\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1\); б) \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\).

Задача 2 Дадени са еднаквите \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Точките \(D\) и \(D_1\) са средите на страните \(AB\) и \(A_1B_1\). Докажете, че \(\triangle ADC\cong\triangle A_1D_1C_1\).

Задача 3 Нека \(BL\) и \(B_1L_1\) са ъглополовящи съответно в \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Докажете, че ако \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\), то \(BL=B_1L_1\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Еднакви триъгълници

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Два триъгълника са еднакви, ако имат:

само равни страни съответно равни страни и съответно равни ъгли само равни ъгли равни периметри

2Първият признак за еднаквост изисква:

три равни страни две страни и ъгълът между тях да са съответно равни страна и двата прилежащи ъгъла да са равни три равни ъгъла

3Вторият признак за еднаквост изисква:

две страни и ъгълът между тях да са равни страна и двата прилежащи към нея ъгъла да са съответно равни три равни страни само два ъгъла да са равни

4В З1: \(AO=BO\), \(CO=DO\), \(\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD\) (връхни). По кой признак \(\triangle AOC\cong\triangle BOD\)?

II признак I признак III признак не са еднакви

5В З2а: \(AB\) обща, \(\sphericalangle H_2BA=\sphericalangle H_1AB=\alpha\), \(\sphericalangle BAH_2=\sphericalangle ABH_1=90°-\alpha\). По кой признак?

I признак II признак III признак не са еднакви

6\(P_{ABCD}=26\) cm, \(AC=10\) cm, \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\). Намерете \(P_{\triangle ABC}\).

\(20\) cm \(23\) cm \(26\) cm \(16\) cm

7Символът \(\cong\) означава:

подобни триъгълници еднакви триъгълници успоредни прави равни ъгли

8Ако \(O\) е общата среда на \(AB\) и \(CD\), то:

\(AO=CD\) \(AO=BO\) и \(CO=DO\) \(AB=CD\) \(AO=CO\)

9Ако \(AH_1\) е височина в \(\triangle ABC\), то \(\sphericalangle AH_1B=\):

\(45°\) \(90°\) \(60°\) зависи от триъгълника

10Ако \(AC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAD=\alpha\), то \(\sphericalangle BAC=\):

\(\alpha\) \(\dfrac{\alpha}{2}\) \(2\alpha\) \(90°-\alpha\)

11Ако \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\), то:

\(AB=CD\) \(BC=DC\) и \(AB=AD\) \(AC=BD\) \(BC=AD\)

12Първият признак за еднаквост съответства на:

ъгъл–страна–ъгъл страна–ъгъл–страна страна–страна–страна ъгъл–ъгъл–страна

13Вторият признак за еднаквост съответства на:

страна–ъгъл–страна ъгъл–страна–ъгъл страна–страна–страна страна–страна–ъгъл

14В два еднакви триъгълника съответните медиани са:

перпендикулярни равни успоредни нищо не можем да кажем

15Ако \(AB+BC=13\) cm и \(AC=10\) cm, то \(P_{\triangle ABC}=\):

\(20\) cm \(23\) cm \(26\) cm \(33\) cm

---

Видео уроци

Видео урок — Еднакви триъгълници

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆