Еднакви триъгълници – 7. клас: I и II признак, 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆
Математика › 7 клас › Геометрия › Еднакви триъгълници

Еднакви триъгълници
I и II признак за еднаквост

Определение, I и II признак, 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
7. класГеометрияI и II признак25 решени задачи5 с повишена трудност30 самостоятелниТест: 15 въпроса

Теория: еднакви триъгълници и I–II признак

В предишния урок за ъглите в триъгълник използвахме сбора \(180^\circ\) и външните ъгли. Сега ще се научим да доказваме, че два триъгълника са еднакви, без да проверяваме поотделно всичките им шест елемента.

Полезен преговор: понятията за триъгълник, страна, връх и ъгъл са систематизирани и в урока за триъгълник от 5. клас.

Определение. Еднакви триъгълници. Два триъгълника са еднакви, ако могат да се наложат един върху друг така, че да съвпаднат. Тогава съответните им страни и съответните им ъгли са равни. Записваме \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1. \] Редът на буквите задава съответствието \(A\leftrightarrow A_1\), \(B\leftrightarrow B_1\), \(C\leftrightarrow C_1\).
ABCA₁B₁C₁Съответните върхове са A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁; съответните страни и ъгли са равни.
Теорема 1. I признак за еднаквост. Ако две страни и ъгълът, заключен между тях, от един триъгълник са съответно равни на две страни и заключения между тях ъгъл от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
ABCA₁B₁C₁I признак: две страни и заключеният между тях ъгъл.
Какво трябва да разпознаем? При I признак не е достатъчно да имаме „две страни и някакъв ъгъл“. Равният ъгъл трябва да е именно между двете дадени равни страни.
Теорема 2. II признак за еднаквост. Ако страна и двата ъгъла, прилежащи към нея, от един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
ABCA₁B₁C₁II признак: страна и двата прилежащи към нея ъгъла.
Полезна идея. Ако са дадени два равни ъгъла, но равната страна не е между тях, често първо намираме третия ъгъл чрез сбора \(180^\circ\), а после прилагаме II признак към подходящата страна.
Съответни елементи. След като вече сме доказали, че два триъгълника са еднакви, можем да използваме равенството на всички съответни страни и ъгли. Съответните медиани, височини и ъглополовящи също са равни; в задачите ще видим как това се доказва чрез ново приложение на I или II признак.
ABCA₁B₁C₁В записа △ABC ≅ △A₁B₁C₁ редът на буквите не е произволен.
Важно: не смесвайте признаците.

• Равни три ъгъла не са достатъчни за еднаквост — те определят форма, но не размер.

• Равни периметри не са достатъчни.

• Две страни и незаключен между тях ъгъл не са I признак.

• В този урок използваме само I и II признак. По-късно теорията се допълва в отделния урок за следващия признак за еднаквост.

25 подробно решени и обяснени задачи

№1–20 развиват I и II признак постепенно. №21–25 са с повишена трудност и комбинират няколко стъпки или две последователни еднаквости.

Основни приложения — задачи 1–20

1Оригинален тип • I признакОтсечките \(AB\) и \(CD\) се пресичат в общата им среда — точката \(O\). Докажете, че \(\triangle AOC\cong\triangle BOD\).
Решение
ABCDOO е обща среда на AB и CD; връхните ъгли при O са равни.

Понеже \(O\) е среда на \(AB\), имаме \(AO=BO\). Понеже \(O\) е среда и на \(CD\), имаме \(CO=DO\).

Ъглите \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) са връхни, следователно са равни.

\[ AO=BO,\qquad CO=DO,\qquad \angle AOC=\angle BOD. \]

Равният ъгъл е заключен между съответните равни страни. Следователно

\[ \boxed{\triangle AOC\cong\triangle BOD} \]

по I признак за еднаквост.

2Непосредствено приложение • I признакЗа \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) е дадено \(AB=A_1B_1=6\text{ cm}\), \(AC=A_1C_1=8\text{ cm}\) и \(\angle A=\angle A_1=50^\circ\). Докажете, че триъгълниците са еднакви. Ако \(B_1C_1=9\text{ cm}\), намерете \(BC\).
Решение
ABCA₁B₁C₁Две страни и заключеният между тях ъгъл са съответно равни.

Имаме две двойки съответно равни страни и равни заключени между тях ъгли:

\[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \]

Следователно \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по I признак. В еднакви триъгълници съответните страни са равни, затова

\[ \boxed{BC=B_1C_1=9\text{ cm}}. \]
3Непосредствено приложение • II признакЗа \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) е дадено \(BC=B_1C_1=7\text{ cm}\), \(\angle B=\angle B_1=65^\circ\) и \(\angle C=\angle C_1=45^\circ\). Докажете, че триъгълниците са еднакви. Ако \(A_1B_1=5{,}5\text{ cm}\), намерете \(AB\).
Решение
ABCA₁B₁C₁Страна и двата прилежащи към нея ъгъла са съответно равни.

Страната \(BC\) е равна на \(B_1C_1\), а двата прилежащи към нея ъгъла са съответно равни:

\[ \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \]

Следователно \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по II признак. От равенството на съответните страни:

\[ \boxed{AB=A_1B_1=5{,}5\text{ cm}}. \]
4Съответствие на върховетеДадено е \(\triangle PQR\cong\triangle XYZ\). Ако \(PQ=8\text{ cm}\), \(QR=11\text{ cm}\) и \(\angle R=47^\circ\), намерете \(XY\), \(YZ\) и \(\angle Z\).
Решение
PQRXYZРедът PQR ↔ XYZ определя съответните върхове.

От записа \(\triangle PQR\cong\triangle XYZ\) следва съответствието

\[ P\leftrightarrow X,\qquad Q\leftrightarrow Y,\qquad R\leftrightarrow Z. \]

Затова \(PQ\leftrightarrow XY\), \(QR\leftrightarrow YZ\) и \(\angle R\leftrightarrow\angle Z\). Следователно

\[ \boxed{XY=8\text{ cm},\quad YZ=11\text{ cm},\quad \angle Z=47^\circ}. \]
5Обща страна • II признакТриъгълниците \(ABD\) и \(ACD\) имат обща страна \(AD\). Дадено е \(\angle BAD=\angle CAD\) и \(\angle BDA=\angle ADC\). Докажете, че \(\triangle ABD\cong\triangle ACD\) и че \(AB=AC\), \(BD=CD\).
Решение
ABCDAD е обща страна, а ъглите при A и D са съответно равни.

Страната \(AD\) е обща за двата триъгълника. Освен това двата ъгъла, прилежащи към нея, са съответно равни:

\[ \angle BAD=\angle CAD,\qquad \angle BDA=\angle ADC. \]

Следователно \(\triangle ABD\cong\triangle ACD\) по II признак. От еднаквостта:

\[ \boxed{AB=AC,\qquad BD=CD}. \]
6Мост към следващия урок • I признакВ \(\triangle ABC\) е дадено \(AB=AC\), а лъчът \(AD\) е ъглополовяща на \(\angle BAC\), \(D\in BC\). Докажете само с I признак, че \(BD=CD\).
Решение
ABCDAB=AC, AD е обща страна, а AD дели ∠BAC на две равни части.

Мост към следващия урок: тук не използваме готово свойство на равнобедрения триъгълник, а го извеждаме непосредствено от I признак.

Разглеждаме \(\triangle BAD\) и \(\triangle CAD\):

\[ AB=AC,\qquad AD=AD,\qquad \angle BAD=\angle DAC. \]

Ъгълът е заключен между съответните равни страни, следователно двата триъгълника са еднакви по I признак. Затова съответните страни

\[ \boxed{BD=CD}. \]
7Параметър след I признакЗа два триъгълника е дадено \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle A=\angle A_1\). Освен това \(BC=(3x+1)\text{ cm}\), а \(B_1C_1=(5x-7)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и дължината на \(BC\).
Решение
ABCA₁B₁C₁След доказване на еднаквостта съответните трети страни са равни.

По I признак триъгълниците са еднакви. Следователно съответните страни \(BC\) и \(B_1C_1\) са равни:

\[ 3x+1=5x-7. \] \[ 2x=8\quad\Rightarrow\quad x=4. \]

Тогава

\[ \boxed{BC=3\cdot4+1=13\text{ cm}}. \]
8Параметър след II признакЗа два триъгълника е дадено \(BC=B_1C_1\), \(\angle B=\angle B_1\) и \(\angle C=\angle C_1\). Ако \(AB=(2x+5)\text{ cm}\), а \(A_1B_1=(3x-4)\text{ cm}\), намерете \(x\) и \(AB\).
Решение
ABCA₁B₁C₁След II признак използваме равенството на съответните страни.

По II признак триъгълниците са еднакви, затова \(AB=A_1B_1\):

\[ 2x+5=3x-4\quad\Rightarrow\quad x=9. \]

Следователно

\[ \boxed{AB=2\cdot9+5=23\text{ cm}}. \]
9Успоредни прави • II признакВ четириъгълника \(ABCD\) е \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\). Диагоналът \(AC\) е прекаран. Докажете, че \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\), а оттук \(AB=CD\) и \(BC=AD\).
Решение
ABCDДвете двойки срещуположни прави са успоредни; AC е обща страна.

Понеже \(AB\parallel CD\), сечащата \(AC\) дава

\[ \angle BAC=\angle DCA. \]

Понеже \(AD\parallel BC\), отново със сечаща \(AC\):

\[ \angle BCA=\angle CAD. \]

Страната \(AC\) е обща и е прилежаща към двете двойки равни ъгли. Следователно

\[ \triangle ABC\cong\triangle CDA \]

по II признак. Оттук

\[ \boxed{AB=CD,\qquad BC=AD}. \]
10Оригинален тип • II признак и периметърВ четириъгълника \(ABCD\) диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \(\angle BAD\) и на \(\angle BCD\). а) Докажете \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\). б) Ако \(P_{ABCD}=26\text{ cm}\) и \(AC=10\text{ cm}\), намерете \(P_{\triangle ABC}\).
Решение
ABCDAC дели на две ъглите при A и C.

а) От условието:

\[ \angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD, \]

а \(AC\) е обща страна. Следователно \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) по II признак.

б) От еднаквостта \(AB=AD\) и \(BC=CD\). Затова

\[ AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=26, \] \[ AB+BC=13. \]

Следователно

\[ \boxed{P_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=13+10=23\text{ cm}}. \]
11Правоъгълни триъгълници • II признакДадени са два правоъгълни триъгълника \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), като \(\angle C=\angle C_1=90^\circ\), \(AC=A_1C_1=6\text{ cm}\) и \(\angle A=\angle A_1=35^\circ\). Докажете, че са еднакви. Ако \(B_1C_1=4{,}2\text{ cm}\), намерете \(BC\).
Решение
A B C A₁ B₁ C₁ Равен катет и двата прилежащи към него ъгъла.

Страната \(AC\) и прилежащите към нея ъгли при \(A\) и \(C\) са съответно равни на \(A_1C_1\), \(\angle A_1\) и \(\angle C_1\). Следователно триъгълниците са еднакви по II признак.

От равенството на съответните катети:

\[ \boxed{BC=4{,}2\text{ cm}}. \]
12Среда и перпендикуляр • I признакВ \(\triangle ABC\) точката \(D\) е среда на \(AC\), а \(BD\perp AC\). Докажете, че \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\). Ако \(AB=10\text{ cm}\), намерете \(BC\).
Решение
ABCDD е среда на AC, а BD е перпендикулярна на AC.

Понеже \(D\) е среда на \(AC\), \(AD=DC\). Страната \(BD\) е обща. Освен това

\[ \angle ADB=\angle CDB=90^\circ. \]

Следователно \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\) по I признак. Оттук \(AB=BC\), следователно

\[ \boxed{BC=10\text{ cm}}. \]
13Ъглополовяща и перпендикуляри • II признакТочка \(P\) лежи на ъглополовящата на \(\angle AOB\). От \(P\) са спуснати перпендикулярите \(PM\perp OA\) и \(PN\perp OB\). Докажете, че \(PM=PN\).
Решение
OABPMNP лежи на ъглополовящата OP; PM и PN са перпендикуляри към страните на ъгъла.

Разглеждаме правоъгълните триъгълници \(OMP\) и \(ONP\). Имаме

\[ \angle OMP=\angle ONP=90^\circ,\qquad \angle MOP=\angle PON \]

защото \(OP\) е ъглополовяща. Следователно и третите им ъгли при \(P\) са равни. Страната \(OP\) е обща и е между равните ъгли при \(O\) и \(P\). По II признак триъгълниците са еднакви, следователно

\[ \boxed{PM=PN}. \]
14Съответни медианиДадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Точките \(M\) и \(M_1\) са среди съответно на \(BC\) и \(B_1C_1\). Докажете, че съответните медиани \(AM\) и \(A_1M_1\) са равни.
Решение
ABCA₁B₁C₁MM₁M и M₁ са среди на съответните страни; AM и A₁M₁ са медиани.

От еднаквостта \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\) и \(\angle ABC=\angle A_1B_1C_1\).

Понеже \(M\) и \(M_1\) са среди:

\[ BM=\frac{BC}{2}=\frac{B_1C_1}{2}=B_1M_1. \]

Тъй като \(M\in BC\) и \(M_1\in B_1C_1\),

\[ \angle ABM=\angle A_1B_1M_1. \]

Следователно \(\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1\) по I признак и

\[ \boxed{AM=A_1M_1}. \]
15Оригинален тип • верига от II признакВ остроъгълния \(\triangle ABC\) височините \(AH_1\) и \(BH_2\) сключват с \(AB\) равни ъгли: \(\angle H_2BA=\angle H_1AB=\alpha\). Точка \(O\) е пресечната точка на височините. Докажете: а) \(\triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1\); б) \(\triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C\); в) \(\triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1\).
Решение
ABCH₁H₂OAH₁ и BH₂ са височини; O е тяхната пресечна точка.

а) Понеже \(AH_1\perp BC\) и \(BH_2\perp AC\),

\[ \angle AH_1B=\angle BH_2A=90^\circ. \]

В правоъгълните триъгълници получаваме

\[ \angle BAH_2=\angle ABH_1=90^\circ-\alpha. \]

Страната \(AB\) е обща и е между съответно равните ъгли. Значи \(\triangle ABH_2\cong\triangle BAH_1\) по II признак. Оттук

\[ AH_2=BH_1,\qquad BH_2=AH_1. \]

б) Нека \(\angle C=\gamma\). Понеже височините са перпендикулярни на срещулежащите страни,

\[ \angle H_1AC=\angle H_2BC=90^\circ-\gamma, \] \[ \angle AH_1C=\angle BH_2C=90^\circ. \]

А от а) \(AH_1=BH_2\). Следователно \(\triangle AH_1C\cong\triangle BH_2C\) по II признак.

в) Понеже \(O\in AH_1\) и \(O\in BH_2\),

\[ \angle AH_2O=\angle BH_1O=90^\circ, \] \[ \angle H_2AO=\angle H_1BO=90^\circ-\gamma. \]

От а) \(AH_2=BH_1\). Следователно \(\triangle AOH_2\cong\triangle BOH_1\) по II признак.

16Съответни ъглополовящиДадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Лъчите \(BL\) и \(B_1L_1\) са ъглополовящи, \(L\in AC\), \(L_1\in A_1C_1\). Докажете, че \(BL=B_1L_1\).
Решение
ABCA₁B₁C₁LL₁BL и B₁L₁ са съответни вътрешни ъглополовящи.

От еднаквостта имаме \(AB=A_1B_1\), \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\).

Понеже \(BL\) и \(B_1L_1\) са ъглополовящи,

\[ \angle ABL=\frac{\angle B}{2}=\frac{\angle B_1}{2}=\angle A_1B_1L_1. \]

Освен това \(\angle BAL=\angle B_1A_1L_1\). Страната \(AB\) е между тези два равни ъгъла, следователно \(\triangle ABL\cong\triangle A_1B_1L_1\) по II признак. Значи

\[ \boxed{BL=B_1L_1}. \]
17Съответни височиниДадени са два еднакви остроъгълни триъгълника \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Височините \(CH\) и \(C_1H_1\) са спуснати към \(AB\) и \(A_1B_1\). Докажете, че \(CH=C_1H_1\).
Решение
ABCH A₁B₁C₁H₁CH и C₁H₁ са съответни височини; H∈AB и H₁∈A₁B₁.

Понеже триъгълниците са остроъгълни, петите на височините лежат върху страните: \(H\in AB\) и \(H_1\in A_1B_1\). От еднаквостта имаме \(AC=A_1C_1\) и \(\angle A=\angle A_1\), следователно

\[ \angle CAH=\angle C_1A_1H_1. \]

Освен това

\[ \angle AHC=\angle A_1H_1C_1=90^\circ. \]

Затова и третите ъгли \(\angle ACH\) и \(\angle A_1C_1H_1\) са равни. Страните \(AC\) и \(A_1C_1\) са равни и са между съответните равни ъгли при \(A,C\) и \(A_1,C_1\). По II признак

\[ \triangle ACH\cong\triangle A_1C_1H_1, \]

следователно

\[ \boxed{CH=C_1H_1}. \]
18Две еднакви половини • периметърДиагоналът \(BD\) разделя четириъгълника \(ABCD\) на еднаквите триъгълници \(ABD\) и \(CBD\), като \(A\leftrightarrow C\). Ако \(AB=7\text{ cm}\), \(AD=5\text{ cm}\), намерете периметъра на \(ABCD\).
Решение
ABCDДиагоналът BD разделя четириъгълника на дадените еднакви триъгълници ABD и CBD.

От \(\triangle ABD\cong\triangle CBD\) и съответствието \(A\leftrightarrow C\) следва

\[ CB=AB=7\text{ cm},\qquad CD=AD=5\text{ cm}. \]

Следователно

\[ P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=7+7+5+5=\boxed{24\text{ cm}}. \]
19Успоредност и пресечни диагонали • II признакВ четириъгълник \(ABCD\) е \(AB\parallel CD\). Диагоналите \(AC\) и \(BD\) се пресичат в \(O\), като \(AO=CO\). Докажете, че \(BO=DO\).
Решение
ABCDOAB ∥ CD, AO=CO; използваме кръстни и връхни ъгли.

Разглеждаме \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).

Ъглите \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) са връхни. Понеже \(AB\parallel CD\) и \(AC\) е сечаща,

\[ \angle BAO=\angle DCO. \]

По условие \(AO=CO\). Страната \(AO\) е между равните ъгли при \(A\) и \(O\), както \(CO\) е между равните ъгли при \(C\) и \(O\). Следователно триъгълниците са еднакви по II признак и

\[ \boxed{BO=DO}. \]
20Съответни елементи • числова задачаДадено е \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\), като \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Периметърът на \(\triangle ABC\) е \(36\text{ cm}\), \(AB=10\text{ cm}\), \(BC=14\text{ cm}\). Намерете \(DF\) и периметъра на \(\triangle DEF\).
Решение
ABCDEFA↔D, B↔E, C↔F.

Третата страна на \(\triangle ABC\) е

\[ AC=36-10-14=12\text{ cm}. \]

Тя съответства на \(DF\), следователно \(DF=12\text{ cm}\). Еднаквите триъгълници имат равни съответни страни и следователно равни периметри:

\[ \boxed{DF=12\text{ cm},\qquad P_{\triangle DEF}=36\text{ cm}}. \]

С повишена трудност — задачи 21–25

21Повишена трудност • две последователни еднаквостиВ четириъгълника \(ABCD\) диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \(\angle BAD\) и \(\angle BCD\). Точките \(E\) и \(F\) са среди съответно на \(AB\) и \(AD\). Докажете, че \(CE=CF\).★ Повишена трудност
Решение
ABCDEFAC е обща ъглополовяща в двете двойки ъгли; E и F са среди на AB и AD.

Първа стъпка. Както в основния тип,

\[ \angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD,\qquad AC=AC, \]

следователно \(\triangle ABC\cong\triangle ADC\) по II признак. Оттук \(AB=AD\).

Втора стъпка. Понеже \(E\) и \(F\) са среди,

\[ AE=\frac{AB}{2}=\frac{AD}{2}=AF. \]

Освен това \(AC\) е обща страна и \(\angle EAC=\angle CAF\), защото \(E\in AB\), \(F\in AD\) и \(AC\) е ъглополовяща. Следователно

\[ \triangle AEC\cong\triangle AFC \]

по I признак. Затова

\[ \boxed{CE=CF}. \]
22Повишена трудност • еднаквост и успоредностДиагоналите \(AC\) и \(BD\) на четириъгълник се пресичат в \(O\), като \(AO=CO\) и \(BO=DO\). Докажете, че \(AB\parallel CD\).★ Повишена трудност
Решение
ACBDOДиагоналите AC и BD се пресичат в O; съответните части са означени с еднакви щрихи.

Разглеждаме \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\):

\[ AO=CO,\qquad BO=DO,\qquad \angle AOB=\angle COD \]

поради връхните ъгли. Следователно триъгълниците са еднакви по I признак.

Оттук \(\angle ABO=\angle CDO\). Тъй като \(B,O,D\) лежат на една права, тези два ъгъла са кръстни за правите \(AB\) и \(CD\) със сечаща \(BD\). По признака за успоредност

\[ \boxed{AB\parallel CD}. \]
23Повишена трудност • параметри и периметърЗа \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) е дадено \(\angle A=\angle A_1=48^\circ\), \(AB=A_1B_1\) и \(AC=A_1C_1\). Нека \(AB=(2x+3)\text{ cm}\), \(A_1B_1=(5x-12)\text{ cm}\), \(AC=(3y-1)\text{ cm}\), \(A_1C_1=(2y+6)\text{ cm}\), а \(BC=17\text{ cm}\). Намерете \(x,y\) и периметъра на двата триъгълника.★ Повишена трудност
Решение
ABCA₁B₁C₁Две равни страни са зададени чрез параметри; заключеният ъгъл е 48°.

От равенството на първата двойка страни:

\[ 2x+3=5x-12\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5. \]

Следователно \(AB=A_1B_1=13\text{ cm}\).

От втората двойка:

\[ 3y-1=2y+6\Rightarrow y=7, \]

така \(AC=A_1C_1=20\text{ cm}\).

Двете страни и заключеният ъгъл са съответно равни, следователно триъгълниците са еднакви по I признак и \(B_1C_1=BC=17\text{ cm}\). Значи

\[ \boxed{P=13+20+17=50\text{ cm}}. \]
24Повишена трудност • II признак чрез третия ъгълЗа два триъгълника е дадено \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1=52^\circ\) и \(\angle B=\angle B_1=68^\circ\). Докажете, че триъгълниците са еднакви, въпреки че дадената страна \(AC\) не е между двата първоначално дадени ъгъла.★ Повишена трудност
Решение
ABCA₁B₁C₁Първо намираме третия ъгъл, после прилагаме II признак.

Първо използваме сбора на ъглите в триъгълник:

\[ \angle C=180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ, \]

и аналогично \(\angle C_1=60^\circ\). Така вече имаме

\[ AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \]

Страната \(AC\) е между равните ъгли при \(A\) и \(C\). Следователно

\[ \boxed{\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1} \]

по II признак.

25Повишена трудност • верига от I и II признакДиагоналите \(AC\) и \(BD\) се пресичат в \(O\). Дадено е \(AO=CO\), \(\angle OAB=\angle OCD\). Докажете последователно, че \(BO=DO\) и \(AD=CB\).★ Повишена трудност
Решение
ACBDOДиагоналите AC и BD се пресичат в O; съответните части са означени с еднакви щрихи.

Първа еднаквост. Ъглите \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) са връхни. Имаме

\[ AO=CO,\qquad \angle OAB=\angle OCD,\qquad \angle AOB=\angle COD. \]

Следователно \(\triangle AOB\cong\triangle COD\) по II признак. Оттук

\[ BO=DO. \]

Втора еднаквост. Разглеждаме \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\):

\[ AO=CO,\qquad DO=BO,\qquad \angle AOD=\angle COB \]

като връхни. Следователно тези триъгълници са еднакви по I признак и

\[ \boxed{AD=CB}. \]

30 задачи за самостоятелна работа

Решавайте самостоятелно, преди да отворите отговорите. №26–30 са с повишена трудност.

Задача 1Дадено е \(\triangle KLM\cong\triangle PQR\). Ако \(\angle K:\angle L=2:3\) и \(\angle M=70^\circ\), намерете \(\angle P,\angle Q,\angle R\).
KLM PQRСледете реда KLM ↔ PQR и първо използвайте сбора на ъглите.
Отговор и насока
\(\angle K+\angle L=110^\circ\). Пет части са \(110^\circ\), т.е. една част е \(22^\circ\). Значи \(\angle K=44^\circ\), \(\angle L=66^\circ\). От съответствието: \(\boxed{\angle P=44^\circ,\ \angle Q=66^\circ,\ \angle R=70^\circ}\).
Задача 2За два триъгълника е дадено \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle B=\angle B_1\). Достатъчни ли са тези данни, за да приложим I или II признак за еднаквост?
ABCA₁B₁C₁Равният ъгъл не е между двете дадени равни страни.
Отговор и насока
\(\boxed{\text{Не}}\). При I признак трябва да е равен заключеният ъгъл между двете дадени страни, т.е. \(\angle A\) и \(\angle A_1\). За II признак липсва втора двойка равни ъгли.
Задача 3Дадено е \(BC=B_1C_1\), \(\angle B=\angle B_1\) и \(\angle C=\angle C_1\). По кой признак са еднакви двата триъгълника?
ABCA₁B₁C₁Страна и двата прилежащи към нея ъгъла са съответно равни.
Отговор и насока
\(\boxed{\text{По II признак}}\) — страна и двата прилежащи към нея ъгъла.
Задача 4Точка \(P\) лежи на ъглополовящата на \(\angle AOB\). Точките \(A\in OA\) и \(B\in OB\) са такива, че \(OA=OB\). Докажете, че \(PA=PB\).
OABPOP е обща страна, OA=OB, а OP дели ъгъла AOB на две равни части.
Отговор и насока
В \(\triangle AOP\) и \(\triangle BOP\): \(OA=OB\), \(OP\) е обща и \(\angle AOP=\angle POB\). По I признак триъгълниците са еднакви, следователно \(\boxed{PA=PB}\).
Задача 5Дадени са два правоъгълни триъгълника \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), като \(\angle C=\angle C_1=90^\circ\), \(AC=A_1C_1\) и \(BC=B_1C_1\). По кой изучен признак са еднакви? Ако \(A_1B_1=8{,}1\text{ cm}\), намерете \(AB\).
CBAC₁B₁A₁Двата равни катета сключват равни прави ъгли.
Отговор и насока
Двата катета и заключеният между тях прав ъгъл са съответно равни, затова триъгълниците са еднакви по I признак. Следователно \(\boxed{AB=8{,}1\text{ cm}}\).
Задача 6В четириъгълника \(ABCD\) е \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\). Диагоналът \(AC\) е прекаран. Докажете, че \(BC=AD\).
ABCDЕдна двойка успоредни и равни страни плюс общия диагонал.
Отговор и насока
От \(AB\parallel CD\) следва \(\angle BAC=\angle DCA\). С \(AB=CD\) и общата \(AC\) получаваме \(\triangle BAC\cong\triangle DCA\) по I признак, затова \(\boxed{BC=AD}\).
Задача 7В четириъгълника \(ABCD\) е \(AB\parallel CD\) и \(\angle ABC=\angle CDA\). Диагоналът \(AC\) е прекаран. Докажете, че \(BC=AD\).
ABCDДадени са AB∥CD и ∠ABC=∠CDA; AC е общата страна на двата разглеждани триъгълника.
Отговор и насока
От \(AB\parallel CD\) със сечаща \(AC\) следва \(\angle BAC=\angle DCA\). Заедно с \(\angle ABC=\angle CDA\) от сбора \(180^\circ\) получаваме \(\angle BCA=\angle CAD\). Сега \(AC\) е обща страна и е между равните ъгли при \(A,C\), следователно \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\) по II признак. Затова \(\boxed{BC=AD}\).
Задача 8В \(\triangle ABC\) е \(AD\perp BC\) и \(\angle BAD=\angle DAC\). Докажете, че \(BD=DC\).
ABCDAD е едновременно перпендикуляр към BC и ъглополовяща на ∠A.
Отговор и насока
\(\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\), \(AD\) е обща, а \(\angle BAD=\angle DAC\). По II признак \(\triangle ABD\cong\triangle ACD\), следователно \(\boxed{BD=DC}\).
Задача 9Дадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Ако \(AB=7\text{ cm}\), \(BC=9\text{ cm}\) и \(A_1C_1=11\text{ cm}\), намерете периметъра на всеки от двата триъгълника.
ABC A₁B₁C₁Съответните страни са равни, затова трите дължини определят и двата периметъра.
Отговор и насока
От еднаквостта \(AC=A_1C_1=11\text{ cm}\). Следователно \(\boxed{P=7+9+11=27\text{ cm}}\) за всеки триъгълник.
Задача 10Дадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) и \(\angle C=(3x+10)^\circ\), \(\angle C_1=(5x-30)^\circ\). Намерете \(x\) и \(\angle C\).
ABCA₁B₁C₁Съответните ъгли C и C₁ са равни.
Отговор и насока
\(3x+10=5x-30\Rightarrow \boxed{x=20}\), следователно \(\boxed{\angle C=70^\circ}\).
Задача 11Дадено е \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\) със съответствие \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Ако \(AB+BC=19\text{ cm}\) и \(DE=8\text{ cm}\), намерете \(EF\).
ABC DEFAB съответства на DE, а BC — на EF.
Отговор и насока
От еднаквостта \(AB=DE=8\text{ cm}\). Значи \(BC=19-8=11\text{ cm}\), а \(BC=EF\). Следователно \(\boxed{EF=11\text{ cm}}\).
Задача 12В два еднакви триъгълника една медиана е дълга \(7{,}4\text{ cm}\). Колко е дълга съответната медиана в другия триъгълник?
ABCA₁B₁C₁MM₁Съответните медиани са равни.
Отговор и насока
\(\boxed{7{,}4\text{ cm}}\). Съответните медиани в еднакви триъгълници са равни.
Задача 13Съответните ъглополовящи в два еднакви триъгълника са \((2x+3)\text{ cm}\) и \((3x-5)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и дължината им.
ABCA₁B₁C₁LL₁Съответните ъглополовящи са равни.
Отговор и насока
\(2x+3=3x-5\Rightarrow \boxed{x=8}\), а дължината е \(\boxed{19\text{ cm}}\).
Задача 14Съответните височини в два еднакви триъгълника са \((4x-2)\text{ cm}\) и \((3x+5)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и височината.
ABCH A₁B₁C₁H₁Показани са съответните височини CH и C₁H₁ с правите ъгли при H и H₁.
Отговор и насока
\(4x-2=3x+5\Rightarrow \boxed{x=7}\), а височината е \(\boxed{26\text{ cm}}\).
Задача 15Триъгълниците \(ABC\) и \(DBC\) имат обща страна \(BC\). Дадено е \(AB=DB\) и \(\angle ABC=\angle DBC\). Докажете, че \(AC=DC\).
BCADAB=DB, BC е обща страна, а заключените при B ъгли са равни.
Отговор и насока
В \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBC\): \(AB=DB\), \(BC=BC\) и \(\angle ABC=\angle DBC\). По I признак триъгълниците са еднакви, затова \(\boxed{AC=DC}\).
Задача 16Точките \(C\) и \(D\) лежат от двете страни на правата \(AB\). Дадено е \(AC=AD\) и \(\angle CAB=\angle DAB\). Докажете, че \(\angle CBA=\angle ABD\).
ABCDC и D са от двете страни на общата страна AB; AC=AD и ъглите при A са равни.
Отговор и насока
В \(\triangle CAB\) и \(\triangle DAB\): \(AC=AD\), \(AB\) е обща и заключените ъгли при \(A\) са равни. По I признак триъгълниците са еднакви, следователно \(\boxed{\angle CBA=\angle ABD}\).
Задача 17В четириъгълника \(ABCD\) диагоналът \(AC\) е обща страна на \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). Дадено е \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\). Докажете, че \(AB=CD\).
ABCDНе е необходимо предварително да е дадена успоредност.
Отговор и насока
По II признак \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\), следователно \(\boxed{AB=CD}\).
Задача 18Може ли от равенството на трите ъгъла на два триъгълника да заключим, че те са еднакви?
ABCA₁B₁C₁Равни ъгли сами по себе си не гарантират еднакъв размер.
Отговор и насока
\(\boxed{\text{Не}}\). Равенството само на ъглите определя формата, но не и размера; триъгълниците могат да имат различни съответни страни.
Задача 19Може ли от равенството на периметрите на два триъгълника да заключим, че те са еднакви?
ABCA₁B₁C₁Еднакъв периметър не е признак за еднаквост.
Отговор и насока
\(\boxed{\text{Не}}\). Различни триъгълници могат да имат един и същ периметър.
Задача 20За два триъгълника е дадено \(AB=A_1B_1\), \(\angle A=\angle A_1=42^\circ\) и \(\angle B=\angle B_1=73^\circ\). Намерете \(\angle C,\angle C_1\) и обяснете защо \(AC=A_1C_1\).
ABC A₁B₁C₁Страната AB и двата прилежащи към нея ъгъла са съответно равни.
Отговор и насока
По II признак триъгълниците са еднакви. Освен това \(\angle C=\angle C_1=180^\circ-42^\circ-73^\circ=\boxed{65^\circ}\). От еднаквостта следва \(\boxed{AC=A_1C_1}\).
Задача 21Дадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Ако \(AB+AC=21\text{ cm}\) и \(A_1B_1=9\text{ cm}\), намерете \(A_1C_1\).
ABC A₁B₁C₁Съответните страни AB и A₁B₁, както и AC и A₁C₁, са равни.
Отговор и насока
\(AB=A_1B_1=9\text{ cm}\), следователно \(AC=21-9=12\text{ cm}\). Затова \(\boxed{A_1C_1=12\text{ cm}}\).
Задача 22Два триъгълника вече са доказани еднакви по I признак. Периметрите им са \((4x+2)\text{ cm}\) и \((3x+9)\text{ cm}\). Намерете \(x\) и периметъра.
ABC A₁B₁C₁След доказана еднаквост периметрите са равни.
Отговор и насока
\(4x+2=3x+9\Rightarrow \boxed{x=7}\), а общият периметър е \(\boxed{30\text{ cm}}\).
Задача 23В два еднакви триъгълника два съответни ъгъла имат сбор \(116^\circ\). Намерете мярката на всеки от тях.
ABC A₁B₁C₁Съответните ъгли в еднакви триъгълници са равни.
Отговор и насока
Ако всеки от двата равни ъгъла е \(\alpha\), то \(2\alpha=116^\circ\). Следователно \(\boxed{\alpha=58^\circ}\).
Задача 24Диагоналът \(AC\) разделя четириъгълника \(ABCD\) на еднаквите триъгълници \(ABC\) и \(ADC\), като \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow C\). Ако \(\angle BAC=32^\circ\) и \(\angle BCA=47^\circ\), намерете \(\angle CAD\), \(\angle ACD\) и \(\angle ADC\).
ABCDИзползвайте съответствието на ъглите в двете еднакви половини.
Отговор и насока
\(\angle CAD=32^\circ\), \(\angle ACD=47^\circ\). В \(\triangle ADC\): \(\angle ADC=180^\circ-32^\circ-47^\circ=\boxed{101^\circ}\).
Задача 25Дадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Точката \(D\) е среда на \(AB\), а \(D_1\in A_1B_1\) е такава, че \(A_1D_1=AD\). Докажете, че \(D_1\) е среда на \(A_1B_1\).
ABCA₁B₁C₁DD₁D е среда на AB; D₁ лежи върху съответната страна A₁B₁.
Отговор и насока
Понеже \(AB=A_1B_1\) и \(AD=DB=\frac{AB}{2}\), имаме \(A_1D_1=AD=\frac{A_1B_1}{2}\). Следователно и \(D_1B_1=\frac{A_1B_1}{2}\), т.е. \(\boxed{D_1\text{ е среда}}\).
Задача 26 · Повишена трудностВ \(\triangle ABC\) точката \(D\in BC\), \(AD\perp BC\) и \(\angle BAD=\angle DAC\). Точка \(M\) е среда на \(AB\), а \(N\) — среда на \(AC\). Докажете, че \(DM=DN\).
MNABCDAD е перпендикуляр и ъглополовяща; M и N са среди на AB и AC.
Отговор и насока
Първо \(\triangle ABD\cong\triangle ACD\) по II признак, следователно \(AB=AC\). Значи \(AM=AN\). В \(\triangle AMD\) и \(\triangle AND\): \(AM=AN\), \(AD\) е обща и \(\angle MAD=\angle DAN\). По I признак те са еднакви, следователно \(\boxed{DM=DN}\).
Задача 27 · Повишена трудностДадено е \(\triangle ABC\cong\triangle DCB\) със съответствие \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow C\), като точките \(A\) и \(D\) лежат от противоположни страни на правата \(BC\). Докажете, че \(AB\parallel CD\).
BCADA и D са от противоположни страни на BC; търсената успоредност не е означена предварително.
Отговор и насока
От еднаквостта \(\angle ABC=\angle DCB\). Понеже \(A\) и \(D\) са от противоположни страни на \(BC\), тези равни ъгли са кръстни за правите \(AB\) и \(CD\) със сечаща \(BC\). По признака за успоредност \(\boxed{AB\parallel CD}\).
Задача 28 · Повишена трудностЗа два триъгълника е дадено \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle A=\angle A_1\). Освен това \(BC=(2x+y)\text{ cm}\), \(B_1C_1=(x+2y+3)\text{ cm}\) и \(x-y=4\). Намерете \(x\) и \(y\).
ABCA₁B₁C₁Проверете съвместимостта на алгебричните условия след доказаната еднаквост.
Отговор и насока
По I признак триъгълниците са еднакви, затова \(2x+y=x+2y+3\Rightarrow x-y=3\), което противоречи на даденото \(x-y=4\). Следователно \(\boxed{\text{няма стойности }x,y}\), които да удовлетворяват едновременно всички условия.
Задача 29 · Повишена трудностДва триъгълника вече са доказани еднакви. Периметрите им са \(P_1=(3x+2y+4)\text{ cm}\) и \(P_2=(2x+3y+7)\text{ cm}\), а две съответни медиани са \(m_1=(2x-y+1)\text{ cm}\) и \(m_2=(x+y+2)\text{ cm}\). Намерете \(x,y\), общия периметър и дължината на тези медиани.
ABCA₁B₁C₁MM₁Еднаквостта дава две независими равенства: на периметрите и на съответните медиани.
Отговор и насока
От \(P_1=P_2\): \(3x+2y+4=2x+3y+7\Rightarrow x-y=3\). От \(m_1=m_2\): \(2x-y+1=x+y+2\Rightarrow x-2y=1\). Следователно \(y=2\), \(x=5\). Тогава \(\boxed{P=23\text{ cm}}\) и \(\boxed{m=9\text{ cm}}\).
Задача 30 · Повишена трудностДадено е \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Точките \(D,D_1\) са среди на \(BC,B_1C_1\), а \(E,E_1\) — среди на \(AC,A_1C_1\). Докажете, че \(DE=D_1E_1\), като използвате само изучените I или II признак за еднаквост.
ABCA₁B₁C₁ DED₁E₁D,D₁ и E,E₁ са среди на съответни страни; сравнете малките триъгълници при C и C₁.
Отговор и насока
От еднаквостта \(BC=B_1C_1\), \(AC=A_1C_1\) и \(\angle C=\angle C_1\). Следователно \(CD=C_1D_1\) и \(CE=C_1E_1\). В \(\triangle CDE\) и \(\triangle C_1D_1E_1\) имаме две страни и заключения между тях ъгъл равни, затова по I признак те са еднакви. Следователно \(\boxed{DE=D_1E_1}\).

Онлайн тест: 15 въпроса

По 4 точки за верен отговор · максимум 60 точки

Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.

Тест: Еднакви триъгълници
Изберете точно един отговор на всеки въпрос. След оценяването ще видите верния/грешния резултат и кратко обяснение.
ABCA₁B₁C₁Референтна схема: при записа △ABC ≅ △A₁B₁C₁ върховете се съпоставят по ред.
1Два триъгълника са еднакви, когато:
2I признак за еднаквост използва:
3II признак за еднаквост използва:
4Ако \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\), на върха \(B\) съответства:
5Две страни са съответно равни, а един равен ъгъл не е заключен между тях. Можем ли директно да приложим I признак?
6Дадено е \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\). Ако \(BC=12\text{ cm}\), то \(B_1C_1=\)
7Кое твърдение е вярно за еднакви триъгълници?
8Отсечките \(AB\) и \(CD\) се пресичат в общата си среда \(O\). Кой е подходящият признак за \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\)?
9Дадено е \(BC=B_1C_1\), \(\angle B=\angle B_1\), \(\angle C=\angle C_1\). Триъгълниците са еднакви по:
10Ако в еднакви триъгълници \(\angle C=(4x+10)^\circ\) и съответният му ъгъл е \((6x-20)^\circ\), то \(x=\)
11Достатъчно ли е два триъгълника да имат равни периметри, за да са еднакви?
12Ако \(\triangle KLM\cong\triangle PQR\), коя страна съответства на \(LM\)?
13Дадено е \(AC=A_1C_1\), \(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\). Как завършваме доказателството с II признак?
14В \(\triangle ABC\) е \(AB=AC\), а \(AD\) е ъглополовяща на \(\angle A\). По кой изучен признак доказваме \(\triangle BAD\cong\triangle CAD\)?
15Кое твърдение винаги е вярно за два еднакви триъгълника?

Видеоурок

Видео урок — Еднакви триъгълници

Допълнителни тестове от оригиналната публикация

Следващите два Google Forms теста са запазени без промяна от оригиналната публикация. Те са по алгебра и не са част от текущата геометрична тема.

Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →

Свързани уроци и материали

Темата стъпва върху ъглите в триъгълник и подготвя доказателствата за специалните видове триъгълници.

19Ъгли в триъгълник — 7. класСбор \(180^\circ\), външен ъгъл и ъглополовящи — непосредствената основа за II признак.Преглед на урока → 21Равнобедрен и равностранен триъгълник — 7. класСледващата тема използва признаците за еднаквост за доказване на свойства.Преглед на урока → 23III признак за еднаквост — 7. класПо-късно теорията се допълва с признака по три съответно равни страни.Преглед на урока → 45Триъгълник. Елементи и видове — 5. класОсновни елементи, видове триъгълници и геометрична терминология.Преглед на урока → 44Основни геометрични фигури — 5. класОтсечки, ъгли, ъглополовящи, среди и перпендикулярни прави.Преглед на урока →

Използвана литература

Запазени са библиографските записи от първоначалната публикация. Трите оригинални разработени типа са включени и прецизирани; останалите задачи, решения и контролирани SVG чертежи са съставени за настоящата редакция.

  1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
  2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
  3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
  4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
  5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
  6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
  7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
  8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
  9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
  10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
  11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
  12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити
  • ›НВО по математика след 7 клас
  • ›НВО по математика след 10 клас
  • ›Кандидатстудентски изпити по математика
  • ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
  • ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
  • ›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, вероятности и статистика
✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Коментари

Публикуване на коментар

Популярни публикации от този блог

Безплатен сборник по математика – пълен преговор преди 7. клас

Безплатен сборник по математика – пълен преговор преди 7. клас 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ Математика › Безплатни материали › Подготовка преди 7. клас Безплатен сборник по математика Пълен преговор преди 7. клас Преговор на основните знания и умения от 5. и 6. клас: необходима теория, решени примери, задачи за самостоятелна работа, отговори и финален диагностичен тест. 5. клас 6. клас 7. клас НВО Безплатен сборник Подготвих то...
Прочетете още

50 безплатни работни листа за 1. клас – Събиране и изваждане до 20 без преминаване

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Математика › 1. клас › Безплатни материали › Работни листове • Пакет 4 50 безплатни работни листа за 1. клас Пакет 4: Събиране и изваждане до 20 без преминаване Събиране и изваждане до 20 без преминаване на десетицата, събираемо и сбор, сра...
Прочетете още

Безплатен сборник с 10 входни нива по математика за 7. клас

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 10 входни нива за 7. клас ◆ 5 варианта със задачи със свободен отговор + 5 теста ◆ 150 задачи • отговори • ясна скала за оценяване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 10 входни нива за 7. клас ◆ 5 варианта със задачи със свободен отговор + 5 теста ◆ 150 задачи • отговори • ясна скала за оценяване ◆ Математика › 7. клас › Безплатни материали › Входно ниво Безплатен сборник по математика 10 примерни входни нива за 7. клас Преговор и диагностика на знанията от 6. клас: 5 варианта със задачи със свободен отговор и 5 тестови варианта, общо 150 задачи, ясни критерии за оценяване и отговори. ...
Прочетете още