Успоредник 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Успоредник

Успоредник
Дефиниции, свойства и задачи

Пълен урок с определение, признаци, свойства, разработени задачи, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 3 признака 2 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Успоредник — определение, признаци, свойства и решени задачи за 7 клас

Определение

Определение 1: Четириъгълник, на който двойките срещуположни страни са успоредни, се нарича успоредник.

Признаци за успоредник

Теорема 1 (признак): Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, е успоредник.

Теорема 2 (признак): Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни и равни, е успоредник.

Теорема 3 (признак): Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник.

Свойства на успоредника

Теорема 4 (свойство): В успоредника срещуположните страни са равни.

Следствие 1: В успоредника срещуположните ъгли са равни.

Следствие 2: В успоредника сборът на прилежащите ъгли е \(180°\).
Доказателство: Тъй като \(AB\parallel CD\) и \(AD\) е секуща, едностранните ъгли \(\sphericalangle A\) и \(\sphericalangle D\) дават \(\sphericalangle A+\sphericalangle D=180°\).

Теорема 5 (свойство): В успоредника диагоналите взаимно се разполовяват.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете ъглите на успоредник, ако ъгълът между двете му височини, прекарани през върха на един от острите ъгли, е \(140°\).

▼

Решение Нека \(AE\) и \(AF\) са височините от \(A\) към \(CD\) и \(BC\), и нека \(\sphericalangle DAB=\alpha\). От Следствие 2: \(\sphericalangle ABC=180°-\alpha\).

Тъй като \(BF\perp AF\), в правоъгълния \(\triangle BFA\): \(\sphericalangle FAB=90°-(180°-\alpha)=\alpha-90°\)... По-директно: \(\sphericalangle ABF=\alpha\) (кръстни ъгли с \(\sphericalangle DAB\)) и \(\sphericalangle FAB=90°-\alpha\).

Тъй като \(AE\perp DE\), в правоъгълния \(\triangle DAE\): \(\sphericalangle DAE=90°-\alpha\).

Ъгълът между двете височини: \[\sphericalangle EAF=\sphericalangle DAB-\sphericalangle DAE-\sphericalangle FAB=\alpha-(90°-\alpha)-(90°-\alpha)=\alpha-180°+2\alpha\] Или по-директно: \[\sphericalangle EAF=(90°-\alpha)+\alpha+(90°-\alpha)=180°-\alpha.\] От условието: \(180°-\alpha=140°\), откъдето \(\alpha=40°\).

Следователно \(\sphericalangle BAD=\sphericalangle BCD=\mathbf{40°}\) и \(\sphericalangle ABC=\sphericalangle ADC=\mathbf{140°}\).

2

Периметърът на успоредника \(ABCD\) е \(60\) cm. Ъглополовящите на \(\sphericalangle A\) и \(\sphericalangle B\) пресичат страната \(CD\) в \(M\) и \(N\). Намерете страните на успоредника, ако \(MN=3\) cm.

▼

Решение Нека \(AB=CD=a\) и \(AD=BC=b\). Тъй като \(\sphericalangle MAB=\sphericalangle DAM=\frac{\alpha}{2}\) и \(AB\parallel CD\), то \(\sphericalangle AMD=\sphericalangle MAB\) (кръстни ъгли). Следователно \(\triangle AMD\) е равнобедрен и \(DM=AD=b\). Аналогично \(\triangle BCN\) е равнобедрен и \(CN=BC=b\).

От \(CD=DM+MN+NC\): \[a=b+3+b=2b+3.\] За периметъра: \(2(a+b)=60 \Rightarrow a+b=30\). Заместваме \(a=2b+3\): \[2b+3+b=30 \;\Rightarrow\; 3b=27 \;\Rightarrow\; b=9\ \text{cm}, \quad a=21\ \text{cm}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1В успоредника \(ABCD\) ъглополовящите на \(\sphericalangle A\) и \(\sphericalangle B\) се пресичат в точка \(M\) от страната \(CD\). Докажете, че \(M\) е среда на \(CD\) и \(AB=2AD\).

Задача 2\(M\) и \(N\) са средите на \(AB\) и \(CD\) на успоредника \(ABCD\). Докажете, че \(AMND\) и \(MBCN\) са успоредници.

Задача 3Докажете, че ако диагоналът \(AC\) в успоредника \(ABCD\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle A\), то \(BD\perp AC\).

Задача 4Докажете, че ако четириъгълник има двойка успоредни страни и двойка равни срещуположни ъгли, той е успоредник.

Задача 5\(K\) е пресечната точка на ъглополовящите на \(\sphericalangle BAD\) и \(\sphericalangle ADC\) на успоредника \(ABCD\). Докажете, че \(\sphericalangle AKD=90°\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Успоредник

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Успоредник е четириъгълник, при който:

всички страни са равни двойките срещуположни страни са успоредни всички ъгли са прави диагоналите са равни

2В успоредника срещуположните страни са:

перпендикулярни равни неравни успоредни, но не равни

3Диагоналите на успоредника:

са равни взаимно се разполовяват са перпендикулярни не се пресичат

4Сборът на два прилежащи ъгъла в успоредника е:

\(90°\) \(180°\) \(270°\) \(360°\)

5В успоредника срещуположните ъгли са:

допълнителни (сборът им е \(180°\)) равни прави тъпи

6Ъгълът между двете височини от остър връх на успоредника е \(140°\). Острият ъгъл на успоредника е:

\(140°\) \(40°\) \(50°\) \(70°\)

7При острия ъгъл \(40°\), тъпият ъгъл на успоредника е:

\(40°\) \(140°\) \(100°\) \(150°\)

8В задача 2, ъглополовящата на \(\sphericalangle A\) и \(AB\parallel CD\) дават, че \(\triangle AMD\) е:

правоъгълен равнобедрен с \(DM=AD\) равностранен тъпоъгълен

9В задача 2, от \(CD=DM+MN+NC\) и \(DM=CN=b\), \(MN=3\), следва:

\(a=b+3\) \(a=2b+3\) \(a=3b\) \(a=b\)

10В задача 2, по-малката страна на успоредника е:

\(3\) cm \(9\) cm \(21\) cm \(30\) cm

11В задача 2, по-голямата страна на успоредника е:

\(9\) cm \(21\) cm \(30\) cm \(60\) cm

12Кой е верен признак за успоредник?

Диагоналите са равни Диагоналите взаимно се разполовяват Всички ъгли са прави Всички страни са равни

13Защо прилежащите ъгли в успоредника дават \(180°\)?

защото диагоналите се разполовяват защото успоредните страни и секущата дават едностранни ъгли защото сборът на ъглите е \(360°\) и те са равни защото всички ъгли са прави

14Периметърът на успоредника с страни \(a\) и \(b\) е:

\(a+b\) \(2(a+b)\) \(4a\) \(ab\)

15Четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са едновременно успоредни и равни, е:

трапец успоредник правоъгълник само ромб само

---

Видео урок

Видео урок — Успоредник

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆