Числови равенства - свойства. Уравнението $ax+b=0$

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Уравнения › Числови равенства. Уравнение ax+b=0

Числови равенства. Уравнение ax+b=0 —
свойства, решаване, приложения

Числови равенства и свойствата им, доказване на равенства, решаване на линейни уравнения от вида \(ax+b=0\), разкриване на скоби, уравнения с дроби, приложни задачи — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за домашна работа и онлайн тест

6. клас Числови равенства Линейно уравнение ax+b=0 Корен на уравнение Д-р Атанас Илчев

Темата „числови равенства и уравнения" е една от най-важните за 6. клас. Ще изучим какво означава едно равенство да е вярно или невярно, какви са свойствата на числовите равенства (които ни позволяват да ги преобразуваме) и как да решаваме уравнения от вида \(ax+b=0\) — най-простия и най-често срещан вид уравнения. Ще разгледаме уравнения с повече от едно събираемо с \(x\), с разкриване на скоби, с дроби, както и приложни задачи.

1. Числово равенство:

Запис от вида \(A=B\), където \(A\) и \(B\) са числови изрази. Ако при пресмятане двете страни дават една и съща стойност, равенството е вярно, иначе е невярно.

Примери: \(12-7=5\) (вярно); \(8-13=5\) (невярно, защото \(8-13=-5\)).

2. Свойства на числовите равенства: ако \(a=b\) е вярно, то също са верни:

• \(a+c=b+c\) (прибавяме едно и също число към двете страни);
• \(a-c=b-c\) (изваждаме едно и също число);
• \(a\cdot c=b\cdot c\) (умножаваме с едно и също число);
• \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\) (делим с едно и също число, \(c\neq0\)).

Още две полезни свойства:

• Ако \(a-b=0\), то \(a=b\).
• Ако \(\dfrac{a}{b}=1\) (при \(b\neq0\)), то \(a=b\).

3. Уравнение. Корен на уравнение:

Равенство, в което участва неизвестно число (обикновено \(x\)), се нарича уравнение. Стойност на неизвестното, при която равенството става вярно, се нарича корен (или решение) на уравнението.

Пример: \(3x+4=10\) е уравнение; \(x=2\) е корен, защото \(3\cdot2+4=10\) е вярно.

4. Уравнение от вида \(ax+b=0\) (линейно):

Решаваме чрез свойствата на равенствата:

• Изваждаме \(b\) от двете страни: \(ax+b-b=0-b\), т.е. \(ax=-b\).
• Ако \(a\neq0\), делим двете страни с \(a\): \(x=-\dfrac{b}{a}\).

Специални случаи:

• Ако \(a=0\) и \(b=0\) — уравнението \(0\cdot x=0\) е вярно за всяко \(x\), т.е. има безброй много решения.
• Ако \(a=0\) и \(b\neq0\) — уравнението \(0\cdot x=-b\) няма решение (лявата страна винаги е \(0\)).

5. Обща стратегия за решаване:

1. Разкриваме скобите (ако има).
2. Привеждаме под общ знаменател.
3. Прехвърляме членовете с \(x\) в едната страна на знака равно, а числата — в другата.
4. Събираме членовете с \(x\) (например \(3x+5x=8x\); \(7x-2x=5x\)) и числата (например \(4-9=-5\)) поотделно.
5. Делим с коефициента пред \(x\).
6. Правим проверка (заместваме намереното \(x\) в изходното уравнение).

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Проверете дали числовото равенство е вярно: а) \(12-7=5\);   б) \(8-13=5\);   в) \((-3)^2=9\);   г) \(4\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{28}\).

▼

Решение

а) \(12-7=5\) — лявата страна е \(5\), дясната е \(5\). Равенството е вярно.

б) \(8-13=-5\), а дясната страна е \(5\). Равенството е невярно.

в) \((-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9\), а дясната е \(9\). Равенството е вярно.

г) \(4\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{7}\); от друга страна \(\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}\). Получаваме \(\dfrac{4}{7}\neq\dfrac{1}{7}\) — равенството е невярно.\(\;\blacksquare\)

2

Проверете дали равенството е вярно: а) \(-|-4|=-2^2\);   б) \(\left(-2^3\right)^2=2^6\);   в) \(\left(-2^2\right)^3=2^6\).

▼

Решение

а) \(-|-4|=-4\); \(-2^2=-(2^2)=-4\). Двете страни са равни → вярно.

б) \(\left(-2^3\right)^2=(-8)^2=64\); \(2^6=64\). Двете страни са \(64\) → вярно.

в) \(\left(-2^2\right)^3=(-4)^3=-64\); \(2^6=64\). Получаваме \(-64\neq64\) → невярно.\(\;\blacksquare\)

3

Проверете дали равенството е вярно: а) \(\dfrac{1}{7\cdot8}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}\);   б) \((1{,}8+0{,}2)^2=1{,}8^2+0{,}2^2\);   в) \(|2{,}56-3{,}09|=|2{,}56|-|-3{,}09|\).

▼

Решение

а) Лява страна: \(\dfrac{1}{7\cdot8}=\dfrac{1}{56}\). Дясна страна: \(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{56}-\dfrac{7}{56}=\dfrac{1}{56}\). Равенството е вярно.

б) Лява страна: \((1{,}8+0{,}2)^2=2^2=4\). Дясна страна: \(1{,}8^2+0{,}2^2=3{,}24+0{,}04=3{,}28\). Получаваме \(4\neq3{,}28\) → невярно.

в) Лява страна: \(|2{,}56-3{,}09|=|-0{,}53|=0{,}53\). Дясна: \(|2{,}56|-|-3{,}09|=2{,}56-3{,}09=-0{,}53\). Получаваме \(0{,}53\neq-0{,}53\) → невярно.\(\;\blacksquare\)

4

Проверете дали \(12\dfrac{1}{3}=\dfrac{37}{3}\);   \((-2)^3\cdot(-2)^5=-2^8\);   \(\left(3^2\right)^3=3^5\).

▼

Решение

а) \(12\dfrac{1}{3}=12+\dfrac{1}{3}=\dfrac{36+1}{3}=\dfrac{37}{3}\). Вярно.

б) \((-2)^3\cdot(-2)^5=(-2)^{3+5}=(-2)^8=2^8\) (степен с четен показател). А \(-2^8=-(2^8)=-256\). Получаваме \(2^8\neq-2^8\) → невярно.

в) \(\left(3^2\right)^3=3^{2\cdot3}=3^6\). А \(3^5\neq3^6\) → невярно.\(\;\blacksquare\)

5

Дадено е вярното равенство \(a-2=3b\) (където \(a\) и \(b\) са числа). Запишете вярното равенство, което се получава, когато: а) към двете му страни прибавите \(2\);   б) от двете му страни извадите \(-3\);   в) двете му страни умножите по \(\dfrac{1}{2}\);   г) двете му страни разделите с \(3\).

▼

Решение

Използваме свойствата на числовите равенства — двете му страни могат да се променят по еднакъв начин.

а) Прибавяме \(2\) към двете страни: \(a-2+2=3b+2\), т.е. \(a=3b+2\).

б) Изваждаме \(-3\) от двете страни (т.е. прибавяме \(3\)): \(a-2+3=3b+3\), т.е. \(a+1=3b+3\).

в) Умножаваме с \(\dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{3b}{2}\).

г) Делим с \(3\): \(\dfrac{a-2}{3}=b\).\(\;\blacksquare\)

6

Като използвате свойството: ако \(a-b=0\), то \(a=b\), докажете, че е вярно равенството \(2{,}0746+13{,}09-7=10{,}09-1{,}9254\).

▼

Решение

Сравняваме двете страни, като преместваме всички членове в лявата страна:

Лява страна минус дясна страна: \((2{,}0746+13{,}09-7)-(10{,}09-1{,}9254)\).

Разкриваме скобите: \(2{,}0746+13{,}09-7-10{,}09+1{,}9254\).

Групираме: \((2{,}0746+1{,}9254)+(13{,}09-10{,}09)-7\).

Пресмятаме: \(4+3-7=0\).

Тъй като разликата между двете страни е \(0\), те са равни. Следователно равенството е вярно.\(\;\blacksquare\)

7

Като използвате, че ако \(\dfrac{a}{b}=1\) (при \(b\neq0\)), то \(a=b\), докажете, че \(\dfrac{(-3^3)^4\cdot125^6}{2^5\cdot15^6}=\dfrac{27^2\cdot25^6}{32}\).

▼

Решение

Ще покажем, че двете страни дават един и същ израз, т.е. частното им е \(1\).

Лява страна. Пресмятаме числителя: \((-3^3)^4=(-27)^4=3^{12}\) (четен показател → положителен знак); \(125^6=(5^3)^6=5^{18}\).

Пресмятаме знаменателя: \(2^5\cdot15^6=2^5\cdot(3\cdot5)^6=2^5\cdot3^6\cdot5^6\).

Частното: \(\dfrac{3^{12}\cdot5^{18}}{2^5\cdot3^6\cdot5^6}=\dfrac{3^{12-6}\cdot5^{18-6}}{2^5}=\dfrac{3^6\cdot5^{12}}{2^5}\).

Дясна страна. \(\dfrac{27^2\cdot25^6}{32}=\dfrac{(3^3)^2\cdot(5^2)^6}{2^5}=\dfrac{3^6\cdot5^{12}}{2^5}\).

Двете страни са равни на \(\dfrac{3^6\cdot5^{12}}{2^5}\), следователно равенството е вярно.\(\;\blacksquare\)

8

Нека \(a\) и \(b\) са числа и \(a=b\) е вярно равенство. Докажете, че тогава \(\dfrac{0{,}1a-1{,}6}{7}=\dfrac{0{,}1b-1{,}6}{7}\) също е вярно равенство.

▼

Решение

Известно е, че \(a=b\). Ще приложим поредица от свойства:

Стъпка 1. Умножаваме двете страни на \(a=b\) с \(0{,}1\): получаваме \(0{,}1a=0{,}1b\).

Стъпка 2. Изваждаме \(1{,}6\) от двете страни: \(0{,}1a-1{,}6=0{,}1b-1{,}6\).

Стъпка 3. Делим с \(7\) (или умножаваме с \(\dfrac{1}{7}\)): \(\dfrac{0{,}1a-1{,}6}{7}=\dfrac{0{,}1b-1{,}6}{7}\).

Получихме търсеното равенство.\(\;\blacksquare\)

9

Решете уравненията: а) \(4x+28=0\);   б) \(\dfrac{3}{11}x-1=0\);   в) \(-0{,}4x+1{,}44=0\).

▼

Решение

За уравнение от вида \(ax+b=0\) решението е \(x=-\dfrac{b}{a}\) (при \(a\neq0\)).

а) \(4x+28=0\Rightarrow 4x=-28\Rightarrow x=-7\).

Проверка: \(4\cdot(-7)+28=-28+28=0\). ✓

б) \(\dfrac{3}{11}x-1=0\Rightarrow \dfrac{3}{11}x=1\Rightarrow x=\dfrac{11}{3}\).

в) \(-0{,}4x+1{,}44=0\Rightarrow -0{,}4x=-1{,}44\Rightarrow x=\dfrac{1{,}44}{0{,}4}=3{,}6\).\(\;\blacksquare\)

10

Решете уравненията: а) \(-9x+5=-31\);   б) \(16-2x=18{,}4\);   в) \(4=-2+0{,}3x\).

▼

Решение

а) \(-9x+5=-31\Rightarrow -9x=-36\Rightarrow x=4\). Проверка: \(-9\cdot4+5=-36+5=-31\). ✓

б) \(16-2x=18{,}4\Rightarrow -2x=2{,}4\Rightarrow x=-1{,}2\).

в) \(4=-2+0{,}3x\Rightarrow 0{,}3x=6\Rightarrow x=20\).\(\;\blacksquare\)

11

Намерете корена на уравнението: а) \(8x-5x-3=6\);   б) \(-23x+7+25x=5\);   в) \(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{4}x=\dfrac{2}{3}\).

▼

Решение

а) Събираме членовете с \(x\): \(8x-5x=3x\). Уравнението става \(3x-3=6\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3\).

б) \(2x+7=5\Rightarrow 2x=-2\Rightarrow x=-1\).

в) Преди сбор намираме общ знаменател: \(\dfrac{4x}{12}-\dfrac{3x}{12}=\dfrac{x}{12}\). Значи уравнението става \(\dfrac{x}{12}=\dfrac{2}{3}\). Умножаваме с \(12\): \(x=\dfrac{2\cdot12}{3}=8\).\(\;\blacksquare\)

12

Решете уравнението: а) \(5(x-4)-3x=10\);   б) \(6y+3(y+1)=-12\);   в) \(7(x-4)-5(x+4)=0\).

▼

Решение

а) Разкриваме скобите: \(5x-20-3x=10\). Събираме: \(2x-20=10\Rightarrow 2x=30\Rightarrow x=15\).

б) \(6y+3y+3=-12\Rightarrow 9y=-15\Rightarrow y=-\dfrac{15}{9}=-\dfrac{5}{3}\).

в) \(7x-28-5x-20=0\Rightarrow 2x-48=0\Rightarrow x=24\).\(\;\blacksquare\)

13

Решете уравнението: а) \(8x-3=5x+6\);   б) \(5y-9=7y-13\);   в) \(x-7+8x=9x-3-4x\).

▼

Решение

Прехвърляме \(x\)-членовете в едната страна, числата — в другата.

а) \(8x-5x=6+3\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3\).

б) \(5y-7y=-13+9\Rightarrow -2y=-4\Rightarrow y=2\).

в) Събираме в лявата: \(9x-7\); в дясната \(5x-3\). Уравнението става \(9x-7=5x-3\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\).\(\;\blacksquare\)

14

Решете \(15(x+2)=6(2x+7)\).

▼

Решение

Разкриваме скобите:

\(15x+30=12x+42\).

Прехвърляме: \(15x-12x=42-30\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4\).

Проверка: \(15(4+2)=15\cdot6=90\); \(6(2\cdot4+7)=6\cdot15=90\). ✓\(\;\blacksquare\)

15

Намерете корена на уравнението: \(\dfrac{1}{3}(x+8)=\dfrac{1}{2}(2-x)\).

▼

Решение

Умножаваме двете страни с общия знаменател \(6\):

\(6\cdot\dfrac{1}{3}(x+8)=6\cdot\dfrac{1}{2}(2-x)\Rightarrow 2(x+8)=3(2-x)\).

Разкриваме скобите: \(2x+16=6-3x\).

\(2x+3x=6-16\Rightarrow 5x=-10\Rightarrow x=-2\).\(\;\blacksquare\)

16

Намерете корена на уравнението: \(\dfrac{1}{2}(5x-4)=\dfrac{1}{7}(16x+1)\).

▼

Решение

Умножаваме двете страни с \(14\) (общ знаменател):

\(14\cdot\dfrac{1}{2}(5x-4)=14\cdot\dfrac{1}{7}(16x+1)\Rightarrow 7(5x-4)=2(16x+1)\).

\(35x-28=32x+2\Rightarrow 3x=30\Rightarrow x=10\).\(\;\blacksquare\)

17

При коя стойност на \(x\) изразът \(3x+4\) е равен на \(10\)?

▼

Решение

Съставяме уравнение: \(3x+4=10\).

\(3x=6\Rightarrow x=2\).\(\;\blacksquare\)

18

При коя стойност на \(x\) изразът \(\dfrac{1}{3}x\) приема стойност с \(1\) по-голяма от стойността на израза \(\dfrac{1}{4}(2x+6)\)?

▼

Решение

Съставяме уравнение, което описва условието: „по-голяма с 1" означава, че разликата е \(1\):

\(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{4}(2x+6)=1\).

Умножаваме двете страни с \(12\):

\(4x-3(2x+6)=12\Rightarrow 4x-6x-18=12\Rightarrow -2x=30\Rightarrow x=-15\).

Проверка: \(\dfrac{1}{3}\cdot(-15)=-5\); \(\dfrac{1}{4}(2\cdot(-15)+6)=\dfrac{1}{4}\cdot(-24)=-6\). Разликата: \(-5-(-6)=1\). ✓\(\;\blacksquare\)

19

Числото \(-5\) корен ли е на уравнението \(4x+7=3x+2\)?

▼

Решение

Заместваме \(x=-5\) в уравнението и проверяваме двете страни.

Лява страна: \(4\cdot(-5)+7=-20+7=-13\).

Дясна страна: \(3\cdot(-5)+2=-15+2=-13\).

Двете страни са равни (\(-13=-13\)), следователно \(x=-5\) е корен на уравнението.\(\;\blacksquare\)

20

Намерете корена на уравнението: \(5(x-1)+x-3=5+3(x-2)\).

▼

Решение

Разкриваме скобите в двете страни:

Лява: \(5x-5+x-3=6x-8\). Дясна: \(5+3x-6=3x-1\).

Уравнението става \(6x-8=3x-1\Rightarrow 6x-3x=-1+8\Rightarrow 3x=7\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).\(\;\blacksquare\)

⭐ Задачи с повишена трудност

Задачи за доказателства и по-сложни уравнения.

21

Нека \(a\) и \(b\) са отрицателни числа, за които е вярно равенството \(|a|=|b|\). Докажете, че тогава \(a=b\) също е вярно равенство. ⭐ трудна

▼

Решение

По дефиниция за модул на отрицателно число: ако \(a\lt0\), то \(|a|=-a\); ако \(b\lt0\), то \(|b|=-b\).

Дадено е \(|a|=|b|\), т.е. \(-a=-b\).

Умножаваме двете страни с \(-1\): \((-1)\cdot(-a)=(-1)\cdot(-b)\), което дава \(a=b\).\(\;\blacksquare\)

Забележка: ако не е уточнено, че \(a\) и \(b\) са с еднакъв знак, от \(|a|=|b|\) следва само, че \(a=b\) или \(a=-b\).

22

Докажете, че равенството не е вярно за всяка стойност на \(a\) (т.е. не е тъждество): а) \(2(a+1)=2a+1\);   б) \(\dfrac{2a+5}{2}=a+5\). ⭐ трудна

▼

Решение

а) По разпределителното свойство: \(2(a+1)=2a+2\). Ако равенството \(2a+2=2a+1\) беше вярно за някое \(a\), то \(2=1\) — противоречие. Значи равенството не е тъждество (не е вярно за всяко \(a\)).

б) \(\dfrac{2a+5}{2}=\dfrac{2a}{2}+\dfrac{5}{2}=a+\dfrac{5}{2}\). Ако това беше равно на \(a+5\), то \(\dfrac{5}{2}=5\), което е невярно.\(\;\blacksquare\)

23

Решете уравнението \(\dfrac{6x+7}{7}-3=\dfrac{5x-3}{8}\). ⭐ трудна

▼

Решение

Умножаваме двете страни с общия знаменател \(56\) (\(56=7\cdot8\)):

\(56\cdot\dfrac{6x+7}{7}-56\cdot3=56\cdot\dfrac{5x-3}{8}\)

\(8(6x+7)-168=7(5x-3)\)

\(48x+56-168=35x-21\)

\(48x-112=35x-21\)

\(48x-35x=-21+112\Rightarrow 13x=91\Rightarrow x=7\).\(\;\blacksquare\)

24

Решете уравнението \(\dfrac{x+1}{4}-\dfrac{2x-1}{5}+\dfrac{3x+1}{2}=\dfrac{27x+19}{20}\). ⭐ трудна

▼

Решение

Общ знаменател на \(4,5,2,20\) е \(20\). Умножаваме всяка дроб:

\(\dfrac{5(x+1)}{20}-\dfrac{4(2x-1)}{20}+\dfrac{10(3x+1)}{20}=\dfrac{27x+19}{20}\).

Умножаваме двете страни с \(20\):

\(5(x+1)-4(2x-1)+10(3x+1)=27x+19\).

Разкриваме: \(5x+5-8x+4+30x+10=27x+19\).

Събираме: \(27x+19=27x+19\).

Получава се \(0=0\) — равенство, вярно за всяка стойност на \(x\). Значи уравнението има безброй много решения (всяко число е корен).\(\;\blacksquare\)

25

Намерете числото \(a=\dfrac{B}{C}\), където \(B=3^{16}+20\cdot3^{15}\) и \(C=|2^{24}-3^{16}|-|5^{10}-3^{15}|+16^6-25^5\). Проверете дали \(a\) е корен на уравнението \(0{,}6\cdot\left(\left(8\dfrac{1}{3}\right)x+4\dfrac{1}{6}\right)=4{,}5\cdot\left(\left(1\dfrac{1}{3}\right)x-2\right)\). ⭐ трудна

▼

Решение

Пресмятаме \(B\): \(B=3^{16}+20\cdot3^{15}=3^{15}(3+20)=3^{15}\cdot23\).

Пресмятаме \(C\):

\(2^{24}=(2^4)^6=16^6\); \(3^{16}=(3^{16})\). Сравняваме: \(2^{24}=16\,777\,216\), \(3^{16}=43\,046\,721\). Значи \(2^{24}\lt3^{16}\), откъдето \(|2^{24}-3^{16}|=3^{16}-2^{24}=3^{16}-16^6\).

\(5^{10}=9\,765\,625\), \(3^{15}=14\,348\,907\). Значи \(5^{10}\lt3^{15}\), откъдето \(|5^{10}-3^{15}|=3^{15}-5^{10}=3^{15}-25^5\) (тъй като \(25^5=(5^2)^5=5^{10}\)).

Заместваме в \(C\): \(C=(3^{16}-16^6)-(3^{15}-25^5)+16^6-25^5\).

Разкриваме: \(C=3^{16}-16^6-3^{15}+25^5+16^6-25^5=3^{16}-3^{15}\).

Изнасяме \(3^{15}\): \(C=3^{15}(3-1)=3^{15}\cdot2\).

Частното \(a\): \(a=\dfrac{B}{C}=\dfrac{3^{15}\cdot23}{3^{15}\cdot2}=\dfrac{23}{2}=11{,}5\).

Проверка в уравнението: превръщаме смесените дроби: \(8\dfrac{1}{3}=\dfrac{25}{3}\), \(4\dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{6}\), \(1\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\).

Уравнението: \(0{,}6\left(\dfrac{25}{3}x+\dfrac{25}{6}\right)=4{,}5\left(\dfrac{4}{3}x-2\right)\).

\(0{,}6\cdot\dfrac{25}{3}x+0{,}6\cdot\dfrac{25}{6}=4{,}5\cdot\dfrac{4}{3}x-9\).

\(5x+2{,}5=6x-9\Rightarrow -x=-11{,}5\Rightarrow x=11{,}5\).

Следователно \(a=11{,}5\) е корен на уравнението.\(\;\blacksquare\)

---

📝 Задачи за домашна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Проверете дали е вярно числовото равенство: а) \(2^3=6\);   б) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=1\);   в) \(4\cdot(7\cdot5)=7\cdot20\).
Отг.: а) \(2^3=8\neq6\) — невярно; б) \(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{6}\neq1\) — невярно; в) \(4\cdot35=140\), \(7\cdot20=140\) — вярно.

Задача 2Проверете вярно ли е равенството: а) \(21-4\cdot12=-27\);   б) \((-2)^3+(-2)^3=-2^4\).
Отг.: а) \(21-48=-27\) — вярно; б) \(-8-8=-16=-2^4\) — вярно.

Задача 3Дадено е, че ако \(a-b=0\), то \(a=b\). Докажете, че \(8\dfrac{19}{21}+1\dfrac{7}{13}-\dfrac{2}{7}=13\dfrac{13}{21}-3\dfrac{6}{13}\).
Отг.: Лява: \(9+\tfrac{19}{21}+\tfrac{7}{13}-\tfrac{2}{7}=9+\tfrac{13}{21}+\tfrac{7}{13}=9+\tfrac{169+147}{273}=9+\tfrac{316}{273}=10\tfrac{43}{273}\). Дясна: \(10+\tfrac{13}{21}-\tfrac{6}{13}=10+\tfrac{169-126}{273}=10\tfrac{43}{273}\). Разликата е \(0\), значи равенството е вярно.

Задача 4Дадено е \(a=b\). Запишете вярното равенство, което се получава: а) след прибавяне на \(5\) към двете страни;   б) след умножение с \(-3\).
Отг.: а) \(a+5=b+5\); б) \(-3a=-3b\).

Задача 5Докажете, че ако \(a=b\), то \(|a|=|b|\).
Отг.: Ако \(a=b\), то числата имат една и съща стойност, значи и еднакви абсолютни стойности: \(|a|=|b|\).

Задача 6Вярно ли е, че ако \(|a|=|b|\), то \(a=b\) (без допълнителни условия)?
Отг.: Не винаги. Например \(|3|=|-3|\), но \(3\neq-3\). От \(|a|=|b|\) следва \(a=b\) или \(a=-b\).

Задача 7Решете уравненията: а) \(4x+28=0\);   б) \(-9x+5=-31\);   в) \(16-2x=18{,}4\).
Отг.: а) \(x=-7\);   б) \(x=4\);   в) \(x=-1{,}2\).

Задача 8Решете уравненията: а) \(\dfrac{7}{8}x+0{,}2=2\dfrac{1}{5}\);   б) \(4=-2+0{,}3x\).
Отг.: а) \(\tfrac{7}{8}x=2\), \(x=\tfrac{16}{7}\);   б) \(0{,}3x=6\), \(x=20\).

Задача 9Решете уравненията: а) \(1{,}69x-2{,}9=-7{,}97\);   б) \(1{,}05-1{,}5x=-0{,}45\);   в) \(2{,}3=0{,}5x-3{,}2\).
Отг.: а) \(x=-3\);   б) \(x=1\);   в) \(x=11\).

Задача 10Решете: а) \(-0{,}52x+0{,}092=0{,}3\);   б) \(1{,}1=-1{,}9-0{,}6x\);   в) \(-7=1-\dfrac{2}{3}x\).
Отг.: а) \(x=-0{,}4\);   б) \(x=-5\);   в) \(x=12\).

Задача 11Намерете корена: а) \(8x-5x-3=6\);   б) \(-23x+7+25x=5\);   в) \(1{,}56x-2{,}8+0{,}34x=1\).
Отг.: а) \(3x=9\), \(x=3\);   б) \(2x=-2\), \(x=-1\);   в) \(1{,}9x=3{,}8\), \(x=2\).

Задача 12Решете: а) \(\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{5}x=2{,}1\);   б) \(-\dfrac{1}{6}x+1{,}2x+9=-22\).
Отг.: а) \(\tfrac{5-12}{20}x=\tfrac{-7}{20}x=2{,}1\); \(x=-6\). б) \(\tfrac{-1+7{,}2}{6}x=\tfrac{31}{30}x=-31\); \(x=-30\).

Задача 13Решете: а) \(5(x-4)-3x=10\);   б) \(4x-(10+x)=5\);   в) \(7(x-4)-5(x+4)=0\).
Отг.: а) \(2x-20=10\), \(x=15\);   б) \(3x=15\), \(x=5\);   в) \(2x-48=0\), \(x=24\).

Задача 14Решете: а) \(6y+3(y+1)=-12\);   б) \(7(y-4)-(y-3)=2\);   в) \(12-5(x+1)-3x+2x=7\).
Отг.: а) \(9y=-15\), \(y=-\tfrac{5}{3}\);   б) \(6y-25=2\), \(y=\tfrac{9}{2}\);   в) \(-6x+7=7\), \(x=0\).

Задача 15Решете уравнението: а) \(8x-3=5x+6\);   б) \(5y-9=7y-13\);   в) \(5-6x=9x-5\).
Отг.: а) \(3x=9\), \(x=3\);   б) \(-2y=-4\), \(y=2\);   в) \(-15x=-10\), \(x=\tfrac{2}{3}\).

Задача 16Решете: а) \(x-7+8x=9x-3-4x\);   б) \(0{,}75x-2x=9-0{,}5x+0{,}6x\).
Отг.: а) \(9x-7=5x-3\), \(x=1\);   б) \(-1{,}25x=9+0{,}1x\), \(-1{,}35x=9\), \(x=-\tfrac{20}{3}\).

Задача 17Решете: а) \(15(x+2)=6(2x+7)\);   б) \(8(9+2x)=5(2-3x)\).
Отг.: а) \(15x+30=12x+42\), \(x=4\);   б) \(72+16x=10-15x\), \(31x=-62\), \(x=-2\).

Задача 18Решете: а) \(10y+2(7y-2)=5(4y+3)+3y\);   б) \(8(3x-2)-13x=5(12-3x)+7x\).
Отг.: а) \(24y-4=23y+15\), \(y=19\);   б) \(11x-16=60-8x\), \(19x=76\), \(x=4\).

Задача 19Решете: а) \(\dfrac{1}{3}(x+8)=\dfrac{1}{2}(2-x)\);   б) \(\dfrac{1}{2}(5x-4)=\dfrac{1}{7}(16x+1)\).
Отг.: а) \(2(x+8)=3(2-x)\), \(5x=-10\), \(x=-2\);   б) \(7(5x-4)=2(16x+1)\), \(3x=30\), \(x=10\).

Задача 20Решете уравнението \(\dfrac{1}{4}(x+1)-2x=\dfrac{1}{2}(5-3x)-\left(x-\dfrac{1}{8}x+\dfrac{3}{8}\right)\).
Отг.: Умножаваме с \(8\): \(2(x+1)-16x=4(5-3x)-(8x-x+3)\); \(2x+2-16x=20-12x-7x-3\); \(-14x+2=-19x+17\); \(5x=15\), \(x=3\).

Задача 21Решете: а) \(\dfrac{3x}{5}=\dfrac{16-x}{3}\);   б) \(\dfrac{11x}{7}=\dfrac{2-x}{5}\).
Отг.: а) \(9x=5(16-x)=80-5x\), \(14x=80\), \(x=\tfrac{40}{7}\);   б) \(55x=7(2-x)=14-7x\), \(62x=14\), \(x=\tfrac{7}{31}\).

Задача 22Решете: \(\dfrac{6x+7}{7}-3=\dfrac{5x-3}{8}\).
Отг.: Умножаваме с \(56\): \(8(6x+7)-168=7(5x-3)\); \(48x+56-168=35x-21\); \(13x=91\), \(x=7\).

Задача 23Решете: \(3\left(\dfrac{1}{2}x-1\dfrac{1}{2}\right)+2\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=2\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(\tfrac{3}{2}x-\tfrac{9}{2}+\tfrac{1}{2}x+1=\tfrac{5}{2}\); \(2x-\tfrac{7}{2}=\tfrac{5}{2}\); \(2x=6\), \(x=3\).

Задача 24Решете: \(3x-5=10-x\) и направете проверка.
Отг.: \(4x=15\), \(x=\tfrac{15}{4}=3{,}75\). Проверка: \(3\cdot3{,}75-5=6{,}25\); \(10-3{,}75=6{,}25\). ✓

Задача 25При коя стойност на \(x\) изразът \(\dfrac{1}{4}x\) приема стойност с \(2\) по-малка от стойността на израза \(\dfrac{1}{2}(x-1)\)?
Отг.: \(\tfrac{1}{4}x=\tfrac{1}{2}(x-1)-2\); \(x=2(x-1)-8\); \(x=2x-10\); \(x=10\).

Задача 26Числото \(-2\) корен ли е на уравнението \(4x-4=x+5\)?
Отг.: Заместваме \(x=-2\): \(4\cdot(-2)-4=-12\); \(-2+5=3\). \(-12\neq3\) — не е корен.

Задача 27Намерете корена на уравнението \(26-4x=12x-7(x+4)\).
Отг.: \(26-4x=12x-7x-28=5x-28\); \(-9x=-54\), \(x=6\).

Задача 28Намерете корена на \(\dfrac{5}{8}(x-2)-\dfrac{2}{3}(x+2)=-1\).
Отг.: Умножаваме с \(24\): \(15(x-2)-16(x+2)=-24\); \(15x-30-16x-32=-24\); \(-x-62=-24\); \(x=-38\).

Задача 29Решете: \((777-570)x-207x=0\).
Отг.: \(207x-207x=0\), т.е. \(0\cdot x=0\) — вярно за всяко \(x\). Безброй много решения.

Задача 30Решете: \(0\cdot x=10\).
Отг.: За всяко \(x\), \(0\cdot x=0\neq10\). Уравнението няма решение.

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Числови равенства. Уравнение ax+b=0

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Кое от равенствата е вярно?

\(2^3=6\) \(8-13=5\) \((-3)^2=9\) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=1\)

2Кое равенство е НЕвярно?

\(12-7=5\) \(21-4\cdot12=-27\) \(-|-4|=-2^2\) \(\left(-2^2\right)^3=2^6\)

3Ако \(a=b\), то от свойствата на числовите равенства следва, че:

\(a+5=b-5\) \(a+5=b+5\) \(2a=3b\) \(|a|\neq|b|\)

4Корен на уравнението \(4x+28=0\) е:

\(x=7\) \(x=-7\) \(x=4\) \(x=-4\)

5Корен на уравнението \(-9x+5=-31\) е:

\(x=4\) \(x=-4\) \(x=3\) \(x=-3\)

6Корен на уравнението \(8x-5x-3=6\) е:

\(x=1\) \(x=2\) \(x=3\) \(x=9\)

7Корен на уравнението \(5(x-4)-3x=10\) е:

\(x=5\) \(x=-5\) \(x=15\) \(x=30\)

8Корен на уравнението \(8x-3=5x+6\) е:

\(x=-1\) \(x=1\) \(x=3\) \(x=-3\)

9Корен на \(\dfrac{1}{3}(x+8)=\dfrac{1}{2}(2-x)\) е:

\(x=2\) \(x=-2\) \(x=6\) \(x=-6\)

10При коя стойност на \(x\) изразът \(3x+4\) е равен на \(10\)?

\(x=1\) \(x=2\) \(x=3\) \(x=4\)

11Числото \(-5\) корен ли е на уравнението \(4x+7=3x+2\)?

Да, корен е Не, не е корен Не може да се определи Корен е само ако е положително

12Уравнението \(0\cdot x=10\):

има един корен има два корена няма решение има безброй много решения

13Уравнението \((777-570)x-207x=0\):

има един корен няма решение има безброй много решения има точно два корена

14Корен на уравнението \(15(x+2)=6(2x+7)\) е:

\(x=2\) \(x=3\) \(x=4\) \(x=5\)

15Корен на уравнението \(6y+3(y+1)=-12\) е:

\(y=-\dfrac{5}{3}\) \(y=\dfrac{5}{3}\) \(y=-1\) \(y=-5\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

10

Питагорова теорема

Приложения в правоъгълен триъгълник, Питагорови тройки, височина към хипотенузата, диагонал на правоъгълник — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

9

Декартова координатна система

Координати на точка, квадранти, симетрии, дължина и среда на отсечка, периметри и лица на фигури — 25 разработени задачи, 30 за домашна работа и онлайн тест.

Преглед на урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆