Неизвестен умалител – задачи и тест | 4. клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆

Математика › 4. клас › Урок 8 › Неизвестен умалител

Неизвестен умалител

Умаляемо − разлика · проверка на отговора · текстови задачи · 25 решени, 30 самостоятелни и 15 тестови задачи

4. клас Неизвестен компонент Изваждане Интерактивен тест

За учителя и родителя: Материалът е за работа на части, не за един учебен час. Ученикът трябва да познава компонентите на изваждането и подравняването по разреди. Правилото за неизвестен умалител е общо. В този урок намирането на търсения умалител и проверките чрез заместване са без преминаване. В диагностичните примери има и събиране с преминаване, но то показва неправилен избор на действие, а не метод за намиране на умалителя. Първо детето назовава неизвестния компонент, после избира действие и проверява с полученото число. Последните пет задачи във всяка от двете групи са с повишена трудност.

След урок №7 за изваждане на многоцифрени числа вече умеем да намираме разлика. Сега ще търсим самото число, което изваждаме. Началото е в изваждането без преминаване в 1. клас, двуцифрените числа във 2. клас и трицифрените числа в 3. клас. Ще свържем новото правило с неизвестното събираемо, неизвестното умаляемо и проверката чрез събиране от урок №6.

➖ 1. Кое число е неизвестният умалител?

В първите задачи за изваждане отнемахме част от едно количество. В равенството 17 − 5 = 12 числото 17 е умаляемо, 5 е умалител, а 12 е разлика. Умаляемото е числото, от което изваждаме; умалителят е числото, което изваждаме.

Ако скрием 5, получаваме 17 − □ = 12. Знаем първоначалното количество и колко е останало. Търсим колко е отнето — това е неизвестният умалител. Той стои след знака за изваждане, а не пред него.

Самостоятелното квадратче □ означава цяло неизвестно число, което може да има една или повече цифри или да бъде 0. В задачите за липсващи цифри условието изрично казва, че даден знак замества само една цифра.

Кое е известно: първоначалното количество, отнетото количество или остатъкът?

🧩 2. Правило за намиране на неизвестен умалител

За да намерим неизвестен умалител, от умаляемото изваждаме разликата. От цялото количество отделяме известната останала част; получаваме отнетата част.

При 78 − □ = 34 пресмятаме 78 − 34 = 44. Следователно □ = 44. Защо? Отнетото и останалото заедно са първоначалното: 44 + 34 = 78. Това използва връзката между действията от събирането и изваждането до 10 и идеята за неизвестно събираемо.

Запомни по смисъл, а не по разположението на числата: умаляемо − разлика = умалител. Правилото е общо. В този урок пресмятанията за правилното намиране на неизвестния умалител и проверките чрез заместване са без преминаване.

Обясни защо 44 е отнетата част, а не останалата.

✍️ 3. Три стъпки: разпознай, намери, провери

При 8 675 − □ = 3 241 първо назоваваме известните числа: умаляемо 8 675 и разлика 3 241. После намираме неизвестния умалител: □ = 8 675 − 3 241 = 5 434. Използваме познатото изваждане до 100 без преминаване и изваждане до 1000 без преминаване, но с повече разреди.

По колони: единици 5 − 1 = 4; десетици 7 − 4 = 3; стотици 6 − 2 = 4; хиляди 8 − 3 = 5. Записваме 5 434.

Накрая заместваме квадратчето в първоначалното равенство: 8 675 − 5 434 = 3 241. Получихме точно зададената разлика, затова намереното число е правилно.

Кое изваждане намира неизвестното число и кое проверява отговора?

🧱 4. Разреди и вътрешни нули

Използваме разредите на двуцифрените числа, разредното представяне до 1000 и класовете и разредите на многоцифрените числа. При писменото намиране на умалителя записваме дадената разлика под умаляемото: единици под единици и така нататък.

За 706 508 − □ = 203 104 получаваме □ = 706 508 − 203 104 = 503 404. В разредите на десетиците и десетките хиляди изваждаме 0 − 0 = 0. Нулите вътре в отговора не се пропускат.

Без преминаване означава, че при това пресмятане всяка цифра на умаляемото е не по-малка от съответната цифра на дадената разлика. Разлагането на многоцифрени числа обяснява защо изваждаме едноименни разредни части.

В кои разреди на намерения умалител има нули?

✅ 5. Два начина за проверка

В 97 684 − □ = 43 251 намираме □ = 97 684 − 43 251 = 54 433. Първата проверка е със заместване: 97 684 − 54 433 = 43 251. Така проверяваме самото условие.

Можем допълнително да съберем намерения умалител и дадената разлика: 54 433 + 43 251 = 97 684. Получаваме умаляемото. Припомни си събирането до 100, събирането до 1000 и събирането на многоцифрени числа от урок №6.

Не е достатъчно при проверката да получим произволно вярно равенство. То трябва да свързва точно числата от задачата. За отговора винаги посочваме търсения умалител, а не само резултата от проверката.

Кое число трябва да се получи при проверката чрез събиране?

🔄 6. Не бъркай неизвестното умаляемо и умалителя

От урока за неизвестно умаляемо знаем: когато липсва числото преди знака минус, събираме умалителя и разликата. При □ − 12 304 = 21 405 намираме □ = 12 304 + 21 405 = 33 709. Проверка: 33 709 − 12 304 = 21 405.

При 33 709 − △ = 21 405 липсва числото след знака минус. То е неизвестният умалител: △ = 33 709 − 21 405 = 12 304. Тук △ означава цяло неизвестно число.

И в двете задачи има изваждане, но търсим различен негов компонент. Затова първо назоваваме неизвестното, а след това избираме действието. Не използваме механично едно правило за всички квадратчета.

Защо в първата задача събираме, а във втората изваждаме?

📐 7. Неизвестното може да има по-малко цифри

За 78 569 − □ = 78 324 пресмятаме □ = 78 569 − 78 324 = 245. Първите два разреда дават нули. Не ги записваме пред отговора: неизвестното е 245, а не 00245.

При проверката записваме 245 вдясно под 78 569: единиците под единиците. Получаваме 78 569 − 245 = 78 324. Това е същото подравняване като при изваждането във 2. клас и изваждането в 3. клас.

Броят на цифрите в самостоятелно квадратче не е предварително определен. Не дописваме нули отдясно на намереното число, защото така променяме стойността му.

Къде ще запишеш цифрата 2 на числото 245 при проверката?

0️⃣ 8. Неизвестен умалител 0 или равен на умаляемото

При 60 420 − □ = 60 420 нищо не е отнето. По правилото □ = 60 420 − 60 420 = 0. Проверка: 60 420 − 0 = 60 420.

При 60 420 − △ = 0 е отнето цялото количество. Получаваме △ = 60 420 − 0 = 60 420. Проверка: 60 420 − 60 420 = 0. В тези два примера знаците означават цели неизвестни числа.

Тези случаи продължават свойствата на нулата от изваждането до 20 без преминаване. При неотрицателни числа остатъкът не може да е по-голям от първоначалното количество. Например 60 420 − □ = 70 420 няма решение с неотрицателен умалител.

Кога нищо не е отнето и кога е отнето всичко?

🧮 9. Първо пресметни известния израз

Понякога умаляемото е записано като сбор: (23 104 + 34 205) − □ = 21 304. Спазваме реда на действията: първо 23 104 + 34 205 = 57 309. После решаваме 57 309 − □ = 21 304 и получаваме □ = 57 309 − 21 304 = 36 005. Проверка: 57 309 − 36 005 = 21 304.

Може и дадената разлика да е израз: 86 975 − □ = 42 310 + 13 245. Първо намираме стойността вдясно: 42 310 + 13 245 = 55 555. След това □ = 86 975 − 55 555 = 31 420. Проверка: 86 975 − 31 420 = 55 555.

Не събираме всички числа, които виждаме, и не променяме знаците на части от равенството. Първо установяваме стойностите на известните компоненти, после прилагаме правилото за неизвестен умалител.

Кое действие трябва да извършиш преди намирането на квадратчето?

📝 10. Текстова задача с неизвестно отнето количество

Както при текстовите задачи с едно пресмятане, задачите с две пресмятания и задачите в права и косвена форма, първо определяме кое е известно и какво търсим. Думата „останали“ не означава непременно, че търсим разликата — тя може вече да е дадена.

В печатница имало 68 475 листа. След използване на част от тях останали 23 142 листа. Колко листа са използвани? Моделът е 68 475 − □ = 23 142. Намираме □ = 68 475 − 23 142 = 45 333. Проверка: 68 475 − 45 333 = 23 142. Използвани са 45 333 листа.

При дължини работим с еднакви мерни единици. Припомни си сантиметър, дециметър и метър и милиметър и километър. Когато неизвестното означава брой предмети или дължина, окончателният отговор назовава и съответните предмети или единици.

Кое число в задачата е умаляемото и кое е дадената разлика?

🔍 11. Откривай грешките чрез смисъл и проверка

При 54 876 − □ = 21 342 правилното действие е 54 876 − 21 342 = 33 534. Ако съберем известните числа, ще получим 76 218 — повече от първоначалното количество. Такова отнето количество не може да остави положителния остатък от условието.

Проверката е 54 876 − 33 534 = 21 342. Използвай сравняването на многоцифрени числа за първа преценка, но не разчитай само на нея: две близки числа могат да изглеждат правдоподобни, а само едното да удовлетворява равенството.

При едно и също начално количество по-големият остатък означава по-малко отнето количество. Връзката е полезна в задачите „с повече и с по-малко“. Винаги потвърждавай извода с конкретните числа.

Защо събирането на двете известни числа тук не намира умалителя?

🧠 12. Липсваща цифра и всички възможности

В 975 − □ = 4△2 квадратчето е цяло неизвестно число, а △ е една цифра. Ако изискваме изваждането да е без преминаване, цифрата △ на разликата в десетиците може да е само 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.

При △ = 0 неизвестният умалител е 975 − 402 = 573, а при △ = 7 е 975 − 472 = 503. Останалите допустими умалители са 563, 553, 543, 533, 523 и 513. Общо възможностите са осем; не всяко число между 503 и 573 е допустимо.

При съставна задача може първо да трябва да откриеш началното количество или междинен остатък. Ползвай познатите текстови задачи с три пресмятания, но обяснявай всяка стъпка. Когато се иска „всички“, провери всяка допустима цифра, а не само първия намерен пример.

Защо цифрите 8 и 9 не са допустими при поставеното условие?

---

✏️ Разработени задачи — 25 подробни решения

Прочети условието, опитай сам и тогава разгъни решението. При всяка задача първо назови неизвестното. Към условия №1 и №5 има видима схема без показан отговор. В задачите с цифри следвай точно значението на знаците, дадено в условието.

1

Намерете неизвестния умалител в 86 − □ = 32. Използвайте схемата и направете проверка.

▼

Схема към условието; отговорът не е показан.

Решение

Първоначално имаме 86, а след отнемането остават 32. Квадратчето показва отнетата част, а не остатъка.

За да намерим тази част, от цялото отделяме останалото: □ = 86 − 32 = 54. По разреди: 6 − 2 = 4 единици и 8 − 3 = 5 десетици.

Заместваме в първоначалното равенство: 86 − 54 = 32. Отнетото и останалото заедно са 54 + 32 = 86.

Отговор: Неизвестният умалител е 54.

2

Решете 7 986 − □ = 3 452 и проверете отговора.

▼

Решение

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 7 986 и разликата 3 452.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 7 986 − 3 452 = 4 534.

По разреди. единици: 6 − 2 = 4; десетици: 8 − 5 = 3; стотици: 9 − 4 = 5; хиляди: 7 − 3 = 4. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 7 986 − 4 534 = 3 452. Допълнително: 4 534 + 3 452 = 7 986. И двете проверки потвърждават отговора.

Отговор: □ = 4 534.

3

Намерете неизвестното число: 68 795 − □ = 24 352.

▼

Решение

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 68 795 и разликата 24 352.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 68 795 − 24 352 = 44 443.

По разреди. единици: 5 − 2 = 3; десетици: 9 − 5 = 4; стотици: 7 − 3 = 4; хиляди: 8 − 4 = 4; десетки хиляди: 6 − 2 = 4. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 68 795 − 44 443 = 24 352. Допълнително: 44 443 + 24 352 = 68 795. И двете проверки потвърждават отговора.

Отговор: □ = 44 443.

4

Умаляемото е 759 864, а разликата е 236 451. Запишете равенство и намерете умалителя.

▼

Решение

Записваме даденото чрез 759 864 − □ = 236 451.

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 759 864 и разликата 236 451.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 759 864 − 236 451 = 523 413.

По разреди. единици: 4 − 1 = 3; десетици: 6 − 5 = 1; стотици: 8 − 4 = 4; хиляди: 9 − 6 = 3; десетки хиляди: 5 − 3 = 2; стотици хиляди: 7 − 2 = 5. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 759 864 − 523 413 = 236 451. Допълнително: 523 413 + 236 451 = 759 864. И двете проверки потвърждават отговора.

Отговор: Умалителят е 523 413.

5

Решете 64 785 − □ = 64 320. Колко цифри има неизвестният умалител?

▼

Схема към условието; отговорът не е показан.

Решение

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 64 785 и разликата 64 320.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 64 785 − 64 320 = 465.

По разреди. единици: 5 − 0 = 5; десетици: 8 − 2 = 6; стотици: 7 − 3 = 4; хиляди: 4 − 4 = 0; десетки хиляди: 6 − 6 = 0. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 64 785 − 465 = 64 320. Допълнително: 465 + 64 320 = 64 785. И двете проверки потвърждават отговора.

Нулите в двата най-високи разреда не се изписват пред отговора. Получаваме трицифреното число 465, не петцифрено число с водещи нули.

Отговор: □ = 465; неизвестният умалител е трицифрен.

6

Намерете неизвестния умалител в 708 609 − □ = 204 305. Обяснете нулите в отговора.

▼

Решение

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 708 609 и разликата 204 305.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 708 609 − 204 305 = 504 304.

По разреди. единици: 9 − 5 = 4; десетици: 0 − 0 = 0; стотици: 6 − 3 = 3; хиляди: 8 − 4 = 4; десетки хиляди: 0 − 0 = 0; стотици хиляди: 7 − 2 = 5. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 708 609 − 504 304 = 204 305. Допълнително: 504 304 + 204 305 = 708 609. И двете проверки потвърждават отговора.

Цифрата 0 стои в разреда на десетките хиляди и в разреда на десетиците на умалителя. Тези вътрешни нули се запазват.

Отговор: □ = 504 304.

7

Намерете неизвестното число: 6 987 654 − □ = 2 345 123.

▼

Решение

Разпознаваме неизвестното. □ стои след знака минус и е умалителят. Дадени са умаляемото 6 987 654 и разликата 2 345 123.

Намираме. От умаляемото изваждаме дадената разлика: □ = 6 987 654 − 2 345 123 = 4 642 531.

По разреди. единици: 4 − 3 = 1; десетици: 5 − 2 = 3; стотици: 6 − 1 = 5; хиляди: 7 − 5 = 2; десетки хиляди: 8 − 4 = 4; стотици хиляди: 9 − 3 = 6; милиони: 6 − 2 = 4. Във всяка колона изваждането е без преминаване.

Проверяваме в условието. 6 987 654 − 4 642 531 = 2 345 123. Допълнително: 4 642 531 + 2 345 123 = 6 987 654. И двете проверки потвърждават отговора.

Отговор: □ = 4 642 531.

8

Решете устно 970 000 − □ = 420 000. Посочете какви разредни единици броите.

▼

Решение

Умаляемото е 970 000, а разликата е 420 000. Търсеният умалител е 970 000 − 420 000.

Броим десетки хиляди: 970 000 са 97 десетки хиляди, а 420 000 са 42 десетки хиляди. 97 − 42 = 55. Следователно търсим 55 десетки хиляди, тоест 550 000. Това продължава идеята от десетиците до 100.

Проверка: 970 000 − 550 000 = 420 000. Допълнително 550 000 + 420 000 = 970 000. Не бъркаме 55 десетки хиляди с 55 хиляди.

Отговор: □ = 550 000.

9

Решете 24 680 − □ = 24 680. Защо неизвестният умалител е точно определен?

▼

Решение

След изваждането числото не се е променило. Значи не е отнета нито една единица.

По правилото □ = 24 680 − 24 680 = 0. Проверка: 24 680 − 0 = 24 680.

При положителен умалител остатъкът би бил по-малък от 24 680. Следователно единственият неотрицателен умалител, който удовлетворява условието, е 0.

Отговор: □ = 0.

10

Кое число прави вярно равенството 53 142 − □ = 0? Обяснете.

▼

Решение

Разликата е 0: от първоначалното число е извадено цялото му количество.

Намираме □ = 53 142 − 0 = 53 142. Неизвестният умалител е равен на умаляемото.

Проверяваме: 53 142 − 53 142 = 0. Ако умалителят беше по-малък, щеше да остане положително количество.

Отговор: □ = 53 142.

11

Сравнете задачите □ − 23 104 = 34 205 и 57 309 − △ = 34 205. Двата знака означават цели неизвестни числа. Намерете ги и обяснете избраните действия.

▼

Решение

В първото равенство липсва умаляемото. По познатото правило от 3. клас събираме умалителя и разликата: □ = 23 104 + 34 205 = 57 309.

Във второто равенство липсва умалителят. Затова изваждаме разликата от умаляемото: △ = 57 309 − 34 205 = 23 104.

И двете проверки водят до вярното 57 309 − 23 104 = 34 205. Разликата между двата начина идва от мястото и ролята на неизвестното, а не от това, че и в двете условия има минус.

Отговор: □ = 57 309; △ = 23 104.

12

За 34 205 − □ = 23 104 ученик предлага □ = 57 309, защото е събрал двете известни числа. Вярно ли е? Намерете правилния отговор.

▼

Решение

Действително 34 205 + 23 104 = 57 309, но това не е правилното действие за неизвестен умалител. Предложеното число дори е по-голямо от умаляемото.

Търсим отнетата, а не първоначалната част. Пресмятаме □ = 34 205 − 23 104 = 11 101. По разреди: 5 − 4 = 1; 0 − 0 = 0; 2 − 1 = 1; 4 − 3 = 1; 3 − 2 = 1.

Проверка в условието: 34 205 − 11 101 = 23 104. Това възстановява точно дадената разлика.

Отговор: Предложението е неправилно; □ = 11 101.

13

Ученик е предложил □ = 53 313 за 87 965 − □ = 34 552. Проверете предложението и поправете грешката.

▼

Решение

Заместваме предложението: 87 965 − 53 313 = 34 652. Полученото число е със 100 по-голямо от зададеното 34 552, следователно предложението е неправилно.

Намираме умалителя по правилото: □ = 87 965 − 34 552 = 53 413. В разреда на стотиците трябва да извадим 9 − 5 = 4, а не да запишем 3.

Проверка: 87 965 − 53 413 = 34 552. Увеличихме умалителя със 100 и остатъкът намаля със 100.

Отговор: □ = 53 413; грешката е в цифрата на стотиците на предложения умалител.

14

В библиотека имало 48 756 книги. След като дали част от тях на читатели, на място останали 25 324 книги. Колко книги са дадени? Запишете равенство с неизвестен умалител.

▼

Решение

Първоначалният брой е известен, както и останалият. Търсим дадените книги. Подобно на текстовите задачи с едно пресмятане, първо свързваме числата със смисъла им.

Означаваме броя дадени книги с □. Моделът е 48 756 − □ = 25 324. Намираме □ = 48 756 − 25 324 = 23 432.

Проверка: 48 756 − 23 432 = 25 324. Или 23 432 + 25 324 = 48 756. Посочваме предметите в отговора: дадени са 23 432 книги.

Отговор: Дадени са 23 432 книги.

15

В склад имало 95 870 м кабел. След изпращане на част от него останали 43 250 м. Колко метра са изпратени? Изразете изпратената дължина и в километри и метри.

▼

Решение

Всички дадени дължини са в метри. Нека □ е числовата стойност на изпратената дължина в метри. Записваме 95 870 − □ = 43 250.

Намираме □ = 95 870 − 43 250 = 52 620. Проверка: 95 870 − 52 620 = 43 250. Следователно са изпратени 52 620 м.

От урока за километъра знаем, че 1 км = 1000 м. Затова 52 620 м = 52 км 620 м. Преобразуването не променя дължината.

Отговор: Изпратени са 52 620 м, тоест 52 км 620 м.

16

За поредица от събития отпечатали 67 895 билета. След продажбите останали 24 352 непродадени билета. Колко билета са продадени?

▼

Решение

Неизвестен е броят на продадените билети. Останалите 24 352 билета са дадената разлика, а не търсеният умалител.

Модел: 67 895 − □ = 24 352. По правилото □ = 67 895 − 24 352 = 43 543.

Проверка: 67 895 − 43 543 = 24 352; продадени и непродадени заедно: 43 543 + 24 352 = 67 895.

Отговор: Продадени са 43 543 билета.

17

В склад имало 78 965 тетрадки. Изпратили 12 340 на едно училище и неизвестен брой на друго. Накрая останали 34 215 тетрадки. Колко са изпратени на второто училище?

▼

Решение

Следваме модела на задачите с две пресмятания. Първо намираме колко тетрадки има преди втората пратка: 78 965 − 12 340 = 66 625.

Нека □ е втората пратка. Получаваме 66 625 − □ = 34 215, затова □ = 66 625 − 34 215 = 32 410.

Проверка на втората стъпка: 66 625 − 32 410 = 34 215. Проверка на целия разказ: 12 340 + 32 410 = 44 750 общо изпратени; 78 965 − 44 750 = 34 215. Не бъркаме втората пратка с общо изпратените тетрадки.

Отговор: На второто училище са изпратени 32 410 тетрадки.

18

В печатница получили 23 104 бели и 34 205 цветни листа. Използвали част от всички листа и останали общо 15 203 листа. Колко листа са използвани?

▼

Решение

Първо намираме цялото начално количество: 23 104 + 34 205 = 57 309 листа.

Неизвестното използвано количество е умалителят в 57 309 − □ = 15 203. Получаваме □ = 57 309 − 15 203 = 42 106.

Проверка: 57 309 − 42 106 = 15 203. Допълнително 42 106 + 15 203 = 57 309, колкото е сборът на двата получени вида листа. Не е нужно да знаем колко листа от всеки цвят са използвани поотделно, защото се търси общият брой.

Отговор: Използвани са общо 42 106 листа.

19

Решете 86 975 − □ = 52 430 + 13 245.

▼

Решение

Дадената разлика е записана като сбор. По реда на действията първо намираме стойността му: 52 430 + 13 245 = 65 675.

Сега решаваме 86 975 − □ = 65 675. Намираме □ = 86 975 − 65 675 = 21 300.

Проверка: 86 975 − 21 300 = 65 675, а вдясно 52 430 + 13 245 = 65 675. Двете страни на първоначалното равенство имат една и съща стойност.

Отговор: □ = 21 300.

20

В 68 795 − □ = 24 352 и 68 795 − △ = 24 552 двата знака означават цели неизвестни числа. Кое е по-голямо и с колко? Намерете и двете.

▼

Решение

Умаляемото е едно и също. Във второто равенство остават със 200 повече единици, затова вторият умалител трябва да е със 200 по-малък.

Пресмятаме: □ = 68 795 − 24 352 = 44 443 и △ = 68 795 − 24 552 = 44 243. Сравняваме 44 443 − 44 243 = 200.

Проверки: 68 795 − 44 443 = 24 352; 68 795 − 44 243 = 24 552. Изводът по смисъл и числовите сметки съвпадат.

Отговор: □ = 44 443; △ = 44 243; квадратчето е с 200 по-голямо.

21

В 78 665 − □ = 34 △52 □ е цяло число, а △ е една цифра. Изваждането трябва да е без преминаване. Намерете всички допустими цифри, броя на възможните умалители и най-малкия и най-големия от тях.★ Повишена трудност

▼

Решение

За да намерим □, изваждаме дадената разлика от 78 665. В стотиците сравняваме 6 и △. Затова △ може да е само 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. В останалите разреди ограниченията вече са изпълнени.

Проверяваме седемте случая: при разлики 34 052, 34 152, 34 252, 34 352, 34 452, 34 552 и 34 652 получаваме съответно умалители 44 613, 44 513, 44 413, 44 313, 44 213, 44 113 и 44 013.

Най-малката разлика дава най-големия умалител: 78 665 − 34 052 = 44 613. Най-голямата разлика дава най-малкия: 78 665 − 34 652 = 44 013.

Проверки на крайните случаи: 78 665 − 44 613 = 34 052 и 78 665 − 44 013 = 34 652. Други цифри не са допустими без преминаване; всеки от седемте случая дава различен умалител.

Отговор: Цифри 0–6; 7 различни умалителя. Най-малък 44 013, най-голям 44 613.

22

В 86 975 − 2△6□4 = 63 321 △ и □ са цифри, които може да са различни. Намерете ги и докажете, че попълването е единствено.★ Повишена трудност

▼

Решение

Първо намираме целия неизвестен умалител: 86 975 − 63 321 = 23 654. Съпоставяме го с шаблона 2△6□4.

В разреда на хилядите стои 3, следователно △ = 3. В разреда на десетиците стои 5, следователно □ = 5. Известните цифри 2, 6 и 4 също съвпадат.

Проверка: 86 975 − 23 654 = 63 321. При дадени умаляемо и разлика умалителят е точно определен. Затова друга двойка цифри не може да даде вярно равенство.

Отговор: △ = 3; □ = 5. Умалителят е 23 654.

23

В 58 642 − □ = 58 △△△ □ е трицифрено число, а трите знака △ означават една и съща цифра. Изваждането е без преминаване. Намерете всички възможни умалители и най-малкия от тях.★ Повишена трудност

▼

Решение

За да намерим умалителя, изваждаме числото 58 △△△ от 58 642. Една и съща цифра трябва да може да се извади от 6 стотици, 4 десетици и 2 единици. Най-строго е ограничението в единиците: △ е 0, 1 или 2.

При △ = 0: □ = 58 642 − 58 000 = 642. При △ = 1: □ = 58 642 − 58 111 = 531. При △ = 2: □ = 58 642 − 58 222 = 420. И трите умалителя са трицифрени.

Проверки: 58 642 − 642 = 58 000; 58 642 − 531 = 58 111; 58 642 − 420 = 58 222. Цифрите от 3 до 9 не позволяват изваждане без преминаване в единиците.

Отговор: Всички умалители са 642, 531 и 420. Най-малкият е 420.

24

Дадени са А: 97 865 − □ = 43 542, Б: 86 754 − □ = 32 431 и В: 75 643 − □ = 21 310. За кои двойки равенства в квадратчетата може да стои едно и също число? Проверете всички двойки.★ Повишена трудност

▼

Решение

Във всяко равенство намираме изисквания умалител поотделно. За А: 97 865 − 43 542 = 54 323. За Б: 86 754 − 32 431 = 54 323. За В: 75 643 − 21 310 = 54 333.

За двойката А и Б умалителите са еднакви. За А и В, както и за Б и В, те са различни. Разгледахме всичките три възможни двойки.

Проверки за общия умалител: 97 865 − 54 323 = 43 542; 86 754 − 54 323 = 32 431. В третото равенство с него получаваме 75 643 − 54 323 = 21 320, което не е даденото 21 310.

Отговор: Само А и Б имат един и същ умалител — 54 323.

25

В склад имало 875 864 части. Първо изпратили 123 210 части, а после неизвестен брой. Останали 321 4△2 части, където △ е цифра. И двете изваждания са без преминаване. Колко различни стойности може да има втората пратка? Намерете най-малката и най-голямата.★ Повишена трудност

▼

Решение

Първо намираме наличността преди втората пратка: 875 864 − 123 210 = 752 654. Нека □ е броят части във втората пратка. Тогава 752 654 − □ = 321 4△2.

Намираме □, като изваждаме остатъка от 752 654. В десетиците трябва да извадим △ от 5, затова допустимите цифри са 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Всички останали разреди позволяват изваждане без преминаване.

Шестте остатъка са 321 402, 321 412, 321 422, 321 432, 321 442 и 321 452. Съответните втори пратки са 431 252, 431 242, 431 232, 431 222, 431 212 и 431 202.

Най-малката пратка е 431 202, а най-голямата — 431 252. Проверки: 752 654 − 431 202 = 321 452 и 752 654 − 431 252 = 321 402. Не всички цели числа между крайните стойности са допустими — възможните пратки са точно шест.

Отговор: 6 възможности; най-малка втора пратка 431 202 части, най-голяма 431 252 части.

---

📝 Самостоятелна работа — 30 задачи

Решавай в тетрадката, преди да отвориш отговора. Записвай действие за намиране на неизвестното и проверка в първоначалното равенство. В текстовите задачи посочвай какво означава отговорът. Последните пет задачи са с повишена трудност.

Задача 1

Намерете неизвестния умалител в 97 − □ = 42 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 97 − 42 = 55. Проверка: 97 − 55 = 42.

Задача 2

Намерете неизвестния умалител в 864 − □ = 321 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 864 − 321 = 543. Проверка: 864 − 543 = 321.

Задача 3

Намерете неизвестния умалител в 9 865 − □ = 4 321 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 9 865 − 4 321 = 5 544. Проверка: 9 865 − 5 544 = 4 321.

Задача 4

Намерете неизвестния умалител в 57 986 − □ = 23 542 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 57 986 − 23 542 = 34 444. Проверка: 57 986 − 34 444 = 23 542.

Задача 5

Намерете неизвестния умалител в 864 975 − □ = 321 542 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 864 975 − 321 542 = 543 433. Проверка: 864 975 − 543 433 = 321 542.

Задача 6

Намерете неизвестния умалител в 508 609 − □ = 204 305 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 508 609 − 204 305 = 304 304. Проверка: 508 609 − 304 304 = 204 305. Вътрешните нули в 304 304 се запазват.

Задача 7

Решете 78 694 − □ = 78 241. Колко цифри има отговорът?

Покажи отговора

Отговор: □ = 78 694 − 78 241 = 453. Проверка: 78 694 − 453 = 78 241. Умалителят 453 има три цифри; не записваме водещи нули.

Задача 8

Намерете неизвестния умалител в 8 765 432 − □ = 3 241 021 и направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 8 765 432 − 3 241 021 = 5 524 411. Проверка: 8 765 432 − 5 524 411 = 3 241 021.

Задача 9

Решете устно 860 000 − □ = 320 000. Обяснете с десетки хиляди.

Покажи отговора

Отговор: □ = 860 000 − 320 000 = 540 000. Проверка: 860 000 − 540 000 = 320 000. Броим десетки хиляди: 86 − 32 = 54. Това са 54 десетки хиляди, тоест 540 000.

Задача 10

Решете 604 080 − □ = 604 080 и обяснете защо.

Покажи отговора

Отговор: □ = 604 080 − 604 080 = 0. Проверка: 604 080 − 0 = 604 080. Нищо не е отнето; умалителят е 0.

Задача 11

Намерете неизвестното в 38 250 − □ = 0.

Покажи отговора

Отговор: □ = 38 250 − 0 = 38 250. Проверка: 38 250 − 38 250 = 0. Отнето е цялото първоначално количество.

Задача 12

Намерете целите неизвестни числа в □ − 12 304 = 23 205 и 35 509 − △ = 23 205. Назовете неизвестния компонент във всяко равенство.

Покажи отговора

Отговор: В първото търсим умаляемо: □ = 12 304 + 23 205 = 35 509. Във второто търсим умалител: △ = 35 509 − 23 205 = 12 304. И двете проверки дават 35 509 − 12 304 = 23 205.

Задача 13

Решете 75 968 − □ = 51 425. Коя е цифрата на стотиците на неизвестния умалител?

Покажи отговора

Отговор: □ = 75 968 − 51 425 = 24 543. Проверка: 75 968 − 24 543 = 51 425. Умалителят е 24 543; цифрата на стотиците му е 5.

Задача 14

За 43 509 − □ = 21 304 ученик предлага □ = 64 813. Каква грешка е направил и кое число е правилното?

Покажи отговора

Отговор: Ученикът е събрал известните числа: 43 509 + 21 304 = 64 813. Трябва да извади разликата от умаляемото: □ = 43 509 − 21 304 = 22 205. Проверка: 43 509 − 22 205 = 21 304.

Задача 15

Проверете дали □ = 54 313 е решение на 86 754 − □ = 32 431. При нужда поправете умалителя.

Покажи отговора

Отговор: 86 754 − 54 313 = 32 441, а не 32 431. Правилно: □ = 86 754 − 32 431 = 54 323. Проверка: 86 754 − 54 323 = 32 431. Предложеният умалител трябва да се увеличи с 10.

Задача 16

В библиотечен фонд имало 64 875 книги. След прехвърляне на част от тях в друг фонд останали 23 542. Колко книги са прехвърлени? Запишете равенство.

Покажи отговора

Отговор: 64 875 − □ = 23 542; □ = 64 875 − 23 542 = 41 333. Проверка: 64 875 − 41 333 = 23 542. Прехвърлени са 41 333 книги.

Задача 17

От 78 950 м кабел останали 24 310 м. Колко метра са използвани? Изразете отговора и в километри и метри.

Покажи отговора

Отговор: 78 950 − □ = 24 310; □ = 78 950 − 24 310 = 54 640. Проверка: 78 950 − 54 640 = 24 310. Използвани са 54 640 м = 54 км 640 м.

Задача 18

Произведени са 97 865 детайла. След изпращане на част от тях останали 43 521. Колко детайла са изпратени?

Покажи отговора

Отговор: 97 865 − □ = 43 521; □ = 97 865 − 43 521 = 54 344. Проверка: 97 865 − 54 344 = 43 521. Изпратени са 54 344 детайла.

Задача 19

От 48 756 тетрадки първо изпратили 12 324, а после още неизвестен брой. Останали 21 210. Колко са изпратени втория път?

Покажи отговора

Отговор: След първата пратка: 48 756 − 12 324 = 36 432. После 36 432 − □ = 21 210, следователно □ = 36 432 − 21 210 = 15 222. Проверка: 36 432 − 15 222 = 21 210. Втората пратка е 15 222 тетрадки.

Задача 20

Решете (34 205 + 23 104) − □ = 12 203.

Покажи отговора

Отговор: Първо 34 205 + 23 104 = 57 309. После □ = 57 309 − 12 203 = 45 106. Проверка: 57 309 − 45 106 = 12 203.

Задача 21

Решете 97 865 − □ = 32 410 + 21 345.

Покажи отговора

Отговор: Дадената разлика е 32 410 + 21 345 = 53 755. Намираме □ = 97 865 − 53 755 = 44 110. Проверка: 97 865 − 44 110 = 53 755.

Задача 22

В 89 675 − □ = 34 251 и 89 675 − △ = 34 451 знаците са цели неизвестни числа. Кое е по-голямо и с колко?

Покажи отговора

Отговор: □ = 89 675 − 34 251 = 55 424; △ = 89 675 − 34 451 = 55 224. Квадратчето е с 55 424 − 55 224 = 200 по-голямо. Проверки: 89 675 − 55 424 = 34 251 и 89 675 − 55 224 = 34 451. При еднакво начално количество по-големият остатък означава по-малък умалител.

Задача 23

За три отделни изваждания са дадени: А: умаляемо 78 965, разлика 24 352; Б: умаляемо 67 854, разлика 23 421; В: умаляемо 56 743, разлика 12 310. Намерете трите умалителя. Кои са равни?

Покажи отговора

Отговор: А: 78 965 − 24 352 = 54 613; Б: 67 854 − 23 421 = 44 433; В: 56 743 − 12 310 = 44 433. Равни са умалителите в Б и В. Проверки: 78 965 − 54 613 = 24 352; 67 854 − 44 433 = 23 421; 56 743 − 44 433 = 12 310.

Задача 24

Кое от равенствата А: 70 805 − □ = 20 403 и Б: 70 805 − □ = 80 403 няма решение с неотрицателен умалител? Решете другото.

Покажи отговора

Отговор: Б няма такова решение: след изваждане на неотрицателно количество не може да остане повече от началното. За А: □ = 70 805 − 20 403 = 50 402. Проверка: 70 805 − 50 402 = 20 403.

Задача 25

„Намалих 67 895 с едно число и получих сбора на 12 340 и 21 425.“ Запишете равенство с неизвестен умалител и го намерете.

Покажи отговора

Отговор: 67 895 − □ = 12 340 + 21 425. Сборът вдясно е 33 765. Следователно □ = 67 895 − 33 765 = 34 130. Проверка: 67 895 − 34 130 = 33 765.

Задача 26 · Повишена трудност

★ В 98 765 − 4△3□2 = 55 423 △ и □ заместват цифри. Намерете ги, проверете равенството и обяснете защо няма друга двойка.

Покажи отговора

Отговор: Целият умалител е 98 765 − 55 423 = 43 342. Съпоставяме 4△3□2 с 43 342: △ = 3 и □ = 4. Проверка: 98 765 − 43 342 = 55 423. Умалителят е единствен при тези умаляемо и разлика, затова и попълването е единствено.

Задача 27 · Повишена трудност

★ В 69 753 − □ = 69 △△△ □ е трицифрено число, а △ е една и съща цифра на трите места. Изваждането е без преминаване. Намерете всички умалители, броя им и най-малкия.

Покажи отговора

Отговор: Цифрата △ не може да надвишава 3, защото в единиците на 69 753 стои 3. Допустими са 0, 1, 2, 3. Получаваме □ = 753, 642, 531, 420 съответно при разлики 69 000, 69 111, 69 222, 69 333. Четирите проверки са 69 753 − 753 = 69 000; 69 753 − 642 = 69 111; 69 753 − 531 = 69 222; 69 753 − 420 = 69 333. Има 4 възможности; най-малкият умалител е 420.

Задача 28 · Повишена трудност

★ Кои двойки равенства имат един и същ неизвестен умалител: А: 98 764 − □ = 43 421; Б: 87 653 − □ = 32 310; В: 76 542 − □ = 21 200? Проверете всички двойки.

Покажи отговора

Отговор: За А умалителят е 98 764 − 43 421 = 55 343; за Б е 87 653 − 32 310 = 55 343; за В е 76 542 − 21 200 = 55 342. Само А и Б имат общ умалител. А–В и Б–В са невъзможни двойки за едно и също число. Проверки: 98 764 − 55 343 = 43 421; 87 653 − 55 343 = 32 310; 76 542 − 55 342 = 21 200.

Задача 29 · Повишена трудност

★ В 84 675 − □ = 31 4△2 □ е цяло число, а △ е четна цифра. Изваждането е без преминаване. Намерете всички допустими умалители и най-малкия и най-големия.

Покажи отговора

Отговор: В десетиците △ трябва да е не по-голяма от 7. Четните допустими цифри са 0, 2, 4 и 6; 0 също е четна цифра. Получаваме умалители 53 273, 53 253, 53 233 и 53 213. Проверки: 84 675 − 53 273 = 31 402; 84 675 − 53 253 = 31 422; 84 675 − 53 233 = 31 442; 84 675 − 53 213 = 31 462. Има 4 възможности; най-малък 53 213, най-голям 53 273.

Задача 30 · Повишена трудност

★ В склад имало 987 865 части. След първа пратка от 123 210 и втора неизвестна пратка останали 432 △△5 части. Двата знака △ означават една и съща цифра, а изважданията са без преминаване. Намерете броя възможни втори пратки и най-малката и най-голямата.

Покажи отговора

Отговор: След първата пратка остават 987 865 − 123 210 = 864 655. Нека □ е втората: 864 655 − □ = 432 △△5. В стотиците △ не надвишава 6, а в десетиците — 5, затова допустими са 0–5. При остатъци 432 005, 432 115, 432 225, 432 335, 432 445, 432 555 пратките са съответно 432 650, 432 540, 432 430, 432 320, 432 210, 432 100. Има 6 възможности. Най-малката пратка е 432 100 части, най-голямата — 432 650 части. Проверки: 864 655 − 432 100 = 432 555 и 864 655 − 432 650 = 432 005.

---

✅ Онлайн тест — 15 въпроса

Избери по един отговор за всеки въпрос. Всеки верен отговор носи 4 точки, максимумът е 60 точки. След предаване изборите се заключват. Ако браузърът позволява съхранение, резултатът се възстановява при повторно отваряне.

Самооценка за това упражнение: 0–14 т. — Слаб (2); 15–29 т. — Среден (3); 30–39 т. — Добър (4); 40–49 т. — Много добър (5); 50–60 т. — Отличен (6). Това не е училищна оценка.

1В равенството 746 − □ = 321 кой компонент е неизвестен?

А. Разликата Б. Умаляемото В. Умалителят Г. Сборът

2Кое действие намира неизвестния умалител в 95 864 − □ = 42 331?

А. 95 864 − 42 331 Б. 95 864 + 42 331 В. 42 331 − 95 864 Г. 95 864 − 95 864

3Кое число прави вярно 876 − □ = 342?

А. 1 218 Б. 524 В. 544 Г. 534

4Намерете □ в 64 795 − □ = 21 342.

А. 43 353 Б. 43 453 В. 43 543 Г. 86 137

5Намерете неизвестното число в 506 708 − □ = 204 305.

А. 30 243 Б. 710 013 В. 302 403 Г. 302 503

6Колко е неизвестният умалител в 78 495 − □ = 78 120?

А. 375 Б. 3 750 В. 78 120 Г. 156 615

7Решете 24 350 − □ = 24 350.

А. 24 350 Б. 0 В. 1 Г. 48 700

8Кое число стои в 53 140 − □ = 0?

А. 0 Б. 5 314 В. 1 Г. 53 140

9За 67 645 − □ = 43 432 е намерено □ = 24 213. Кой запис е проверка чрез заместване в първоначалното равенство?

А. 67 645 − 0 = 67 645 Б. 67 645 − 43 432 = 24 213 В. 67 645 − 24 213 = 43 432 Г. 43 432 + 10 000 = 53 432

10В склад имало 65 875 детайла, а след изпращане на част от тях останали 23 542. Кое равенство намира изпратените детайли □?

А. 65 875 − □ = 23 542 Б. □ − 65 875 = 23 542 В. 23 542 − □ = 65 875 Г. 65 875 + □ = 23 542

11Решете 84 675 − □ = 31 420 + 12 205.

А. 53 255 Б. 43 625 В. 72 470 Г. 41 050

12За 97 865 − □ = 54 542 ученик предлага □ = 43 313. Как трябва да промени предложението, за да стане вярно равенството?

А. Да го увеличи със 100 Б. Да го увеличи с 10 В. Да го намали с 10 Г. Да го намали със 100

13Коя е цифрата на стотиците на неизвестния умалител в 87 695 − □ = 32 451?

А. 2 Б. 5 В. 4 Г. 7

14Защо 57 432 − □ = 58 432 няма решение с неотрицателен умалител?

А. Защото числата имат еднакъв брой цифри Б. Защото умалителят не може да е 0 В. Защото разликата е по-голяма от умаляемото Г. Защото умаляемото трябва да е четно

15В 76 653 − □ = 32 5△1 □ е цяло число, а △ е нечетна цифра. Изваждането е без преминаване. Кои са всички допустими цифри за △?

А. 1 и 3 Б. 1, 3, 5, 7 и 9 В. 0, 2 и 4 Г. 1, 3 и 5

---

🎥 Видеоуроци

🎥

Още видеа по математика

Разгледайте видеоуроци и решения по математика в канала.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

3. кл.

Неизвестно умаляемо

Сравни двете правила: кое число липсва и как избираш правилното действие?

Към урока →

4. кл.

Събиране на многоцифрени числа без преминаване

Провери, че намереният умалител и дадената разлика възстановяват умаляемото.

Към урока →

Още полезни теми за преговор: събиране и изваждане до 10, едноцифрени и двуцифрени числа, изваждане до 20 без преминаване, текстови задачи с едно пресмятане, с повече и с по-малко, десетиците до 100, неизвестно събираемо, изваждане до 100 без преминаване, текстови задачи с две пресмятания, четни и нечетни числа, разредно представяне до 1000, изваждане до 1000 без преминаване, ред на действията, текстови задачи в права и косвена форма, разлагане на многоцифрени числа.

---

📚 Учебни ресурси и методически ориентири

Следните страници са допълнителни учебни и методически ресурси. Условията, решенията и схемите в този урок са съставени за настоящата тема.

1. МОН — учебни програми за IV клас. Официална страница с учебни програми.
2. Клет — книги за учителя. Допълнителни методически ресурси за началния етап.
3. „Просвета“ — математика за 4. клас. Издателски каталог с учебни ресурси.
4. РИВА — електронен учебник по математика за 4. клас. Съдържанието включва тема „Намиране на неизвестен умалител“.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 4. клас
• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

• ›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
• ›Индивидуална работа според пропуските на ученика
• ›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.