Изваждане на многоцифрени числа без преминаване – задачи и тест | 4. клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 4. клас › Урок 7 › Изваждане на многоцифрени числа без преминаване

Изваждане на многоцифрени числа без преминаване

Умаляемо, умалител и разлика · писмено и устно изваждане · 25 решени, 30 самостоятелни и 15 тестови задачи

4. класИзважданеБез преминаванеИнтерактивен тест

За учителя и родителя: Ученикът трябва да разпознава разредите на многоцифрените числа и да изважда до 1000 без преминаване. Урокът е за работа на части, а не за решаване на всички задачи в един учебен час. Разглеждаме само случаи без преминаване; при въпросите за откриване на грешка може да има умишлено неправилен запис. Не въвеждаме алгоритъма с преминаване или правилото за неизвестен умалител.

В урок №6 събирахме многоцифрени числа без преминаване. Сега ще използваме разредите, за да изваждаме и да проверяваме отговора чрез събиране. Началото е познато от 1. клас, 2. клас и 3. клас; новото е, че работим с повече разреди и с по-разнообразни задачи.

➖ 1. Умаляемо, умалител и разлика

В първите задачи за изваждане в 1. клас отнемахме част от едно количество. Използваме изваждане и когато търсим с колко едно количество е по-голямо от друго, както в задачите „С повече и с по-малко“.

Умаляемо е числото, от което изваждаме. Умалител е числото, което изваждаме. Разлика е резултатът. При 8 764 − 3 241 = 5 523 умаляемото е 8 764, умалителят е 3 241, а разликата е 5 523. В този урок умаляемото е по-голямо или равно на умалителя. Работим с цели количества, включително 0.

Редът има значение: изваждаме умалителя от умаляемото, а не разменяме двете числа.

Назови трите числа в равенството с математическите им названия.

🔢 2. Кога изваждането е без преминаване?

Припомни си изваждането до 20 без преминаване, изваждането до 100 без преминаване и изваждането до 1000 без преминаване. Принципът е същият и при многоцифрени числа.

Изваждаме без преминаване, когато във всеки разред цифрата на умаляемото е по-голяма или равна на цифрата на умалителя. Не се налага да заменяме единица от по-висок разред с десет единици от следващия по-нисък разред. За разредите, които липсват в по-краткия запис, мислено приемаме цифра 0.

При 7 896 − 2 453 проверяваме: 6 ≥ 3, 9 ≥ 5, 8 ≥ 4 и 7 ≥ 2. Всички колони позволяват изваждане без преминаване. Само това, че първото число е по-голямо, не е достатъчно: трябва да проверим всеки разред.

Защо е нужно да сравним цифрите във всяка колона, а не само целите числа?

🧱 3. Разредите определят мястото на цифрите

От едноцифрените и двуцифрените числа, разредите на числата до 1000 и класовете и разредите в 4. клас знаем, че стойността на цифрата зависи от мястото ѝ.

Записваме умалителя под умаляемото: единици под единици, десетици под десетици, стотици под стотици и така нататък. Изваждаме единици от същия разред. Например в 76 895 − 24 312 цифрите 6 и 4 означават хиляди, а цифрите 8 и 3 — стотици.

Разделянето на числото на групи по три цифри улеснява четенето, но празното място между класовете не е разред и не замества цифра.

Посочи колоната на хилядите и колоната на стотиците.

✍️ 4. Писмен алгоритъм: подреди, извади, провери

Първо подреждаме числата по разреди. После започваме от единиците и продължаваме наляво. Накрая прочитаме разликата и проверяваме чрез събиране.

За 86 975 − 23 142: единици 5 − 2 = 3; десетици 7 − 4 = 3; стотици 9 − 1 = 8; хиляди 6 − 3 = 3; десетки хиляди 8 − 2 = 6. Получаваме 63 833. Проверка: 63 833 + 23 142 = 86 975.

Проверката използва събирането на многоцифрени числа без преминаване от урок №6. Тя трябва да възстанови точно умаляемото, а не просто да даде „голямо число“.

Кое число трябва да получим при проверката със събиране?

📐 5. Числа с различен брой цифри

Правилото за подреждане от 2. клас и 3. клас не се променя. Най-десните цифри трябва да са една под друга.

При 68 749 − 5 426 цифрата 5 на умалителя е в разреда на хилядите и стои под 8, а не под 6. В разреда на десетките хиляди умалителят има 0 единици от този разред, макар да не пишем водеща нула. Получаваме 68 749 − 5 426 = 63 323.

Не дописвай нули отдясно на по-краткото число, за да „изравниш дължината“: така променяш стойността му.

Под коя цифра на умаляемото стои цифрата 4 на умалителя и защо?

0️⃣ 6. Нули в числата и в разликата

В записа на число нулата показва липса на единици в съответния разред. При 705 608 − 204 305 = 501 303 изваждаме 0 − 0 = 0 и в разреда на десетките хиляди, и в разреда на десетиците. Тези вътрешни нули се запазват в резултата.

Ако най-високите разреди дадат нули, не ги пишем пред окончателния резултат. Например 64 785 − 64 720 = 65, а не 00065. Но нула вътре в число или в края му не може да се изтрие произволно.

Изваждането на 0 не променя числото: 704 090 − 0 = 704 090. При изваждане на едно число от самото него получаваме 0: 704 090 − 704 090 = 0.

В кои два разреда на тази разлика цифрата е 0?

🧩 7. Изваждане чрез разлагане

Можем да обясним писмения алгоритъм чрез разлагане на многоцифрено число и разредно представяне.

За 57 486 − 23 154 изваждаме едноименните разредни части: (50 000 − 20 000) + (7 000 − 3 000) + (400 − 100) + (80 − 50) + (6 − 4). Получаваме 30 000 + 4 000 + 300 + 30 + 2 = 34 332.

Във всяка от скобите първата разредна част е не по-малка от втората. Именно затова в този пример не е нужно преминаване. Не изваждаме стотици от хиляди или единици от десетици.

Коя разредна част на разликата получаваме от 80 − 50?

🧮 8. Устно изваждане на кръгли числа

При десетиците до 100 пресмятаме с цели десетици. По подобен начин можем да броим цели хиляди или десетки хиляди.

При 980 000 − 450 000 броим десетки хиляди: 980 000 са 98 десетки хиляди, а 450 000 са 45 десетки хиляди. 98 − 45 = 53, следователно разликата е 53 десетки хиляди, тоест 530 000.

Посочвай какви единици броиш. Тук 53 означава 53 десетки хиляди, а не 53 хиляди. Можеш да провериш и по цифри: 8 − 5 = 3 в десетките хиляди и 9 − 4 = 5 в стотиците хиляди.

Какъв вид разредни единици броим с числата 98, 45 и 53?

✅ 9. Проверка чрез събиране

Умалител + разлика = умаляемо. Ако сме получили 57 486 − 23 154 = 34 332, проверката е 23 154 + 34 332 = 57 486.

Използваме връзката между действията от събиране и изваждане до 10, събиране до 100 без преминаване, събиране до 1000 без преминаване и новия урок за многоцифрени числа.

Познатото неизвестно умаляемо от 3. клас също се намира чрез събиране. При □ − 24 130 = 35 642 получаваме □ = 24 130 + 35 642 = 59 772. След това проверяваме: 59 772 − 24 130 = 35 642.

Кое събираемо е умалителят и кое е намерената разлика?

🔍 10. Сравняване и откриване на грешки

Използвай сравняването на многоцифрени числа, но проверявай и отделните разреди. При 67 895 − 24 352 верният резултат е 43 543. Записът 43 443 е грешен: в стотиците 8 − 3 = 5, а не 4.

Не сменяй реда на цифрите в отделни колони, за да извадиш „по-малката от по-голямата“. Винаги следваме едно и също действие: цифрата на умаляемото минус цифрата на умалителя. Когато някъде горната цифра е по-малка, случаят не е без преминаване.

Както в задачите „с повече“ и „с по-малко“, разликата показва разстоянието между две количества. При едно и също умаляемо по-големият умалител оставя по-малка разлика.

Как ще потвърдиш верния резултат със събиране?

➖ 11. Последователно изваждане на две числа

При израз без скоби с няколко събирания и изваждания следваме реда на действията от 3. клас: пресмятаме отляво надясно.

За 86 975 − 23 140 − 12 305 първо намираме 86 975 − 23 140 = 63 835. После 63 835 − 12 305 = 51 530. Проверяваме дали всяко от двете изваждания е без преминаване.

В този пример можем първо да съберем двете отнемани количества: 23 140 + 12 305 = 35 445. Тогава 86 975 − 35 445 = 51 530. Това е изваждане на сбора на двете количества. Не заменяме израза с 86 975 − (23 140 − 12 305): той описва друго действие.

Този начин помага и при текстови задачи с две пресмятания.

Защо събираме двете отнемани количества, когато ги изваждаме наведнъж?

🧠 12. Текстови задачи и задачи за разсъждение

Припомни си текстовите задачи с едно пресмятане, задачите с две пресмятания и задачите в права и косвена форма. Първо установи какво е дадено и какво се търси. Не избирай действие само по отделна дума.

Ако в библиотека има 48 756 книги и 12 324 са дадени на читатели, изваждаме, за да намерим останалите: 48 756 − 12 324 = 36 432 книги. Ако сравняваме две количества, изваждаме по-малкото от по-голямото, за да намерим с колко се различават.

При дължини използваме еднакви мерни единици. Припомни си сантиметър, дециметър и метър и милиметър и километър. При липсваща цифра проверявай всеки допустим избор от 0 до 9. При най-голяма или най-малка стойност обясни защо никой друг допустим избор не е по-добър.

Какво означава разликата в тази задача? Отговори с мерната единица.

---

✏️ Разработени задачи — 25 подробни решения

Прочети условието и опитай сам. След това разгъни решението и провери всяка стъпка. Чертежите към условия №1 и №5 се виждат преди отваряне на решението. Последните пет задачи са с повишена трудност.

1

Пресметнете 8 764 − 3 241. Обяснете изваждането във всеки разред и проверете резултата.

▼

Празните полета са за цифрите на крайния отговор.

Решение

Подреждане. Записваме умалителя под умаляемото, така че цифрите на едноименните разреди да са една под друга. Проверяваме, че във всяка колона горната цифра е не по-малка от долната.

Пресмятане. единици: 4 − 1 = 3; десетици: 6 − 4 = 2; стотици: 7 − 2 = 5; хиляди: 8 − 3 = 5.

Проверка. 5 523 + 3 241 = 8 764. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 5 523.

2

Намерете разликата на 76 895 и 24 312. Назовете умаляемото и умалителя.

▼

Решение

Подреждане. Записваме умалителя под умаляемото, така че цифрите на едноименните разреди да са една под друга. Проверяваме, че във всяка колона горната цифра е не по-малка от долната.

Пресмятане. единици: 5 − 2 = 3; десетици: 9 − 1 = 8; стотици: 8 − 3 = 5; хиляди: 6 − 4 = 2; десетки хиляди: 7 − 2 = 5.

Названия. 76 895 е умаляемото, 24 312 е умалителят, а 52 583 е разликата.

Проверка. 52 583 + 24 312 = 76 895. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 52 583.

3

Пресметнете 95 076 − 42 035. Обяснете защо в разликата има вътрешна нула.

▼

Решение

Подреждане. Записваме умалителя под умаляемото, така че цифрите на едноименните разреди да са една под друга. Проверяваме, че във всяка колона горната цифра е не по-малка от долната.

Пресмятане. единици: 6 − 5 = 1; десетици: 7 − 3 = 4; стотици: 0 − 0 = 0; хиляди: 5 − 2 = 3; десетки хиляди: 9 − 4 = 5.

В разреда на стотиците изваждаме 0 − 0 = 0. Записваме тази нула между хилядите и десетиците: 53 041, а не 5 341.

Проверка. 53 041 + 42 035 = 95 076. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 53 041.

4

Пресметнете писмено 864 975 − 321 453.

▼

Решение

Подреждане. Записваме умалителя под умаляемото, така че цифрите на едноименните разреди да са една под друга. Проверяваме, че във всяка колона горната цифра е не по-малка от долната.

Пресмятане. единици: 5 − 3 = 2; десетици: 7 − 5 = 2; стотици: 9 − 4 = 5; хиляди: 4 − 1 = 3; десетки хиляди: 6 − 2 = 4; стотици хиляди: 8 − 3 = 5.

Проверка. 543 522 + 321 453 = 864 975. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 543 522.

5

Пресметнете 68 749 − 5 426, като подредите правилно числата с различен брой цифри.

▼

Празните полета са за цифрите на крайния отговор.

Решение

Подреждане. 5 426 има четири цифри. Цифрата 5 е в разреда на хилядите и се записва под 8. В разреда на десетките хиляди мислено изваждаме 0 от 6; не преместваме умалителя наляво.

Пресмятане. единици: 9 − 6 = 3; десетици: 4 − 2 = 2; стотици: 7 − 4 = 3; хиляди: 8 − 5 = 3; десетки хиляди: 6 − 0 = 6.

Проверка. 63 323 + 5 426 = 68 749. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 63 323.

6

Пресметнете 705 608 − 204 305. В кои разреди на разликата цифрата е 0?

▼

Решение

Подреждане. Записваме умалителя под умаляемото, така че цифрите на едноименните разреди да са една под друга. Проверяваме, че във всяка колона горната цифра е не по-малка от долната.

Пресмятане. единици: 8 − 5 = 3; десетици: 0 − 0 = 0; стотици: 6 − 3 = 3; хиляди: 5 − 4 = 1; десетки хиляди: 0 − 0 = 0; стотици хиляди: 7 − 2 = 5.

В разликата 501 303 цифрата на десетките хиляди е 0 и цифрата на десетиците е 0. Това са два конкретни разреда, а не твърдение, че в цялото число няма цели десетици.

Проверка. 501 303 + 204 305 = 705 608. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 501 303.

7

Намерете устно 980 000 − 450 000, като кажете какви разредни единици броите.

▼

Решение

980 000 са 98 десетки хиляди, а 450 000 са 45 десетки хиляди. Изваждаме еднакъв вид разредни единици.

98 − 45 = 53. Следователно остават 53 десетки хиляди, тоест 530 000. Последните четири разреда са нули, защото в тях изваждаме 0 − 0.

Проверка: 530 000 + 450 000 = 980 000. Тук не наричаме числото 53 „53 хиляди“ — броим десетки хиляди.

Отговор: 530 000.

8

Пресметнете 5 987 643 − 2 341 521.

▼

Решение

Подреждане. Подреждаме седемте разреда, включително единиците от класа на милионите. Разделителните интервали между класовете не са места за цифри.

Пресмятане. единици: 3 − 1 = 2; десетици: 4 − 2 = 2; стотици: 6 − 5 = 1; хиляди: 7 − 1 = 6; десетки хиляди: 8 − 4 = 4; стотици хиляди: 9 − 3 = 6; милиони: 5 − 2 = 3.

Проверка. 3 646 122 + 2 341 521 = 5 987 643. Получихме отново умаляемото, затова изваждането е вярно.

Отговор: 3 646 122.

9

Пресметнете 64 785 − 64 720. Защо окончателният резултат е двуцифрен?

▼

Решение

Подреждаме двете петцифрени числа по разреди. Изваждаме: единици: 5 − 0 = 5; десетици: 8 − 2 = 6; стотици: 7 − 7 = 0; хиляди: 4 − 4 = 0; десетки хиляди: 6 − 6 = 0.

В трите най-високи разреда получаваме нули, а в десетиците и единиците — 6 и 5. Не записваме водещите нули. Окончателната разлика е 65.

Проверка: 64 720 + 65 = 64 785. Числото 65 се подравнява вдясно при проверката.

Отговор: 65; нулите пред първата ненулева цифра не се записват.

10

Пресметнете 704 090 − 0 и 704 090 − 704 090. Обяснете разликата между двата случая.

▼

Решение

При 704 090 − 0 не отнемаме нищо. Във всеки разред изваждаме 0 и цифрите остават същите. Резултатът е 704 090.

При 704 090 − 704 090 отнемаме цялото количество. Във всяка колона изваждаме равни цифри и получаваме 0. Крайният резултат е едно число 0, а не запис от много нули.

Проверки: 0 + 704 090 = 704 090 и 704 090 + 0 = 704 090. И в двата случая се възстановява умаляемото.

Отговор: 704 090 − 0 = 704 090; 704 090 − 704 090 = 0.

11

Намерете неизвестното умаляемо: □ − 24 130 = 35 642. Направете проверка.

▼

Решение

Търсим числото, от което е извадено 24 130. Припомняме правилото за неизвестно умаляемо: то е равно на сбора на умалителя и разликата.

□ = 24 130 + 35 642 = 59 772. Събираме по разреди без преминаване: 0 + 2 = 2; 3 + 4 = 7; 1 + 6 = 7; 4 + 5 = 9; 2 + 3 = 5.

Проверка в първоначалното равенство: 59 772 − 24 130 = 35 642. Получава се точно дадената разлика.

Отговор: □ = 59 772.

12

Сравнете A = 78 654 − 23 142 и B = 78 654 − 23 152. Коя разлика е по-голяма и с колко?

▼

Решение

Първата разлика е A = 78 654 − 23 142 = 55 512. Втората е B = 78 654 − 23 152 = 55 502. И двете изваждания са без преминаване.

55 512 − 55 502 = 10. Следователно A е по-голяма от B с 10 единици, тоест с една десетица.

Можем да обясним и без две пълни пресмятания: умаляемото е едно и също, а вторият умалител е с 10 по-голям. Отнемаме с 10 повече, затова остават с 10 по-малко.

Отговор: A = 55 512, B = 55 502; A е с 10 по-голяма.

13

Попълнете липсващата цифра: 6□ 785 − 23 452 = 43 333. Обяснете защо тя е единствена.

▼

Решение

Квадратчето е в разреда на хилядите. В този разред трябва да получим □ − 3 = 3. Единствената цифра, от която изваждаме 3 и получаваме 3, е 6.

Проверяваме и останалите разреди: десетки хиляди 6 − 2 = 4; стотици 7 − 4 = 3; десетици 8 − 5 = 3; единици 5 − 2 = 3.

Получаваме 66 785 − 23 452 = 43 333. Проверка със събиране: 43 333 + 23 452 = 66 785. Никоя друга цифра в хилядите не би дала 3 в разликата.

Отговор: □ = 6; умаляемото е 66 785.

14

В градска библиотека има 48 756 книги. От тях 12 324 са дадени на читатели. Колко книги остават в библиотеката?

▼

Решение

Общото количество е 48 756 книги, а 12 324 от тях временно са извън библиотеката. Търсим останалата част, както в текстовите задачи с едно пресмятане.

Избираме изваждане: 48 756 − 12 324 = 36 432. По разреди: единици: 6 − 4 = 2; десетици: 5 − 2 = 3; стотици: 7 − 3 = 4; хиляди: 8 − 2 = 6; десетки хиляди: 4 − 1 = 3.

Проверка: 36 432 + 12 324 = 48 756. Останалите книги плюс дадените на читателите възстановяват общия брой.

Отговор: В библиотеката остават 36 432 книги.

15

През първия месец музей отчита 83 675 посещения, а през втория — 42 351. С колко повече са посещенията през първия месец?

▼

Решение

Сравняваме броя посещения, а не броя различни хора. Един човек може да е посетил музея повече от веднъж. Първото число е по-голямо, затова изваждаме второто от него.

83 675 − 42 351 = 41 324. Изваждаме: единици: 5 − 1 = 4; десетици: 7 − 5 = 2; стотици: 6 − 3 = 3; хиляди: 3 − 2 = 1; десетки хиляди: 8 − 4 = 4.

Проверка: 42 351 + 41 324 = 83 675. По-малкото количество, увеличено с разликата, дава по-голямото.

Отговор: През първия месец посещенията са с 41 324 повече.

16

Пресметнете 98 764 − 32 141 − 24 312 по два начина.

▼

Решение

Първи начин — отляво надясно. Спазваме реда на действията: 98 764 − 32 141 = 66 623; после 66 623 − 24 312 = 42 311. Проверяваме разредите и при двете изваждания.

Втори начин — чрез общото отнето количество. Събираме 32 141 + 24 312 = 56 453. След това 98 764 − 56 453 = 42 311. Сборът на умалителите е без преминаване, както и изваждането му от умаляемото.

Двата начина дават еднакъв резултат, защото от едно и също количество отнемаме едни и същи две части. Проверка: 42 311 + 56 453 = 98 764.

Отговор: 42 311.

17

Пресметнете 57 486 − 23 154 чрез разлагане на разредни части и проверете със събиране.

▼

Решение

Използваме разлагането на многоцифрени числа: 57 486 = 50 000 + 7 000 + 400 + 80 + 6; 23 154 = 20 000 + 3 000 + 100 + 50 + 4.

Изваждаме едноименните части: 50 000 − 20 000 = 30 000; 7 000 − 3 000 = 4 000; 400 − 100 = 300; 80 − 50 = 30; 6 − 4 = 2.

Събираме получените части: 30 000 + 4 000 + 300 + 30 + 2 = 34 332. Проверка: 34 332 + 23 154 = 57 486.

Отговор: 34 332.

18

Ученик записва 67 895 − 24 352 = 43 443. Открийте грешката и намерете верния резултат.

▼

Решение

Проверяваме колоните поотделно. Единици: 5 − 2 = 3; десетици: 9 − 5 = 4; стотици: 8 − 3 = 5; хиляди: 7 − 4 = 3; десетки хиляди: 6 − 2 = 4.

Грешката е в разреда на стотиците: ученикът е записал 4 вместо 5. Правилната разлика е 43 543. Тя е със 100 единици, тоест с една стотица, по-голяма от грешно записаната.

Проверка: 43 543 + 24 352 = 67 895. Неправилният отговор 43 443 не би възстановил умаляемото при тази проверка.

Отговор: 43 543; грешката е в цифрата на стотиците.

19

При 82 764 − 312 ученик подравнява 312 под първите три цифри на умаляемото и получава 51 564. Каква грешка е направил? Намерете правилната разлика.

▼

Решение

Когато 312 е поставено под първите три цифри, то заема разредите на десетките хиляди, хилядите и стотиците. Така ученикът фактически изважда 31 200, а не 312. Наистина 82 764 − 31 200 = 51 564.

Правилно поставяме 2 под 4 в единиците, 1 под 6 в десетиците и 3 под 7 в стотиците. В по-високите разреди мислено изваждаме 0.

82 764 − 312 = 82 452: 4 − 2 = 2; 6 − 1 = 5; 7 − 3 = 4; цифрите 2 и 8 в по-високите разреди се запазват. Проверка: 82 452 + 312 = 82 764.

Отговор: 82 452; умалителят трябва да е подравнен отдясно.

20

Кабел е дълъг 4 км 875 м. Отрязват 2 км 341 м. Колко кабел остава? Дайте отговора в метри и в километри и метри.

▼

Решение

Преди изваждането използваме еднакви единици. От урока за километъра знаем, че 1 км = 1 000 м. Следователно 4 км 875 м = 4 875 м, а 2 км 341 м = 2 341 м.

Изваждаме 4 875 − 2 341 = 2 534. По разреди: единици: 5 − 1 = 4; десетици: 7 − 4 = 3; стотици: 8 − 3 = 5; хиляди: 4 − 2 = 2.

2 534 м = 2 км 534 м. Проверка: 2 534 м + 2 341 м = 4 875 м. Не смесваме километри с метри в една и съща числова колона.

Отговор: Остават 2 534 м, тоест 2 км 534 м.

21

Попълнете двете цифри в изваждането без преминаване: 7□5 6△8 − 243 215 = 532 433. Обосновете защо попълването е единствено.★ Повишена трудност

▼

Решение

Квадратчето е цифрата на десетките хиляди. В тази колона трябва да получим □ − 4 = 3, затова □ = 7. Триъгълничето е цифрата на десетиците: △ − 1 = 3, следователно △ = 4.

Проверяваме останалите разреди: 7 − 2 = 5 стотици хиляди; 5 − 3 = 2 хиляди; 6 − 2 = 4 стотици; 8 − 5 = 3 единици. Навсякъде горната цифра е достатъчна и няма преминаване.

Получаваме 775 648 − 243 215 = 532 433. Проверка: 532 433 + 243 215 = 775 648.

Във всяка от двете неизвестни колони точно една цифра дава зададената разлика. Затова няма второ допустимо попълване.

Отговор: □ = 7; △ = 4.

22

На двете места на □ трябва да стои една и съща цифра: 6□4 □85 − 231 254 = 433 431. Намерете я и проверете изваждането без преминаване.★ Повишена трудност

▼

Решение

В разреда на десетките хиляди получаваме □ − 3 = 3. Следователно цифрата трябва да бъде 6. Но това условие само по себе си не е достатъчно: същата цифра участва и в стотиците.

При стотиците трябва да е □ − 2 = 4. С цифра 6 получаваме 6 − 2 = 4, така че и второто място е удовлетворено.

Попълненото умаляемо е 664 685. Проверяваме всички колони: единици: 5 − 4 = 1; десетици: 8 − 5 = 3; стотици: 6 − 2 = 4; хиляди: 4 − 1 = 3; десетки хиляди: 6 − 3 = 3; стотици хиляди: 6 − 2 = 4.

664 685 − 231 254 = 433 431. Проверка: 433 431 + 231 254 = 664 685. Цифрата 6 е единствена, защото още колоната на десетките хиляди я определя еднозначно.

Отговор: □ = 6 на двете места.

23

Кое е най-голямото трицифрено число, което може да се извади от 58 642 без преминаване? Каква е най-малката получена разлика?★ Повишена трудност

▼

Решение

Трицифреното число се подрежда под последните три цифри на 58 642. За да няма преминаване, цифрата на стотиците му е най-много 6, на десетиците — най-много 4, а на единиците — най-много 2.

Първо избираме възможно най-голямата цифра на стотиците: 6. При нея избираме най-голямата цифра на десетиците: 4. Накрая избираме 2 за единиците. Получаваме 642. Всяко по-голямо трицифрено число би превишило поне едно от тези ограничения.

58 642 − 642 = 58 000. При фиксирано умаляемо най-големият допустим умалител оставя най-малката разлика.

Проверка: 58 000 + 642 = 58 642. И трите най-ниски разреда дават нули, които остават в края на разликата.

Отговор: Най-голямото число е 642; най-малката разлика е 58 000.

24

Намерете всички двуцифрени числа, които могат да се извадят от 46 352 без преминаване и имат сбор на цифрите 4. Намерете и трите получени разлики.★ Повишена трудност

▼

Решение

Двуцифреното число има цифра на десетиците от 1 до 5: 0 не е допустимо, защото числото трябва да е двуцифрено. Цифрата на единиците може да бъде 0, 1 или 2, за да не превиши 2 в умаляемото.

Изчерпваме трите възможности за единиците. При 0 единици са нужни 4 десетици: 40. При 1 единица са нужни 3 десетици: 31. При 2 единици са нужни 2 десетици: 22. И в трите случая сборът на цифрите е 4.

Разликите са 46 352 − 22 = 46 330; 46 352 − 31 = 46 321; 46 352 − 40 = 46 312. Проверки: 46 330 + 22 = 46 352; 46 321 + 31 = 46 352; 46 312 + 40 = 46 352.

Други числа няма: разгледахме всяка допустима цифра на единиците, а след избора ѝ сборът 4 определя цифрата на десетиците.

Отговор: Числата са 22, 31 и 40; разликите са 46 330, 46 321 и 46 312.

25

В склад има 985 764 детайла. Изпращат 243 152 детайла, а после още 321 40□ детайла, където □ е цифрата на единиците. И двете изваждания са без преминаване. Намерете всички възможни цифри за □ и най-малкия и най-големия оставащ брой детайли.★ Повишена трудност

▼

Решение

След първата пратка остават 985 764 − 243 152 = 742 612 детайла. Това изваждане е без преминаване във всеки разред.

При второто изваждане 742 612 − 321 40□ проверяваме постоянните колони: 7 ≥ 3, 4 ≥ 2, 2 ≥ 1, 6 ≥ 4 и 1 ≥ 0. В единиците трябва 2 ≥ □. Следователно всички възможни цифри са 0, 1 и 2.

Най-много детайли остават при най-малката втора пратка, 321 400: 742 612 − 321 400 = 421 212. Най-малко остават при най-голямата пратка, 321 402: 742 612 − 321 402 = 421 210. При □ = 1 остават 421 211.

Проверка за най-малкия остатък: 421 210 + 321 402 = 742 612; 742 612 + 243 152 = 985 764. Възстановихме първоначалното количество. Изборите са точно три, защото по-голяма цифра от 2 би изисквала преминаване в единиците.

Отговор: □ е 0, 1 или 2; остават най-малко 421 210 и най-много 421 212 детайла.

---

📝 Самостоятелна работа — 30 упражнения

Записвай числата по разреди. Пресмятай без подсказване, а после отвори отговора и направи проверка. При последните пет задачи обоснови всички възможности, а не само един пример.

Задача 1

Пресметнете 9 758 − 4 236.

Покажи отговора

Отговор: 5 522. Проверка: 5 522 + 4 236 = 9 758.

Задача 2

Пресметнете 89 576 − 34 215.

Покажи отговора

Отговор: 55 361. Проверка: 55 361 + 34 215 = 89 576.

Задача 3

Пресметнете 68 094 − 25 031. Запазете правилно вътрешната нула.

Покажи отговора

Отговор: 43 063. Проверка: 43 063 + 25 031 = 68 094.

Задача 4

Пресметнете 975 864 − 432 341.

Покажи отговора

Отговор: 543 523. Проверка: 543 523 + 432 341 = 975 864.

Задача 5

Пресметнете 809 706 − 304 502.

Покажи отговора

Отговор: 505 204. Проверка: 505 204 + 304 502 = 809 706.

Задача 6

Пресметнете 78 659 − 3 427. Обяснете под коя цифра на умаляемото стои цифрата 3 на умалителя.

Покажи отговора

Отговор: 75 232. Проверка: 75 232 + 3 427 = 78 659. Цифрата 3 на умалителя означава хиляди и стои под 8.

Задача 7

Намерете устно 870 000 − 320 000. Посочете какъв вид разредни единици броите.

Покажи отговора

Отговор: 87 десетки хиляди − 32 десетки хиляди = 55 десетки хиляди, тоест 550 000.

Задача 8

Пресметнете 7 865 432 − 3 212 101.

Покажи отговора

Отговор: 4 653 331. Проверка: 4 653 331 + 3 212 101 = 7 865 432.

Задача 9

Намерете 98 765 − 98 704. Защо в окончателния отговор не пишем водещи нули?

Покажи отговора

Отговор: 61. В разредите на стотиците, хилядите и десетките хиляди получаваме 0; тези нули са пред първата ненулева цифра и не се записват.

Задача 10

Пресметнете 508 070 − 0 и 508 070 − 508 070.

Покажи отговора

Отговор: 508 070 и 0. В първия случай не отнемаме нищо, а във втория отнемаме цялото количество.

Задача 11

Пресметнете 65 487 − 21 345. Направете проверка със събиране.

Покажи отговора

Отговор: 44 142. Проверка: 44 142 + 21 345 = 65 487.

Задача 12

Намерете неизвестното умаляемо: □ − 32 104 = 45 372. Направете проверка.

Покажи отговора

Отговор: □ = 32 104 + 45 372 = 77 476. Проверка: 77 476 − 32 104 = 45 372.

Задача 13

Попълнете цифрата в изваждането без преминаване: 8□ 754 − 31 223 = 54 531.

Покажи отговора

Отговор: □ = 5, защото в хилядите □ − 1 = 4. Получаваме 85 754 − 31 223 = 54 531.

Задача 14

Сравнете A = 95 476 − 23 142 и B = 95 476 − 23 242. Коя разлика е по-голяма и с колко?

Покажи отговора

Отговор: A = 72 334, B = 72 234. A е със 100 по-голяма. Във втория израз умалителят е със 100 по-голям, затова разликата е със 100 по-малка.

Задача 15

Пресметнете 907 080 − 402 030. Назовете разредите, в които цифрата на разликата е 0.

Покажи отговора

Отговор: 505 050. Цифрата е 0 в разредите на десетките хиляди, стотиците и единиците.

Задача 16

Пресметнете 98 765 − 23 140 − 12 305 по два начина.

Покажи отговора

Отговор: Отляво надясно: 98 765 − 23 140 = 75 625; 75 625 − 12 305 = 63 320. С общото отнето количество: 23 140 + 12 305 = 35 445; 98 765 − 35 445 = 63 320.

Задача 17

В библиотека има 65 784 книги. На читатели са дадени 21 352 от тях. Колко книги остават?

Покажи отговора

Отговор: Остават 65 784 − 21 352 = 44 432 книги. Проверка: 44 432 + 21 352 = 65 784.

Задача 18

През една година в парк са отчетени 76 985 посещения, а през следващата — 32 451. С колко по-малко са посещенията през втората година?

Покажи отговора

Отговор: С 76 985 − 32 451 = 44 534 посещения по-малко. Сравняваме посещения, не непременно различни посетители.

Задача 19

Ученик записва 69 875 − 24 132 = 45 643. В кой разред е грешката? Поправете резултата.

Покажи отговора

Отговор: Правилната разлика е 45 743. В стотиците 8 − 1 = 7, а не 6. Проверка: 45 743 + 24 132 = 69 875.

Задача 20

Пресметнете 95 764 − 423. Под коя цифра на умаляемото се записва цифрата 4 на умалителя?

Покажи отговора

Отговор: 95 341. Цифрата 4 означава стотици и се записва под 7, която е цифрата на стотиците в умаляемото.

Задача 21

Сравнете A = 84 675 − 23 142 и B = 85 675 − 23 142. Как промяната на умаляемото влияе на разликата?

Покажи отговора

Отговор: A = 61 533, B = 62 533. В B умаляемото е с 1 000 по-голямо при същия умалител, затова и разликата е с 1 000 по-голяма.

Задача 22

От кабел с дължина 7 км 986 м отрязват 3 км 452 м. Колко кабел остава? Отговорете в метри и в километри и метри.

Покажи отговора

Отговор: 7 км 986 м = 7 986 м; 3 км 452 м = 3 452 м. Остават 7 986 − 3 452 = 4 534 м = 4 км 534 м.

Задача 23

Намерете 58 649 − 24 321 чрез разлагане на разредни части.

Покажи отговора

Отговор: (50 000 − 20 000) + (8 000 − 4 000) + (600 − 300) + (40 − 20) + (9 − 1) = 30 000 + 4 000 + 300 + 20 + 8 = 34 328.

Задача 24

За 99 786 − 4 321 е предложен отговор 95 465. Проверете със събиране дали е верен.

Покажи отговора

Отговор: 95 465 + 4 321 = 99 786. Възстановява се точно умаляемото, следователно предложената разлика е вярна.

Задача 25

В склад има 87 960 листа хартия. Сутринта изпращат 23 140, а следобед — 12 320 листа. Колко остават? Покажете две пресмятания.

Покажи отговора

Отговор: 87 960 − 23 140 = 64 820; 64 820 − 12 320 = 52 500. Остават 52 500 листа. Проверка: 23 140 + 12 320 = 35 460; 52 500 + 35 460 = 87 960.

Задача 26 · Повишена трудност

★ Попълнете двете цифри в изваждането без преминаване: 9□7 8△6 − 342 153 = 645 743. Защо попълването е единствено?

Покажи отговора

Отговор: □ = 8, защото □ − 4 = 4; △ = 9, защото △ − 5 = 4. Получаваме 987 896 − 342 153 = 645 743. Всяка неизвестна колона определя точно една цифра; останалите колони също са верни.

Задача 27 · Повишена трудност

★ Намерете най-голямото четирицифрено число, което може да се извади от 95 706 без преминаване. Намерете най-малката получена разлика и обосновете избора.

Покажи отговора

Отговор: Най-големите допустими цифри по ред са 5, 7, 0 и 6, следователно числото е 5 706. 95 706 − 5 706 = 90 000. По-голям четирицифрен умалител би превишил поне една от съответните цифри на умаляемото; затова 90 000 е най-малката допустима разлика.

Задача 28 · Повишена трудност

★ На двете места на □ стои една и съща цифра. Намерете я в изваждането без преминаване: 8□5 □97 − 342 165 = 513 432.

Покажи отговора

Отговор: □ = 5. В десетките хиляди 5 − 4 = 1, а в стотиците 5 − 1 = 4. Проверяваме и останалите разреди: 855 597 − 342 165 = 513 432. Цифрата е единствена.

Задача 29 · Повишена трудност

★ Намерете всички двуцифрени числа със сбор на цифрите 5, които могат да се извадят от 47 463 без преминаване. Коя от получените разлики е най-малка и коя — най-голяма?

Покажи отговора

Отговор: Единиците могат да бъдат 0, 1, 2 или 3. Сборът 5 определя числата 50, 41, 32 и 23. Разликите са съответно 47 413, 47 422, 47 431 и 47 440. Най-малката е 47 413, а най-голямата — 47 440. Други случаи няма, защото са изчерпани допустимите единици.

Задача 30 · Повишена трудност

★ В склад има 876 985 детайла. Изпращат 231 142, а след това 321 4□2 детайла, където □ е цифрата на десетиците. И двете изваждания са без преминаване. Колко стойности може да има □? Колко най-малко и най-много детайли могат да останат?

Покажи отговора

Отговор: След първата пратка остават 645 843. За 645 843 − 321 4□2 условието в десетиците е □ ≤ 4; другите колони са допустими. Цифрите са 0, 1, 2, 3, 4 — точно 5 стойности. Най-малко остават 645 843 − 321 442 = 324 401 детайла; най-много — 645 843 − 321 402 = 324 441. Допустимите остатъци са 324 441, 324 431, 324 421, 324 411 и 324 401.

---

✅ Онлайн тест — 15 въпроса

Избери по един отговор на всеки въпрос. Всеки верен отговор носи 4 точки, максимумът е 60 точки. След предаване ще видиш верните отговори и самооценка. Тя е ориентир за упражнение, а не официална училищна оценка.

1Кога изваждането на многоцифрени числа е без преминаване?

А.Винаги когато умаляемото е по-голямо от умалителя Б.Когато във всеки разред цифрата на умаляемото е не по-малка от съответната цифра на умалителя В.Само когато двете числа имат еднакъв брой цифри Г.Само когато в числата няма нули

2Колко е 57 896 − 23 451?

А.34 435 Б.34 455 В.35 445 Г.34 445

3Колко е 76 085 − 5 042?

А.71 043 Б.71 033 В.71 403 Г.74 043

4Намерете 608 705 − 203 402.

А.405 203 Б.403 303 В.405 303 Г.405 313

5Кой е правилният окончателен запис на 85 764 − 85 702?

А.6 Б.62 В.602 Г.620

6Кой запис е правилната проверка със събиране на 58 796 − 24 351 = 34 445?

А.34 445 + 24 351 = 58 796 Б.58 796 + 24 351 = 83 147 В.34 445 + 34 445 = 68 890 Г.24 351 + 24 351 = 48 702

7При писмено изваждане 73 986 − 246 в кой разред се поставя цифрата 2 на умалителя?

А.Десетки хиляди Б.Хиляди В.Десетици Г.Стотици

8Коя цифра липсва в 6□ 987 − 23 452 = 43 535, ако изваждането е без преминаване?

А.3 Б.4 В.6 Г.9

9Колко е 803 040 − 0?

А.803 040 Б.0 В.80 304 Г.803 400

10Умаляемото остава същото, а умалителят се увеличава със 100. И двете изваждания са възможни. Как се променя разликата?

А.Увеличава се със 100 Б.Намалява със 100 В.Не се променя Г.Намалява с 1 000

11Кое изваждане е без преминаване във всички разреди?

А.85 320 − 21 410 Б.85 320 − 21 230 В.85 320 − 21 310 Г.85 320 − 21 311

12Ученик е записал 96 875 − 42 351 = 54 424. В кой разред е грешката?

А.Единици Б.Десетици В.Хиляди Г.Стотици

13В склад има 79 650 детайла. Изпращат 21 340, а после още 12 310. Кой израз намира останалите детайли?

А.79 650 − 21 340 + 12 310 Б.79 650 − 21 340 − 12 310 В.79 650 + 21 340 − 12 310 Г.79 650 − (21 340 − 12 310)

14Пресметнете 98 765 − 23 140 − 12 305.

А.63 320 Б.64 320 В.75 625 Г.63 230

15Кои са всички допустими цифри за △, така че 41 352 − 2△1 да е без преминаване?

А.0, 1 и 2 Б.0, 1, 2, 3 и 4 В.0, 1, 2, 3, 4 и 5 Г.Всички цифри от 0 до 9

---

🎥 Видеоуроци

🎥

Още видеа по математика

Разгледайте видеоуроци и решения по математика в канала.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

3. кл.

Изваждане до 1000 без преминаване

Припомни си изваждането по разреди, подреждането и проверката.

Към урока →

4. кл.

Събиране на многоцифрени числа без преминаване

Използвай обратното действие, за да провериш всяка намерена разлика.

Към урока →

Още полезни теми: събиране и изваждане до 10, с повече и с по-малко, текстови задачи с две пресмятания, неизвестно умаляемо, текстови задачи с три пресмятания, ред на действията, класове и разреди, разлагане на многоцифрени числа.

---

📚 Учебни ресурси и методически ориентири

Следните страници са допълнителни учебни и методически ресурси. Задачите и решенията в този урок са съставени за настоящата тема.

1. МОН — актуални учебни програми за IV клас. Нормативен ориентир за съдържанието и очакваните резултати.
2. „Анубис“/Клет — книги за учителя. Методически източник за началния етап.
3. „Просвета“ — математика за 4. клас. Издателски каталог с учебни ресурси.
4. Prepodavame.bg — текстови задачи за събиране и изваждане на многоцифрени числа без преминаване. Допълнителен методически ориентир.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 4. клас
• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

• ›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
• ›Индивидуална работа според пропуските на ученика
• ›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.