Окръжност. Център и радиус – задачи и тест | 4. клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 4. клас › Урок 5 › Окръжност. Център и радиус

Окръжност. Център и радиус

Затворена крива линия · център и равни радиуси · чертане с пергел · 25 решени, 30 самостоятелни и 15 тестови задачи

4. класГеометрияПергелИнтерактивен тест

За родителя и учителя: Ученикът трябва да има линийка, молив, хартия и пергел. Схемите на екрана служат за разбиране и не са в реален мащаб; радиусите в сантиметри се измерват само върху собствен хартиен чертеж. Не е нужно да се въвеждат диаметър, формули за обиколка или лице на кръг. При работа с пергел спазвайте правилата за безопасност.

В 1. клас вече разпознавахме кръга, в урока за отсечката и сантиметъра се научихме да измерваме дължини, а в 3. клас различавахме прави и криви линии. Сега ще използваме тези знания, за да разберем какво е окръжност, как се отбелязват център и радиус и как правилно се чертае с пергел. В предишния урок за римските цифри използвахме кръгъл циферблат — днес ще обърнем внимание на самата геометрична форма.

⭕ 1. Какво е окръжност?

От урока за прави и криви линии в 3. клас знаеш, че линиите могат да бъдат прави или криви. Окръжността е затворена крива линия, всички точки на която са на еднакво разстояние от определена точка — нейния център. Тя няма начало и край. Не всяка затворена крива линия е окръжност. Представи си тънък правилен кръгъл контур, начертан на лист. В тази тема учим именно за линията, а не за формула за нейната дължина.

Посочи само очертаната линия. Защо тя няма начало и край?

🎯 2. Център на окръжността

В средата на чертежа отбелязваме специална точка, обикновено с главна буква O. Тя се нарича център на окръжността. Центърът е една определена точка, а не цялата вътрешна част. Една и съща окръжност има един център.

Открий точката O. Защо тя не лежи върху самата окръжност?

📏 3. Радиус — отсечка от центъра до окръжността

Свържи центъра O с точка A върху окръжността. Отсечката OA е радиус. Дължината ѝ също се нарича радиус и често се означава с r. Припомни си как се чертае и измерва отсечка със сантиметри и не бъркай линията на окръжността с отсечката OA.

Кои са двата края на радиуса OA?

🔁 4. Всички радиуси на една окръжност са равни

Избери три различни точки A, B и C върху една окръжност с център O. Отсечките OA, OB и OC са радиуси, затова имат една и съща дължина. Ако OA = 3 см, то OB = 3 см и OC = 3 см. Различните посоки не променят дължината.

Обясни защо OA, OB и OC са равни, въпреки че са насочени различно.

📍 5. Точки вътре, върху и вън от окръжността

Точката върху окръжността е точно на разстояние един радиус от центъра. Точка вътре е по-близо до центъра от радиуса, а точка вън — по-далеч. Това е удобно правило, когато са дадени разстояния от O до различни точки.

Коя точка е най-близо до центъра O и коя е извън очертанието?

🟡 6. Окръжност и кръг — не ги обърквай

В урока за кръг в 1. клас вече си разпознавал кръглата фигура. Окръжност наричаме само затворената гранична линия. Кръг е цялата фигура с вътрешността и границата. Затова точка в оцветената вътрешност принадлежи на кръга, но не лежи върху окръжността.

Ако оцветиш целия вътрешен участък, как се нарича получената фигура?

📐 7. Как намираме и измерваме радиуса?

За да измериш радиуса на хартиен чертеж, намери центъра, посочи точка от окръжността и измери отсечката между тях с линийка. Използвай сантиметри или милиметри и правилото 1 см = 10 мм от урока за милиметъра в 3. клас. Не измервай чертежите от екрана: мащабът им зависи от устройството.

Защо трябва да измерваме по хартиен чертеж, а не по картинката на телефона?

🖊️ 8. Пергелът — инструмент за точни окръжности

Пергелът има две рамена: едното завършва с острие, а другото с писец. Разстоянието между острието и писеца се нарича разтвор на пергела. Когато чертаеш окръжност, той трябва да е равен на зададения радиус. Работи внимателно с острието и не променяй разтвора по време на завъртането.

Какво се случва, ако разтворът се промени по време на чертането?

✏️ 9. Как чертаем окръжност по зададен радиус?

Следвай четири стъпки: 1. отбележи център O; 2. измери с линийка и настрой пергела на зададения радиус; 3. постави острието в O; 4. завърти писеца, без да местиш центъра и без да променяш разтвора. Проверявай резултата, като измериш два радиуса върху готовата хартиена рисунка.

Коя стъпка гарантира, че центърът остава неподвижен?

🔵 10. Две окръжности с общ център

Можем да начертаем две различни окръжности с един и същ център O, но с различни радиуси, например 2 см и 5 см. По-малката е изцяло навътре спрямо по-голямата; двете им линии нямат обща точка. Чертай едната, после промени само разтвора на пергела, без да местиш острието от O.

Коя окръжност има по-голям радиус и защо линиите не се пресичат?

🔍 11. Окръжности с равни радиуси

Окръжности с еднакви радиуси имат еднаква големина. Но ако центровете им са на различни места, те са различни окръжности. За да получим точно определена окръжност, трябва да знаем и центъра, и радиуса. Само „радиус 3 см“ не казва къде да я начертаем.

Може ли две различни окръжности да имат равни радиуси?

🧠 12. Как разсъждаваме в по-трудни задачи?

Първо установи кой е центърът и колко е радиусът. После за всяка точка провери: разстоянието ѝ до центъра е по-малко, равно или по-голямо от радиуса? Когато има две окръжности, направи тази проверка поотделно за всяка. Ако условието е невъзможно, обясни точно кое правило би се нарушило.

Как проверяваш една и съща точка спрямо две различни окръжности?

---

✏️ Разработени задачи — 25 подробни решения

Прочети условието, опитай да решиш сам и едва след това разгъни решението. При задачите за чертане работи с пергел на хартия; SVG схемите показват отношенията между точките, но не заменят построението в мащаб.

1

На чертежа са показани две криви линии. Коя от тях е окръжност — лявата или дясната? Обосновете отговора си.

▼

Решение

Разсъждение. Лявата линия е окръжност, защото е затворена и всички нейни точки са на еднакво разстояние от центъра ѝ. Дясната линия е отворена крива с два свободни края. Само затвореността не е достатъчна: има затворени криви, които не са окръжности.

Отговор: Лявата фигура е окръжност — затворена крива с всички точки на едно и също разстояние от центъра.

2

Разгледайте чертежа с окръжност и означена точка O. Как се нарича точка O?

▼

Решение

Разсъждение. Специалната точка в средата, от която всички точки на окръжността са на еднакво разстояние, се нарича център. В чертежа тя е означена с буквата O.

Отговор: Точка O е центърът.

3

Точка A лежи върху окръжност с център O. Как се нарича отсечката OA?

▼

Решение

Разсъждение. Отсечката OA започва от центъра O и завършва в точка A от самата окръжност. Това са точно двата края на радиус.

Отговор: OA е радиус на окръжността.

4

В окръжност с център O точките A и B лежат върху окръжността. Ако OA = 4 см, намерете OB.

▼

Решение

Разсъждение. OA и OB са радиуси на една и съща окръжност. Всички нейни радиуси са равни, независимо в коя посока са начертани. Следователно OB = OA = 4 см.

Отговор: OB = 4 см.

5

Върху окръжност с център O са отбелязани точките A, B и C. Ученик твърди, че OA е радиус, но OB и OC не са, защото според него само хоризонталната отсечка може да бъде радиус. Вярно ли е? Обосновете отговора си.

▼

Решение

Разсъждение. Посоката няма значение. Всяка отсечка, започваща от центъра O и завършваща в точка върху окръжността, е радиус. Тъй като A, B и C са върху нея, OA, OB и OC са радиуси. Твърдението на ученика е невярно.

Отговор: Не; OA, OB и OC са радиуси независимо от посоката.

6

Окръжност има център O и радиус 4 см. Точка P е на 2 см, Q — на 4 см, а R — на 6 см от O. Определете положението на трите точки.

▼

Решение

Разсъждение. Сравняваме всяко разстояние с радиуса 4 см: OP = 2 см е по-малко от 4 см — P е вътре. OQ = 4 см — Q е върху окръжността. OR = 6 см е по-голямо от 4 см — R е вън.

Отговор: P е вътре; Q е върху; R е вън от окръжността.

7

Окръжност с център O има радиус 5 см. Точка A е върху окръжността, а точка B е на същия лъч OA, но на 7 см от O. Намерете AB и определете положението на B спрямо окръжността.

▼

Решение

Разсъждение. Понеже A е върху окръжността, OA = 5 см. Точките са подредени O, A, B на един лъч, а OB = 7 см. Затова AB = 7 − 5 = 2 см. Понеже OB > 5 см, точка B е вън от окръжността.

Отговор: AB = 2 см; B е вън от окръжността.

8

Начертайте с пергел две окръжности с общ център M и радиуси 2 см и 4 см. Коя окръжност е по-голяма?

▼

Решение

Разсъждение. Отбелязваме M. Настройваме пергела на 2 см и чертаем първата окръжност. Без да местим острието от M, настройваме разтвора на 4 см и чертаем втората. Радиус 4 см е по-голям от 2 см, затова втората окръжност е по-голяма.

Отговор: По-голяма е окръжността с радиус 4 см.

9

Трябва да настроите пергел на 30 мм. Колко сантиметра е разтворът му?

▼

Решение

Разсъждение. Знаем, че 1 см = 10 мм. Затова в 30 мм има три групи по 10 мм (30 : 10 = 3). Следователно 30 мм = 3 см. Настройваме пергела по линийка на 3 см.

Отговор: Разтвор 3 см.

10

Защо при чертане на окръжност острието на пергела не трябва да се мести от отбелязания център O?

▼

Решение

Разсъждение. Ако острият връх се мести, разстоянието от новите точки на линията до първоначалния O може да се променя. Така няма да получим окръжност с този център. Затова острието стои в O, а писецът се завърта.

Отговор: За да остане O един и същ център през цялото чертане.

11

Дадени са две окръжности с еднакви радиуси 3 см, но различни центрове O и M. Дали това е една и съща окръжност?

▼

Решение

Разсъждение. Равните радиуси означават еднаква големина, но сами по себе си не определят мястото на окръжността. Щом центровете O и M са различни, окръжностите са различни.

Отговор: Не — това са две различни окръжности с равни радиуси.

12

Избрали сме точка P вътре в кръг, но не върху граничната линия. Принадлежи ли P на окръжността?

▼

Решение

Разсъждение. Кръгът включва вътрешността и граничната линия. Окръжността обаче е само линията. Условието казва, че P е вътре, но не върху нея, затова не принадлежи на окръжността.

Отговор: Не, P е точка от кръга, но не от окръжността.

13

Две окръжности с центрове O и M имат радиуси съответно 3 см и 5 см. Коя е по-голяма и с колко сантиметра се различават радиусите им?

▼

Решение

Разсъждение. Сравняваме радиусите: 5 см > 3 см, значи окръжността с център M е по-голяма. Разликата между радиусите е 5 − 3 = 2 см. Не пресмятаме дължина на самата окръжност.

Отговор: По-голяма е окръжността с център M; радиусите се различават с 2 см.

14

За окръжност с център O и радиус 5 см са дадени OA = 5 см, OB = 3 см, OC = 5 см. Кои отсечки са радиуси?

▼

Решение

Разсъждение. Краят на радиуса трябва да е върху окръжността. При OA = 5 см и OC = 5 см точките A и C са на разстояние един радиус. B е по-близо (3 см), следователно OB не достига окръжността.

Отговор: OA и OC са радиуси; OB не е радиус.

15

Опишете последователно как ще начертаете окръжност с център S и радиус 3 см.

▼

Решение

Разсъждение. Първо отбелязваме центъра S. С линийка измерваме разтвор 3 см на пергела. Поставяме острието точно в S и завъртаме писеца по цялата окръжност, без да местим острието и без да променяме разтвора. Накрая проверяваме на хартия дали радиусът е 3 см.

Отговор: Център S, настройка 3 см, неподвижно острие и пълно завъртане.

16

Окръжност с център O има радиус 4 см, а точка T е на 7 см от O. С колко сантиметра трябва да увеличим радиуса, така че новата окръжност със същия център да минава през T? Ще бъде ли тя същата окръжност?

▼

Решение

Разсъждение. За да минава новата окръжност през T, радиусът ѝ трябва да бъде OT = 7 см. Увеличението е 7 − 4 = 3 см. Центърът остава O, но радиусът се променя от 4 на 7 см. Следователно получаваме друга, по-голяма окръжност.

Отговор: Увеличаваме радиуса с 3 см; новата окръжност е различна от първата.

17

В окръжност с център O са начертани три радиуса OA, OB и OC. Дължината на всеки от тях е 4 см. Намерете сбора на дължините на трите радиуса.

▼

Решение

Разсъждение. И трите отсечки са радиуси на една и съща окръжност, затова имат равни дължини. По условие OA = OB = OC = 4 см. Сборът е 4 + 4 + 4 = 12 см. Това е сбор на три отсечки, а не дължината на самата окръжност.

Отговор: Общата дължина на трите отсечки е 12 см.

18

Окръжност k₁ е с център O и радиус 6 см, а k₂ — с център M и радиус 4 см, като O и M са различни точки. С колко трябва да увеличим радиуса на k₂, за да станат радиусите равни? Ще съвпаднат ли тогава окръжностите?

▼

Решение

Разсъждение. Разликата на радиусите е 6 − 4 = 2 см. Увеличаваме радиуса на k₂ с 2 см и получаваме две окръжности с радиуси по 6 см. Центровете O и M обаче остават различни. За съвпадане са необходими един и същ център и един и същ радиус.

Отговор: Увеличаваме с 2 см; въпреки това окръжностите не съвпадат.

19

Върху окръжността са отбелязани точки A и B, във вътрешността на кръга — P, Q и R, а точка S е извън кръга. Колко от шестте точки принадлежат на кръга и колко лежат върху окръжността?

▼

Решение

Разсъждение. Кръгът включва граничната окръжност и вътрешността. Затова на кръга принадлежат A, B, P, Q и R — общо пет точки. Върху самата окръжност лежат само A и B — две точки. Точка S не принадлежи на кръга.

Отговор: На кръга принадлежат 5 точки, а върху окръжността лежат 2.

20

Радиусът на окръжност е 4 см. Ученик твърди, че отсечка с единия край в центъра и с дължина 2 см може да бъде неин радиус. Верен ли е?

▼

Решение

Разсъждение. Не е достатъчно отсечката да започва от центъра. Другият ѝ край трябва да е върху окръжността, тоест разстоянието трябва да бъде точно 4 см. Отсечка с дължина 2 см свършва вътре.

Отговор: Твърдението е невярно: 2 см не е радиус на окръжност с радиус 4 см.

21

Две окръжности имат общ център O и радиуси 3 см и 7 см. За точките A, B и C са известни OA = 3 см, OB = 5 см, OC = 7 см. Определете положението на всяка точка спрямо всяка окръжност.★ Повишена трудност

▼

Решение

Разсъждение. За малката окръжност (r = 3 см): A е върху нея, а B и C са вън, защото 5 > 3 и 7 > 3. За голямата (r = 7 см): A и B са вътре, защото 3 < 7 и 5 < 7, а C е върху нея. Точка B лежи между двете окръжности.

Отговор: A: върху малката, вътре в голямата; B: вън от малката, вътре в голямата; C: вън от малката, върху голямата.

22

Две окръжности са с радиуси по 3 см, но центровете им O и M са различни. За точка P е дадено OP = 3 см и MP = 3 см, а за Q — OQ = 2 см и MQ = 4 см. Коя точка лежи върху двете окръжности?★ Повишена трудност

▼

Решение

Разсъждение. Проверяваме всяко разстояние поотделно. За P имаме OP = MP = 3 см, точно колкото са двата радиуса; P лежи и на двете окръжности. За Q е OQ = 2 см < 3 см, затова е вътре в първата, а MQ = 4 см > 3 см — вън от втората. Следователно Q не лежи на нито една от окръжностите.

Отговор: Само P лежи и на двете окръжности.

23

Окръжност с център O има радиус 5 см. Точки A и B лежат върху нея, а C е вътре и OC = 3 см. Ученик твърди, че OA + OB + OC = 15 см, защото и трите отсечки са радиуси. Намерете правилния сбор и обяснете грешката.★ Повишена трудност

▼

Решение

Разсъждение. Понеже A и B лежат върху окръжността, OA = OB = 5 см. Но C е вътре: OC = 3 см не е радиус. Следователно OA + OB + OC = 5 + 5 + 3 = 13 см. Ученикът неправилно е приел OC за радиус.

Отговор: Правилният сбор е 13 см; само OA и OB са радиуси.

24

От център O разстоянията до четири различни точки са OP = 5 см, OQ = 5 см, OR = 2 см и OS = 8 см. Постройте единствената окръжност с център O, която минава точно през две от тези точки. Назовете ги и определете положението на другите две.★ Повишена трудност

▼

Решение

Разсъждение. Една окръжност с център O минава през точно тези от дадените точки, които са на едно и също разстояние от O. Само P и Q имат равни разстояния — по 5 см. Избираме радиус 5 см. Тогава R е вътре, защото 2 < 5, а S е вън, защото 8 > 5. Друг радиус не може да даде точно две от четирите точки върху една окръжност.

Отговор: Окръжност с център O и радиус 5 см: върху нея са P и Q; R е вътре, S е вън. Тя е единствена.

25

Четирима ученици чертаят окръжности с един и същ център O, но с радиуси 2, 3, 4 и 5 см. Дадени са точките A, B и C с OA = 4 см, OB = 1 см, OC = 6 см. На колко от окръжностите лежи всяка точка? В колко кръга лежи B?★ Повишена трудност

▼

Решение

Разсъждение. A е на 4 см от O, затова лежи само върху окръжността с радиус 4 см. B е на 1 см, а никоя от четирите окръжности няма радиус 1 см, затова B не лежи на нито една от линиите. Но 1 см е по-малко от всички радиуси 2, 3, 4 и 5 см — B лежи във вътрешността на всичките четири кръга. C е на 6 см и е извън всички окръжности, защото 6 см е по-голямо от всеки радиус.

Отговор: A: на 1 окръжност; B: на 0 окръжности и вътре в 4 кръга; C: на 0 окръжности.

---

📝 Задачи за самостоятелна работа — 30 упражнения

Решавай първо без подсказване. При задача с чертане направи собствена рисунка с линийка и пергел. Последните пет задачи са с повишена трудност и изискват обяснение, а не само едно число.

Задача 1

Кои от следните три очертания могат да бъдат окръжности: ръбът на кръгла монета, контурът на правоъгълен лист и незатворена дъга? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Само кръглият ръб на монетата може да се моделира с окръжност. Правоъгълният контур не е кръгъл, а дъгата не е затворена.

Задача 2

Точка K е център на окръжност, A е върху окръжността, а B е вътре. Коя точка е центърът и коя от A и B лежи върху линията?

Покажи отговора

Отговор: Центърът е K; върху линията лежи A.

Задача 3

Две различни точки A и B лежат върху окръжност с център M. Ученик твърди, че AB е радиус, защото двата ѝ края са на окръжността. Обяснете грешката и назовете два действителни радиуса.

Покажи отговора

Отговор: AB не е радиус, защото нито един от краищата ѝ не е центърът M. Радиуси са MA и MB — всяка отсечка започва от M и достига точка върху окръжността.

Задача 4

В една окръжност с център O отсечките OA, OB и OC са радиуси. Ако OA = 3 см, намерете сбора OB + OC.

Покажи отговора

Отговор: OB = OC = 3 см; OB + OC = 6 см (сбор на дължини).

Задача 5

В окръжност с център S точка A е върху линията, а B — вътре. Коя от отсечките SA и SB е радиус? Защо?

Покажи отговора

Отговор: Само SA: започва от центъра и завършва върху окръжността.

Задача 6

Начертайте с пергел окръжност с център T и радиус 2 см. Отбележете две точки P и Q върху нея. Колко сантиметра е дължината на всяка от отсечките TP и TQ на хартиения чертеж?

Покажи отговора

Отговор: TP = TQ = 2 см; и двете отсечки са радиуси.

Задача 7

Окръжност има радиус 5 см. Точка A е на 3 см от центъра O. С колко сантиметра трябва да преместим точка A по лъча OA в посока от O навън, така че A да попадне върху окръжността?

Покажи отговора

Отговор: Преместваме A с 5 − 3 = 2 см навън по лъча OA. Тогава новото разстояние от O до A е 5 см и A лежи върху окръжността.

Задача 8

Окръжност с център O има радиус 4 см. Точка P е на 6 см от O, а Q е на 40 мм от O. Коя точка е върху окръжността и коя — извън нея? Обяснете чрез преобразуване на мерните единици.

Покажи отговора

Отговор: 40 мм = 4 см, следователно Q е върху окръжността. P е вън, защото OP = 6 см > 4 см.

Задача 9

Настройте пергел на 35 мм. Изразете този разтвор в сантиметри и милиметри, без да използвате десетични дроби.

Покажи отговора

Отговор: 35 мм = 3 см и 5 мм.

Задача 10

Сборът на дължините на два радиуса на една окръжност е 10 см. Намерете дължината на единия радиус.

Покажи отговора

Отговор: Всеки радиус е 5 см, защото двата са равни и 5 + 5 = 10 см.

Задача 11

Ученик казва: „Ако оцветим целия кръг, сме оцветили само окръжността.“ Поправете изказването.

Покажи отговора

Отговор: Оцветяваме кръга, тоест вътрешността заедно с граничната окръжност; окръжността е само линията.

Задача 12

Окръжност с център O има радиус 4 см. Точка A лежи върху нея, а B е във вътрешността. Ученик записва OA = 4 см и OB = 6 см. Кой запис е невъзможен и защо?

Покажи отговора

Отговор: Невъзможен е записът OB = 6 см. Тъй като B е във вътрешността, OB трябва да е по-малко от 4 см. Записът OA = 4 см е правилен, защото A лежи върху окръжността.

Задача 13

Окръжност с център O има радиус 6 см. Точка A е на 5 см, а B — на 8 см от O. По лъча OA определете разстоянието от A до окръжността, а по лъча OB — разстоянието от B до окръжността. Коя точка е по-близо и с колко сантиметра?

Покажи отговора

Отговор: От A до окръжността по лъча OA е 6 − 5 = 1 см, а от B до окръжността по лъча OB е 8 − 6 = 2 см. A е с 1 см по-близо от B.

Задача 14

Могат ли две различни точки върху една и съща окръжност да бъдат на различни разстояния от центъра? Обосновете.

Покажи отговора

Отговор: Не. Всяка точка върху една окръжност е на разстояние един и същ радиус от центъра.

Задача 15

В кръг са отбелязани точки P на граничната окръжност и Q във вътрешността. Кои от тях принадлежат на кръга и кои лежат върху окръжността?

Покажи отговора

Отговор: И P, и Q принадлежат на кръга. Само P лежи върху окръжността; Q е във вътрешността.

Задача 16

Начертайте две окръжности с общ център O и радиуси 3 см и 5 см. Коя линия е по-близо до O и с колко се различават радиусите?

Покажи отговора

Отговор: По-близо до O е малката окръжност с радиус 3 см; разликата е 5 − 3 = 2 см.

Задача 17

Двама ученици чертаят окръжности с един и същ център K и радиус 4 см. Колко различни окръжности са получили?

Покажи отговора

Отговор: Една: окръжност с дадени център K и радиус 4 см е единствена, затова чертежите съвпадат.

Задача 18

Две окръжности имат различни центрове O и M и радиуси по 5 см. За точка A са дадени OA = 5 см и MA = 3 см. Къде се намира A спрямо всяка окръжност? Може ли да лежи едновременно върху двете? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: A е върху окръжността с център O, защото OA = 5 см. Спрямо окръжността с център M точка A е вътре, защото MA = 3 см < 5 см. Следователно A не лежи върху двете окръжности едновременно.

Задача 19

Две окръжности с общ център O имат радиуси 3 см и 6 см. Точка P е извън малката, но вътре в голямата окръжност. Ако разстоянието OP е цяло число сантиметри, намерете всички възможни стойности на OP и обяснете защо други няма.

Покажи отговора

Отговор: Търсим разстояния, по-големи от 3 см, но по-малки от 6 см. Единствените цели числа сантиметри между 3 и 6 са 4 и 5. Следователно OP = 4 см или OP = 5 см; и двете стойности са възможни.

Задача 20

Даден е само центърът O, без радиус. Може ли така да се определи точно една окръжност? Кое още трябва да зададем? Посочете два различни възможни радиуса.

Покажи отговора

Отговор: Не. Трябва да зададем радиус. Например окръжностите с център O и радиуси 2 см и 4 см са различни.

Задача 21

Три окръжности имат общ център O. Радиусът на първата е 4 см, на втората е с 3 см по-голям, а радиусът на третата е равен на сбора на първите два радиуса. Намерете трите радиуса и определете коя окръжност е най-външна.

Покажи отговора

Отговор: Първа: 4 см; втора: 4 + 3 = 7 см; трета: 4 + 7 = 11 см. Най-външна е третата окръжност, защото има най-голям радиус — 11 см.

Задача 22

Начертайте окръжност с център O и радиус 4 см. Без да премествате центъра, увеличете разтвора на пергела с 15 мм и начертайте втора окръжност. Колко сантиметра и милиметра е радиусът на втората и коя от двете окръжности е по-голяма?

Покажи отговора

Отговор: 4 см = 40 мм; 40 + 15 = 55 мм = 5 см и 5 мм. Втората окръжност е по-голяма, защото има по-голям радиус. Центърът O остава същият.

Задача 23

При чертане с пергел ученик мести острието и едновременно променя разтвора. Назовете двете нарушени правила.

Покажи отговора

Отговор: Острието трябва да остава в един и същ център, а разтворът — постоянен по време на завъртане.

Задача 24

Две окръжности имат общ център O и радиуси 3 см и 6 см. Могат ли техните линии да имат обща точка? Обяснете.

Покажи отговора

Отговор: Не. Всяка обща точка трябва да е едновременно на 3 и на 6 см от O, което е невъзможно.

Задача 25

В окръжност с радиус 6 см точките A и B са върху линията, а C е вътре на разстояние 2 см от центъра O. Намерете OA + OB и сравнете този сбор с OC.

Покажи отговора

Отговор: OA = OB = 6 см, следователно OA + OB = 12 см, а OC = 2 см; сборът е с 10 см по-голям.

Задача 26 · Повишена трудност

★ Трима ученици чертаят окръжности с разтвори на пергела 45 мм, 3 см и 50 мм. Подредете радиусите от най-малкия до най-големия без десетични дроби. Кой е средният по големина? Колко милиметра е разликата между най-големия и най-малкия?

Покажи отговора

Отговор: 3 см = 30 мм. Подредба: 30 мм < 45 мм < 50 мм. Средният е 45 мм; разликата е 50 − 30 = 20 мм.

Задача 27 · Повишена трудност

★ Точки A и B са върху окръжност с център O, а D е вън. Дадено е OA = 4 см и OD = 6 см. Ученик твърди: „OD е радиус, понеже D е най-далече; OB = 6 см, понеже B е в друга посока.“ Открийте двете грешки и намерете OB и действителния радиус.

Покажи отговора

Отговор: Първа грешка: D е вън от окръжността, затова OD не е радиус. Втора грешка: посоката не променя дължината на радиуса. Понеже A и B са върху окръжността, OB = OA = 4 см и радиусът е 4 см.

Задача 28 · Повишена трудност

★ Начертайте две окръжности с общ център M и радиуси 2 см и 5 см. По един лъч от M означете B на 2 см, A на 5 см и C на 7 см от M. Намерете BA и AC. Къде лежат B, A и C спрямо двете окръжности?

Покажи отговора

Отговор: По лъча точките са M, B, A, C. BA = 5 − 2 = 3 см, AC = 7 − 5 = 2 см. B е върху малката и вътре в голямата; A е извън малката и върху голямата; C е извън двете.

Задача 29 · Повишена трудност

★ Три различни окръжности имат общ център O. Радиусите им са цели сантиметри; най-малкият е 2 см, най-големият е 6 см, а сборът на трите радиуса е 12 см. Намерете радиуса на третата окръжност и обяснете защо решението е единствено.

Покажи отговора

Отговор: Неизвестният радиус е 12 − 2 − 6 = 4 см. Получаваме 2, 4 и 6 см — три различни радиуса и окръжности; 4 см е единствената възможна стойност.

Задача 30 · Повишена трудност

★ Две окръжности с общ център O са с радиуси 2 см и 6 см. В една посока от O по лъч отбелязваме точки на 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 см от O. Колко от тези точки са вън от малката окръжност, но вътре в голямата? Посочете разстоянията им.

Покажи отговора

Отговор: 3 точки — на 3, 4 и 5 см от O; разстоянието 2 см е върху малката, а 6 см е върху голямата.

---

✅ Онлайн тест — 15 въпроса

Избери по един отговор за всеки въпрос. Всеки верен отговор носи 4 точки, а максимумът е 60 точки. След предаването ще видиш резултата и задачите, по които да се упражняваш допълнително.

1Коя фигура е затворена крива линия, всички точки на която са на равно разстояние от центъра?

А.ЛъчБ.ОкръжностВ.ОтсечкаГ.Прав ъгъл

2Точка O е на едно и също разстояние от всички точки на една окръжност. Как се нарича точка O?

А.ЦентърБ.РадиусВ.Точка извън окръжносттаГ.Дължина на окръжността

3Коя отсечка е радиус на окръжност с център O?

А.Отсечка между две вътрешни точкиБ.Отсечка от точка извън окръжността до OВ.Всяка отсечка, дълга 5 смГ.Отсечка от O до точка върху окръжността

4Кое твърдение е вярно за радиусите на една окръжност?

А.Могат да имат различни дължиниБ.Само два от тях са равниВ.Всички имат еднаква дължинаГ.Всеки радиус започва извън окръжността

5Ученик твърди, че OA и OB са радиуси на една и съща окръжност. При кои измервания твърдението не може да е вярно?

А.OA = 2 см и OB = 20 ммБ.OA = 3 см и OB = 30 ммВ.OA = 4 см и OB = 35 ммГ.OA = 5 см и OB = 50 мм

6Окръжност има радиус 5 см. Точка P е строго вътре в нея, а разстоянието OP е цяло число сантиметри. Коя е най-голямата възможна стойност на OP?

А.5 смБ.4 смВ.6 смГ.1 см

7Окръжност с център O има радиус 3 см. Точка A е на 3 см, B — на 5 см, а C — на 1 см от O. Колко от тези три точки принадлежат на кръга, включително границата му?

А.0 точкиБ.1 точкаВ.3 точкиГ.2 точки

8Ученик чертае с пергел, като държи острието неподвижно в точка O, но постепенно увеличава разтвора. Защо получената линия не е окръжност с център O?

А.Защото острието трябва да се движи заедно с писецаБ.Защото писецът трябва да чертае само права линияВ.Защото разстоянието на писеца до O не остава постоянноГ.Защото всяка затворена крива линия има различни радиуси

9С кой инструмент най-точно се чертае окръжност по зададен радиус?

А.ТранспортирБ.ПергелВ.ТриъгълникГ.Гума

10Пергелът е настроен на 4 см, но трябва да начертаем окръжност с радиус 25 мм. С колко милиметра трябва да намалим разтвора?

А.15 ммБ.5 ммВ.25 ммГ.40 мм

11Радиусът на една окръжност е 2 см, а на втората е с 4 см по-голям. Колко е радиусът на втората?

А.2 смБ.4 смВ.8 смГ.6 см

12Две окръжности с общ център O са с радиуси 2 см и 5 см. Точка P е на 3 см от O. Къде е тя?

А.Върху малкатаБ.Върху голяматаВ.Между двете окръжностиГ.Вън от голямата

13Окръжност има център O и радиус 3 см. Точка A е върху окръжността, B е строго вътре, а C е извън нея. Кое сравнение на разстоянията до O е вярно?

А.OB < OA < OCБ.OA < OB < OCВ.OC < OA < OBГ.OA = OB = OC

14В кое изречение се използва правилно названието кръг?

А.Той е само затворена гранична линияБ.Вътрешността не е част от негоВ.Няма никаква границаГ.Включва вътрешността и граничната окръжност

15Възможно ли е две окръжности с един и същ център, но с радиуси 3 см и 5 см, да минават през една и съща точка?

А.Да, през всички вътрешни точкиБ.Не, разстоянието на една точка до центъра не може да е и 3, и 5 смВ.Да, ако точката е центърътГ.Да, ако използваме два пергела

---

🎥 Видеоуроци

🎥

Още видеа по математика

Разгледайте видеоуроци и решения по математика в канала.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

1. кл.

Триъгълник, квадрат и кръг

Разпознаване на кръга и други равнинни фигури.

Към урока →

3. кл.

Права линия, крива линия и лъч

Окръжността е специална затворена крива линия.

Към урока →

Допълнителни теми за преговор: 4. кл. Римски цифри · 4. кл. Разлагане на многоцифрено число · 4. кл. Сравняване и подреждане на многоцифрени числа · 1. кл. Точка, отсечка и сантиметър · 3. кл. Милиметър и километър · 2. кл. Дециметър и метър · 2. кл. Геометрична фигура. Страни и върхове · 4. кл. Многоцифрени числа. Класове и разреди.

Продължи с цялата последователност на уроците за 1.–4. клас. След тази тема в каталога следва „Събиране на многоцифрени числа без преминаване“.

---

📚 Използвана литература и методически ориентири

• МОН — учебни програми за IV клас. Официалният учебен обхват за окръжност, център, радиус и чертане.
• „Анубис“ — книга за учителя по математика, 4. клас. Страница на издателя с връзка към книгата за учителя по математика за 4. клас.
• „Архимед“ — математика за 4. клас. Официална страница на учебника по математика за 4. клас, част 1, с библиографски данни и описание на учебното съдържание.
• „Просвета“ — учебни материали за 4. клас. Геометрични фигури и практическо чертане на окръжности.
• „Рива“ — математика за 4. клас. Отделни теми „Окръжност“ и „Чертане на окръжност“.
• Prepodavame.bg — „Чертане на окръжност“. Дейностно обучение и самостоятелна проверка при чертане.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 4. клас
• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

• ›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
• ›Индивидуална работа според пропуските на ученика
• ›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.