Успоредни прави и ъгли – 7. клас: свойства, 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 7. клас › Геометрия › Успоредни прави и ъгли

Успоредни прави и ъгли
Аксиома, свойства и задачи

Аксиома и свойства на успоредните прави, разстояние от точка до права: теория, 25 подробно решени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и онлайн тест с 15 въпроса.
7. клас25 решени задачи5 с повишена трудност30 самостоятелниТест: 15 въпросаД-р Атанас Илчев

Теория: успоредни прави и ъгли

В предишния урок разгледахме признаците за успоредност: условия, от които заключаваме, че две прави са успоредни. Тук посоката се обръща — приемаме, че правите вече са успоредни, и извеждаме свойства на образуваните ъгли.

Полезен преговор: основните понятия за отсечка, ъгъл и перпендикулярност са събрани и в урока за основни геометрични фигури от 5. клас.

Аксиома за успоредните прави. През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.
a P b През външната точка P минава точно една права b, успоредна на a.
Теорема 1. Ако две различни прави са поотделно успоредни на трета права, то те са успоредни помежду си.
Идея на доказателството. Ако двете прави се пресичаха, през тяхната пресечна точка щяха да минават две различни прави, успоредни на третата — в противоречие с аксиомата.
Теорема 2. Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя пресича и другата.
Идея на доказателството. Нека правата \(c\) пресича \(a\) в точка \(P\), като \(a\parallel b\). Ако \(c\) не пресичаше \(b\), то \(c\parallel b\). Тогава през една и съща точка \(P\) щяха да минават две различни прави \(a\) и \(c\), и двете успоредни на \(b\) — противоречие с аксиомата за успоредните прави.
abcOP12345678Две успоредни прави a и b са пресечени от сечащата c. Номерацията 1–8 се използва в урока и теста.
Теорема 3. При пресичане на две успоредни прави с трета вътрешните и външните кръстни ъгли са равни.
Теорема 4. При пресичане на две успоредни прави с трета съответните ъгли са равни.
Теорема 5. При пресичане на две успоредни прави с трета вътрешните прилежащи (и аналогично външните прилежащи) ъгли имат сбор \(180^\circ\).
Не смесвайте признак и свойство. В предишния урок от равенство/сбор на подходящи ъгли заключавахме \(a\parallel b\). В този урок започваме от \(a\parallel b\) и заключаваме равенство или сбор \(180^\circ\).
Теорема 6. Ако права е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата.
Идея на доказателството. По Теорема 2 перпендикулярната права пресича и втората успоредна. Съответният на дадения прав ъгъл също е \(90^\circ\) по Теорема 4, следователно правата е перпендикулярна и на втората успоредна.
abc От c⊥a и a∥b следва c⊥b.
Теорема 7. През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената.
Идея на доказателството. Съществуването е известно от построението на перпендикуляр през дадена точка. За единствеността нека през точката \(P\) минават две прави \(p\) и \(q\), перпендикулярни на \(a\). Правата \(a\) ги пресича и образува с тях равни съответни ъгли по \(90^\circ\), затова по признака за успоредност \(p\parallel q\). Но \(p\) и \(q\) имат общата точка \(P\); следователно не могат да бъдат различни и съвпадат.
Разстояние от точка до права. Ако \(P\notin a\), \(H\in a\) и \(PH\perp a\), то дължината \(PH\) се нарича разстояние от точката \(P\) до правата \(a\) и се записва \(d(P,a)=PH\).
a P H d(P,a) PH е перпендикулярът от P към a и измерва разстоянието d(P,a).

Връзка с по-ранни теми: в Декартовата координатна система от 6. клас разстояния и перпендикулярност се разглеждат и в координатна среда. Полезна геометрична практика дават уроците „Успоредни прави. Успоредник. Ромб“ от 5. клас и „Триъгълник — елементи и видове“ от 5. клас.

25 решени и обяснени задачи

Задачи №1–20 упражняват основните свойства и приложения. Последните пет, №21–25, са с повишена трудност. Натиснете условието, за да видите решението.

Основни свойства и приложения — задачи 1–20

1Оригинален тип • съответни ъглиНа чертежа \(a\parallel b\), \(\alpha=110^\circ\) и \(\delta=40^\circ\). Ъглите \(\gamma\) и \(\delta\) са съответни, а \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Намерете \(\beta\).
Решение
O P abc α=110° β=? γ=40° δ=40° Съответните ъгли γ и δ са равни; α, β и γ образуват изправен ъгъл.
Понеже \(a\parallel b\), съответните ъгли са равни, следователно \(\gamma=\delta=40^\circ\). От \[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ \] получаваме \[ 110^\circ+\beta+40^\circ=180^\circ, \] тоест \(\boxed{\beta=30^\circ}\).
2Оригинален тип • съответниПравите \(a\parallel b\). При горното пресичане два съседни ъгъла са \(\alpha\) и \(3\alpha\). Ъгълът \(\beta\) при долното пресичане е съответен на \(3\alpha\). Намерете \(\beta\).
Решение
abcOPα3αβα и 3α са съседни; β е съответен на 3α.
\[ \alpha+3\alpha=180^\circ\Rightarrow4\alpha=180^\circ\Rightarrow\alpha=45^\circ. \] Следователно \(3\alpha=135^\circ\). Понеже \(\beta\) е съответен на \(3\alpha\) и \(a\parallel b\), \[ \boxed{\beta=135^\circ}. \]
3Оригинален тип • уравнениеПравите \(a\parallel b\). Ъглите \(\alpha\) и \(\beta\) са съответни. Ъгълът, съседен на \(\alpha\), е \(2\beta+30^\circ\). Намерете \(\beta\).
Решение
abcOPαβ2β+30°α и β са съответни; α и 2β+30° са съседни.
От \(a\parallel b\) следва \(\alpha=\beta\). Освен това \[ \alpha+(2\beta+30^\circ)=180^\circ. \] Заместваме \(\alpha=\beta\): \[ 3\beta+30^\circ=180^\circ\Rightarrow3\beta=150^\circ\Rightarrow\boxed{\beta=50^\circ}. \]
4Всички осем ъгълаДве успоредни прави са пресечени с трета. Един от острите ъгли е \(68^\circ\). Намерете мерките на всички осем ъгъла.
Решение
abcOP68°Един от острите ъгли е 68°.
Всички остри ъгли са равни на \(68^\circ\). Всеки съседен на тях ъгъл е \[ 180^\circ-68^\circ=112^\circ. \] Следователно четири от ъглите са \(68^\circ\), а другите четири — \(\boxed{112^\circ}\).
5Съответни и съседниПри \(a\parallel b\) е дадено \(\angle1=112^\circ\). Намерете \(\angle6\).
Решение
abcOP112°?∠1=112°, търси се ∠6.
Ъглите \(\angle1\) и \(\angle2\) са съседни, затова \[ \angle2=180^\circ-112^\circ=68^\circ. \] А \(\angle2\) и \(\angle6\) са съответни при успоредни прави, следователно \[ \boxed{\angle6=68^\circ}. \]
6Равни кръстни ъглиПри \(a\parallel b\) вътрешните кръстни ъгли са \(\angle4=(4x+10)^\circ\) и \(\angle6=(6x-20)^\circ\). Намерете \(x\) и мерките им.
Решение
abcOP4x+106x−20∠4 и ∠6 са вътрешни кръстни.
При успоредни прави вътрешните кръстни ъгли са равни: \[ 4x+10=6x-20\Rightarrow2x=30\Rightarrow x=15. \] Тогава \[ \angle4=\angle6=4\cdot15+10=\boxed{70^\circ}. \]
7Равни съответни ъглиПри \(a\parallel b\) \(\angle2=(2x+20)^\circ\) и \(\angle6=(3x-10)^\circ\). Намерете \(x\).
Решение
abcOP2x+203x−10∠2 и ∠6 са съответни.
\[ 2x+20=3x-10\Rightarrow\boxed{x=30}. \] Тогава двата ъгъла са по \(80^\circ\).
8Вътрешни прилежащиПри \(a\parallel b\) вътрешните прилежащи ъгли са \(\angle3=(5x+10)^\circ\) и \(\angle6=(3x+10)^\circ\). Намерете \(x\).
Решение
abcOP5x+103x+10∠3 и ∠6 са вътрешни прилежащи.
Сборът на вътрешните прилежащи ъгли е \(180^\circ\): \[ 5x+10+3x+10=180\Rightarrow8x=160\Rightarrow\boxed{x=20}. \] Получаваме \(110^\circ\) и \(70^\circ\).
9Разстояние от точка до праваОт точка \(P\), нележаща на правата \(a\), е спуснат перпендикуляр \(PH\) с дължина \(7{,}5\) cm. Намерете разстоянието от \(P\) до \(a\).
Решение
a P H 7,5 cm PH е перпендикулярът от P към a.
По определение разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра от точката към правата. Следователно \[ \boxed{d(P,a)=7{,}5\text{ cm}}. \]
10Перпендикуляр към успоредниПравите \(a\parallel b\), а \(c\perp a\). Какво е взаимното положение на \(c\) и \(b\)?
Решение
abc Ако c е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата.
По Теорема 6, ако права е перпендикулярна на едната от две успоредни прави, тя е перпендикулярна и на другата. Следователно \[ \boxed{c\perp b}. \]
11Три успоредни правиДадени са различни прави \(a\) и \(b\), като \(a\parallel c\) и \(b\parallel c\). Докажете, че \(a\parallel b\).
Решение
abc И a, и b са успоредни на c.
По Теорема 1 две прави, които поотделно са успоредни на трета, са успоредни помежду си. Значи \[ \boxed{a\parallel b}. \]
12Градуси и минутиПри \(a\parallel b\) един остър ъгъл е \(37^\circ45'\). Намерете мярката на всеки тъп ъгъл.
Решение
abcOP37°45′?Острият ъгъл е 37°45′.
Тъпият ъгъл е съседен на острия: \[ 180^\circ00'-37^\circ45'=179^\circ60'-37^\circ45'=142^\circ15'. \] Следователно всеки тъп ъгъл е \(\boxed{142^\circ15'}\).
13ОтношениеПри \(a\parallel b\) два вътрешни прилежащи ъгъла се отнасят като \(7:2\). Намерете мерките им.
Решение
abcOP7x2xВътрешните прилежащи ъгли са в отношение 7:2.
Нека ъглите са \(7x\) и \(2x\). Техният сбор е \(180^\circ\): \[ 9x=180^\circ\Rightarrow x=20^\circ. \] Следователно ъглите са \[ \boxed{140^\circ\text{ и }40^\circ}. \]
14Косвена връзка между няколко ъгълаПри \(a\parallel b\) \(\angle1=(2x+20)^\circ\), а \(\angle6=(x+10)^\circ\). Намерете \(x\) и \(\angle5\).
Решение
abc O P 2x+20x+10? ∠1 и ∠6 не са съответни; връзката се получава чрез връхни и вътрешни прилежащи ъгли.
Понеже \(\angle1=\angle3\) като връхни, а \(\angle3+\angle6=180^\circ\) като вътрешни прилежащи, имаме \[ (2x+20)+(x+10)=180. \] Следователно \(3x=150\), откъдето \(\boxed{x=50}\). Тогава \(\angle1=120^\circ\). Понеже \(\angle3=\angle5\) като вътрешни кръстни и \(\angle1=\angle3\), \[ \boxed{\angle5=120^\circ}. \]
15Косвена зависимост и връхни ъглиПри \(a\parallel b\) \(\angle4=(x+20)^\circ\), а \(\angle7=3x^\circ\). Намерете \(x\) и \(\angle2\).
Решение
abc O P x+203x? ∠4 и ∠7 са свързани косвено чрез ∠3; търсят се x и ∠2.
Ъглите \(\angle3\) и \(\angle4\) са съседни, затова имат сбор \(180^\circ\). Освен това \(\angle3=\angle7\) като съответни. Следователно \[ (x+20)+3x=180. \] Получаваме \(4x=160\), тоест \(\boxed{x=40}\). Тогава \(\angle4=60^\circ\), а \(\angle2=\angle4\) като връхни, следователно \[ \boxed{\angle2=60^\circ}. \]
16ЪглополовящаПри \(a\parallel b\) един остър ъгъл е \(55^\circ\). Намерете ъгъла между неговата ъглополовяща и едното му рамо.
Решение
abc O P 55° Ъглополовящата разделя 55° на две равни части.
Ъглополовящата разделя ъгъла на две равни части: \[ 55^\circ:2=27^\circ30'. \] Търсеният ъгъл е \(\boxed{27^\circ30'}\).
17Теорема за сечаща и съответни ъглиПравите \(a\parallel b\). Правата \(c\) пресича \(a\) в точка \(O\), като един от острите ъгли при \(O\) е \(73^\circ\). Докажете, че \(c\) пресича и \(b\) в точка \(P\), и намерете съответния остър ъгъл при \(P\).
Решение
abc O P 73°73° Правата c пресича a в O и b в P; съответните остри ъгли при O и P са равни.
По Теорема 2 всяка права, която пресича едната от две успоредни прави, пресича и другата. Следователно \(c\) пресича \(b\). При \(a\parallel b\) съответните ъгли са равни, затова търсеният ъгъл е \[ \boxed{73^\circ}. \]
18Прави ъглиПравите \(a\parallel b\), а \(c\perp a\). Намерете четирите ъгъла при пресичането на \(b\) и \(c\).
Решение
abc c е перпендикулярна и на b.
От \(c\perp a\) и \(a\parallel b\) следва \(c\perp b\). Затова и четирите ъгъла при пресичането на \(b\) и \(c\) са \[ \boxed{90^\circ}. \]
19Разлика на ъгли и ъглополовящаПри \(a\parallel b\) два вътрешни прилежащи ъгъла се различават с \(36^\circ\). Намерете двата ъгъла и ъгъла между ъглополовящата на по-малкия от тях и едното му рамо.
Решение
abc O P 108°72° Вътрешните прилежащи ъгли са 108° и 72°; зеленият лъч разполовява по-малкия.
Нека по-малкият ъгъл е \(x\), а по-големият — \(x+36^\circ\). Понеже са вътрешни прилежащи, \[ x+(x+36^\circ)=180^\circ. \] Оттук \(2x=144^\circ\), тоест \(x=72^\circ\). Другият ъгъл е \(108^\circ\). Ъглополовящата на по-малкия ъгъл го дели на две равни части, затова \[ 72^\circ:2=\boxed{36^\circ}. \] Следователно двата ъгъла са \(\boxed{72^\circ\text{ и }108^\circ}\), а търсеният половинен ъгъл е \(36^\circ\).
20Единствена успореднаПрез точка \(P\), нележаща на правата \(a\), са прекарани правите \(b\) и \(c\), като \(b\parallel a\) и \(c\parallel a\). Докажете, че \(b\) и \(c\) съвпадат.
Решение
a b ≡ c P След прилагането на аксиомата: b и c са една и съща успоредна през P.
Аксиомата за успоредните прави твърди, че през \(P\) минава точно една права, успоредна на \(a\). Понеже и \(b\), и \(c\) минават през \(P\) и са успоредни на \(a\), те не могат да бъдат различни. Следователно \[ \boxed{b=c}. \]

С повишена трудност — задачи 21–25

21система от две зависимостиПри \(a\parallel b\) \(\angle4=(2x+y)^\circ\), \(\angle6=(x+2y)^\circ\) и \(x+y=50\). Намерете \(x\), \(y\) и мерките на всичките осем ъгъла.★ Повишена трудност
Решение
abc O P 2x+yx+2y ∠4 и ∠6 са вътрешни кръстни; допълнително е дадено x+y=50.
Ъглите \(\angle4\) и \(\angle6\) са вътрешни кръстни, следователно са равни: \[ 2x+y=x+2y\Rightarrow x=y. \] Заедно с \(x+y=50\) получаваме \(2x=50\), тоест \[ \boxed{x=y=25}. \] Тогава \(\angle4=\angle6=75^\circ\). Следователно четири от осемте ъгъла са \(75^\circ\), а останалите четири са \[ 180^\circ-75^\circ=\boxed{105^\circ}. \]
22градуси, минути и ъглополовящаПри \(a\parallel b\) е дадено \(\angle1=124^\circ30'\). Ъглополовящата на \(\angle6\) е лъчът \(p\). Намерете \(\angle6\) и ъгъла между \(p\) и рамото на \(\angle6\), лежащо върху \(b\).★ Повишена трудност
Решение
abc O P 124°30′? От ∠1 се намира съседният ∠2, после съответният ∠6; зеленият лъч е ъглополовящата на ∠6.
Ъглите \(\angle1\) и \(\angle2\) са съседни, затова \[ \angle2=180^\circ00'-124^\circ30'=55^\circ30'. \] Понеже \(\angle2\) и \(\angle6\) са съответни, \[ \angle6=55^\circ30'. \] Ъглополовящата дели \(\angle6\) на две равни части: \[ 55^\circ30':2=\boxed{27^\circ45'}. \] Следователно \(\boxed{\angle6=55^\circ30'}\), а търсеният половинен ъгъл е \(27^\circ45'\).
23доказателствоПравите \(a\parallel b\). Докажете, че носещите прави на ъглополовящите на два вътрешни кръстни ъгъла са успоредни.★ Повишена трудност
Решение
abc O P αα Зелените лъчи са ъглополовящите на равните вътрешни кръстни ъгли.
Нека \(\angle4=\angle6=\alpha\). Техните ъглополовящи образуват със сечащата права ъгли по \(\alpha/2\). Тези два половинни ъгъла са вътрешни кръстни и са равни. По признака за успоредност от предишния урок следва, че носещите прави на двата лъча-ъглополовящи са \(\boxed{\text{успоредни}}\).
24обратна работа с ъглополовящаПри \(a\parallel b\) \(\angle3=(4x+15)^\circ\). Ъглополовящата на \(\angle3\) образува с рамото на ъгъла, лежащо върху \(a\), ъгъл \(57^\circ30'\). Намерете \(x\) и мерките на всичките осем ъгъла.★ Повишена трудност
Решение
abc O P 4x+15 57°30′ Зеленият лъч е ъглополовящата на ∠3 и образува 57°30′ с рамото върху a.
Понеже даденият ъгъл е половината на \(\angle3\), \[ \angle3=2\cdot57^\circ30'=115^\circ. \] Следователно \[ 4x+15=115\Rightarrow4x=100\Rightarrow\boxed{x=25}. \] Ъглите, равни на \(\angle3\), са по \(115^\circ\), а съседните им са \[ 180^\circ-115^\circ=65^\circ. \] Значи четири ъгъла са \(\boxed{115^\circ}\), а четири — \(\boxed{65^\circ}\).
25ъглополовящиПри \(a\parallel b\) един остър ъгъл е \(42^\circ30'\). Разгледайте двата вътрешни прилежащи ъгъла. Докажете, че носещите прави на ъглополовящите им са перпендикулярни.★ Повишена трудност
Решение
abc O P 137°30′42°30′ Зелените лъчи са ъглополовящите на двата вътрешни прилежащи ъгъла.
Двата вътрешни прилежащи ъгъла са \[ 42^\circ30'\quad\text{и}\quad137^\circ30'. \] Половините им са съответно \[ 21^\circ15'\quad\text{и}\quad68^\circ45'. \] Сборът им е \[ 21^\circ15'+68^\circ45'=90^\circ. \] Понеже \(a\parallel b\), рамото на първия ъгъл върху \(a\) е успоредно на рамото на втория върху \(b\). Двете ъглополовящи лежат от противоположните страни на тези успоредни направления, затова ъгълът между носещите им прави е сборът на получените половинни ъгли, тоест \(90^\circ\). Следователно носещите прави на двата лъча-ъглополовящи са \(\boxed{\text{перпендикулярни}}\).

30 задачи за самостоятелна работа

Решавайте самостоятелно, преди да отворите отговорите. Номерацията е на задачите, а не на подусловията. №26–30 са допълнително предизвикателство. Чертежите показват само дадените величини и отношения; търсените резултати не са изписани предварително.

Задача 1При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle2=73^\circ\). Намерете \(\angle3\), \(\angle5\) и \(\angle8\).
abc O P 73°??? Дадено е само ∠2=73°; останалите означени ъгли се търсят.
Отговор и насока
\(\boxed{\angle3=107^\circ,\ \angle5=107^\circ,\ \angle8=73^\circ}\).
Задача 2При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle4=58^\circ\). Намерете \(\angle1\) и \(\angle7\).
abc O P 58°?? Дадено е ∠4=58°; търсят се ∠1 и ∠7.
Отговор и насока
\(\angle1\) е съседен на \(\angle4\), а \(\angle7\) е съответен на \(\angle3\). Получаваме \(\boxed{\angle1=\angle7=122^\circ}\).
Задача 3Два съседни ъгъла при пресичането на \(a\) със сечащата се различават с \(30^\circ\). Намерете мерките им.
abc O P αβ α−β=30° Съседните ъгли α и β се различават с 30°.
Отговор и насока
Сборът е \(180^\circ\), а разликата — \(30^\circ\). Ъглите са \(\boxed{75^\circ\text{ и }105^\circ}\).
Задача 4При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle2+\angle6=146^\circ\). Намерете \(\angle1\).
abc O P ? ∠2+∠6=146° Дадено е ∠2+∠6=146°; търси се ∠1.
Отговор и насока
\(\angle2=\angle6\), следователно всеки е \(73^\circ\). Значи \(\boxed{\angle1=107^\circ}\).
Задача 5При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle3=106^\circ\). Намерете \(\angle8\) и с колко градуса \(\angle3\) е по-голям от \(\angle8\).
abc O P ∠3=106°∠8=? Използвайте връзка през съответен или кръстен ъгъл, след което намерете разликата.
Отговор и насока
Ъгъл \(\angle3\) е съответен на \(\angle7\), затова \(\angle7=106^\circ\). Ъглите \(\angle7\) и \(\angle8\) са съседни, следователно \(\angle8=180^\circ-106^\circ=74^\circ\). Разликата е \(106^\circ-74^\circ=32^\circ\). Значи \(\boxed{\angle8=74^\circ}\) и \(\boxed{\angle3-\angle8=32^\circ}\).
Задача 6При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle1=2\angle2+12^\circ\). Намерете \(\angle6\) и \(\angle7\).
abc O P 2α+12°α?? Връзката ∠1=2∠2+12° е дадена; търсят се ∠6 и ∠7.
Отговор и насока
От \(\angle1+\angle2=180^\circ\) следва \(3\angle2+12^\circ=180^\circ\), т.е. \(\angle2=56^\circ\). Следователно \(\boxed{\angle6=56^\circ,\ \angle7=124^\circ}\).
Задача 7При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle2=\frac35\angle3\). Намерете \(\angle5\).
abc O P ? ∠2 = 3/5 · ∠3 Дадено е отношението ∠2=(3/5)∠3; търси се ∠5.
Отговор и насока
\(\angle2:\angle3=3:5\) и сборът им е \(180^\circ\), затова \(\angle3=112^\circ30'\). Понеже \(\angle3\) и \(\angle5\) са вътрешни кръстни, \(\boxed{\angle5=112^\circ30'}\).
Задача 8При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle1+\angle2+\angle6=246^\circ\). Намерете \(\angle1\), \(\angle2\) и \(\angle6\).
abc O P ∠1 ?∠2 ?∠6 ? ∠1+∠2+∠6=246° Използвайте последователно съседни и съответни ъгли; числовите отговори не са нанесени на чертежа.
Отговор и насока
Понеже \(\angle1+\angle2=180^\circ\), от дадения сбор получаваме \(\angle6=246^\circ-180^\circ=66^\circ\). Ъглите \(\angle2\) и \(\angle6\) са съответни, следователно \(\angle2=66^\circ\), а \(\angle1=180^\circ-66^\circ=114^\circ\). Значи \(\boxed{\angle1=114^\circ,\ \angle2=\angle6=66^\circ}\).
Задача 9При \(a\parallel b\) докажете по два различни начина, че \(\angle1+\angle6=180^\circ\).
abc O P 16 ∠1+∠6=? Потърсете две различни вериги от равенства и съседни ъгли.
Отговор и насока
Първи начин: \(\angle1=\angle5\) като съответни, а \(\angle5+\angle6=180^\circ\) като съседни, следователно \(\angle1+\angle6=180^\circ\). Втори начин: \(\angle1=\angle7\) като външни кръстни, а \(\angle6+\angle7=180^\circ\) като съседни. Отново получаваме \(\boxed{\angle1+\angle6=180^\circ}\).
Задача 10При \(a\parallel b\) тъпият ъгъл е с \(40\%\) по-голям от острия. Намерете \(\angle8\).
abc O P αβ? β = 1,4 · α Тъпият ъгъл е 1,4 пъти острия; търси се ∠8.
Отговор и насока
Ако острият е \(x\), тъпият е \(1{,}4x\), а сборът им е \(180^\circ\). Следователно \(x=75^\circ\), така \(\boxed{\angle8=75^\circ}\).
Задача 11По номерацията на чертежа запишете: а) всички двойки съответни ъгли; б) двойките вътрешни кръстни ъгли; в) двойките вътрешни прилежащи ъгли.
abc O P 12345678 Номерация на осемте ъгъла; задачата изисква класификация на двойките.
Отговор и насока
а) Съответни: \((1,5),(2,6),(3,7),(4,8)\). б) Вътрешни кръстни: \((3,5),(4,6)\). в) Вътрешни прилежащи: \((3,6),(4,5)\).
Задача 12При \(a\parallel b\) докажете, че сборът на четирите вътрешни ъгъла \(\angle3+\angle4+\angle5+\angle6\) е \(360^\circ\).
abc O P 3456 Означени са четирите вътрешни ъгъла; числови стойности не са дадени.
Отговор и насока
При горното пресичане \(\angle3+\angle4=180^\circ\), а при долното \(\angle5+\angle6=180^\circ\). Следователно \(\boxed{\angle3+\angle4+\angle5+\angle6=360^\circ}\).
Задача 13Дадено е \(a\parallel b\), \(c\perp a\) и \(d\parallel c\). Докажете, че \(d\perp b\).
abcd ? Означени са само дадените успоредности и c⊥a; при d и b се търси заключението.
Отговор и насока
От \(a\parallel b\) и \(c\perp a\) следва \(c\perp b\). Понеже \(c\parallel d\), правата \(b\), перпендикулярна на \(c\), е перпендикулярна и на \(d\). Значи \(\boxed{d\perp b}\).
Задача 14Трите различни прави \(a\parallel b\parallel c\) са пресечени от \(d\). Един остър ъгъл при пресичането с \(a\) е \(62^\circ\). Намерете съответните остри ъгли при \(b\) и \(c\), както и съседния тъп ъгъл при \(a\).
abcd 62°??? Означена е само дадената мярка 62°; останалите три означени ъгъла се търсят.
Отговор и насока
Съответните остри ъгли при трите успоредни са равни, следователно при \(b\) и \(c\) са по \(\boxed{62^\circ}\). Съседният тъп е \(180^\circ-62^\circ=\boxed{118^\circ}\).
Задача 15Точката \(P\) лежи на правата \(a\). Може ли през \(P\) да мине различна от \(a\) права \(b\), която е успоредна на \(a\)? Обосновете.
a P b? P лежи на a; кандидатът b е различна права през същата точка и не е означен като успореден.
Отговор и насока
Не. Всяка различна права \(b\), минаваща през \(P\in a\), има обща точка \(P\) с \(a\), тоест я пресича. Следователно не може да е успоредна на \(a\).
Задача 16През \(P\notin a\) е прекарана \(b\perp a\). Може ли различна от \(b\) права \(c\), минаваща през \(P\), също да е перпендикулярна на \(a\)?
a bP c? Пунктираната c е кандидат за втора перпендикулярна и няма знак за прав ъгъл.
Отговор и насока
Не. По единствеността на перпендикуляра през външна точка такава втора различна права не съществува. \(\boxed{c=b}\), ако и двете са перпендикулярни към \(a\) през \(P\).
Задача 17Различните прави \(a\) и \(b\) са перпендикулярни на една и съща права \(c\). Докажете, че \(a\parallel b\).
abc a ? b Означени са само дадените перпендикулярности; успоредност не е маркирана.
Отговор и насока
При сечащата \(c\) получаваме два равни съответни ъгъла по \(90^\circ\). По признака за успоредност от предишния урок \(\boxed{a\parallel b}\).
Задача 18Два съседни ъгъла са \((4m+7)^\circ\) и \((6m+13)^\circ\), където \(m\) е естествено число. Намерете \(m\) и двата ъгъла.
abc O P 4m+76m+13 Два съседни ъгъла са зададени с изрази.
Отговор и насока
\(10m+20=180\), следователно \(\boxed{m=16}\). Ъглите са \(\boxed{71^\circ\text{ и }109^\circ}\).
Задача 19При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle3=96^\circ\). Ъглополовящата на \(\angle3\) пресича \(b\). Намерете острия ъгъл между тази ъглополовяща и \(b\).
abc O P 96° ? Зеленият лъч е ъглополовящата на ∠3 и пресича b; търси се острият ъгъл при това пресичане.
Отговор и насока
Ъглополовящата образува с \(a\) ъгъл \(96^\circ:2=48^\circ\). Понеже \(a\parallel b\), съответният остър ъгъл с \(b\) е \(\boxed{48^\circ}\).
Задача 20При две успоредни прави и сечаща сборът на четирите остри ъгъла е \(292^\circ\). Намерете мярката на всеки тъп ъгъл.
abc O P ? сбор на 4-те остри = 292° Даден е сборът на четирите остри ъгъла; търси се всеки тъп.
Отговор и насока
Всички остри ъгли са равни, така всеки е \(292^\circ:4=73^\circ\). Всеки тъп е \(180^\circ-73^\circ=\boxed{107^\circ}\).
Задача 21Дадено е \(a\parallel b\) и \(c\perp a\). Правата \(d\) образува с \(c\) остър ъгъл \(35^\circ\). Намерете острия ъгъл между \(d\) и \(b\).
abcd 35°? На чертежа е означена само дадената перпендикулярност \(c\perp a\); търсеният ъгъл при правата b е отбелязан с „?“.
Отговор и насока
От \(a\parallel b\) и \(c\perp a\) следва \(c\perp b\). Следователно острите ъгли, които правата \(d\) образува с взаимно перпендикулярните прави \(b\) и \(c\), имат сбор \(90^\circ\). Затова търсеният ъгъл е \(90^\circ-35^\circ=\boxed{55^\circ}\).
Задача 22При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle4+2\angle6=210^\circ\). Намерете \(\angle7\).
abc O P αβ? ∠4 + 2∠6 = 210° Дадено е ∠4+2∠6=210°; търси се ∠7.
Отговор и насока
Понеже \(\angle4=\angle6\) като вътрешни кръстни, получаваме \(3\angle6=210^\circ\), т.е. \(\angle6=70^\circ\). Следователно \(\boxed{\angle7=110^\circ}\).
Задача 23При \(a\parallel b\) един остър ъгъл е \(61^\circ20'\). С колко градуса и минути всеки тъп ъгъл е по-голям от него?
abc O P 61°20′ Даден е остър ъгъл 61°20′; търси се разликата между тъп и остър.
Отговор и насока
Тъпият е \(118^\circ40'\). Разликата е \(118^\circ40'-61^\circ20'=\boxed{57^\circ20'}\).
Задача 24От \(P\) към \(a\) е спуснат перпендикуляр \(PH=6\) cm, а \(Q\in a\) и \(PQ=10\) cm. Коя от двете дължини е разстоянието \(d(P,a)\)?
a P H PH=6 cm d(P,a)=?Q PQ=10 cm На чертежа са означени само дадените величини и търсеното.
Отговор и насока
Разстоянието до права се измерва по перпендикуляра. Следователно \(\boxed{d(P,a)=PH=6\text{ cm}}\), а не \(PQ\).
Задача 25При \(a\parallel b\) е дадено \(\angle1=2\angle8\). Намерете \(\angle4\) и \(\angle7\).
abc O P 2αα?? Дадено е ∠1=2∠8; търсят се ∠4 и ∠7.
Отговор и насока
\(\angle1\) и \(\angle8\) са външни прилежащи, затова сборът им е \(180^\circ\). Ако \(\angle8=x\), то \(3x=180^\circ\), така \(x=60^\circ\). Следователно \(\boxed{\angle4=60^\circ,\ \angle7=120^\circ}\).
Задача 26 · Повишена трудностПри \(a\parallel b\) \(\angle3=(3x+10)^\circ\). Ъглополовящата на \(\angle6\) образува с рамото му върху \(b\) ъгъл \((x+5)^\circ\). Намерете \(x\), \(\angle3\) и \(\angle6\).
abc O P 3x+10? x+5° Ъглополовящата на ∠6 образува с b ъгъл (x+5)°; търсят се x и ъглите.
Отговор и насока
Понеже ъглополовящата дава половината на \(\angle6\), имаме \(\angle6=2(x+5)^\circ=(2x+10)^\circ\). А \(\angle3+\angle6=180^\circ\), затова \(5x+20=180\) и \(\boxed{x=32}\). Така \(\boxed{\angle3=106^\circ,\ \angle6=74^\circ}\).
Задача 27 · Повишена трудностЗа естествено число \(m\), при \(a\parallel b\), \(\angle2=(5m-7)^\circ\) и \(\angle6=(3m+29)^\circ\). Намерете \(m\), а след това докажете, че носещите прави на ъглополовящите на \(\angle2\) и \(\angle6\) са успоредни.
abc O P 5m−73m+29 p q Зелените лъчи p и q са ъглополовящите. Не са поставени знаци за успоредност, защото именно това трябва да се докаже за носещите им прави.
Отговор и насока
От равенството на съответните ъгли \(5m-7=3m+29\), така \(\boxed{m=18}\) и двата ъгъла са \(83^\circ\). Половините им са равни и заедно със сечащата образуват съответни равни ъгли. По признака за успоредност носещите прави на двата лъча-ъглополовящи са \(\boxed{\text{успоредни}}\).
Задача 28 · Повишена трудностПри \(a\parallel b\) през точка \(O\in a\) минават две сечащи \(c\) и \(d\). От едната страна на \(O\), \(c\) образува с \(a\) ъгъл \(38^\circ\), а от другата страна \(d\) образува с \(a\) ъгъл \(52^\circ\). Докажете, че \(c\perp d\).
O abcd 38°52°? Двете сечащи са от противоположни страни; прав ъгъл не е означен предварително.
Отговор и насока
Ъгълът между двата лъча на \(c\) и \(d\) под правата \(a\) е \(180^\circ-38^\circ-52^\circ=90^\circ\). Следователно \(\boxed{c\perp d}\).
Задача 29 · Повишена трудностТрите прави \(a\parallel b\parallel c\). Правата \(p\) образува остър ъгъл \(64^\circ\) с \(a\), а \(q\perp p\). Намерете острия ъгъл между \(q\) и \(c\).
abc p q 64° ? Дадени са a∥b∥c, ъгълът 64° и p⊥q; търсеният ъгъл с c не е означен числово.
Отговор и насока
Понеже трите прави са успоредни, \(p\) образува остър ъгъл \(64^\circ\) и с \(b\), и с \(c\). Тъй като \(q\perp p\), острият ъгъл между \(q\) и всяка от успоредните е \(90^\circ-64^\circ=\boxed{26^\circ}\).
Задача 30 · Повишена трудностПрез \(P\notin a\) са прекарани \(b\parallel a\) и \(h\perp a\). Докажете, че \(h\perp b\), и обяснете защо през \(P\) не може да има друга успоредна на \(a\) или друга перпендикулярна на \(a\).
a b h P ? Означени са дадените b∥a и h⊥a; при P търсената перпендикулярност не е маркирана.
Отговор и насока
От \(b\parallel a\) и \(h\perp a\) следва \(\boxed{h\perp b}\). Аксиомата за успоредните прави дава единствеността на \(b\), а Теорема 7 — единствеността на \(h\).

Онлайн тест: 15 въпроса

По 4 точки за верен отговор · максимум 60 точки

Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.

Тест: Успоредни прави и ъгли
Изберете точно един отговор на всеки въпрос. След оценяването ще видите верните отговори и обясненията.
abcOP12345678Референтна схема за въпросите в теста.
1Аксиомата за успоредните прави твърди, че през точка извън дадена права минава:
2Ако различните прави \(a\) и \(b\) удовлетворяват \(a\parallel c\) и \(b\parallel c\), то:
3Ако права пресича едната от две успоредни прави, тя:
4При две успоредни прави и сечаща вътрешните кръстни ъгли са:
5При две успоредни прави и сечаща съответните ъгли са:
6При две успоредни прави и сечаща сборът на вътрешните прилежащи ъгли е:
7Ако \(a\parallel b\) и \(c\perp a\), то:
8Разстоянието от точка до права е:
9При \(a\parallel b\) един остър ъгъл е \(68^\circ\). Съседният му тъп ъгъл е:
10Вътрешни прилежащи ъгли се отнасят като \(2:7\). По-малкият е:
11Ако един остър ъгъл е \(37^\circ45'\), съседният тъп е:
12Съответните ъгли са \((2x+20)^\circ\) и \((3x-10)^\circ\). \(x=\)
13Вътрешните прилежащи са \((5x+10)^\circ\) и \((3x+10)^\circ\). \(x=\)
14Ако един съответен ъгъл е \(82^\circ\), другият съответен е:
15През точка, нележаща на дадена права, перпендикулярна на правата минава:

Видео урок

Видео урок — Успоредни прави и ъгли

Допълнителни тестове от оригиналната публикация

Следващите два Google Forms теста са запазени без промяна от оригиналната публикация. Те са по алгебра и не са част от текущата геометрична тема.

Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →

Свързани уроци и материали

Този урок е естественото продължение на признаците за успоредност и основа за задачите с триъгълници и други планиметрични фигури.

17Признаци за успоредност — 7. класПредишният урок: от отношения между ъгли към заключението, че правите са успоредни.Преглед → 19Триъгълник. Сбор на ъглите — 7. класСледваща тема, в която свойствата на успоредните прави се използват в доказателства.Преглед → 44Основни геометрични фигури — 5. класПерпендикулярни прави, разстояние от точка до права и основни ъгли.Преглед → 48Успоредни прави, успоредник и ромб — 5. класПо-ранна геометрична основа за работа с успоредност.Преглед →

Използвана литература

Запазена е литературата от първоначалната публикация. Новите задачи, решения и SVG чертежи са съставени за настоящата редакция.

  1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
  2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
  3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
  4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
  5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
  6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
  7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
  8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
  9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
  10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
  11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
  12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити
  • ›НВО по математика след 7 клас
  • ›НВО по математика след 10 клас
  • ›Кандидатстудентски изпити по математика
  • ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
  • ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
  • ›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, вероятности и статистика
✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Коментари

Публикуване на коментар

Популярни публикации от този блог

50 безплатни работни листа за 1. клас – Събиране и изваждане до 20 без преминаване

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Математика › 1. клас › Безплатни материали › Работни листове • Пакет 4 50 безплатни работни листа за 1. клас Пакет 4: Събиране и изваждане до 20 без преминаване Събиране и изваждане до 20 без преминаване на десетицата, събираемо и сбор, сра...
Прочетете още

50 безплатни работни листа за 2. клас – Събиране и изваждане до 100

Изображение
50 безплатни работни листа за 2. клас ◆ Пакет 3 • Събиране и изваждане до 100 без преминаване на десетицата ◆ 10 теми • по 5 варианта • 200 учебни дейности ◆ 50 безплатни работни листа за 2. клас ◆ Пакет 3 • Събиране и изваждане до 100 без преминаване на десетицата ◆ 10 теми • по 5 варианта • 200 учебни дейности ◆ Математика › 2. клас › Безплатни материали › Работни листове • Пакет 3 50 безплатни работни листа за 2. клас Пакет 3: Събиране и изваждане до 100 без преминаване на десетицата Прибавяне и изваждане на единици и десетици, действия с двуцифрени числа, писмено пресмятане, свързани равенства, неизвестно събираемо, сравняване на изрази, страни, върхове и обик...
Прочетете още

50 безплатни работни листа за 2. клас – Начален преговор по математика

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 2. клас • Пакет 1 ◆ 10 теми • 200 учебни дейности • по 5 варианта ◆ Начален преговор след 1. клас • PDF за разпечатване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 2. клас • Пакет 1 ◆ 10 теми • 200 учебни дейности • по 5 варианта ◆ Начален преговор след 1. клас • PDF за разпечатване ◆ Математика › 2. клас › Безплатни материали › Работни листове • Пакет 1 50 безплатни работни листа за 2. клас Пакет 1: Н...
Прочетете още