Уроци по математика (Math lessons)

Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник | Теореми и задачи | Геометрия 7 клас Медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник - теореми и задачи Теорема 1: Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата. Теорема 2: Ако в $\triangle ABC$ медианата $CM$ ($M\in AB$) е равна на половината от страната $AB$, то триъгълникът е правоъгълен с прав ъгъл при върха $C$. 1 Задача: В правоъгълния триъгълник $ABC$ медианата към хипотенузата $AB$ е равна на катета $AC$ и $CD$ ($D\in AB$) е височина. а) Да се намери дължината на катета $AC$, ако $AB=8$ cm. б) Ако $BC=a$ cm, да се намери дължината на височината $CD$. в) Ако $P$ и $Q$ са средите съответно на катетите $AC$ и $BC$, да се докаже, че периметърът на $\triangle ABC$ е два пъти по-голям от периметъра на $\triangle PDQ$. Решение а): Нека $CM$ е медиа...

Перпендикулярни прави и правоъгълни триъгълници | Геометрия 7 клас Теорема 1: През точка, която лежи на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената. Теорема 2: През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената права. Определение 1: Разстояние от точка до права се нарича дължината на перпендикуляра спуснат от точката към правата. Теорема 3: Ако две прави са успоредни, то точките от едната от тях се намират на равни разстояния от другата права. Теорема 4: Ако в правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е $30^{\circ}$, то катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата. Теорема 5: Ако в правоъгълен триъгълник единият катет е равен на половината от хипотенузата, то острият ъгъл срещу този катет е $30^{\circ}$. 1 Задача: Намерете дължината на хипотену...

Трети признак за еднаквост на триъгълници - теория и задачи | Геометрия 7 клас Теорема 1 (III признак за еднаквост): Ако страните на един триъгълник са съответно равни на страните на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. 1 Задача: Отсечките $BD$ и $B_1D_1$ са медиани съответно в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Докажете, че ако $AC=A_1C_1$ и $BD=B_1D_1$ и $\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1$, то триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ са еднакви. Решение: Тъй като $AC=A_1C_1$ и $BD$, $B_1D_1$ са медиани следва, че (1) $AD=DC=A_1D_1=D_1C_1$. Разглеждаме $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$: 1) $\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1$ (по условие); 2) $AD=A_1D_1$ (от (1)); 3) $BD=B_1D_1$ (по условие), Следователно $\triangle ABD\cong\triangle A_1B_1D_1$ по I признак. Оттук (2) $AB=A_1B_1$. От $\sphericalangle...

Височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрен триъгълник | Геометрия 7 клас Теорема 1: В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата му съвпадат. Теорема 2: Ако в един триъгълник височината и медианата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 3: Ако в един триъгълник височината и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 4: Ако в един триъгълник медианата и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен. Теорема 5: В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са равни. Определение 1: Права, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата й, се нарича симетрала на тази отсечка. Симетралата на отсечката $AB$ ще отбелязваме с $s_{AB}$. Теорема 6: Всяка точ...

Равнобедрен и равностранен триъгълник - теория и задачи | Геометрия 7 клас Определение 1: Триъгълник, на който две от страните са равни се нарича равнобедрен. $\triangle ABC$ е равнобедрен триъгълник и $AC=BC=a$. Страните $AC$ и $BC$ се наричат бедра на триъгълника, а страната $AB$ се нарича основа. Теорема 1: Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, той е равнобедрен. Теорема 2: В равнобедрен триъгълник ъглите при основата му са равни. Определение 2: Триъгълник, на който и трите страни са равни, се нарича равностранен. Теорема 3: Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, той е равностранен. Теорема 4: В равностранен триъгълник и трите ъгъла са равни на $60^{\circ}.$ 1 Задача: Докажете, че в равнобедрен триъгълник медианите към бедрата са равни. Решение: Нека е даден равнобедреният...

Еднакви триъгълници - пълно ръководство с дефиниции, признаци и задачи | Геометрия 7 клас Еднакви триъгълници - дефиниции, признаци и задачи Определение 1: Два триъгълника, които имат съответно равни страни и съответно равни ъгли, се наричат еднакви. Твърдението, че $\triangle ABC$ е еднакъв на $\triangle A_1B_1C_1$ ще означаваме по следния начин $\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1.$ Теорема 1 (първи признак за еднаквост): Ако две страни и ъгъл заключен между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл заключен между тях от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Теорема 2 (втори признак за еднаквост): Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви. Определение 2: В два еднакви триъгълника височините, ...

Ъгли в триъгълник - дефиниции и задачи | Геометрия 7 клас В настоящият урок ще научим на колко е равен сборът от ъглите в произволен триъгълник, какво е външен ъгъл на триъгълник, на колко е равен сборът от външните ъгли в триъгълника, както и ще решим някои задачи. Теорема 1: Сборът от ъглите на всеки триъгълник е равен на \(180^{\circ}\) или \(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\). Като следствие от тази теорема, можем да кажем, че всеки триъгълник има най-много един тъп ъгъл, както и, че сборът от острите ъгли в правоъгълен триъгълник е равен на \(90^{\circ}\). Определение 1: Външен ъгъл на триъгълник се нарича ъгъл, съседен на вътрешен ъгъл на триъгълник (в случая на чертежа външните ъгли са съответно \(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}\)). Теорема 2: Всеки вънжен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от двата несъседни на него вътрешни ъгли на триъгълник. ...