Трети признак за еднаквост на триъгълници 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Трети признак за еднаквост на триъгълници

Трети признак за еднаквост на триъгълници
Теория и задачи

Пълен урок с теорема, решени задачи с доказателства, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас Геометрия 2 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Трети признак за еднаквост на триъгълници (SSS) — теория, доказателства и задачи за 7 клас

В този урок ще разгледаме третия признак за еднаквост на триъгълници, ще видим как се прилага в доказателствени задачи и ще затвърдим знанията с упражнения за самостоятелна работа и онлайн тест.

Теория

Теорема 1 (III признак за еднаквост): Ако страните на един триъгълник са съответно равни на страните на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Идея: Ако \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\) и \(AC=A_1C_1\), тогава \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\). Този признак е особено полезен, когато лесно намираме равенство на трите страни, без да разполагаме директно с равни ъгли.

Припомнете си I и II признак за еднаквост от предишния урок.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Отсечките \(BD\) и \(B_1D_1\) са медиани в \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). Докажете, че ако \(AC=A_1C_1\), \(BD=B_1D_1\) и \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1\), то \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\).

▼

Решение Тъй като \(BD\) и \(B_1D_1\) са медиани и \(AC=A_1C_1\), следва: \[AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{A_1C_1}{2}=A_1D_1=D_1C_1.\]

Стъпка 1: \(\triangle ABD\cong\triangle A_1B_1D_1\)

1

\(\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1\) — по условие

2

\(AD=A_1D_1\) — доказано по-горе

3

\(BD=B_1D_1\) — по условие

\(\triangle ABD\cong\triangle A_1B_1D_1\) по I признак \(\Rightarrow AB=A_1B_1\).

Стъпка 2: \(\triangle BDC\cong\triangle B_1D_1C_1\)

От \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1=\alpha\) следва \(\sphericalangle BDC=\sphericalangle B_1D_1C_1=180°-\alpha\).

1

\(BD=B_1D_1\) — по условие

2

\(CD=C_1D_1\) — доказано по-горе

3

\(\sphericalangle BDC=\sphericalangle B_1D_1C_1=180°-\alpha\)

\(\triangle BDC\cong\triangle B_1D_1C_1\) по I признак \(\Rightarrow BC=B_1C_1\).

Стъпка 3: \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\)

1

\(AB=A_1B_1\) — от стъпка 1

2

\(BC=B_1C_1\) — от стъпка 2

3

\(AC=A_1C_1\) — по условие

\(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по III признак. ■

2

Докажете, че ако два равнолицеви триъгълника имат трите си височини съответно равни, то те са еднакви.

▼

Решение Нека \(AL\), \(BD\), \(CH\) са височините на \(\triangle ABC\) и \(A_1L_1\), \(B_1D_1\), \(C_1H_1\) — на \(\triangle A_1B_1C_1\). По условие: \[AL=A_1L_1,\quad BD=B_1D_1,\quad CH=C_1H_1,\quad S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_1B_1C_1}.\] Лицето на триъгълника може да се изрази чрез всяка страна и съответната й височина: \[S=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{BC\cdot AL}{2}=\frac{AC\cdot BD}{2}.\] От равенството на лицата и съответните равни височини: \[\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{A_1B_1\cdot C_1H_1}{2},\ CH=C_1H_1\ \Rightarrow\ AB=A_1B_1,\] \[\frac{BC\cdot AL}{2}=\frac{B_1C_1\cdot A_1L_1}{2},\ AL=A_1L_1\ \Rightarrow\ BC=B_1C_1,\] \[\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{A_1C_1\cdot B_1D_1}{2},\ BD=B_1D_1\ \Rightarrow\ AC=A_1C_1.\] Следователно \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по III признак. ■

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Точките \(C\) и \(D\) от симетралата на отсечката \(AB\) са от една и съща страна на \(AB\). Известно е, че \(\overrightarrow{AD}\cap\overrightarrow{BC}=E\) и \(\overrightarrow{AC}\cap\overrightarrow{BD}=F\). Докажете, че \(\sphericalangle CAE=\sphericalangle CBF\).

Задача 2За \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) е дадено, че медианите \(CM\) и \(C_1M_1\) са равни. Ако \(AB=A_1B_1\) и \(AC=A_1C_1\), докажете: а) \(\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1\); б) \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\).

Задача 3Докажете, че два равнобедрени триъгълника са еднакви, ако бедро и медиана към него от единия са съответно равни на бедро и медиана към него от другия.

Задача 4Докажете, че два триъгълника са еднакви, ако имат по две страни и медиани, излизащи от един и същи връх, съответно равни.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Трети признак за еднаквост на триъгълници

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Третият признак за еднаквост изисква:

две страни и ъгълът между тях да са равни трите страни да са съответно равни страна и двата прилежащи ъгъла да са равни трите ъгъла да са съответно равни

2Кое е вярно за третия признак за еднаквост?

Изисква равенство на два ъгъла и страна Изисква равенство на трите страни Изисква равенство само на две страни Изисква равенство на трите ъгъла

3Ако \(BD\) е медиана в \(\triangle ABC\) и \(AC=12\) cm, то \(AD\) е равно на:

\(12\) cm \(6\) cm \(4\) cm \(3\) cm

4В задача с медиани: \(AD=A_1D_1\), \(BD=B_1D_1\), \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1\). Еднаквостта \(\triangle ABD\cong\triangle A_1B_1D_1\) следва по:

II признак I признак III признак директно от условието

5След като сме доказали \(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\) и знаем \(AC=A_1C_1\), еднаквостта \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) следва по:

I признак II признак III признак аксиома

6Лицето на \(\triangle ABC\) чрез страната \(AB\) и височината \(CH\) е:

\(S=AB\cdot CH\) \(S=\dfrac{AB\cdot CH}{2}\) \(S=\dfrac{AB+CH}{2}\) \(S=AB^2\cdot CH\)

7Ако \(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_1B_1C_1}\), \(S=\dfrac{AB\cdot CH}{2}=\dfrac{A_1B_1\cdot C_1H_1}{2}\) и \(CH=C_1H_1\), следва:

\(CH=C_1H_1\) \(AB=A_1B_1\) \(BC=B_1C_1\) \(AC=A_1C_1\)

8Първият признак за еднаквост изисква:

три равни страни две страни и ъгълът между тях да са съответно равни страна и двата прилежащи ъгъла да са съответно равни три равни ъгъла

9Ако \(\sphericalangle ADB=\alpha\), то \(\sphericalangle BDC\) е равен на:

\(\alpha\) \(2\alpha\) \(180°-\alpha\) \(90°-\alpha\)

10Символът \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) означава:

подобни триъгълници еднакви триъгълници успоредни страни равни периметри

11Ако два триъгълника имат трите си ъгъла съответно равни, задължително ли са еднакви?

Да, винаги Не — трите равни ъгъла не са достатъчни Да, ако са остроъгълни Само ако са равнобедрени

12При доказателство с медиани, равенството \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle A_1D_1B_1\) откъде идва?

следва от медианите по условие на задачата от III признак от равенството на лицата

13За да докажем, че два триъгълника с равни три височини са еднакви, кое допълнително условие е необходимо?

равни периметри равни лица равни ъгли при основата равни медиани

14Медианата \(CM\) в \(\triangle ABC\) дели страната \(AB\) така, че:

\(AM=2BM\) \(AM=BM\) \(BM=3AM\) \(CM=AM\)

15От \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) следва:

само равни ъгли съответно равни страни, съответно равни ъгли и равни лица само равни страни само равни периметри

---

Видео уроци

Видео урок — Трети признак за еднаквост на триъгълници

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆