Перпендикуляр от точка към права. Правоъгълен триъгълник с ъгъл $30^{\circ}$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Перпендикулярни прави и правоъгълни триъгълници

Перпендикулярни прави и правоъгълни триъгълници
Теореми и задачи

Пълен урок с теореми, решени задачи с доказателства, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 5 теореми 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Перпендикулярни прави, разстояние от точка до права и свойства на правоъгълен триъгълник с ъгъл \(30°\) — урок за 7 клас

В този урок ще разгледаме основни теореми за перпендикулярни прави, разстояние от точка до права и важни свойства на правоъгълните триъгълници, свързани с ъгъл \(30°\).

Теория

Теорема 1: През точка, лежаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.

Теорема 2: През точка, нележаща на дадена права, минава точно една права, перпендикулярна на дадената.

Определение 1: Разстояние от точка до права се нарича дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към правата.

Теорема 3: Ако две прави са успоредни, то точките от едната се намират на равни разстояния от другата права.

Теорема 4: Ако в правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е \(30°\), то катетът срещу него е равен на половината от хипотенузата.

Теорема 5: Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то острият ъгъл срещу него е \(30°\).

Важна двойка обратни теореми: ъгъл \(30°\) ↔ срещулежащ катет е половина от хипотенузата. Двете теореми (4 и 5) се прилагат взаимно в задачите.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с остър ъгъл \(30°\), ако тя е с \(4\) cm по-дълга от катета срещу ъгъла от \(30°\).

▼

Решение Нека \(\sphericalangle ACB=90°\), \(\sphericalangle ABC=30°\) и \(AC=x\). От условието \(AB=x+4\). От Теорема 4: \[AC=\frac{AB}{2} \;\Rightarrow\; x=\frac{x+4}{2} \;\Rightarrow\; 2x=x+4 \;\Rightarrow\; x=4\ \text{cm}.\] Следователно \(AC=4\) cm и \(AB=8\) cm.

2

\(\triangle ABC\) е правоъгълен с прав ъгъл при \(C\), \(\sphericalangle ABC=60°\) и \(CD\) е височина от върха \(C\). Докажете, че \(AD=3BD\).

▼

Решение От \(\sphericalangle ABC=60°\) и \(\sphericalangle ACB=90°\) следва \(\sphericalangle BAC=30°\).

В \(\triangle BDC\): \(\sphericalangle BDC=90°\), \(\sphericalangle DBC=60°\), следователно \(\sphericalangle DCB=30°\).

От Теорема 4:
• за \(\triangle ABC\): \(BC=\dfrac{AB}{2}\)
• за \(\triangle BDC\): \(BD=\dfrac{BC}{2}\), откъдето \(BC=2BD\)

Следователно \(2BD=\dfrac{AB}{2} \Rightarrow AB=4BD\). Тъй като \(AB=AD+BD\): \[4BD=AD+BD \;\Rightarrow\; AD=3BD.\ \blacksquare\]

3

В равностранния \(\triangle ABC\) точката \(M\) е среда на \(AC\). Разстоянието от \(M\) до \(BC\) е \(24\) cm. Намерете \(BM\).

▼

Решение Нека \(MK\perp BC\), т.е. \(MK=24\) cm. В равностранния \(\triangle ABC\): \(\sphericalangle A=\sphericalangle B=\sphericalangle C=60°\).

Тъй като \(M\) е среда на \(AC\), то \(BM\) е медиана. В равностранен триъгълник медианата е и височина и ъглополовяща, следователно \(\sphericalangle ABM=30°\).

В \(\triangle BMK\): \(\sphericalangle MBK=30°\), \(\sphericalangle BKM=90°\). От Теорема 4: \[MK=\frac{BM}{2} \;\Rightarrow\; BM=2\times 24=48\ \text{cm}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1\(\triangle ABC\) е правоъгълен с прав ъгъл при \(C\), \(\sphericalangle ABC=60°\) и \(AB=10\) cm. Намерете периметъра на \(\triangle BDC\), където \(D\) е средата на хипотенузата \(AB\).

Задача 2Даден е правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle C=90°\)), в който \(AC=\frac{1}{2}AB\). През средата \(P\) на катета \(AC\) е построена права, успоредна на \(BC\), пресичаща \(AB\) в \(Q\). Докажете, че \(PQ=\frac{1}{2}BC\).

Задача 3За \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle BAC=105°\) и \(\sphericalangle ACB=45°\) е построена височина \(AH\) (\(H\in BC\)). Докажете, че \(AB=AH+CH\).

Задача 4В правоъгълния \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle C=90°\)) \(AL\) (\(L\in BC\)) е ъглополовяща. Докажете, че: а) ако \(AL=BL=2CL\), то \(\sphericalangle B=30°\); б) ако \(\sphericalangle B=30°\), то \(AL=BL=2CL\).

Задача 5В \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ACB=90°\) и \(AB=2BC\) симетралата на \(AB\) пресича \(AB\) и \(AC\) в точките \(M\) и \(N\). Докажете, че: а) \(\sphericalangle ABC=60°\); б) \(S_{\triangle AMC}=S_{\triangle MBC}\); в) \(BN\) е симетрала на \(MC\); г) \(S_{\triangle AMN}:S_{\triangle ABC}=1:3\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Перпендикулярни прави и правоъгълни триъгълници

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1През точка, лежаща на дадена права, колко прави, перпендикулярни на нея, минават?

безброй много само една точно две нито една

2Разстоянието от точка до права е:

произволна отсечка от точката до правата дължината на перпендикуляра от точката до правата разстоянието до средата на правата половината от дължината на правата

3В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл \(30°\), катетът срещу него е равен на:

хипотенузата половината от хипотенузата четвъртината от хипотенузата другия катет

4Правоъгълен триъгълник с ъгъл \(30°\). Хипотенузата е с \(4\) cm по-дълга от катета срещу \(30°\). Хипотенузата е равна на:

\(4\) cm \(8\) cm \(12\) cm \(6\) cm

5Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то острият ъгъл срещу него е:

\(60°\) \(30°\) \(45°\) \(90°\)

6В правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ABC=60°\) и височина \(CD\). Вярно е, че \(AD\) е равно на:

\(BD\) \(2BD\) \(3BD\) \(4BD\)

7В равностранен \(\triangle ABC\), \(M\) е среда на \(AC\). Разстоянието от \(M\) до \(BC\) е \(24\) cm. Намерете \(BM\).

\(24\) cm \(36\) cm \(48\) cm \(12\) cm

8Ако две прави са успоредни, то точките от едната се намират спрямо другата на:

различни разстояния равни разстояния нулево разстояние нищо не можем да кажем

9В равностранен триъгълник медианата \(BM\) образува с основата ъгъл, равен на:

\(60°\) \(30°\) \(45°\) \(90°\)

10В правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ACB=90°\) и \(\sphericalangle ABC=60°\), ъгълът \(\sphericalangle BAC\) е равен на:

\(60°\) \(30°\) \(45°\) \(90°\)

11През точка, нележаща на дадена права, перпендикулярни на нея минават:

безброй много точно една точно две нито една

12В правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ABC=60°\) и височина \(CD\), хипотенузата \(AB\) е равна на:

\(2BD\) \(3BD\) \(4BD\) \(BD\)

13В правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ACB=90°\), \(\sphericalangle ABC=30°\) и \(AB=8\) cm. Катетът \(AC\) е равен на:

\(8\) cm \(4\) cm \(2\) cm \(6\) cm

14В равностранен триъгълник медианата от даден връх е едновременно:

само медиана медиана, височина и ъглополовяща само височина само ъглополовяща

15В \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle C=90°\)) \(CD\) е височина към хипотенузата. Ъгълът \(\sphericalangle BDC\) е равен на:

\(60°\) \(45°\) \(90°\) зависи от ъглите

---

Видео уроци

Видео урок — Перпендикулярни прави и правоъгълни триъгълници

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆