Височина, медиана и ъглополовяща към основата в равнобедрен триъгълник. Симетрала на отсечка 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Равнобедрен триъгълник — симетрала

Височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрен триъгълник
Симетрала на отсечка

Пълен урок с теореми, 3 разработени задачи с доказателства и интерактивен тест

7 клас 7 теореми 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Съвпадане на височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрен триъгълник; симетрала на отсечка — урок за 7 клас

Теореми и определения

Теорема 1: В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат.

Теорема 2: Ако в триъгълник височината и медианата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 3: Ако в триъгълник височината и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 4: Ако в триъгълник медианата и ъглополовящата през един от върховете съвпадат, триъгълникът е равнобедрен.

Теорема 5: В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са равни.

Определение 1: Права, която е перпендикулярна на дадена отсечка и минава през средата й, се нарича симетрала на тази отсечка. Симетралата на \(AB\) означаваме с \(s_{AB}\).

Теорема 6: Всяка точка от симетралата на дадена отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.

Теорема 7: Всяка точка, която е на равни разстояния от краищата на дадена отсечка, лежи на симетралата на тази отсечка.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

\(\triangle ABC\) е равнобедрен с основа \(AB\). \(CH\) е неговата височина, а \(P\in CH\). Докажете: а) \(AP=BP\); б) \(\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC\); в) \(\sphericalangle BAP=\sphericalangle ABP\).

▼

Решение От Теорема 1: \(CH\) е и медиана \(\Rightarrow AH=BH\), и ъглополовяща \(\Rightarrow \sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP\). \(CH\) е височина \(\Rightarrow \sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90°\).

а) \(AP=BP\)

Разглеждаме \(\triangle AHP\) и \(\triangle BHP\):

1

\(AH=BH\) — \(CH\) е медиана

2

\(PH\) — обща

3

\(\sphericalangle AHP=\sphericalangle BHP=90°\)

\(\triangle AHP\cong\triangle BHP\) по I признак \(\Rightarrow AP=BP\). ■

б) \(\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC\)

Разглеждаме \(\triangle APC\) и \(\triangle BPC\):

1

\(CP\) — обща

2

\(\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP\) — \(CH\) е ъглополовяща

3

\(AC=BC\) — \(\triangle ABC\) е равнобедрен

\(\triangle APC\cong\triangle BPC\) по I признак \(\Rightarrow \sphericalangle APC=\sphericalangle BPC\). ■

в) \(\sphericalangle BAP=\sphericalangle ABP\)

Следва директно от а), тъй като \(\triangle AHP\cong\triangle BHP\) и всички съответни ъгли са равни. ■

2

В равнобедрения \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)), \(\sphericalangle ACB=40°\). Симетралата на \(AC\) пресича \(BC\) в \(D\) и продължението на \(AB\) в \(E\). Намерете \(\sphericalangle BCE\).

▼

Решение Тъй като \(\triangle ABC\) е равнобедрен: \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC\). От \(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC+40°=180°\): \[\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=70°.\] Тъй като \(E\) лежи на \(s_{AC}\), то \(ME\perp AC\) и \(M\) е среда на \(AC\), следователно \(ME\) е височина и медиана в \(\triangle AEC\). От Теорема 2, \(\triangle AEC\) е равнобедрен: \[\sphericalangle EAC=\sphericalangle ACE=70°.\] Следователно: \[\sphericalangle BCE=\sphericalangle ACE-\sphericalangle ACB=70°-40°=30°.\]

3

Симетралата на бедрото \(BC\) на равнобедрения \(\triangle ABC\) пресича бедрото \(AC\) в точка \(P\). Ако \(P_{\triangle APB}=39\) cm и \(BC=17\) cm, намерете \(AB\).

▼

Решение Тъй като \(P\) лежи на симетралата \(s_{BC}\), от Теорема 6: \(PC=PB\). Нека \(AP=x\), тогава \(PC=PB=BC-AP=17-x\).

За периметъра на \(\triangle APB\): \[P_{\triangle APB}=AP+AB+PB \;\Rightarrow\; 39=x+AB+(17-x) \;\Rightarrow\; AB=39-17=22\ \text{cm}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 Върху бедрото \(BC\) на равнобедрения \(\triangle ABC\) съществува точка \(D\) такава, че \(CD=AD=AB\). а) Намерете ъглите на \(\triangle ABC\). б) Докажете, че \(D\) е на равни разстояния от правите \(AB\) и \(AC\).

Задача 2 В \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)) симетралата на \(BC\) пресича бедрото \(AC\) в \(M\), а симетралата на \(CM\) пресича бедрото \(BC\) в \(N\). Докажете, че \(\sphericalangle AMB=\sphericalangle MNB\).

Задача 3 Даден е \(\triangle ABC\), в който \(\alpha:\beta:\gamma=5:1:6\). Точката \(M\) е средата на \(BC\), а \(H\) е пета на височината към \(AB\). а) Намерете \(\sphericalangle CMH\). б) Докажете, че \(AB=4CH\).

Задача 4 В \(\triangle ABC\) ъглополовящата \(AL\) разполовява медианата \(CM\). а) Докажете, че \(AC=\dfrac{1}{2}AB\). б) Намерете ъглите на \(\triangle ABC\), ако \(\sphericalangle BCM=30°\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Равнобедрен триъгълник — симетрала

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1В равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата към основата:

са различни съвпадат са перпендикулярни са успоредни

2Симетралата на отсечката е права, която:

минава само през средата е перпендикулярна и минава през средата на отсечката е успоредна на отсечката е перпендикулярна, но не минава през средата

3Всяка точка от симетралата на отсечка \(AB\) е:

по-близо до \(A\) на равни разстояния от \(A\) и \(B\) по-близо до \(B\) в средата на \(AB\)

4\(P_{\triangle APB}=39\) cm, \(BC=17\) cm, \(P\) на \(s_{BC}\). Намерете \(AB\).

\(17\) cm \(22\) cm \(39\) cm \(5\) cm

5Равнобедрен \(\triangle ABC\), \(AC=BC\), \(\sphericalangle ACB=40°\). Симетралата на \(AC\) пресича продължението на \(AB\) в \(E\). Намерете \(\sphericalangle BCE\).

\(40°\) \(30°\) \(70°\) \(20°\)

6Ако в триъгълник височината и медианата от един връх съвпадат, то той е:

правоъгълен равнобедрен равностранен тъпоъгълен

7Ако точка \(P\) е на равни разстояния от краищата на \(AB\), то \(P\):

е среда на \(AB\) лежи на симетралата на \(AB\) е връх на равнобедрен триъгълник е в средата само ако е на \(AB\)

8В З1а, \(\triangle AHP\cong\triangle BHP\) е доказано по:

II признак I признак III признак директно от определение

9В равностранен триъгълник всички височини, медиани и ъглополовящи са:

различни равни перпендикулярни успоредни

10Ако \(P\) лежи на симетралата \(s_{BC}\), то:

\(PB=AB\) \(PC=PB\) \(PC=BC\) \(P\) е среда на \(BC\)

11Ако в триъгълник височината и ъглополовящата от един връх съвпадат, то той е:

правоъгълен равнобедрен равностранен остроъгълен

12В равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)), \(\sphericalangle ACB=40°\). Намерете \(\sphericalangle BAC\).

\(40°\) \(70°\) \(80°\) \(50°\)

13Ако в триъгълник медианата и ъглополовящата от един връх съвпадат, то той е:

правоъгълен равнобедрен тъпоъгълен равностранен само

14В З1б, \(\triangle APC\cong\triangle BPC\) е доказано с елементи: \(CP\) обща, \(\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP\), \(AC=BC\). По кой признак?

II признак (ASA) I признак (SAS) III признак (SSS) директно от определение

15В задача 3, защо \(PC=PB\)?

защото \(\triangle ABC\) е равнобедрен защото \(P\) лежи на симетралата на \(BC\) (Теорема 6) защото \(P\) е средата на \(AC\) защото \(BC=AC\)

---

Видео уроци

Видео урок — Височина, медиана и ъглополовяща в равнобедрен триъгълник. Симетрала

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆