📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл. ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 3. клас › Урок 14 › Видове триъгълници според ъглите

Видове триъгълници според ъглите

Различаваме остроъгълен, правоъгълен и тъпоъгълен триъгълник. Учим се да проверяваме ъглите и да чертаем триъгълници в квадратна мрежа. 25 решени задачи, 30 самостоятелни упражнения и тест с 15 въпроса.

3. класГеометрияВидове триъгълнициТриъгълници според ъглите

За родителя и учителя: подгответе чертожен триъгълник, линийка, лист с прав ъгъл и тетрадка на квадратчета. В този урок няма да измерваме ъгли в градуси. Ще разпознаваме вида на триъгълник, като сравняваме неговите ъгли с правия ъгъл на чертожния триъгълник.

В урок №10 „Прав, остър и тъп ъгъл“ се научихме да различаваме отворите на ъглите. Сега използваме това знание, за да определим вида на цял триъгълник според ъглите му. За върховете и рамената може да си припомним урок №9, а за страна и връх на фигура — урока от 2. клас.

Важно: класифицираме триъгълниците само според техните ъгли: остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни. Видовете триъгълници според страните им са друга класификация. Завъртането или преместването на целия триъгълник не променя вида му. Но ако преместим някой от върховете и променим ъглите, видът на триъгълника може да се промени.

🔺 Припомняме: три страни, три върха, три ъгъла

Триъгълникът има три върха, три страни и три вътрешни ъгъла. В триъгълник ABC върховете са A, B, C, страните са AB, BC и CA, а ъглите са при A, при B и при C. Записваме ги ∠BAC, ∠ABC и ∠ACB. Средната буква в означението на ъгъл винаги е неговият връх.

На този чертеж са означени трите върха на триъгълника ABC. Оранжевите дъги показват вътрешните му ъгли.

Ако искаш да преговориш основните геометрични фигури, виж урока за страна и връх от 1. клас. За тази тема не ни трябва да намираме обиколката, но изученото в урока за обиколка на триъгълник ни напомня кои са трите му страни.

🟦 Трите вида триъгълници според ъглите

ОстроъгъленИ трите вътрешни ъгъла са остри.

ПравоъгъленИма един прав ъгъл.

ТъпоъгъленИма един тъп ъгъл.

Остроъгълен триъгълник: всеки от трите му ъгъла е остър.

Правоъгълен триъгълник: има един прав ъгъл; другите два са остри.

Тъпоъгълен триъгълник: има един тъп ъгъл; другите два са остри.

Вид	Как го познаваме?	Брой остри ъгли
Остроъгълен	Няма прав или тъп ъгъл.	3
Правоъгълен	Има 1 прав ъгъл.	2
Тъпоъгълен	Има 1 тъп ъгъл.	2

📐 Проверяваме с правия ъгъл на чертожния триъгълник

Поставяме върха на правия ъгъл на чертожния триъгълник върху избран връх на начертания триъгълник. Подравняваме едното рамо с едната му страна и сравняваме второто рамо. Ако съвпада — прав; ако е по-тесен — остър; ако е по-широк — тъп. Повтаряме при необходимост за останалите върхове.

1. Виж трите ъгълаПосочи при кои върхове се намират вътрешните ъгли.

2. Сравни с правияСъвмести връх и рамо на еталона с проверявания ъгъл.

3. Назови триъгълникаЕдин прав → правоъгълен; един тъп → тъпоъгълен; само остри → остроъгълен.

При върха B оранжевото квадратче означава прав ъгъл. Триъгълникът остава правоъгълен и ако го завъртим.

🔄 Завъртян триъгълник — същият вид

Чертеж 1Правият ъгъл е при A.

Чертеж 2Правият ъгъл е при A, но фигурата е завъртяна.

Чертеж 3Правият ъгъл е при C.

Запомни: не гледаме дали една страна е хоризонтална или вертикална. Гледаме отвора на вътрешните ъгли. Завъртането на цялата фигура или обръщането на листа не променя вътрешните ѝ ъгли. Ако обаче променим формата на триъгълника, например преместим един връх, ъглите и видът му може да се променят.

✏️ Чертаем триъгълници в квадратна мрежа

В тетрадката на квадратчета можем да построим примери, без да използваме транспортир. Отбелязваме три точки, които не лежат на една права, и ги свързваме с отсечки.

ПравоъгъленИзбираме две страни по ред и колона.

ОстроъгъленТретият връх е достатъчно високо над основата; проверяваме трите ъгъла.

ТъпоъгъленТретият връх е близо до основата; проверяваме ъгъла.

Упражнение за тетрадката: начертай един правоъгълен триъгълник с две страни по ред и колона от квадратната мрежа. След това начертай остроъгълен и тъпоъгълен триъгълник и провери вида им с чертожен триъгълник. Не разчитай само на „прилича ми на…“.

🏠 Правоъгълник и два правоъгълни триъгълника

Диагоналът AC разделя правоъгълника ABCD на два правоъгълни триъгълника: ABC (прав ъгъл при B) и ACD (прав ъгъл при D).

Правоъгълникът има четири прави ъгъла. Ако го разделим по диагонал AC, получаваме два правоъгълни триъгълника. В първия правият ъгъл е при B, а във втория — при D. Това е добър начин да разпознаем прави ъгли в по-сложен чертеж.

❗ Може ли един триъгълник да има два прави или два тъпи ъгъла?

Не. В обикновения триъгълник може да има най-много един прав или най-много един тъп ъгъл. Затова правоъгълният и тъпоъгълният триъгълник имат по два остри ъгъла. По-късно ще научим как това следва от общите свойства на ъглите в триъгълника. Сега го установяваме чрез чертане, сгъване и сравняване с правия ъгъл.

⚠️ Най-чести грешки

Грешка 1: „Щом триъгълникът е завъртян, не е правоъгълен.“ — Невярно. Отворът на ъглите не се променя.

Грешка 2: „Ако има два остри ъгъла, непременно е остроъгълен.“ — Невярно. И правоъгълният, и тъпоъгълният имат по два остри.

Грешка 3: „Една дълга страна прави триъгълника тъпоъгълен.“ — Невярно. Сравняваме ъглите, не просто дължините.

Грешка 4: „∠ABC е ъгълът при A.“ — Невярно. Средната буква B е върхът на ъгъла.

Грешка 5: определяме вида по рисунка „на око“, без да проверим със шаблон. — Сравняваме с правия ъгъл на чертожния триъгълник.

✏️ Разработени задачи

Прочетете условието, определете вида на триъгълника и опитайте сами. Натиснете върху задачата, за да видите пълното обяснение. Задачи №21–25 са с повишена трудност.

Посочете броя на върховете, страните и вътрешните ъгли на триъгълник ABC.

Решение

В триъгълник ABC отбелязваме върховете A, B и C — общо три. Страните са AB, BC и CA — общо три. При всеки връх се образува по един вътрешен ъгъл — общо три. Отговор: 3 върха, 3 страни и 3 вътрешни ъгъла.

Определете вида на триъгълник ABC по начертания отвор на трите му ъгъла.

Решение

Проверяваме всеки вътрешен ъгъл със шаблон на прав ъгъл. И при A, и при B, и при C отворът е по-тесен от правия. Следователно и трите ъгъла са остри. Отговор: Триъгълникът е остроъгълен.

Определете вида на триъгълник ABC и назовете върха на правия му ъгъл.

Решение

Страните AB и AC образуват прав ъгъл при A. Проверяваме го по квадратчето при върха или с чертожен триъгълник. Щом триъгълникът има един прав ъгъл, той е правоъгълен. Отговор: Правоъгълен триъгълник; правият ъгъл е при A.

Какъв е триъгълникът ABC? Назовете върха на тъпия ъгъл.

Решение

Вътрешният ъгъл при C е по-широко отворен от правия, но не е разгънат. Ъглите при A и B са остри. Триъгълникът се нарича според тъпия си ъгъл. Отговор: Тъпоъгълен триъгълник; тъпият ъгъл е при C.

Разгледайте трите фигури. Запишете вида на триъгълници I, II и III според ъглите.

III

Решение

При I всички ъгли са остри. При II има прав ъгъл при A. При III има тъп ъгъл при C. Отговор: I — остроъгълен; II — правоъгълен; III — тъпоъгълен.

В триъгълник ABC ∠ABC е прав. Коя буква означава неговия връх? Какъв е видът на триъгълника?

Решение

В означението ∠ABC средната буква B посочва върха на ъгъла. Щом при B има прав ъгъл, целият триъгълник е правоъгълен. Отговор: Връх B; правоъгълен триъгълник.

Начертаният триъгълник е завъртян. Определете вида му и обяснете защо.

Решение

Не се съобразяваме с това как стои фигурата спрямо листа. Сравняваме ъглите: при A има прав ъгъл, а другите два са остри. Следователно завъртяната фигура пак е правоъгълен триъгълник. Отговор: Правоъгълен.

Определете вида на следния триъгълник с три остри ъгъла, въпреки че страните му не изглеждат еднакви.

Решение

Видът според ъглите не се определя от равенството на страните. Проверяваме трите отвора: всеки е по-малък от правия ъгъл. Следователно фигурата е остроъгълна. Отговор: Остроъгълен триъгълник.

При кой връх е тъпият ъгъл на начертания наклонен триъгълник? Какъв е видът му?

Решение

Сравняваме отворите, без да завъртаме мислено само едната страна. При C отворът е по-голям от правия ъгъл. Това определя триъгълника като тъпоъгълен. Отговор: При C; тъпоъгълен триъгълник.

Колко остри ъгъла има всеки правоъгълен триъгълник? Посочете ги на чертежа.

Решение

На чертежа правият ъгъл е при B. Другите два, при A и C, са остри. В правоъгълен триъгълник винаги има два остри ъгъла. Отговор: Два — при A и при C.

Колко остри ъгъла има тъпоъгълният триъгълник ABC на чертежа?

Решение

Единият вътрешен ъгъл — при C — е тъп. Останалите два, при A и B, са остри. Отговор: Два остри ъгъла.

В триъгълник ABC всеки от трите ъгъла е по-малък от правия. Как наричаме триъгълника?

Решение

„По-малък от правия“ означава остър ъгъл. Тук и трите са остри, което точно е определението за остроъгълен триъгълник. Отговор: Остроъгълен триъгълник.

Може ли триъгълник да има два прави ъгъла? Обяснете на достъпен език.

Решение

Не. Ако при два върха изградим прави ъгли с една обща страна между тях, другите две страни няма как да се срещнат в трети връх, така че да затворят обикновен триъгълник. Отговор: Не, един триъгълник не може да има два прави ъгъла.

Може ли един триъгълник да има едновременно прав и тъп ъгъл?

Решение

Не. Правоъгълният триъгълник има един прав и два остри ъгъла; тъпоъгълният има един тъп и два остри ъгъла. Затова в един триъгълник не могат да присъстват едновременно прав и тъп ъгъл. Отговор: Не.

Ученик смята, че триъгълникът е тъпоъгълен, защото едната начертана страна е по-дълга. Правилно ли е разсъждението?

Решение

Само дължината на едната страна не е достатъчна, за да определим вида по ъглите. Трябва да проверим има ли прав или тъп ъгъл или и трите са остри. Отговор: Не; сравняваме ъглите, а не просто дължината на страните.

В правоъгълник ABCD е начертан диагонал AC. Кои два триъгълника се получават и какъв е видът на всеки?

Решение

Диагоналът AC разделя правоъгълника на триъгълници ABC и ACD. При B страните AB и BC сключват прав ъгъл, следователно ABC е правоъгълен. При D страните AD и DC сключват прав ъгъл, следователно ACD също е правоъгълен. Отговор: ABC и ACD; и двата са правоъгълни.

Два чертежа показват правоъгълни триъгълници с различна ориентация. Остава ли видът им един и същ?

Решение

В първия чертеж правият ъгъл е при A. Във втория е при C. И в двата случая има по един прав ъгъл, независимо от ориентацията. Отговор: Да, и двата са правоъгълни.

Начертайте в квадратна мрежа триъгълник с прав ъгъл при B. Кои две страни трябва да се срещат под прав ъгъл?

Решение

Отбелязваме B на пресечна точка на мрежата. През B чертаем едната страна по ред квадратчета, а другата — по колона. После свързваме свободните краища. Страните BA и BC се срещат под прав ъгъл. Отговор: Получава се правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при B.

Начертайте в квадратна мрежа остроъгълен триъгълник. Как ще проверите резултата?

Решение

Избираме две точки за основата и трета точка достатъчно високо над вътрешността ѝ, както е на модела. Свързваме точките и проверяваме при A, B и C с чертожния триъгълник. Всеки отвор е по-тесен от правия. Отговор: Получава се остроъгълен триъгълник с три остри ъгъла.

Начертайте в квадратна мрежа тъпоъгълен триъгълник. Кой ъгъл трябва да е по-широк от правия?

Решение

Отбелязваме основата AB и трета точка C близо до нея над вътрешността, както е на чертежа. Свързваме точките. Ъгълът при C е по-широк от правия, което проверяваме с чертожен триъгълник. Отговор: Тъпоъгълен ABC с тъп ъгъл при C.

Разгледайте четири различно ориентирани триъгълника. Определете вида на всеки и пребройте колко са остроъгълните, правоъгълните и тъпоъгълните.★ Повишена трудност

III

Решение

I има три остри ъгъла — остроъгълен. II има прав ъгъл при A — правоъгълен. III има тъп ъгъл при C — тъпоъгълен. IV има прав ъгъл при A, макар да е завъртян — правоъгълен. Отговор: 1 остроъгълен, 2 правоъгълни и 1 тъпоъгълен.

В показаните три фигури намерете всички правоъгълни триъгълници, без да гледате дали страните са хоризонтални.★ Повишена трудност

III

Решение

В I правият ъгъл е при A. В II правият ъгъл е при C. В III има тъп ъгъл при B, а прав няма. Следователно търсените са I и II. Отговор: I и II — общо 2 правоъгълни триъгълника.

Правоъгълник ABCD е разделен с диагонал AC. Ученик казва, че триъгълник ACD е остроъгълен, понеже е наклонен. Поправете грешката и назовете правия ъгъл.★ Повишена трудност

Решение

В правоъгълник съседните страни AD и DC образуват прав ъгъл при D. Те са страни и на триъгълник ACD, следователно той има прав ъгъл и е правоъгълен. Диагоналът не изменя този ъгъл. Отговор: Ученикът греши; ACD е правоъгълен, а правият ъгъл е ∠ADC.

На чертежа ∠ACB е по-голям от правия. Другите два ъгъла са остри. Ученик нарича триъгълника остроъгълен, защото „два от три ъгъла са остри“. Прав ли е?★ Повишена трудност

Решение

Не. За да бъде остроъгълен, всичките три ъгъла трябва да са остри, а не само два. Тук ∠ACB е тъп, следователно именно той определя вида на триъгълника. Отговор: Ученикът греши; триъгълникът е тъпоъгълен.

В остроъгълен триъгълник ABC отсечка CD стига от върха C до страна AB и образува прави ъгли при D. Определете видовете на ABC, ACD и BCD.★ Повишена трудност

Решение

ABC е остроъгълен, защото всеки негов вътрешен ъгъл е остър. В триъгълник ACD при D има прав ъгъл между AD и CD, следователно ACD е правоъгълен. В BCD прав ъгъл между DB и DC отново има при D, следователно BCD също е правоъгълен. Отговор: ABC — остроъгълен; ACD и BCD — правоъгълни.

📝 Задачи за самостоятелна работа

Работете първо в тетрадката. Сравнявайте ъглите с чертожния триъгълник, когато е необходимо. Едва след това отворете „Покажи отговора“. Задачи №26–30 са с повишена трудност.

Задача 1

Как се нарича триъгълник, в който всички ъгли са остри?

Покажи отговора

Отговор: Остроъгълен триъгълник.

Задача 2

Как се нарича триъгълник, който има един прав ъгъл?

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълен триъгълник.

Задача 3

Как се нарича триъгълник, който има един тъп ъгъл?

Покажи отговора

Отговор: Тъпоъгълен триъгълник.

Задача 4

При кой връх е правият ъгъл на триъгълника ABC?

Покажи отговора

Отговор: При A.

Задача 5

Какъв е видът на начертания триъгълник ABC?

Покажи отговора

Отговор: Остроъгълен.

Задача 6

Какъв е видът на триъгълник ABC и при кой връх е правият ъгъл?

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълен, при B.

Задача 7

Какъв е видът на триъгълник ABC и при кой връх е тъпият ъгъл?

Покажи отговора

Отговор: Тъпоъгълен, при C.

Задача 8

Правоъгълен ли е завъртеният триъгълник ABC?

Покажи отговора

Отговор: Да. Правият ъгъл е при A.

Задача 9

Тъпоъгълен ли е завъртеният триъгълник ABC?

Покажи отговора

Отговор: Да. Тъпият ъгъл е при B.

Задача 10

Избройте трите върха и трите страни на триъгълник ABC.

Покажи отговора

Отговор: Върхове A, B и C; страни AB, BC и CA.

Задача 11

Начертайте в квадратна мрежа правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при B.

Покажи отговора

Отговор: Един възможен чертеж: BA по вертикална колона, BC по хоризонтален ред; свържете A и C.

Задача 12

Начертайте в квадратна мрежа остроъгълен триъгълник.

Покажи отговора

Отговор: Един възможен чертеж: основа AB и връх C достатъчно високо над вътрешността ѝ; и трите ъгъла са остри.

Задача 13

Начертайте в квадратна мрежа тъпоъгълен триъгълник.

Покажи отговора

Отговор: Един възможен чертеж: основа AB и връх C близо до нея; тъпият ъгъл е при C.

Задача 14

Колко остри ъгъла има остроъгълният триъгълник?

Покажи отговора

Отговор: Три.

Задача 15

Колко остри ъгъла има правоъгълният триъгълник?

Покажи отговора

Отговор: Два.

Задача 16

Колко остри ъгъла има тъпоъгълният триъгълник?

Покажи отговора

Отговор: Два.

Задача 17

Може ли триъгълник да има два прави ъгъла?

Покажи отговора

Отговор: Не.

Задача 18

Може ли триъгълник да има един прав и един тъп ъгъл?

Покажи отговора

Отговор: Не.

Задача 19

Назовете вида на триъгълник ABC според ъглите.

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълен, с прав ъгъл при C.

Задача 20

Назовете вида на триъгълник ABC според ъглите.

Покажи отговора

Отговор: Остроъгълен.

Задача 21

Може ли от дължината на само една страна да определим вида на триъгълника според ъглите?

Покажи отговора

Отговор: Не, трябва да разгледаме ъглите.

Задача 22

Кой инструмент използваме, за да сравним ъгъла на триъгълника с правия?

Покажи отговора

Отговор: Чертожен триъгълник или подходящ хартиен шаблон на прав ъгъл.

Задача 23

Какъв вид са триъгълниците ABC и ACD, когато AC е диагонал на правоъгълник ABCD?

Покажи отговора

Отговор: И двата са правоъгълни: ABC има прав ъгъл при B, а ACD — при D.

Задача 24

Посочете пример от всекидневието за фигура, която може да разделим на два правоъгълни триъгълника.

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълен лист хартия или правоъгълник, разделен по диагонал.

Задача 25

Ако завъртим остроъгълен триъгълник върху листа, какъв остава той?

Покажи отговора

Отговор: Остроъгълен.

Задача 26 · Повишена трудност

Определете видовете на триъгълници I, II, III и IV. Колко са правоъгълните?

III

Покажи отговора

Отговор: I — остроъгълен; II — правоъгълен; III — тъпоъгълен; IV — правоъгълен. Правоъгълните са 2.

Задача 27 · Повишена трудност

Ученик твърди, че триъгълникът с тъп ъгъл при C е остроъгълен, защото другите два ъгъла са остри. Поправете го.

Покажи отговора

Отговор: Невярно. Щом има един тъп ъгъл, целият триъгълник е тъпоъгълен.

Задача 28 · Повишена трудност

В показаната фигура колко различни триъгълника ABC, ACD и BCD са правоъгълни и колко са остроъгълни?

Покажи отговора

Отговор: Правоъгълни са ACD и BCD — 2; остроъгълен е ABC — 1.

Задача 29 · Повишена трудност

В трите чертежа I, II и III намерете всички триъгълници, които имат тъп ъгъл.

III

Покажи отговора

Отговор: Само II има тъп ъгъл; при C. I е правоъгълен, а III — остроъгълен.

Задача 30 · Повишена трудност

Ученик знае само, че два ъгъла на триъгълника са остри. Може ли от това със сигурност да определи вида му според ъглите?

Покажи отговора

Отговор: Не. Третият ъгъл може да е остър, прав или тъп. Следователно триъгълникът може да бъде от всеки от трите вида.

✅ Онлайн тест — 15 въпроса

За всеки въпрос изберете един верен отговор. Верният отговор носи 4 точки. Максималният брой е 60 точки. При предаване ще видите резултата и правилните отговори.

🎥 Видеоуроци

🎥

Видеоурок — очаквайте скоро

Видеоурокът по тази тема все още не е добавен. В канала можете да гледате и други уроци по математика.

▶ Абонирайте се за канала

🔗 Свързани уроци

3. клас: Прав, остър и тъп ъгъл

Припомнете трите вида ъгли и как се сравняват с правия ъгъл на чертожния триъгълник.

Към урока →

3. клас: Ъгъл. Връх и рамена

Научете как обозначаваме ъгъла и как определяме неговия връх.

Към урока →

2. клас: Геометрична фигура. Страни и върхове

Преговор на страните и върховете на триъгълника и другите изучени фигури.

Към урока →

2. клас: Обиколка на триъгълник, правоъгълник и квадрат

Припомнете, че триъгълникът има три страни, които може да измерим и съберем.

Към урока →

Пълният каталог на учебните теми за началния етап е на страницата Уроци по математика за 1.–4. клас. Следващият урок №15 ще е за квадрата като вид правоъгълник.

📚 Използвана литература и методически ориентири

Министерство на образованието и науката. Учебни програми за III клас. Геометрични фигури и видове триъгълници според ъглите.
Клет България. Книга за учителя по математика за 3. клас. Указания за сравняване с правия ъгъл и за триъгълниците според ъглите.
Кан Академия — 3. клас: Определяне вида на триъгълника. Допълнителен образователен ресурс.
Каталог на уроците за 1.–4. клас. Уроци за предходни знания по геометрия.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 4. клас
›НВО по математика след 7. клас
›НВО по математика след 10. клас
›Кандидатстудентски изпити по математика

📚 Текущо обучение

›Усвояване на текущия учебен материал от 1. до 12. клас
›Индивидуална работа според пропуските на ученика
›Подготовка по конкретни теми и домашни работи

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Математика с д-р Атанас Илчев