Уроци по математика (Math lessons)

Определение 1: Нека $n$ е естествено число и $M_1, M_2,\ldots M_n$ e фамилия от множества. Всяко подмножество $R\subseteq M_1\times M_2\times\ldots\times M_n$ се нарича $n$-местна релация, а множествата $M_1, M_2,\ldots M_n$ се наричат първи, втори и т.н. $n$-ти домен на тази релация. Ако вземем $n=2$ получената релация се нарича двуместна или още бинарна релация.  Ако $(m,n)\in R$, където $R$ е бинарна релация ще използваме инфиксният запис $mRn$.  Така от дефиницията ясно се вижда, че ако елементите на едно множество $M$ са в релация с елементите на друго множество $N$ естествено се поражда множеството $M\times N$, което определя дадената релация. Съществуват два начина на задаване на релации - конструктивно и дескриптивно . Нека да разгледаме следващият пример. Пример 1: Нека имаме множествата $M=\{10,20,30,40\}$ и $N=\{4,5\}$. Разглеждаме следните две бинарни релации, които са зададени дескриптивно: $R_1=\{(m,n)| m\in M, n\in N,\ m\ се\ дели\ на\ n\}$ и  $R_2=\{(m,n)...

Ако при провеждането на даден опит събитието $A$ не се случва ще казваме, че се е случило противоположното събитие на $A$, което ще бележим с $\overline{A}$. Пример: Ако събитието $A$ е "при хвърляне на стандартен зар да се падне $1$", то $\overline{A}$ е събитието "при хвърляне на стандартен зар да не се падне $1$". Нека да припомним следното определение: Определение 1: Обединение на две събития $A$ и $B$ се нарича трето събитие $C$, което се сбъдва, когато се сбъдва събитието $A$ или събитието $B$. Преди да преминем към разглеждането на някои задачи нека припомним с два примера, кои събития ще наричаме съвместими, и кои несъвместими събития. Пример: Нека $A$ да е събитието "при хвърляне на зар да се паднат $3$, $4$ или $5$ точки", а събитието $B$ е "да се паднат $2$ или $6$ точки". Ясно е, че ако настъпи събитието $A$ - да се паднат $3$, $4$ или $5$ точки няма как да настъпи събитието $B$ и обратно, следователно двете събития $A$ и $B$ се нар...

Определение 1: Случайно събитие ще наричаме събитие, което при дадени условия може да настъпи или да не настъпи. Събитията може да са резултат от някакво наблюдие над процес или явление или пък да са следствие от някакъв проведен експеримент и т.н. Когато две събития могат да се сбъднат при едно и също провеждане на някакъв опит, тогава те се наричат съвместими събития.  Пример: При хвърлянето на стандартен зар могат едновременно да се случат двете събития "броят на точките да е $5$" и "броят на точките да е нечетно число". Обратно на понятието съвместими събития - несъвместими са събития, които при провеждане на даден опит сбъдването на едното събитие автоматично изключва сбъдването на второто събитие. Пример: При хвърлянето на стандартен зар не могат едновременно да се сбъднат двете събития "броят на точките да е $5$" и "броят на точките да е четно число".  Ясно е, че ако се сбъдне първото събитие няма как да се сбъдне второто, защото $5$ не...

Аритметичната и геометричната прогресии намират много приложения в науката и практиката. Едно такова приложение е пресмятането на лихви, ренти и погасителни вноски на заеми, които сме взели от дадена банка.  Нека си представим следната ситуация. Ние притежаваме определена сума пари, които няма какво да правим. Тогава една възможност тези пари да ни донесат печалба е, ако ги внесем на влог в банката (и не само). Това означава ние да предоставим нашите пари на банката и тя да ги използва за свои цели. В замяна на това ние ще получаваме от банката някаква сума, възнаграждение за това, че тя използва нашите пари. Това възнаграждение, което ние ще получаваме за използването на парите ни за дадени период от време се нарича лихва.  Лихвата се начислява за даден период от време, като тя е процент от първоначално внесената от нас сума. Периодът, за който ние предоставяме нашите пари на банката да ги използва се нарича лихвени период, а процентът - лихвен процент. Определение 1: Лихват...

Когато съставяме математически модел на дадена задача е необходимо първо да означим това, което търсим с някаква буква (най-често $x$, $y$ и т.н.). След това съставяме уравнение (в случай квадратно уравнение), като вземем в предвид условията в разглежданата задача (казано по друг начин още - стойностите, които променливата може да приема според спецификата на самата задача, наричат се още допустими стойности) и го решаваме. Когато намерим решенията му определяме кои от тях могат да бъдат решение на поставената задача т.е. кои отговарят на допустимите стойности на задачата. Нека да разгледаме някои примери. 1 Задача Едно сако струва $50$ лв. Два пъти намалявали цената му, като второто намаление било с два пъти по-голям процент от първото. След двете намаления сакото струвало $36$ лв. С колко процента е било всяко от двете намаления. Решение: Нека първото намаление на сакото да е било с $x$% следователно новата му цена ще е $50-\frac{x}{100}.50$. Тъй като второто намаление е с $2x$% полу...

Теорема 1: Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) , то са изпълнени следните равенства: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и $x_1.x_2=\frac{c}{a}$. Зависимостите между корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение от Теорема 1 и неговите коефициенти се наричат формули на Виет (последните две равенства от Теорема 1 ). Важно е да споменем, че формулите на Виет не ни гарантират наличието на реални решения на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Със следващата теорема, която се нарича обратна теорема на Виет можем да възстановим едно квадратно уравнение, ако знаем неговите корени.  Теорема 2 (обратна теорема на Виет): Ако за числата $x_1$ и $x_2$ са в сила равенствата $x_1+x_2=-p$ и $x_1.x_2=q$, то $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+px+q=0$. Преди да преминем към разглеждането на задачите, нека кажем и някои важни следствия от формулите за съкратено умножение, които съществено ще използваме в някои от примерите. Сборът $x_1^2+x_2^2$ можем да пр...

В този урок ще разгладаме приложението на теорията за квадратните уравнения при решаването на уравнения от по-висока степен. Един от най-честите подходи, когато решаваме уравнения от степен по-голяма от втора е да разложим многочлена, който участва в уравнението на линейни и/или квадратни множители. Така решаването на даденото уравнение ще се сведе до решаването на линейни и/или квадратни уравнения, за които ние вече сме подготвени и можем да решим.  Ако в уравнението от по-висока степен забележим, че неизвестното участва в някакъв повтарящ израз, тогава е удачно да положим (да заменим неизвестното с ново неизвестно и така да получим по-просто уравнение от даденото относно новата променлива, виж урока за биквадатни уравнения ). Нека да разгледаме някои примери. 1 Задача Решете уравнението $(2x-1)^4-25(2x-1)^2+144=0$. Решение: Ако започнeм да разкриваме скобите в това уравнение ще достигнем до уравнение което ще е много сложно за решаване, ето какво ще е уравнението, което бихме пол...