Класическа вероятност. Вероятност на сума на несъвместими събития 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Статистика и вероятности › Класическа вероятност

Теория на вероятностите
Класическа вероятност

Случайни, съвместими и несъвместими събития, обединение и сечение, 4 определения, 5 свойства, Теорема 1 — 4 разработени задачи и 8 задачи за самостоятелна работа

8 клас Вероятности Класическа вероятност Несъвместими събития 4 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Основни понятия в теорията на вероятностите, формула за класическа вероятност и теорема за сума на несъвместими събития

Теория

Определение 1: Случайно събитие ще наричаме събитие, което при дадени условия може да настъпи или да не настъпи. Събитията може да са резултат от наблюдение над процес или явление или следствие от проведен експеримент.

Когато две събития могат да се сбъднат при едно и също провеждане на опит, те се наричат съвместими събития.

Пример (съвместими): При хвърлянето на стандартен зар могат едновременно да се случат двете събития „броят на точките да е \(5\)" и „броят на точките да е нечетно число".

Несъвместими са събития, при които сбъдването на едното автоматично изключва сбъдването на второто.

Пример (несъвместими): При хвърлянето на зар не могат едновременно да се сбъднат „броят на точките да е \(5\)" и „броят на точките да е четно число" — ако се падне \(5\), то не е четно, и обратно.

Включване: Казваме, че събитие \(A\) се включва в събитие \(B\) (\(A\subset B\)), ако от настъпването на \(A\) следва настъпването на \(B\), но не и обратно. Казано с други думи, \(A\) е частен случай на \(B\).

Пример (включване): Ако \(A\) е „пада \(5\)" и \(B\) е „пада нечетно число", то \(A\subset B\) — щом се сбъдне \(A\), се сбъдва и \(B\), но не винаги обратното.

Две събития \(A\) и \(B\) са еквивалентни, ако \(A\subset B\) и \(B\subset A\).

Определение 2: Обединение на две събития \(A\) и \(B\) е събитието \(C=A\cup B\), което се сбъдва, когато се сбъдва \(A\) или \(B\).

Определение 3: Сечение на две събития \(A\) и \(B\) е събитието \(D=A\cap B\), което се сбъдва, когато едновременно се сбъдват \(A\) и \(B\). Когато \(A\cap B=\emptyset\), събитията \(A\) и \(B\) са несъвместими.

Определение 4: Класическата вероятност \(P(A)\) за настъпване на събитие \(A\) е отношението на броя на благоприятните случаи на \(A\) към броя на всички възможни случаи.

Свойства на класическата вероятност:
1) \(0\leq P(A)\leq 1\).
2) Ако \(P(A)=0\), събитието \(A\) е невъзможно (няма да настъпи).
3) Ако \(P(A)=1\), събитието \(A\) ще настъпи сигурно.
4) Ако \(0случаен характер.
5) Ако \(A\subset B\), то \(P(A)\leq P(B)\).

Теорема 1: Ако две събития \(A\) и \(B\) са несъвместими, то: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B).\]

Забележка: За ясното разбиране на следващите примери е необходимо познаване на материала по комбинаторика от 8 клас.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

В урна има \(4\) бели, \(3\) зелени и \(6\) червени топки. Каква е вероятността случайно извадена топка да е: а) бяла;  б) зелена;  в) червена?

▼

Решение Общо в урната има \(4+3+6=13\) топки.
а) Благоприятни за бяла: \(4\). \(P(A)=\dfrac{4}{13}\).
б) Благоприятни за зелена: \(3\). \(P(B)=\dfrac{3}{13}\).
в) Благоприятни за червена: \(6\). \(P(C)=\dfrac{6}{13}\).

2

В урна има \(4\) бели, \(3\) зелени и \(6\) червени топки. Каква е вероятността случайно извадена топка да е: а) бяла или зелена;  б) зелена или червена;  в) бяла или червена?

▼

Решение Събитията са несъвместими (топката не може да е едновременно от два цвята), прилагаме Теорема 1.
а) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{4}{13}+\dfrac{3}{13}=\dfrac{7}{13}\).
б) \(P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{3}{13}+\dfrac{6}{13}=\dfrac{9}{13}\).
в) \(P(A\cup C)=P(A)+P(C)=\dfrac{4}{13}+\dfrac{6}{13}=\dfrac{10}{13}\).

3

Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът на точките да бъде по-малък от \(5\)?

▼

Решение Всички възможни наредени двойки при два зара са \(6\times6=36\). Наредените двойки, при които сборът е по-малък от \(5\): \[(1,1);\;(1,2);\;(1,3);\;(2,1);\;(2,2);\;(3,1) — \text{общо }6.\] \[P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.\]

4

Кръгова мишена е разделена на \(3\) непресичащи се зони. Вероятността да се улучи първата, втората или третата зона е съответно \(0{,}12\); \(0{,}21\) и \(0{,}37\). Каква е вероятността при изстрел мишената да се улучи?

▼

Решение \(P(A)=0{,}12\), \(P(B)=0{,}21\), \(P(C)=0{,}37\). Зоните са непресичащи се — събитията са несъвместими. По Теорема 1: \[P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0{,}12+0{,}21+0{,}37=0{,}70.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1В една кутия има \(9\) бели, \(6\) червени и \(5\) зелени топки. Изваждат се по случаен начин \(5\) от тях. Намерете вероятността да са извадени:
а) \(2\) бели, \(2\) червени и \(1\) зелена топки;  б) \(1\) бяла, \(3\) червени и \(1\) зелена топки.

Задача 2Кодът на сейф се състои от \(4\) цифри. Крадецът имал сведение, че четирите цифри са различни нечетни и една от тях е \(5\). Намерете вероятността той да отвори сейфа от първия опит.

Задача 3Имаме тесте от \(52\) карти. Без да гледаме, теглим шест от тях. Намерете вероятността да са изтеглени:
а) \(2\) аса, \(3\) попа и \(1\) вале;  б) \(3\) пики, \(1\) купа и \(2\) спатии.

Задача 4Дадени са \(6\) отсечки с дължина \(1\) dm, \(2\) dm, \(3\) dm, \(5\) dm, \(7\) dm и \(9\) dm. Намерете вероятността три случайно избрани от тях да могат да образуват триъгълник.

Задача 5Иван трябвало да направи преговор по математика от \(10\) урока, като учителят ще го изпита на един от тях. Тъй като не му стигнало времето, той успял да подготви \(7\) от тях. Каква е вероятността да му се падне един от подготвените?

Задача 6От тесте с \(52\) карти е изтеглена една карта. Каква е вероятността тази карта да е:
а) каро;  б) поп;  в) червена?

Задача 7От числата \(1, 2, 3, \ldots, 69, 70\) е избрано едно произволно число. Каква е вероятността то:
а) да се дели на \(2\);  б) да се дели на \(5\);  в) да се дели на \(3\);  г) да е по-голямо от \(10\) и по-малко от \(35\).

Задача 8В кутия има \(30\) лотарийни билета, като \(7\) от тях са печеливши. Каква е вероятността при случайно избрани два билета и двата да са печеливши?

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Класическа вероятност

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Случайно събитие е събитие, което при дадени условия:

Винаги настъпва Може да настъпи или да не настъпи Никога не настъпва

2Несъвместими са събития, при които:

Могат да се сбъднат едновременно Сбъдването на едното изключва сбъдването на другото Имат еднаква вероятност

3Класическата вероятност \(P(A)\) се пресмята като:

Брой на всички случаи / брой благоприятни Брой благоприятни случаи / брой всички случаи Брой неблагоприятни / брой всички случаи

4Ако \(P(A)=0\), то събитието \(A\) е:

Случайно Невъзможно Сигурно

5В Задача 1: вероятността за бяла топка е:

\(\dfrac{4}{9}\) \(\dfrac{4}{13}\) \(\dfrac{4}{6}\)

6В Задача 1: вероятността за зелена топка е:

\(\dfrac{6}{13}\) \(\dfrac{3}{13}\) \(\dfrac{3}{9}\)

7В Задача 2а: \(P(\text{бяла или зелена})\) е:

\(\dfrac{3}{13}\) \(\dfrac{7}{13}\) \(\dfrac{10}{13}\)

8В Задача 2в: \(P(\text{бяла или червена})\) е:

\(\dfrac{9}{13}\) \(\dfrac{10}{13}\) \(\dfrac{7}{13}\)

9В Задача 3: общият брой наредени двойки при два зара е:

\(12\) \(36\) \(21\)

10В Задача 3: благоприятните случаи за сбор по-малък от 5 са:

\(4\) \(6\) \(8\)

11В Задача 3: вероятността за сбор по-малък от 5 е:

\(\dfrac{1}{9}\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{4}\)

12В Задача 4: вероятността да се улучи мишената е:

\(0{,}37\) \(0{,}70\) \(1{,}00\)

13Теорема 1 за вероятност на обединение важи само когато събитията са:

Съвместими Несъвместими Еквивалентни

14Ако \(A\subset B\), тогава:

\(P(A)\geq P(B)\) \(P(A)\leq P(B)\) \(P(A)=P(B)\)

15\(A\cap B=\emptyset\) означава, че събитията \(A\) и \(B\) са:

Еквивалентни Несъвместими Включени едно в друго

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по класическа вероятност:

Видео урок — Класическа вероятност. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆