Лихва, кредит, рента 10 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Лихви, ренти и прогресии

Лихви, ренти
и прогресии

Приложение на аритметичната и геометричната прогресия при пресмятане на лихви, ренти и погасителни вноски — 4 разработени задачи и 5 задачи за самостоятелна работа

Прогресии Проста лихва Сложна лихва Рента ДЗИ задачи Д-р Атанас Илчев

Аритметичната прогресия при проста лихва, геометричната прогресия при сложна лихва и формули за рента и погасителни вноски

Теория

Аритметичната и геометричната прогресии намират много приложения в науката и практиката. Едно такова приложение е пресмятането на лихви, ренти и погасителни вноски на заеми, които сме взели от дадена банка.

Нека си представим следната ситуация. Ние притежаваме определена сума пари, които няма какво да правим. Тогава една възможност тези пари да ни донесат печалба е, ако ги внесем на влог в банката (и не само). Това означава ние да предоставим нашите пари на банката и тя да ги използва за свои цели. В замяна на това ние ще получаваме от банката някаква сума — възнаграждение за това, че тя използва нашите пари. Това възнаграждение, което ние ще получаваме за използването на парите ни за даден период от време, се нарича лихва.

Лихвата се начислява за даден период от време като процент от първоначално внесената сума. Периодът, за който ние предоставяме нашите пари на банката, се нарича лихвен период, а процентът — лихвен процент.

Определение 1: Лихвата, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период се олихвява само първоначалният капитал (първоначално дадената сума, наричана още основен капитал или главница), се нарича проста лихва.

Проста лихва — формула: Нека \(K_0\) е основният капитал, а \(p\%\) е лихвеният процент. Нарасналият капитал в края на \(n\)-тия лихвен период: \[K_n = K_0 + n\cdot K_0\cdot\frac{p}{100} = K_0\!\left(1+n\cdot\frac{p}{100}\right).\] Редицата \(K_1, K_2, \ldots, K_n\) е аритметична прогресия с първи член \(K_1\) и разлика \(d=K_0\cdot\dfrac{p}{100}\).

Лихва, при която в края на всеки лихвен период към главницата се прибавя и самата лихва и в края на следващия лихвен период се олихвява заедно с нея, се нарича сложна или капитализирана лихва. Казано с думите на Айнщайн: „Сложната лихва е осмото чудо на света. Който не я разбира я плаща, който я разбира я получава."

Сложна лихва — формула: Нека \(K_0\) е първоначалният капитал и \(p\%\) е сложната лихва. Полагаме \(q=1+\dfrac{p}{100}\). Тогава: \[K_1=K_0q,\quad K_2=K_0q^2,\quad \ldots,\quad K_n=K_0q^n = K_0\!\left(1+\frac{p}{100}\right)^n.\] Редицата \(K_0, K_0q, K_0q^2, \ldots, K_0q^n\) е геометрична прогресия с първи член \(K_0\) и частно \(q=1+\dfrac{p}{100}\).

Погасителна вноска и рента:
При взет кредит \(K\), погасяван с равни вноски \(V\) при лихвен коефициент \(q\), оставащата сума след \(n\)-тата вноска е: \[K_n = K\cdot q^n - V\cdot\frac{q^n-1}{q-1}.\] При пълно изплащане (\(K_n=0\)) погасителната вноска е: \[V = K\cdot q^n\cdot\frac{q-1}{q^n-1}.\]

Определение 2: Предварително уговорена сума, която се получава срещу вложен капитал при определена лихва, се нарича рента и се отбелязва с \(R\). Формулата за рента: \(R=K\cdot q^n\cdot\dfrac{q-1}{q^n-1}\).

Резюме на формулите:
• Проста лихва: \(K_n=K_0\!\left(1+n\cdot\dfrac{p}{100}\right)\) — аритметична прогресия.
• Сложна лихва: \(K_n=K_0\!\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\) — геометрична прогресия.
• Погасителна вноска / рента: \(V=K\cdot q^n\cdot\dfrac{q-1}{q^n-1}\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Фирма взела заем от \(10\,000\) лв. за \(8\) месеца при \(5\%\) месечна проста лихва. Колко лева е върнала фирмата в края на периода?

▼

Решение \(K_0=10000\) лв., \(p\%=5\%\), \(n=8\). Прилагаме формулата за проста лихва: \[K_8=10000+8\cdot10000\cdot\frac{5}{100}=10000+4000=14000 \text{ лв.}\]

2

Георги взел \(8\,000\) лв. заем при \(p\%\) проста месечна лихва. След \(4\) месеца върнал \(9\,920\) лв. Колко е лихвеният процент?

▼

Решение \(K_0=8000\) лв., \(n=4\), \(K_4=9920\) лв. От формулата за проста лихва: \[9920=8000+4\cdot8000\cdot\frac{p}{100} \iff 1920=320p \iff p=6.\] Отговор: Лихвеният процент е \(6\%\).

3

Заем от \(10\,000\) лв. е взет при \(5\%\) годишна сложна лихва за \(5\) години. Колко лева трябва да бъдат върнати при изтичането на периода?

▼

Решение \(K_0=10000\) лв., \(p\%=5\%\), \(n=5\). Прилагаме формулата за сложна лихва: \[K_5=10000\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^5=10000\cdot(1{,}05)^5\approx 10000\cdot1{,}28\approx 12800 \text{ лв.}\]

4

Каква сума трябва да се внесе при \(5\%\) годишна сложна лихва, за да стане тя след \(5\) години \(10\,000\) лв.?

▼

Решение \(K_5=10000\) лв., \(n=5\), \(p\%=5\%\). Търсим \(K_0\). От формулата за сложна лихва: \[10000=K_0\cdot(1{,}05)^5 \implies K_0=\frac{10000}{1{,}05^5}\approx 7835{,}26 \text{ лв.}\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Г-н Иванов има влог от \(200\,000\) лв. при \(3\%\) годишна лихва с месечно капитализиране.
а) Колко лева месечна рента ще получава, ако иска влогът да не се намалява?
б) Колко лева ще му останат след \(10\) години, ако получава месечна рента от \(1\,000\) лв.?
в) Колко лева месечна рента ще получава, ако иска влогът след \(10\) години да се намали наполовина?

Задача 2📛 (ДЗИ 03.06.2008) В банка са внесени \(3\,600\) лв. при годишна сложна лихва \(5\%\). Намерете каква ще бъде сумата след \(2\) години.

Задача 3📛 (ДЗИ 03.06.2008) Капитал от \(5\,000\) лв. е вложен в банка при сложна годишна лихва от \(4\%\). Намерете какъв ще е капиталът след \(2\) години.

Задача 4📛 (ДЗИ 19.05.2009) В банка е вложена сума при сложна годишна лихва \(3\%\). След \(3\) години сумата нараснала на \(21\,854{,}54\) лв. Каква сума е била вложена първоначално?

Задача 5📛 (ДЗИ 28.08.2015) Гражданин депозирал в банка \(5\,000\) лв. при сложна годишна лихва. Намерете колко процента е лихвата, ако след \(2\) години сумата е нараснала на \(5\,202\) лв.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Лихви, ренти и прогресии

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1При проста лихва нарасналият капитал образува:

Геометрична прогресия Аритметична прогресия Случайна редица

2При сложна лихва нарасналият капитал образува:

Аритметична прогресия Геометрична прогресия Хармонична прогресия

3Формулата за проста лихва е:

\(K_n=K_0\!\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\) \(K_n=K_0\!\left(1+n\cdot\dfrac{p}{100}\right)\) \(K_n=K_0+\dfrac{p}{100}\)

4Формулата за сложна лихва е:

\(K_n=K_0\!\left(1+n\cdot\dfrac{p}{100}\right)\) \(K_n=K_0\!\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\) \(K_n=K_0+n\cdot q\)

5В Задача 1: \(K_8\) при проста лихва е:

\(12000\) лв. \(14000\) лв. \(10400\) лв.

6В Задача 2: уравнението за \(p\) е:

\(1920=160p\) \(1920=320p\) \(1920=480p\)

7В Задача 2: лихвеният процент е:

\(5\%\) \(6\%\) \(8\%\)

8В Задача 3 (сложна лихва): основата на степента \(q\) е:

\(1{,}5\) \(1{,}05\) \(0{,}05\)

9В Задача 3: \(K_5\approx\):

\(10500\) лв. \(12800\) лв. \(15000\) лв.

10В Задача 4 (обратна задача): намираме \(K_0\) като:

Умножаваме \(K_5\) по \(q^5\) Делим \(K_5\) на \(q^5\) Изваждаме лихвата от \(K_5\)

11В Задача 4: \(K_0\approx\):

\(9000\) лв. \(7835{,}26\) лв. \(8500\) лв.

12Разликата \(d\) на аритметичната прогресия при проста лихва е:

\(K_0\cdot\dfrac{p}{100}\cdot n\) \(K_0\cdot\dfrac{p}{100}\) \(K_0\cdot p\)

13Частното \(q\) на геометричната прогресия при сложна лихва е:

\(\dfrac{p}{100}\) \(1+\dfrac{p}{100}\) \(1-\dfrac{p}{100}\)

14Лихвата, при която се олихвява само главницата всеки период, е:

Сложна лихва Проста лихва Рента

15Предварително уговорена сума, получавана срещу вложен капитал при определена лихва, се нарича:

Главница Рента Лихвен процент

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по лихви и ренти:

Видео урок — Лихви, ренти и прогресии. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆