Уроци по математика (Math lessons)

При решаването на квадратни уравнения с параметър е добре да имаме в предвид следните известни вече до момента факти.  Първият от тях се касае до това, какво ще наричаме решение или корен на едно уравнение. Нека да го припомним, ако някой е забравил. Определение 1: Решение (корен) на дадено уравнение ще наричаме такова число, което като го поставим на мястото на неизвестното в даденото уравнение то се превръща във вярно числово равенство.  Пример: Нека разгледаме линейното уравнение $2x-1=0$, което очевидно има за корен числото $x=\frac{1}{2}$. Сега нека заменим $x$ в даденото уравнение с числото $\frac{1}{2}$, получаваме числовото равенство $2.\frac{1}{2}-1=0$, което очевидно е вярно и следователно $x=\frac{1}{2}$ наистина е решение на уравнението $2x-1=0$.  Следващите факти, които ще припомним преди да преминем към решаването на квадратни уравнения с параметър са свързани с броя на корените на едно квадратно уравнение и стойностите на неговата дискриминанта. В урока з...

Определение 1: Уравнение от вида $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) ще наричаме квадратно уравнение, в което $a$, $b$ и $c$ са числа (наричат се още коефициенти на квадратното уравнение), а $x$ е неизвестно. В този урок ще предполагаме, че $b\neq 0$ и $c\neq 0$ в случаите, когато някой от коефициенти е равен на $0$ вече разгледахме в урока ни "Непълни квадратни уравнения 8 клас"  .  Квадратните уравнения съвсем не са непознати за един осмокласник. Още в седми клас вие сте се сблъсквали с решаването на квадратни уравнения, но не като прилагате метода даден по-долу (чрез формулата), а като се приложи подходящо разлагане на квадратния тричлен или пък се допълни до точен квадрат.  Да разгледаме следното уравнение $x^2-5x+6=0$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-2x-3x+6=0$. Сега, нека да групираме първите две и вторите две събираеми и да изнесем общ множител пред скоби (за първите две събираеми е $x$, а за вторите две е $-3$), така получаваме уравнението $x(x-2)-3(x-2)=...

Определение 1: Уравнение от вида $ax^2+bx+c=0$, където $a\neq 0$ се нарича квадратно уравнение. Числата $a$, $b$ и $c$ са коефициенти на квадратното уравнение, а $x$ е неизвестното. Ако един от коефициентите $c$ или $b$ в квадратното уравнение е равен на нула тогава получаваме съответно уравненията $ax^2+bx=0$ и $ax^2+c=0$. Нека да разгледаме поотделно всяко едно от тях и съответно как ще ги решаваме.   Уравнението $\bf{ax^2+bx=0}$ Това уравнение не е непознато за осмокласникът. Такъв тип уравнения са разглеждани още в седми клас в урока свързан с уравненията от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ (повече за уравненията от този вид може да намерите в урока ни  тук ). Как ще решаваме уравнения от вида $ax^2+bx=0$? Първо забелязваме, че можем да изнесем общ множител $x$ пред скоби и така получаваме, че $ax^2+bx=0\iff x(ax+b)=0$. Това уравнение е частен случай на уравнението $(ax+b)(cx+d)=0$. Ще използваме факта, че едно произведение $A.B=0$, тогава и само тогава, когато някой от множителите ...

Преди да преминем към разглеждането на квадратният корен е редно да споменем някои важни факти от теорията на числовите множества. Добре известно е, че: Множеството на естествените числа $\mathbb{N}$ се състои от всички цели положителни числа, т.е. $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$. Множеството на целите числа $\mathbb{Z}$ се състои от всички цели числа (положителни, неотрицателни и отрицателни), т.е. $\mathbb{Z}=\{\ldots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$. Множеството на рационалните числа $\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}$. Всяко рационално число може да се запише като крайна или безкрайна периодична десетична дроб. Множеството на ирационалните числа $\mathbb{I}=\{\text{множеството на всички безкрайни непериодични десетични дроби}\}$. Такива са например числата $\pi$ (отношението на дължината на окръжност към нейният диаметър), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ и т.н. Множество на реалните числа $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}$, т.е. множеството на реалните числа предст...

Определение 1: Средна основа (отсечка) на трапец, ще наричаме отсечката, която съединява средите на бедрата на трапеца. В сила са следните две теореми: Теорема 1: Правата, която минава през средата на едното бедро на трапеца и е успоредна на една от неговите основи, разполовява и другото му бедро. Теорема 2: Средната отсечка на един трапец е успоредна на основите му и е равна на полусбора им.  С други думи, ако имаме, че $ABCD$ е трапец, в който $AB\parallel CD$ и $AM=MD$, също така и $BN=NC$, тогава $MN\parallel AB\parallel CD$ и освен това $MN=\frac{AB+CD}{2}$. Нека да разгледаме следните няколко примера: 1 Задача Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по $14$ $cm$, а единият от ъглите му е $120^{\circ}$. Да се намери средната основа на трапеца. Решение: Тай като $\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ}$ и $\sphericalangle C=120^{\circ}$ (по условие) следва, че $\sphericalangle B=60^{\circ}$. Но по условие от $AC=AB\implies \triangle ABC$ e равнобедр...

Определение 1: Трапецът е четириъгълник, на който една двойка срещуположни страни са успоредни. На чертежа имаме трапец $ABCD$ в който $AB\parallel CD$, като $AB=a>CD=b$.  $AB$ - голяма основа; $CD$ - малка основа; $AD=d$ и $BC=c$ - бедра За всеки трапец е изпълнени, че $\sphericalangle A+\sphericalangle D=\sphericalangle B+\sphericalangle C=180^{\circ}$, защото двойките ъгли $\sphericalangle A$ и $\sphericalangle D$, както и $\sphericalangle B$ и $\sphericalangle C$ са съответни ъгли и тъй като правите $AB$ и $CD$ са успоредни имат сбор от $180^{\circ}$. По специалните видове трапци са: 1) Правоъгълен трапец Определение 2: Трапец, на който едното бедро е перпендикулярно на основите му се нарича правоъгълен трапец. $ABCD$ - правоъгълен трапец в който $AD\perp AB$ и $AD\perp CD$ и $\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ}$.  Тук $CH$ е височина в трапеца $ABCD$ и $CH=AD$, защото $AHCD$ е правоъгълник. Можем още да кажем, че тъй като $AB=a$, $CD=b$ и от $AH=CD$ следва...

Определение 1: Пресечната точка на трите медиани на триъгълник се нарича медицентър на триъгълника. Теорема 1: Трите медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която дели всяка от тях в отношение $2:1$, считано от съответния връх на триъгълника.  Като коментар към тази теорема можем да кажем, че: $AM:MA_1=2:1$; $BM:MB_1=2:1$ и $CM:MC_1=2:1$.   Основна задача 1: Нека $M$ е медицентър на $\triangle ABC$, тогава $S_{\triangle ABM}=S_{\triangle BCM}=S_{\triangle CAM}$. Основна задача 2: Нека $M$ е медицентърът на $\triangle ABC$ и $O$ е произволна точка от равнината, тогава е в сила равенството $\vec{OM}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$. Нека също така да припомним е едно друго свойство на медианата, което е изучавано през годините, а именно, че всяка медиана на триъгълник го разделя на два равнолицеви триъгълника. Сега нека да разгледаме някои задачи.  1 Задача: Медианата $AM$ и височината $CH$ на равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC=BC$) се пресичат в точка $...