Квадратен корен. Свойства на квадратните корени 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Алгебра › Квадратен корен
Квадратен корен
Свойства и преобразувания
Ирационални числа, 8 свойства на квадратните корени, изнасяне и внасяне на множители, подобни радикали и рационализиране на знаменател — с 5 разработени задачи и 10 задачи за самостоятелна работа
От определението на квадратния корен и числовите множества до практическите правила за преобразуване на изрази, съдържащи корени
Числови множества и квадратен корен
Рационални числа (\(\mathbb{Q}\)): Всички цели и дробни положителни и отрицателни числа и нулата. Всяко рационално число може да се запише като несъкратима дроб \(\dfrac{p}{q}\) (\(q\in\mathbb{N}\), \(p\in\mathbb{Z}\)) или като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.
Ирационални числа: Всяка безкрайна непериодична десетична дроб задава число, което се нарича ирационално число. Ирационалните числа не могат да се запишат като частно на две цели числа.
Реални числа (\(\mathbb{R}\)): Множеството на рационалните и ирационалните числа заедно образуват множеството на реалните числа.
Определение: Квадратен корен. Квадратен корен от неотрицателно число \(a\geq 0\) се нарича единственото неотрицателно число, втората степен на което е равна на \(a\). Означаваме \(\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}\) и четем квадратен корен от \(a\) или втори корен от \(a\).
Знакът \(\sqrt{\phantom{a}}\) се нарича корен или радикал. Числото \(a\) в израза \(\sqrt[2]{a}\) е подкоренна величина, а числото \(2\) е коренен показател. Действието се нарича коренуване.
Знакът \(\sqrt{\phantom{a}}\) се нарича корен или радикал. Числото \(a\) в израза \(\sqrt[2]{a}\) е подкоренна величина, а числото \(2\) е коренен показател. Действието се нарича коренуване.
Свойства на квадратните корени
Свойство 1 — Произведение под корен:
\[\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \quad\text{за всяко } a\geq 0,\; b\geq 0.\]
Сбор и разлика на корени не се коренуват: \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\) в общия случай.
Свойство 2 — Частно под корен:
\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad\text{за всяко } a\geq 0,\; b>0.\]
Свойство 3 — Квадрат под корен:
\[\sqrt{a^2}=a \quad\text{при } a\geq 0;\qquad \sqrt{a^2}=|a| \quad\text{при произволно } a.\]
Тоест \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|\).
Свойство 4 — Сравняване: За \(a\geq 0\) и \(b\geq 0\): \(a>b \iff \sqrt{a}>\sqrt{b}\).
Свойство 5 — Изнасяне на множител пред корен:
\[\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b},\quad a\geq 0,\; b\geq 0.\] По-общо: разлагаме подкоренната величина на множители, чиито показатели са четни (извади ги пред корена) и нечетни (оставят се под корена).
Пример: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\).
\[\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b},\quad a\geq 0,\; b\geq 0.\] По-общо: разлагаме подкоренната величина на множители, чиито показатели са четни (извади ги пред корена) и нечетни (оставят се под корена).
Пример: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\).
Свойство 6 — Внасяне на множител под корен:
\[a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b},\quad a\geq 0,\; b\geq 0.\] При \(a<0\): \(a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\).
Пример: \(3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}\).
\[a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b},\quad a\geq 0,\; b\geq 0.\] При \(a<0\): \(a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\).
Пример: \(3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}\).
Свойство 7 — Подобни радикали:
Радикали, които имат еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали. Те се събират и изваждат като се запазва коренът и се събират/изваждат коефициентите:
\[m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}.\] При събиране на различни корени ги привеждаме предварително в нормален вид.
Пример: \(4\sqrt{3}+12\sqrt{3}-3\sqrt{3}=13\sqrt{3}\).
Радикали, които имат еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали. Те се събират и изваждат като се запазва коренът и се събират/изваждат коефициентите:
\[m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}.\] При събиране на различни корени ги привеждаме предварително в нормален вид.
Пример: \(4\sqrt{3}+12\sqrt{3}-3\sqrt{3}=13\sqrt{3}\).
Свойство 8 — Нормален вид на радикал:
Радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и няма множители, които могат да се изнесат пред знака на корена. Множителят пред корена се нарича коефициент на радикала.
Радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и няма множители, които могат да се изнесат пред знака на корена. Множителят пред корена се нарича коефициент на радикала.
Рационализиране на знаменател: Когато освобождаваме знаменателя на дроб от корен, дробта става рационално число. При знаменател от вида \(\sqrt{b}\):
\[\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\cdot\sqrt{b}}{b}.\]
При двучленен знаменател \(A+\sqrt{B}\) умножаваме по спрегнатия му израз \(A-\sqrt{B}\):
\[\frac{1}{A+\sqrt{B}}=\frac{A-\sqrt{B}}{A^2-B}.\]
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Приведете в нормален вид и пресметнете:
\[\frac{\sqrt{48}-\sqrt{75}+\sqrt{147}}{\sqrt{3}}.\]
▼
Решение
Изнасяме множители пред всеки корен в числителя:
\[\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3};\quad\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3};\quad\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot3}=7\sqrt{3}.\]
Заместваме и събираме подобните радикали в числителя:
\[\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}+7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6.\]
Отговор: \(6\).
2
Намерете стойността на израза:
\[\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}+2\right)^2-\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^2.\]
▼
Решение
Прилагаме формулите за съкратено умножение поотделно за всеки скобен израз:
\[\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3.\]
\[\left(\sqrt{3}+2\right)^2=3+4\sqrt{3}+4=7+4\sqrt{3}.\]
\[\left(\sqrt{7}-\sqrt{2}\right)^2=7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}.\]
Събираме:
\[3+(7+4\sqrt{3})-(9-2\sqrt{14})=3+7+4\sqrt{3}-9+2\sqrt{14}=1+4\sqrt{3}+2\sqrt{14}.\]
Отговор: \(1+4\sqrt{3}+2\sqrt{14}\).
3
Рационализирайте знаменателя и опростете:
\[\frac{6}{\sqrt{3}+1}+\frac{4}{\sqrt{3}-1}.\]
▼
Решение
Рационализираме знаменателя на всяка дроб поотделно, умножавайки по спрегнатия израз:
\[\frac{6}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{2}=3(\sqrt{3}-1)=3\sqrt{3}-3.\]
\[\frac{4}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{2}=2(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}+2.\]
Събираме:
\[(3\sqrt{3}-3)+(2\sqrt{3}+2)=5\sqrt{3}-1.\]
Отговор: \(5\sqrt{3}-1\).
4
Докажете, че изразът \(\sqrt{2x^2+12x+34}\) при \(x=3\) и \(y=4\) е цяло число, ако вместо \(34\) имаме израза \((x+2)^2+(y-1)^2+4x+\tfrac{1}{2}y\).
По-точно: намерете стойността на \(\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2+4x+\tfrac{1}{2}y}\) при \(x=3\) и \(y=4\).
По-точно: намерете стойността на \(\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2+4x+\tfrac{1}{2}y}\) при \(x=3\) и \(y=4\).
▼
Решение
Заместваме \(x=3\) и \(y=4\):
\[(x+2)^2+(y-1)^2+4x+\frac{1}{2}y=(3+2)^2+(4-1)^2+4\cdot3+\frac{1}{2}\cdot4\]
\[=25+9+12+2=48.\]
Следователно търсената стойност е:
\[\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}.\]
Отговор: \(4\sqrt{3}\).
5
Сравнете числата \(5\sqrt{3}\) и \(4\sqrt{5}\), без да използвате калкулатор. За кои естествени числа \(n\) изразът \(\sqrt{7x-42}\) има смисъл?
▼
Решение
Сравнение: Внасяме множителите под корена:
\[5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot3}=\sqrt{75};\quad 4\sqrt{5}=\sqrt{16\cdot5}=\sqrt{80}.\]
Тъй като \(75<80\) и функцията \(\sqrt{}\) е растяща, следва \(\sqrt{75}<\sqrt{80}\), т.е. \(5\sqrt{3}<4\sqrt{5}\).
Допустими стойности на \(x\): Изразът \(\sqrt{7x-42}\) има смисъл, когато подкоренната величина е неотрицателна: \[7x-42\geq 0 \iff 7x\geq 42 \iff x\geq 6.\] Отговор: \(5\sqrt{3}<4\sqrt{5}\); изразът \(\sqrt{7x-42}\) има смисъл за \(x\geq 6\).
Допустими стойности на \(x\): Изразът \(\sqrt{7x-42}\) има смисъл, когато подкоренната величина е неотрицателна: \[7x-42\geq 0 \iff 7x\geq 42 \iff x\geq 6.\] Отговор: \(5\sqrt{3}<4\sqrt{5}\); изразът \(\sqrt{7x-42}\) има смисъл за \(x\geq 6\).
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Намерете квадратните корени:
а) \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{100}\); б) \(\sqrt{\tfrac{1}{16}}\), \(\sqrt{\tfrac{4}{25}}\), \(\sqrt{\tfrac{9}{64}}\), \(\sqrt{\tfrac{16}{49}}\);
в) \(\sqrt{0{,}04}\), \(\sqrt{0{,}09}\), \(\sqrt{0{,}36}\), \(\sqrt{0{,}01}\); г) \(\sqrt{(-3)^2}\), \(\sqrt{(-11)^2}\), \(\sqrt{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^2}\), \(\sqrt{\left(-\tfrac{3}{4}\right)^2}\).
а) \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{100}\); б) \(\sqrt{\tfrac{1}{16}}\), \(\sqrt{\tfrac{4}{25}}\), \(\sqrt{\tfrac{9}{64}}\), \(\sqrt{\tfrac{16}{49}}\);
в) \(\sqrt{0{,}04}\), \(\sqrt{0{,}09}\), \(\sqrt{0{,}36}\), \(\sqrt{0{,}01}\); г) \(\sqrt{(-3)^2}\), \(\sqrt{(-11)^2}\), \(\sqrt{\left(-\tfrac{1}{3}\right)^2}\), \(\sqrt{\left(-\tfrac{3}{4}\right)^2}\).
Задача 2Приведете в нормален вид:
а) \(\sqrt{72}\); б) \(\sqrt{180}\); в) \(\sqrt{448}\); г) \(\sqrt{1053}\); д) \(\sqrt{48a^3b^2}\) при \(a\geq 0, b\geq 0\).
а) \(\sqrt{72}\); б) \(\sqrt{180}\); в) \(\sqrt{448}\); г) \(\sqrt{1053}\); д) \(\sqrt{48a^3b^2}\) при \(a\geq 0, b\geq 0\).
Задача 3Внесете множителите под знака на корена:
а) \(2\sqrt{15}\); б) \(\tfrac{1}{3}\sqrt{27}\); в) \(-\tfrac{1}{4}\sqrt{48}\); г) \(-1{,}2\sqrt{2}\).
а) \(2\sqrt{15}\); б) \(\tfrac{1}{3}\sqrt{27}\); в) \(-\tfrac{1}{4}\sqrt{48}\); г) \(-1{,}2\sqrt{2}\).
Задача 4Пресметнете, след като приведете корените в нормален вид:
а) \(5\sqrt{12}+7\sqrt{27}-3\sqrt{75}\); б) \(15\sqrt{24}-5\sqrt{150}+2\sqrt{216}\); в) \(6\sqrt{2^2\cdot7}-5\sqrt{3^2\cdot7}+\sqrt{7}\).
а) \(5\sqrt{12}+7\sqrt{27}-3\sqrt{75}\); б) \(15\sqrt{24}-5\sqrt{150}+2\sqrt{216}\); в) \(6\sqrt{2^2\cdot7}-5\sqrt{3^2\cdot7}+\sqrt{7}\).
Задача 5Намерете произведенията и пресметнете:
а) \(\sqrt{81}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{9}}\); б) \(\sqrt{36}\cdot\sqrt{49}\); в) \(\sqrt{100}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{25}}\); г) \(\sqrt{144}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{9}}\).
а) \(\sqrt{81}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{9}}\); б) \(\sqrt{36}\cdot\sqrt{49}\); в) \(\sqrt{100}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{25}}\); г) \(\sqrt{144}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{9}}\).
Задача 6Пресметнете:
а) \((\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})\); б) \((\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\); в) \((3\sqrt{7}+2)(3\sqrt{7}-2)\); г) \((\sqrt{5}-\sqrt{6\phantom{i}})(\sqrt{5+\phantom{i}\sqrt{6}})\).
а) \((\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})\); б) \((\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\); в) \((3\sqrt{7}+2)(3\sqrt{7}-2)\); г) \((\sqrt{5}-\sqrt{6\phantom{i}})(\sqrt{5+\phantom{i}\sqrt{6}})\).
Задача 7Рационализирайте знаменателя:
а) \(\dfrac{2}{\sqrt{11}}\); б) \(\dfrac{5}{\sqrt{15}}\); в) \(\dfrac{6}{\sqrt{12}}\); г) \(\dfrac{35}{\sqrt{7}}\); д) \(\dfrac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\); е) \(\dfrac{3}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}\).
а) \(\dfrac{2}{\sqrt{11}}\); б) \(\dfrac{5}{\sqrt{15}}\); в) \(\dfrac{6}{\sqrt{12}}\); г) \(\dfrac{35}{\sqrt{7}}\); д) \(\dfrac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\); е) \(\dfrac{3}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}\).
Задача 8Сравнете числата, без калкулатор:
а) \(2\sqrt{5}\) и \(5\sqrt{2}\); б) \(3\sqrt{7}\) и \(7\sqrt{3}\); в) \(4\sqrt{6}\) и \(6\sqrt{4}\); г) \(8\sqrt{2}\) и \(7\sqrt{3}\).
а) \(2\sqrt{5}\) и \(5\sqrt{2}\); б) \(3\sqrt{7}\) и \(7\sqrt{3}\); в) \(4\sqrt{6}\) и \(6\sqrt{4}\); г) \(8\sqrt{2}\) и \(7\sqrt{3}\).
Задача 9За кои стойности на \(x\) изразът има смисъл:
а) \(\sqrt{x-7}\); б) \(\sqrt{5x+45}\); в) \(\dfrac{1}{\sqrt{3x-12}}\); г) \(\sqrt{7x-42}\).
а) \(\sqrt{x-7}\); б) \(\sqrt{5x+45}\); в) \(\dfrac{1}{\sqrt{3x-12}}\); г) \(\sqrt{7x-42}\).
Задача 10Опростете израза и намерете стойността му:
а) \(\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{32}}{\sqrt{2}}\); б) \(\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}\); в) \(\dfrac{14-2\sqrt{13}}{\sqrt{13}-1}\).
а) \(\dfrac{\sqrt{50}-\sqrt{32}}{\sqrt{2}}\); б) \(\sqrt{(3+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}\); в) \(\dfrac{14-2\sqrt{13}}{\sqrt{13}-1}\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Квадратен корен и свойства
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Още обяснени и решени задачи по квадратен корен и свойства на квадратните корени:
Видео урок 1 — Квадратен корен. Свойства и преобразувания
Видео урок 2 — Квадратен корен. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар