Средна основа (отсечка) на трапец 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Геометрия › Средна основа на трапец
Средна основа на трапец
Решени задачи и тест
Определение, теореми за средна основа, 3 разработени задачи с чертежи и 10 задачи за самостоятелна работа
Свойства на средната основа на трапец и тяхното приложение при задачи с правоъгълни и равнобедрени трапеци
Теория
Определение 1: Отсечката, която съединява средите на бедрата на трапеца, се нарича средна основа (средна отсечка) на трапеца.
Ако \(ABCD\) е трапец с \(AB\parallel CD\), \(AM=MD\) и \(BN=NC\), тогава \(MN\) е средната основа.
Теорема 1: Правата, която минава през средата на едното бедро на трапеца и е успоредна на основите му, разполовява и другото му бедро.
Теорема 2 (Основна): Средната основа на трапеца е успоредна на основите му и е равна на полусбора им:
\[MN \parallel AB \parallel CD \quad\text{и}\quad MN = \frac{AB+CD}{2}.\]
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по \(14\) cm, а единият от ъглите му е \(120°\). Намерете средната основа на трапеца.
▼
Решение
Тъй като \(\sphericalangle A=\sphericalangle D=90°\) и \(\sphericalangle C=120°\), следва \(\sphericalangle B=60°\).
По условие \(AC=AB=14\) cm, следователно \(\triangle ABC\) е равнобедрен с ъгъл \(60°\) → равностранен: \(AC=AB=BC=14\) cm.
От \(\sphericalangle CAB=60° \implies \sphericalangle CAD=30°\). По теоремата за катет срещу \(30°\): \[CD = \frac{1}{2}AC = 7 \text{ cm}.\] Средна основа: \[MN = \frac{AB+CD}{2} = \frac{14+7}{2} = 10{,}5 \text{ cm}.\]
Тъй като \(\sphericalangle A=\sphericalangle D=90°\) и \(\sphericalangle C=120°\), следва \(\sphericalangle B=60°\).
По условие \(AC=AB=14\) cm, следователно \(\triangle ABC\) е равнобедрен с ъгъл \(60°\) → равностранен: \(AC=AB=BC=14\) cm.
От \(\sphericalangle CAB=60° \implies \sphericalangle CAD=30°\). По теоремата за катет срещу \(30°\): \[CD = \frac{1}{2}AC = 7 \text{ cm}.\] Средна основа: \[MN = \frac{AB+CD}{2} = \frac{14+7}{2} = 10{,}5 \text{ cm}.\]
2
Диагоналите на равнобедрен трапец \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) се пресичат в точка \(O\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle OAB\) е перпендикулярна на \(BO\). Ако \(AC=18\) cm, намерете средната основа на трапеца.
▼
Решение
Тъй като \(AL\) е ъглополовяща и \(AL\perp BO\), то \(\triangle ABO\) е равнобедрен с \(AO=AB\) (в триъгълник, в който ъглополовящата съвпада с височината, двете страни са равни). Следователно \(\sphericalangle AOB=\sphericalangle ABO\) и тъй като трапецът е равнобедрен \(\sphericalangle OAB=\sphericalangle OBA\), то \(\triangle ABO\) е равностранен с три ъгъла по \(60°\).
Аналогично \(\triangle DOC\) е равностранен (\(\sphericalangle DOC=\sphericalangle AOB=60°\) — връхни; ъглите при \(O\) са равни на \(60°\) поради кръстни ъгли).
Нека \(CD=CO=DO=x\) и \(AB=AO=BO=18-x\) (тъй като \(AO+CO=AC=18\)). Тогава: \[MN = \frac{AB+CD}{2} = \frac{(18-x)+x}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}.\]
Тъй като \(AL\) е ъглополовяща и \(AL\perp BO\), то \(\triangle ABO\) е равнобедрен с \(AO=AB\) (в триъгълник, в който ъглополовящата съвпада с височината, двете страни са равни). Следователно \(\sphericalangle AOB=\sphericalangle ABO\) и тъй като трапецът е равнобедрен \(\sphericalangle OAB=\sphericalangle OBA\), то \(\triangle ABO\) е равностранен с три ъгъла по \(60°\).
Аналогично \(\triangle DOC\) е равностранен (\(\sphericalangle DOC=\sphericalangle AOB=60°\) — връхни; ъглите при \(O\) са равни на \(60°\) поради кръстни ъгли).
Нека \(CD=CO=DO=x\) и \(AB=AO=BO=18-x\) (тъй като \(AO+CO=AC=18\)). Тогава: \[MN = \frac{AB+CD}{2} = \frac{(18-x)+x}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}.\]
3
В трапеца \(ABCD\) ъглополовящите на външните ъгли при \(A\) и \(D\) се пресичат в точка \(P\), а тези при \(B\) и \(C\) — в точка \(Q\). Докажете, че \(P_{ABCD}=2PQ\).
▼
Доказателство
Нека \(\sphericalangle SAP=\sphericalangle PAD=\alpha\) (ъглополовяща на zewnętrzния ъгъл при \(A\)), откъдето \(\sphericalangle ADC=2\alpha\). Аналогично \(\sphericalangle BCD=2\beta\). Оттук \(DP\) и \(CQ\) са едновременно ъглополовящи и височини в \(\triangle FAD\) и \(\triangle RBC\) → тези триъгълници са равнобедрени: \(DF=DA\) и \(CR=CB\). Точките \(P\) и \(Q\) са среди на \(FA\) и \(BR\).
Тъй като \(\triangle SAP\cong\triangle DAP\) (по два ъгъла и страна), то \(SP=DP\); аналогично \(TQ=CQ\). Следователно \(PQ\) е средна основа в трапеца \(STCD\).
Oт \(P\) — среда на \(FA\): \(PK\) е средна отсечка в \(\triangle FAD\) → \(PK=\tfrac{1}{2}AD\). Аналогично \(QL=\tfrac{1}{2}BC\). Освен това \(KL\) е средна основа в трапеца \(ABCD\) → \(KL=\tfrac{AB+CD}{2}\). Следователно: \[PQ = PK+KL+QL = \frac{1}{2}AD + \frac{AB+CD}{2} + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD) = \frac{1}{2}P_{ABCD}.\] Следователно \(P_{ABCD}=2PQ\). \(\blacksquare\)
Нека \(\sphericalangle SAP=\sphericalangle PAD=\alpha\) (ъглополовяща на zewnętrzния ъгъл при \(A\)), откъдето \(\sphericalangle ADC=2\alpha\). Аналогично \(\sphericalangle BCD=2\beta\). Оттук \(DP\) и \(CQ\) са едновременно ъглополовящи и височини в \(\triangle FAD\) и \(\triangle RBC\) → тези триъгълници са равнобедрени: \(DF=DA\) и \(CR=CB\). Точките \(P\) и \(Q\) са среди на \(FA\) и \(BR\).
Тъй като \(\triangle SAP\cong\triangle DAP\) (по два ъгъла и страна), то \(SP=DP\); аналогично \(TQ=CQ\). Следователно \(PQ\) е средна основа в трапеца \(STCD\).
Oт \(P\) — среда на \(FA\): \(PK\) е средна отсечка в \(\triangle FAD\) → \(PK=\tfrac{1}{2}AD\). Аналогично \(QL=\tfrac{1}{2}BC\). Освен това \(KL\) е средна основа в трапеца \(ABCD\) → \(KL=\tfrac{AB+CD}{2}\). Следователно: \[PQ = PK+KL+QL = \frac{1}{2}AD + \frac{AB+CD}{2} + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AB+BC+CD+AD) = \frac{1}{2}P_{ABCD}.\] Следователно \(P_{ABCD}=2PQ\). \(\blacksquare\)
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Средната отсечка на трапец е \(16\) cm. Единият диагонал дели средната отсечка на части с разлика \(4\) cm. Намерете основите на трапеца.
Задача 2В равнобедрен трапец \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) едното бедро е \(36\) cm, а единият диагонал разделя средната основа на части \(12\) cm и \(30\) cm. Намерете ъглите на трапеца.
Задача 3Равнобедрен трапец с остър ъгъл \(60°\) и средна отсечка \(15\) cm. Средната отсечка се разделя от диагоналите на три равни части. Намерете страните на трапеца.
Задача 4Равнобедрен трапец \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) с взаимноперпендикулярни диагонали и средна основа \(8\) cm. Намерете лицето на трапеца.
Задача 5В равнобедрен трапец \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) ъглополовящите на ъглите при бедрото \(AD\) се пресичат в \(M\), а при бедрото \(BC\) — в \(K\). Ако \(BC=10\) cm и \(MK=4\) cm, намерете сбора на основите.
Задача 6Диагоналите на трапец образуват с голямата основа ъгли \(60°\). Докажете, че средната отсечка е два пъти по-малка от диагонала.
Задача 7Диагоналите на равнобедрен трапец \(ABCD\) се пресичат в \(O\) и \(\sphericalangle AOB=60°\). Докажете, че средите на \(AO\), \(DO\) и \(BC\) са върхове на равностранен триъгълник.
Задача 8Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по \(14\) cm, а единият ъгъл е \(120°\). Намерете средната основа.
Задача 9Средната основа на равнобедрен трапец е \(5\) cm, малката основа е \(2\) cm, лицето е \(15\) cm².
а) Намерете височината на трапеца;
б) Намерете ъглите на трапеца.
а) Намерете височината на трапеца;
б) Намерете ъглите на трапеца.
Задача 10Върху бедрото \(AD\) на трапец \(ABCD\) (\(AB>CD\)) са взети точки \(K\) и \(M\), разделящи го на три равни части (\(K\) между \(A\) и \(M\)). През \(K\) и \(M\) са построени прави \(k\) и \(m\), успоредни на основите, пресичащи диагоналите и другото бедро в \(P,Q,L\) и \(T,R,N\). Намерете малката основа, отсечките от \(k\) и \(m\) между бедрата и частите, на които ги делят диагоналите, ако \(AB=21{,}6\) cm и \(KP=3{,}6\) cm.
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Средна основа на трапец
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по средна основа на трапец:
Видео урок — Средна основа на трапец. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар