Прав кръгов цилиндър. Лице на повърхнина
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Прав кръгов цилиндър
Прав кръгов цилиндър. Развивка и лице на повърхнина
Формулите за лице на околната повърхнина \(S = 2\pi r h\) и за лице на повърхнината \(S_1 = 2\pi r(h + r)\). 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок разглеждаме правия кръгов цилиндър, неговите елементи и развивката му. Ще видим защо околната повърхнина се разгъва в правоъгълник и ще използваме формулите \(S = 2\pi r h\) и \(S_1 = 2\pi r(h + r)\) при решаването на различни задачи. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🛢️ Какво е прав кръгов цилиндър
Прав кръгов цилиндър се получава, когато правоъгълник се завърти около една от страните си. В този урок за краткост ще го наричаме само цилиндър.
Елементи на цилиндъра:
• страната, около която завъртаме правоъгълника, лежи върху оста на цилиндъра, а дължината ѝ е равна на височината \(h\);
• двете съседни на нея страни при въртенето образуват двете еднакви кръгови основи с радиус \(r\);
• срещуположната страна описва околната повърхнина на цилиндъра; всяко нейно положение при въртенето е образуваща.
При правия кръгов цилиндър дължината на образуващата \(l\) е равна на височината \(h\), тоест \(l = h\).
• страната, около която завъртаме правоъгълника, лежи върху оста на цилиндъра, а дължината ѝ е равна на височината \(h\);
• двете съседни на нея страни при въртенето образуват двете еднакви кръгови основи с радиус \(r\);
• срещуположната страна описва околната повърхнина на цилиндъра; всяко нейно положение при въртенето е образуваща.
При правия кръгов цилиндър дължината на образуващата \(l\) е равна на височината \(h\), тоест \(l = h\).
📐 Развивка на цилиндъра
За да получим развивката на цилиндъра, разрязваме околната му повърхнина по една образуваща и отделяме двете основи. Получаваме един правоъгълник и два еднакви кръга:
• един правоъгълник — околната повърхнина, със страни \(2\pi r\) (обиколката на основата) и \(h\) (височината);
• два кръга — двете основи, всеки с радиус \(r\).
• един правоъгълник — околната повърхнина, със страни \(2\pi r\) (обиколката на основата) и \(h\) (височината);
• два кръга — двете основи, всеки с радиус \(r\).
🧮 Формули за лице на повърхнина
Лицето \(S\) на правоъгълника от развивката се нарича лице на околната повърхнина на цилиндъра:
\[\boxed{\;S = 2\pi r l = 2\pi r h\;}\]
Сборът от лицата на двете основи и лицето на околната повърхнина се нарича лице на повърхнината на цилиндъра и се бележи със \(S_1\):
\[\boxed{\;S_1 = 2\pi r l + 2\pi r^2 = 2\pi r(l + r)\;}\]
или \(S_1 = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)\).
Полезни формули за основата (кръг с радиус \(r\)):
• обиколка на основата: \(C = 2\pi r\);
• лице на една основа: \(B = \pi r^2\).
В пресмятанията използваме \(\pi \approx 3{,}14\) или \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) според условието. Полезно е: \(1\) кв. дм \(= 100\) кв. см.
• обиколка на основата: \(C = 2\pi r\);
• лице на една основа: \(B = \pi r^2\).
В пресмятанията използваме \(\pi \approx 3{,}14\) или \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) според условието. Полезно е: \(1\) кв. дм \(= 100\) кв. см.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Цилиндър има радиус \(r = 2\) см и образуваща \(l = 3\) см. Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината му (изразени чрез \(\pi\)).
▼
РешениеНай-напред намираме лицето на околната повърхнина: \(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 2\cdot 3 = 12\pi\) кв. см.
За лицето на повърхнината използваме формулата \(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 2\cdot(3 + 2) = 4\pi\cdot 5 = 20\pi\) кв. см.
За лицето на повърхнината използваме формулата \(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 2\cdot(3 + 2) = 4\pi\cdot 5 = 20\pi\) кв. см.
2
Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината на цилиндър с образуваща \(l = 20\) мм и радиус \(r = 1\) дм (изразени чрез \(\pi\)).
▼
РешениеЗаписваме всичко в сантиметри: \(20\) мм \(= 2\) см, \(1\) дм \(= 10\) см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 10\cdot 2 = 40\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 10\cdot(2 + 10) = 20\pi\cdot 12 = 240\pi\) кв. см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 10\cdot 2 = 40\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 10\cdot(2 + 10) = 20\pi\cdot 12 = 240\pi\) кв. см.
3
Цилиндър има радиус \(r = 3\) см, а дължината на образуващата \(l\) е два пъти радиуса. Намерете \(S\) и \(S_1\) (чрез \(\pi\)).
▼
РешениеОбразуващата е два пъти радиуса, значи \(l = 2\cdot 3 = 6\) см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 3\cdot 6 = 36\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 3\cdot(6 + 3) = 6\pi\cdot 9 = 54\pi\) кв. см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 3\cdot 6 = 36\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 3\cdot(6 + 3) = 6\pi\cdot 9 = 54\pi\) кв. см.
4
Намерете \(S\) и \(S_1\) на цилиндър с радиус \(r = 0{,}5\) см, ако дължината на образуващата \(l\) е с 1 см по-голяма от радиуса (чрез \(\pi\)).
▼
РешениеОбразуващата е с 1 см по-голяма от радиуса, значи \(l = 0{,}5 + 1 = 1{,}5\) см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 0{,}5\cdot 1{,}5 = 1{,}5\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 0{,}5\cdot(1{,}5 + 0{,}5) = \pi\cdot 2 = 2\pi\) кв. см.
\(S = 2\pi r l = 2\pi\cdot 0{,}5\cdot 1{,}5 = 1{,}5\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) = 2\pi\cdot 0{,}5\cdot(1{,}5 + 0{,}5) = \pi\cdot 2 = 2\pi\) кв. см.
5
За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете в квадратни сантиметри лицето на околната повърхнина на цилиндър с радиус \(r = 4\) см и височина \(h = 5\) см.
▼
Решение\(S = 2\pi r h \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 4\cdot 5 = 125{,}6\) кв. см.
6
За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете лицето на околната повърхнина на цилиндър с радиус \(r = 5\) см и височина \(h = 1{,}6\) дм.
▼
РешениеПревръщаме височината в сантиметри: \(1{,}6\) дм \(= 16\) см.
\(S = 2\pi r h \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 16 = 502{,}4\) кв. см.
\(S = 2\pi r h \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 16 = 502{,}4\) кв. см.
7
За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете лицето на околната повърхнина на цилиндър с радиус \(r = 0{,}1\) м и височина \(h = 6\) см.
▼
РешениеПревръщаме радиуса в сантиметри: \(0{,}1\) м \(= 10\) см.
\(S = 2\pi r h \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 10\cdot 6 = 376{,}8\) кв. см.
\(S = 2\pi r h \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 10\cdot 6 = 376{,}8\) кв. см.
8
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете лицето на повърхнината на цилиндър с радиус \(r = 7\) см и образуваща \(l = 10\) см.
▼
Решение\(S_1 = 2\pi r(l + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 7\cdot(10 + 7) = 2\cdot 22\cdot 17 = 748\) кв. см.
9
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете лицето на повърхнината на цилиндър с радиус \(r = 1\) см и образуваща \(l = 1{,}3\) дм.
▼
РешениеПревръщаме образуващата: \(1{,}3\) дм \(= 13\) см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 1\cdot(13 + 1) = 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 14 = 2\cdot 22\cdot 2 = 88\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 1\cdot(13 + 1) = 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 14 = 2\cdot 22\cdot 2 = 88\) кв. см.
10
Цилиндър има диаметър \(d = 10\) см и образуваща \(l = 2{,}4\) см. За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете лицето на околната му повърхнина.
▼
РешениеРадиусът е половината от диаметъра, следователно \(r = 10 : 2 = 5\) см.
\(S = 2\pi r l \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 2{,}4 = 75{,}36\) кв. см.
\(S = 2\pi r l \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 2{,}4 = 75{,}36\) кв. см.
11
Цилиндър има диаметър \(d = 21\) см и образуваща \(l = 10\) см. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете лицето на повърхнината му.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 21 : 2 = 10{,}5\) см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 10{,}5\cdot(10 + 10{,}5) = 66\cdot 20{,}5 = 1353\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(l + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 10{,}5\cdot(10 + 10{,}5) = 66\cdot 20{,}5 = 1353\) кв. см.
12
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на цилиндър с диаметър \(d = 6\) см и височина \(h = 9\) см.
▼
РешениеРадиусът е половината от диаметъра, значи \(r = 6 : 2 = 3\) см.
\(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 3\cdot(9 + 3) = 6\pi\cdot 12 = 72\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 3\cdot(9 + 3) = 6\pi\cdot 12 = 72\pi\) кв. см.
13
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на цилиндър с диаметър \(d = 2\) дм и височина \(h = 50\) мм.
▼
РешениеПревръщаме: \(2\) дм \(= 20\) см, значи \(r = 10\) см; \(50\) мм \(= 5\) см.
\(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 10\cdot(5 + 10) = 20\pi\cdot 15 = 300\pi\) кв. см.
\(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 10\cdot(5 + 10) = 20\pi\cdot 15 = 300\pi\) кв. см.
14
Цилиндър има лице на околната повърхнина \(S = 12\pi\) кв. см и радиус \(r = 2\) см. Намерете височината му.
▼
РешениеОт \(S = 2\pi r h\) следва \(12\pi = 2\pi\cdot 2\cdot h = 4\pi h\), откъдето \(h = 3\) см.
15
Цилиндър има височина \(h = 3{,}2\) см и лице на околната повърхнина \(S = 16\pi\) кв. см. Намерете радиуса му.
▼
РешениеОт \(S = 2\pi r h\) следва \(16\pi = 2\pi r\cdot 3{,}2 = 6{,}4\pi r\), откъдето \(r = 16 : 6{,}4 = 2{,}5\) см.
16
Цилиндър има лице на повърхнината \(S_1 = 1920\pi\) кв. см и радиус \(r = 1{,}5\) дм. Намерете височината му.
▼
РешениеПревръщаме радиуса: \(1{,}5\) дм \(= 15\) см.
От \(S_1 = 2\pi r(h + r)\): \(1920\pi = 2\pi\cdot 15\cdot(h + 15) = 30\pi(h + 15)\), значи \(h + 15 = 64\), откъдето \(h = 49\) см.
От \(S_1 = 2\pi r(h + r)\): \(1920\pi = 2\pi\cdot 15\cdot(h + 15) = 30\pi(h + 15)\), значи \(h + 15 = 64\), откъдето \(h = 49\) см.
17
Цилиндър има радиус \(r = 9\) см и лице на околната повърхнина \(S = 252\pi\) кв. см. Намерете височината му.
▼
РешениеОт \(S = 2\pi r h\): \(252\pi = 2\pi\cdot 9\cdot h = 18\pi h\), откъдето \(h = 252 : 18 = 14\) см.
18
Лицето на околната повърхнина на цилиндър е \(160\pi\) кв. см, а образуващата му е 8 см. Намерете радиуса на основата.
▼
РешениеОт \(S = 2\pi r l\): \(160\pi = 2\pi r\cdot 8 = 16\pi r\), откъдето \(r = 160 : 16 = 10\) см.
19
Намерете диаметъра на цилиндър с височина \(h = 15\) см и лице на околната повърхнина \(S = 105\pi\) кв. см.
▼
РешениеУдобно е да използваме \(S = \pi d h\) (тъй като \(2r = d\)): \(105\pi = \pi d\cdot 15\), откъдето \(d = 105 : 15 = 7\) см.
20
Лицето на повърхнината на цилиндър с радиус 10 см е 9,42 кв. дм. За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете дължината на образуващата му.
▼
РешениеПревръщаме: \(9{,}42\) кв. дм \(= 942\) кв. см.
От \(S_1 = 2\pi r(l + r)\): получаваме \(942 = 2\pi\cdot 10\cdot(l + 10)\). За \(\pi \approx 3{,}14\) това дава \(942 \approx 62{,}8\cdot(l + 10)\), значи \(l + 10 \approx 15\), откъдето \(l \approx 5\) см.
От \(S_1 = 2\pi r(l + r)\): получаваме \(942 = 2\pi\cdot 10\cdot(l + 10)\). За \(\pi \approx 3{,}14\) това дава \(942 \approx 62{,}8\cdot(l + 10)\), значи \(l + 10 \approx 15\), откъдето \(l \approx 5\) см.
21
Цилиндър е получен при завъртане на правоъгълник със страни 2 см и 4 см. За всеки от двата случая намерете \(S\) и \(S_1\) (чрез \(\pi\)): а) при въртене около по-малката страна; б) при въртене около по-голямата страна.
▼
РешениеПри въртенето дължината на страната, около която завъртаме правоъгълника, е равна на височината на цилиндъра, а дължината на другата страна е равна на радиуса.
а) Около по-малката страна: \(h = 2\) см, \(r = 4\) см. Тогава \(S = 2\pi r h = 2\pi\cdot 4\cdot 2 = 16\pi\) кв. см и \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 4\cdot 6 = 48\pi\) кв. см.
б) Около по-голямата страна: \(h = 4\) см, \(r = 2\) см. Тогава \(S = 2\pi\cdot 2\cdot 4 = 16\pi\) кв. см и \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 6 = 24\pi\) кв. см.
а) Около по-малката страна: \(h = 2\) см, \(r = 4\) см. Тогава \(S = 2\pi r h = 2\pi\cdot 4\cdot 2 = 16\pi\) кв. см и \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 4\cdot 6 = 48\pi\) кв. см.
б) Около по-голямата страна: \(h = 4\) см, \(r = 2\) см. Тогава \(S = 2\pi\cdot 2\cdot 4 = 16\pi\) кв. см и \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 6 = 24\pi\) кв. см.
22
Цилиндър е получен при завъртане на правоъгълник с измерения 15 см и 8 см около една от по-малките му страни. Изразете чрез \(\pi\): а) лицето на една от основите; б) лицето на околната повърхнина; в) лицето на повърхнината.
▼
РешениеПравоъгълникът се завърта около страната с дължина 8 см. Следователно височината на цилиндъра е \(h = 8\) см, а радиусът му е \(r = 15\) см.
а) Лицето на едната основа е \(B = \pi r^2 = \pi\cdot 15^2 = 225\pi\) кв. см.
б) \(S = 2\pi r h = 2\pi\cdot 15\cdot 8 = 240\pi\) кв. см.
в) \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 15\cdot(8 + 15) = 30\pi\cdot 23 = 690\pi\) кв. см.
а) Лицето на едната основа е \(B = \pi r^2 = \pi\cdot 15^2 = 225\pi\) кв. см.
б) \(S = 2\pi r h = 2\pi\cdot 15\cdot 8 = 240\pi\) кв. см.
в) \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 2\pi\cdot 15\cdot(8 + 15) = 30\pi\cdot 23 = 690\pi\) кв. см.
23
Цилиндър с радиус \(r\) и височина \(h\) има лице на околната повърхнина, равно на три пъти сбора от лицата на двете му основи. За \(\pi \approx 3{,}14\) обиколката на една основа е 94,2 см. Намерете: а) височината \(h\); б) лицето на повърхнината.
▼
РешениеОт обиколката \(C = 2\pi r = 94{,}2\) намираме \(r \approx 94{,}2 : (2\cdot 3{,}14) = 15\) см.
а) Сборът от лицата на двете основи е \(2B = 2\pi r^2\). По условие \(S = 3\cdot 2B = 6\pi r^2\). От \(S = 2\pi r h\) следва \(2\pi r h = 6\pi r^2\), тоест \(h = 3r\). Понеже \(r \approx 15\) см, получаваме \(h \approx 45\) см.
б) \(S_1 = S + 2B = 6\pi r^2 + 2\pi r^2 = 8\pi r^2 \approx 8\cdot 3{,}14\cdot 225 = 5652\) кв. см.
а) Сборът от лицата на двете основи е \(2B = 2\pi r^2\). По условие \(S = 3\cdot 2B = 6\pi r^2\). От \(S = 2\pi r h\) следва \(2\pi r h = 6\pi r^2\), тоест \(h = 3r\). Понеже \(r \approx 15\) см, получаваме \(h \approx 45\) см.
б) \(S_1 = S + 2B = 6\pi r^2 + 2\pi r^2 = 8\pi r^2 \approx 8\cdot 3{,}14\cdot 225 = 5652\) кв. см.
24
Цилиндрична консервна кутия за котешка храна е облепена с етикет с височина 4 см. За застъпване на двата края дължината на етикета е с 1 см по-голяма от обиколката на основата. Лицето на целия етикет е 92 кв. см. Над и под него остават непокрити ивици с широчина по 1 см. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете: а) диаметъра на кутията; б) лицето на повърхнината на кутията.
▼
РешениеЕтикетът е правоъгълник с височина 4 см и дължина, равна на обиколката на основата плюс 1 см за застъпване. Затова \((2\pi r + 1)\cdot 4 = 92\), значи \(2\pi r + 1 = 23\), тоест \(2\pi r = 22\).
а) От \(2\pi r = 22\) и \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намираме \(r \approx 3{,}5\) см, тоест диаметърът е \(d \approx 7\) см.
б) Височината на кутията е \(1 + 4 + 1 = 6\) см. Тогава \(S_1 = 2\pi r(h + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot(6 + 3{,}5) = 22\cdot 9{,}5 = 209\) кв. см.
а) От \(2\pi r = 22\) и \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намираме \(r \approx 3{,}5\) см, тоест диаметърът е \(d \approx 7\) см.
б) Височината на кутията е \(1 + 4 + 1 = 6\) см. Тогава \(S_1 = 2\pi r(h + r) \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot(6 + 3{,}5) = 22\cdot 9{,}5 = 209\) кв. см.
25
Върху едната основа на дървен цилиндър с диаметър 14 см и височина 16 см е залепен по-малък цилиндър с диаметър 7 см и височина 10 см, като центровете на двете залепени основи съвпадат. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) пресметнете лицето на повърхнината на полученото тяло в квадратни дециметри.
▼
РешениеВидимата повърхнина на полученото тяло се състои от околните повърхнини на двата цилиндъра, долната основа на големия цилиндър, непокритата част от горната му основа и горната основа на малкия цилиндър.
За големия цилиндър радиусът е \(R = 7\) см, а височината \(h_1 = 16\) см; за малкия — \(r = 3{,}5\) см и \(h_2 = 10\) см.
Лицето на околната повърхнина на големия цилиндър е \(2\pi R h_1 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 7\cdot 16 = 704\) кв. см.
Долната основа на големия цилиндър е цял кръг с лице \(\pi R^2 \approx \dfrac{22}{7}\cdot 49 = 154\) кв. см.
Непокритата част от горната му основа има лице \(\pi R^2 - \pi r^2 \approx 154 - 38{,}5 = 115{,}5\) кв. см.
Лицето на околната повърхнина на малкия цилиндър е \(2\pi r h_2 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot 10 = 220\) кв. см.
Горната основа на малкия цилиндър има лице \(\pi r^2 \approx 38{,}5\) кв. см.
Като съберем всички лица, получаваме \(S_{\text{тяло}} \approx 704 + 154 + 115{,}5 + 220 + 38{,}5 = 1232\) кв. см \(= 12{,}32\) кв. дм.
За големия цилиндър радиусът е \(R = 7\) см, а височината \(h_1 = 16\) см; за малкия — \(r = 3{,}5\) см и \(h_2 = 10\) см.
Лицето на околната повърхнина на големия цилиндър е \(2\pi R h_1 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 7\cdot 16 = 704\) кв. см.
Долната основа на големия цилиндър е цял кръг с лице \(\pi R^2 \approx \dfrac{22}{7}\cdot 49 = 154\) кв. см.
Непокритата част от горната му основа има лице \(\pi R^2 - \pi r^2 \approx 154 - 38{,}5 = 115{,}5\) кв. см.
Лицето на околната повърхнина на малкия цилиндър е \(2\pi r h_2 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot 10 = 220\) кв. см.
Горната основа на малкия цилиндър има лице \(\pi r^2 \approx 38{,}5\) кв. см.
Като съберем всички лица, получаваме \(S_{\text{тяло}} \approx 704 + 154 + 115{,}5 + 220 + 38{,}5 = 1232\) кв. см \(= 12{,}32\) кв. дм.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Цилиндър има образуваща \(l = 6\) см и радиус, равен на една трета от дължината на образуващата. Намерете \(S\) и \(S_1\) (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(r = 2\) см; \(S = 2\pi\cdot 2\cdot 6 = 24\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 8 = 32\pi\) кв. см.
Отг.: \(r = 2\) см; \(S = 2\pi\cdot 2\cdot 6 = 24\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 8 = 32\pi\) кв. см.
Задача 2Намерете \(S\) и \(S_1\) на цилиндър с радиус \(r = 9\) см и образуваща \(l = 2\) см (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(S = 2\pi\cdot 9\cdot 2 = 36\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 9\cdot 11 = 198\pi\) кв. см.
Отг.: \(S = 2\pi\cdot 9\cdot 2 = 36\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 9\cdot 11 = 198\pi\) кв. см.
Задача 3За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете лицето на повърхнината на цилиндър с радиус \(r = 1\) дм и образуваща \(l = 110\) мм.
Отг.: \(r = 10\) см, \(l = 11\) см; \(S_1 \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 10\cdot 21 = 1320\) кв. см.
Отг.: \(r = 10\) см, \(l = 11\) см; \(S_1 \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 10\cdot 21 = 1320\) кв. см.
Задача 4Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на цилиндър с диаметър \(d = 1{,}8\) дм и височина \(h = 8\) см.
Отг.: \(1{,}8\) дм \(= 18\) см, \(r = 9\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 9\cdot 17 = 306\pi\) кв. см.
Отг.: \(1{,}8\) дм \(= 18\) см, \(r = 9\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 9\cdot 17 = 306\pi\) кв. см.
Задача 5Цилиндър има радиус \(r = 7{,}5\) см и лице на околната повърхнина \(S = 235{,}5\) кв. см. За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете височината му.
Отг.: \(h = \frac{S}{2\pi r} \approx \frac{235{,}5}{2\cdot 3{,}14\cdot 7{,}5} = 5\) см.
Отг.: \(h = \frac{S}{2\pi r} \approx \frac{235{,}5}{2\cdot 3{,}14\cdot 7{,}5} = 5\) см.
Задача 6Намерете диаметъра на цилиндър с височина \(h = 2{,}5\) см и лице на околната повърхнина \(S = 27{,}5\pi\) кв. см.
Отг.: \(d = \frac{S}{\pi h} = \frac{27{,}5\pi}{2{,}5\pi} = 11\) см.
Отг.: \(d = \frac{S}{\pi h} = \frac{27{,}5\pi}{2{,}5\pi} = 11\) см.
Задача 7Намерете диаметъра на цилиндър с височина \(h = 11{,}25\) см и лице на околната повърхнина \(S = 45\pi\) кв. см.
Отг.: \(d = \frac{45\pi}{\pi\cdot 11{,}25} = 4\) см.
Отг.: \(d = \frac{45\pi}{\pi\cdot 11{,}25} = 4\) см.
Задача 8Радиусът на основата на цилиндър е \(0{,}7\) дм, а лицето на околната повърхнина е 8 пъти лицето на една от основите. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете лицето на повърхнината му.
Отг.: \(r = 7\) см; \(S = 8B\), затова \(S_1 = S + 2B = 8B + 2B = 10B = 10\pi r^2 \approx 10\cdot\frac{22}{7}\cdot 49 = 1540\) кв. см.
Отг.: \(r = 7\) см; \(S = 8B\), затова \(S_1 = S + 2B = 8B + 2B = 10B = 10\pi r^2 \approx 10\cdot\frac{22}{7}\cdot 49 = 1540\) кв. см.
Задача 9Лицето на околната повърхнина на цилиндър е 42 кв. дм, а лицето на повърхнината е 9 пъти лицето на една от основите му. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(S_1 = 9B\) и \(S_1 = S + 2B\), значи \(9B = 42 + 2B\), откъдето \(B = 6\) кв. дм; \(S_1 = 9\cdot 6 = 54\) кв. дм.
Отг.: \(S_1 = 9B\) и \(S_1 = S + 2B\), значи \(9B = 42 + 2B\), откъдето \(B = 6\) кв. дм; \(S_1 = 9\cdot 6 = 54\) кв. дм.
Задача 10Намерете радиуса \(r\) и изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на цилиндър с височина \(h = 17\) см и лице на околната повърхнина \(S = 221\pi\) кв. см.
Отг.: \(221\pi = 2\pi r\cdot 17\Rightarrow r = 6{,}5\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 6{,}5\cdot 23{,}5 = 305{,}5\pi\) кв. см.
Отг.: \(221\pi = 2\pi r\cdot 17\Rightarrow r = 6{,}5\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 6{,}5\cdot 23{,}5 = 305{,}5\pi\) кв. см.
Задача 11На чертежа е изобразен цилиндър, гледан отпред (правоъгълник 7 см × 3 см) и гледан отгоре (кръг). За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) пресметнете лицето на повърхнината му.
Отг.: \(d = 7\) см \(\Rightarrow r = 3{,}5\) см, \(h = 3\) см; \(S_1 \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot 6{,}5 = 143\) кв. см.
Отг.: \(d = 7\) см \(\Rightarrow r = 3{,}5\) см, \(h = 3\) см; \(S_1 \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot 6{,}5 = 143\) кв. см.
Задача 12Дължината на окръжността на една от основите на цилиндър е 12,56 см, а височината \(h = 2\) дм. За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете \(S\) и \(S_1\).
Отг.: \(h = 20\) см; \(S = C\cdot h = 12{,}56\cdot 20 = 251{,}2\) кв. см. Радиусът: \(r \approx \frac{12{,}56}{2\cdot 3{,}14} = 2\) см; \(B \approx 3{,}14\cdot 4 = 12{,}56\) кв. см; \(S_1 = S + 2B \approx 276{,}32\) кв. см.
Отг.: \(h = 20\) см; \(S = C\cdot h = 12{,}56\cdot 20 = 251{,}2\) кв. см. Радиусът: \(r \approx \frac{12{,}56}{2\cdot 3{,}14} = 2\) см; \(B \approx 3{,}14\cdot 4 = 12{,}56\) кв. см; \(S_1 = S + 2B \approx 276{,}32\) кв. см.
Задача 13Даден е правоъгълник с периметър 16 см, чиято дължина е равна на три пъти широчината. Намерете лицето на повърхнината на цилиндъра при въртене около по-късата страна (чрез \(\pi\)).
Отг.: Половината от периметъра е \(16 : 2 = 8\) см и се състои от дължината и широчината. Понеже дължината е три пъти широчината, тези 8 см са четири равни части, значи широчината е \(8 : 4 = 2\) см, а дължината \(3\cdot 2 = 6\) см. При въртене около по-късата страна \(h = 2\) см, \(r = 6\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 6\cdot 8 = 96\pi\) кв. см.
Отг.: Половината от периметъра е \(16 : 2 = 8\) см и се състои от дължината и широчината. Понеже дължината е три пъти широчината, тези 8 см са четири равни части, значи широчината е \(8 : 4 = 2\) см, а дължината \(3\cdot 2 = 6\) см. При въртене около по-късата страна \(h = 2\) см, \(r = 6\) см; \(S_1 = 2\pi\cdot 6\cdot 8 = 96\pi\) кв. см.
Задача 14Дадени са два цилиндъра: първият с радиус \(r_1 = 3\) см и образуваща \(l_1 = 0{,}8\) см, вторият с радиус \(r_2 = 2\) см и образуваща \(l_2 = 3{,}7\) см. Сравнете лицата на повърхнините им.
Отг.: За първия цилиндър \(S_1 = 2\pi\cdot 3\cdot 3{,}8 = 22{,}8\pi\) кв. см, а за втория \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 5{,}7 = 22{,}8\pi\) кв. см. Следователно лицата на повърхнините на двата цилиндъра са равни.
Отг.: За първия цилиндър \(S_1 = 2\pi\cdot 3\cdot 3{,}8 = 22{,}8\pi\) кв. см, а за втория \(S_1 = 2\pi\cdot 2\cdot 5{,}7 = 22{,}8\pi\) кв. см. Следователно лицата на повърхнините на двата цилиндъра са равни.
Задача 15Радиусът на цилиндър е с 50% по-голям от височината му. С колко процента лицето на повърхнината е по-голямо от лицето на околната повърхнина?
Отг.: \(r = 1{,}5h\); \(S = 3\pi h^2\), \(S_1 = 7{,}5\pi h^2\); разликата \(4{,}5\pi h^2\) е \(150\%\) от \(S\).
Отг.: \(r = 1{,}5h\); \(S = 3\pi h^2\), \(S_1 = 7{,}5\pi h^2\); разликата \(4{,}5\pi h^2\) е \(150\%\) от \(S\).
Задача 16Квадрат с лице 16 кв. см е завъртян около една от страните си. Намерете отношението на лицето на околната повърхнина на получения цилиндър към лицето на квадрата.
Отг.: Страната на квадрата е 4 см; \(r = h = 4\) см; \(S = 2\pi\cdot 4\cdot 4 = 32\pi\) кв. см; отношението е \(\frac{32\pi}{16} = 2\pi\).
Отг.: Страната на квадрата е 4 см; \(r = h = 4\) см; \(S = 2\pi\cdot 4\cdot 4 = 32\pi\) кв. см; отношението е \(\frac{32\pi}{16} = 2\pi\).
Задача 17За цилиндър радиусът и образуващата са равни. Вярно ли е, че лицето на повърхнината е два пъти лицето на околната повърхнина?
Отг.: Да. При \(l = r\): \(S = 2\pi r^2\) и \(S_1 = 2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2 = 2S\).
Отг.: Да. При \(l = r\): \(S = 2\pi r^2\) и \(S_1 = 2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2 = 2S\).
Задача 18Даден е цилиндър с радиус \(r\) и височина \(h = \frac{1}{4}r\). Каква част е лицето на околната повърхнина от сбора на лицата на двете основи?
Отг.: \(S = 2\pi r\cdot\frac{r}{4} = \frac{\pi r^2}{2}\); \(2B = 2\pi r^2\); частта е \(\frac{1}{4}\).
Отг.: \(S = 2\pi r\cdot\frac{r}{4} = \frac{\pi r^2}{2}\); \(2B = 2\pi r^2\); частта е \(\frac{1}{4}\).
Задача 19Лицето на околната повърхнина на цилиндър е равно на лицето на една от основите му. На колко е равна височината му, ако радиусът е \(r\)?
Отг.: \(2\pi r h = \pi r^2\Rightarrow h = \frac{r}{2}\) (в същите мерни единици като радиуса).
Отг.: \(2\pi r h = \pi r^2\Rightarrow h = \frac{r}{2}\) (в същите мерни единици като радиуса).
Задача 20Цилиндрична кутия без капак е боядисана отвън. Дъното е боядисано в червено, а околната повърхнина — в синьо. Двете боядисани части са с равни лица. Височината на кутията е \(h\) см. На колко е равен радиусът на дъното?
Отг.: Лицето на дъното е \(\pi r^2\), а лицето на околната повърхнина е \(2\pi r h\). Понеже двете боядисани части са с равни лица, получаваме \(\pi r^2 = 2\pi r h\). След съкращаване намираме \(r = 2h\).
Отг.: Лицето на дъното е \(\pi r^2\), а лицето на околната повърхнина е \(2\pi r h\). Понеже двете боядисани части са с равни лица, получаваме \(\pi r^2 = 2\pi r h\). След съкращаване намираме \(r = 2h\).
Задача 21Как ще се измени лицето на околната повърхнина на цилиндър, ако радиусът се удвои, а височината остане непроменена?
Отг.: \(S = 2\pi r h\) зависи право пропорционално от \(r\), значи лицето на околната повърхнина се удвоява.
Отг.: \(S = 2\pi r h\) зависи право пропорционално от \(r\), значи лицето на околната повърхнина се удвоява.
Задача 22Как ще се измени лицето на околната повърхнина на цилиндър, ако височината стане равна на една трета от първоначалната, а радиусът се утрои?
Отг.: Множителят е \(\frac{1}{3}\cdot 3 = 1\) — лицето остава непроменено.
Отг.: Множителят е \(\frac{1}{3}\cdot 3 = 1\) — лицето остава непроменено.
Задача 23Как ще се измени лицето на околната повърхнина на цилиндър, ако височината се умножи по 5, а радиусът се намали наполовина?
Отг.: Множителят е \(5\cdot\frac{1}{2} = 2{,}5\) — лицето на околната повърхнина се умножава по 2,5.
Отг.: Множителят е \(5\cdot\frac{1}{2} = 2{,}5\) — лицето на околната повърхнина се умножава по 2,5.
Задача 24Метална тръба с цилиндрична форма е с дължина 5 см. Външният ѝ диаметър е 5,6 см, а вътрешният 4,2 см. Боядисват се външната и вътрешната околна повърхнина на тръбата, както и двата ѝ пръстеновидни края, като за всеки 10 кв. см са необходими 2,5 г боя. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Ще стигнат ли 50 г боя?
Отг.: \(R = 2{,}8\) см, \(r = 2{,}1\) см. Лицето на външната околна повърхнина е \(\approx 88\) кв. см, а на вътрешната — \(\approx 66\) кв. см. Двата пръстеновидни края имат общо лице \(\approx 21{,}56\) кв. см. Следователно цялото лице за боядисване е \(\approx 88 + 66 + 21{,}56 = 175{,}56\) кв. см. Необходимата боя е \(\approx \frac{175{,}56}{10}\cdot 2{,}5 = 43{,}89\) г \(\lt 50\) г. Следователно 50 г боя ще стигнат.
Отг.: \(R = 2{,}8\) см, \(r = 2{,}1\) см. Лицето на външната околна повърхнина е \(\approx 88\) кв. см, а на вътрешната — \(\approx 66\) кв. см. Двата пръстеновидни края имат общо лице \(\approx 21{,}56\) кв. см. Следователно цялото лице за боядисване е \(\approx 88 + 66 + 21{,}56 = 175{,}56\) кв. см. Необходимата боя е \(\approx \frac{175{,}56}{10}\cdot 2{,}5 = 43{,}89\) г \(\lt 50\) г. Следователно 50 г боя ще стигнат.
Задача 25За лицето на повърхнината \(S_1\) и лицето на околната повърхнина \(S\) на цилиндър е вярно, че \(S_1 : S = 3 : 1\). Вярно ли е, че радиусът е два пъти височината?
Отг.: Да. От \(S_1 : S = 3 : 1\) следва \(S_1 = 3S\). Тогава от \(S_1 = S + 2B\) получаваме \(3S = S + 2B\), значи \(S = B\), тоест \(2\pi r h = \pi r^2\), откъдето \(r = 2h\).
Отг.: Да. От \(S_1 : S = 3 : 1\) следва \(S_1 = 3S\). Тогава от \(S_1 = S + 2B\) получаваме \(3S = S + 2B\), значи \(S = B\), тоест \(2\pi r h = \pi r^2\), откъдето \(r = 2h\).
Задача 26Височината на цилиндър е с 20% по-малка от радиуса му. С колко процента лицето на повърхнината е по-голямо от лицето на околната повърхнина?
Отг.: \(h = 0{,}8r\); \(S = 1{,}6\pi r^2\), \(S_1 = 3{,}6\pi r^2\); разликата \(2\pi r^2\) е \(125\%\) от \(S\).
Отг.: \(h = 0{,}8r\); \(S = 1{,}6\pi r^2\), \(S_1 = 3{,}6\pi r^2\); разликата \(2\pi r^2\) е \(125\%\) от \(S\).
Задача 27Правоъгълник със страни 3 см и 5 см се завърта около по-дългата си страна. Намерете \(S\) и \(S_1\) на получения цилиндър (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(h = 5\) см, \(r = 3\) см; \(S = 2\pi\cdot 3\cdot 5 = 30\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 3\cdot 8 = 48\pi\) кв. см.
Отг.: \(h = 5\) см, \(r = 3\) см; \(S = 2\pi\cdot 3\cdot 5 = 30\pi\) кв. см; \(S_1 = 2\pi\cdot 3\cdot 8 = 48\pi\) кв. см.
Задача 28Правоъгълник със страни 5 см и 7 см се завърта последователно около двете си страни. За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете и сравнете лицата на повърхнините на двата цилиндъра.
Отг.: При завъртане около страната с дължина 5 см височината е 5 см, а радиусът е 7 см, значи \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 7\cdot 12 = 527{,}52\) кв. см. При завъртане около страната с дължина 7 см височината е 7 см, а радиусът е 5 см, значи \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 12 = 376{,}8\) кв. см. Следователно първият цилиндър има по-голямо лице на повърхнината.
Отг.: При завъртане около страната с дължина 5 см височината е 5 см, а радиусът е 7 см, значи \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 7\cdot 12 = 527{,}52\) кв. см. При завъртане около страната с дължина 7 см височината е 7 см, а радиусът е 5 см, значи \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 12 = 376{,}8\) кв. см. Следователно първият цилиндър има по-голямо лице на повърхнината.
Задача 29Цилиндър с радиус 1 дм и височина 2 дм се търкаля по права линия върху околната си повърхнина без приплъзване и прави 7 пълни оборота. Какво е лицето на образуваната ивица? За \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: При един пълен оборот цилиндърът изминава разстояние, равно на обиколката на основата: \(2\pi r = 2\pi\) дм. За 7 оборота изминатото разстояние е \(7\cdot 2\pi = 14\pi\) дм. Лицето на образуваната ивица е \(14\pi\cdot 2 = 28\pi \approx 87{,}92\) кв. дм.
Отг.: При един пълен оборот цилиндърът изминава разстояние, равно на обиколката на основата: \(2\pi r = 2\pi\) дм. За 7 оборота изминатото разстояние е \(7\cdot 2\pi = 14\pi\) дм. Лицето на образуваната ивица е \(14\pi\cdot 2 = 28\pi \approx 87{,}92\) кв. дм.
Задача 30Цилиндър с радиус \(r = 5{,}4\) см има образуваща, равна на 20% от радиуса. Изразете чрез \(\pi\) лицето на околната повърхнина.
Отг.: \(l = 0{,}2\cdot 5{,}4 = 1{,}08\) см; \(S = 2\pi\cdot 5{,}4\cdot 1{,}08 = 11{,}664\pi\) кв. см.
Отг.: \(l = 0{,}2\cdot 5{,}4 = 1{,}08\) см; \(S = 2\pi\cdot 5{,}4\cdot 1{,}08 = 11{,}664\pi\) кв. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Прав кръгов цилиндър. Лице на повърхнина
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за лицето на околната повърхнина на прав кръгов цилиндър?
2Коя е формулата за лицето на повърхнината на цилиндър?
3Развивката на околната повърхнина на цилиндър е:
4Образуващата на прав кръгов цилиндър е равна на:
5Лицето на околната повърхнина на цилиндър с \(r = 2\) см и \(h = 5\) см (\(\pi \approx 3{,}14\)) е:
6Лицето на една основа на цилиндър с радиус \(r = 3\) см е:
7Обиколката на основата с радиус \(r = 5\) см е:
8Цилиндър се получава при завъртане на правоъгълник около:
9Ако диаметърът е \(d\), лицето на околната повърхнина е:
10Ако \(S = 40\pi\) кв. см и \(r = 4\) см, то височината \(h\) е:
11Лицето на повърхнината на цилиндър с \(r = 1\) см и \(h = 1\) см е:
12Ако радиусът се намали наполовина, а височината остане непроменена, лицето на околната повърхнина:
13На колко квадратни сантиметра е равен 1 кв. дм?
14Чрез образуващата \(l\) лицето на околната повърхнина е:
15За прав кръгов цилиндър височината \(h\) и образуващата \(l\) са:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
🔻
Обем на пирамида
Урок за 6. клас — формулата \(V = \tfrac{1}{3}Bh\) и следствията \(B = \tfrac{3V}{h}\), \(h = \tfrac{3V}{B}\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🔺
Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
Урок за 6. клас — елементи и видове пирамиди, развивка и формулите \(S = \tfrac{Pk}{2}\) и \(S_1 = S + B\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🧱
Права призма. Лице на повърхнина на права призма
Урок за 6. клас — права и правилна призма, развивка и формулите \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\) и \(S = 2B + P\cdot h\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар