Обем на пирамида
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Обем на пирамида
Обем на пирамида
Формулата за обем \(V = \dfrac{1}{3}\,B\,h\) и следствията \(B = \dfrac{3V}{h}\) и \(h = \dfrac{3V}{B}\) — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок ще се научим да намираме обема на пирамида. Ще въведем основната формула \(V = \dfrac{1}{3}\,B\,h\), където \(B\) е лицето на основата, а \(h\) — височината на пирамидата, и ще изведем от нея следствията за намиране на лицето на основата и на височината. Ще си припомним как се намира лицето на различни основи и ще решим много приложни задачи. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
📦 Формула за обем на пирамида
Обемът на пирамида е равен на една трета от произведението на лицето на основата и височината:
\[\boxed{\;V = \dfrac{1}{3}\,B\,h\;}\]
където \(B\) е лицето на основата, а \(h\) — височината на пирамидата.
Височината \(h\) на пирамидата е дължината на перпендикуляра, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата. За намиране на обема са нужни само лицето на основата и височината — няма значение дали пирамидата е правилна.
🔄 Следствия от формулата
От \(V = \dfrac{1}{3}\,B\,h\) изразяваме лицето на основата и височината:
\[B = \dfrac{3V}{h}, \qquad h = \dfrac{3V}{B}.\]
Използваме тези зависимости, когато са известни обемът и една от величините \(B\) или \(h\).
🧱 Пирамида и призма с еднаква основа
Призма с лице на основата \(B\) и височина \(h\) има обем \(V_{\text{призма}} = B\cdot h\). Пирамида със същото лице на основата и същата височина има обем, равен на една трета от обема на призмата:
\[V_{\text{пирамида}} = \dfrac{1}{3}\,V_{\text{призма}} = \dfrac{1}{3}\,B\,h.\]
📐 Лице на основата — припомняне
В задачите основата може да е различен многоъгълник. Полезни формули за лицето \(B\):
• правоъгълник със страни \(a\) и \(b\): \(B = a\cdot b\); квадрат: \(B = a^2\);
• триъгълник с основа \(a\) и височина \(h_a\): \(B = \dfrac{a\cdot h_a}{2}\);
• успоредник (и ромб) със страна \(a\) и височина \(h_a\): \(B = a\cdot h_a\); ромб с диагонали \(d_1, d_2\): \(B = \dfrac{d_1\cdot d_2}{2}\);
• трапец с основи \(a, b\) и височина \(h\): \(B = \dfrac{a+b}{2}\cdot h\);
• правилен многоъгълник с периметър \(P\) и апотема \(a\): \(B = \dfrac{P\cdot a}{2}\).
Полезни мерни единици: \(1\) куб. дм \(= 1000\) куб. см; \(1\) куб. м \(= 1000\) куб. дм.
• правоъгълник със страни \(a\) и \(b\): \(B = a\cdot b\); квадрат: \(B = a^2\);
• триъгълник с основа \(a\) и височина \(h_a\): \(B = \dfrac{a\cdot h_a}{2}\);
• успоредник (и ромб) със страна \(a\) и височина \(h_a\): \(B = a\cdot h_a\); ромб с диагонали \(d_1, d_2\): \(B = \dfrac{d_1\cdot d_2}{2}\);
• трапец с основи \(a, b\) и височина \(h\): \(B = \dfrac{a+b}{2}\cdot h\);
• правилен многоъгълник с периметър \(P\) и апотема \(a\): \(B = \dfrac{P\cdot a}{2}\).
Полезни мерни единици: \(1\) куб. дм \(= 1000\) куб. см; \(1\) куб. м \(= 1000\) куб. дм.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Намерете обема на пирамида с лице на основата 15,6 кв. см и височина 10 см.
▼
РешениеПрилагаме формулата за обем: \(V = \dfrac{1}{3}\,B\,h = \dfrac{1}{3}\cdot 15{,}6\cdot 10 = 52\) куб. см.
2
Намерете обема на пирамида с лице на основата 12,03 кв. см и височина 20 см.
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{3}\,B\,h = \dfrac{1}{3}\cdot 12{,}03\cdot 20 = 80{,}2\) куб. см.
3
Намерете обема на пирамида с лице на основата 14,4 кв. см и височина 4 дм.
▼
РешениеПревръщаме височината в сантиметри: \(4\) дм \(= 40\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 14{,}4\cdot 40 = 192\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 14{,}4\cdot 40 = 192\) куб. см.
4
Намерете обема на пирамида с височина 20 см и основа правоъгълник със страни 18 см и 3,2 см.
▼
РешениеЛицето на основата е \(B = 18\cdot 3{,}2 = 57{,}6\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 57{,}6\cdot 20 = 384\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 57{,}6\cdot 20 = 384\) куб. см.
5
Пирамида има височина 15 см, а основата ѝ е правоъгълен триъгълник с катети 6 см и 8 см. Намерете обема на пирамидата.
▼
РешениеЛицето на основата (правоъгълен триъгълник) е \(B = \dfrac{6\cdot 8}{2} = 24\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 24\cdot 15 = 120\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 24\cdot 15 = 120\) куб. см.
6
Пирамида има височина 15 см, а основата ѝ е равнобедрен триъгълник с основа 7 см и височина 6 см. Намерете обема.
▼
РешениеЛицето на основата (равнобедрен триъгълник) е \(B = \dfrac{7\cdot 6}{2} = 21\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 21\cdot 15 = 105\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 21\cdot 15 = 105\) куб. см.
7
Пирамида има височина 15 см, а основата ѝ е ромб със страна 9,6 см и височина 5 см. Намерете обема.
▼
РешениеЛицето на основата (ромб) е \(B = 9{,}6\cdot 5 = 48\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot 15 = 240\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot 15 = 240\) куб. см.
8
Пирамида има височина 15 см, а основата ѝ е трапец с основи 10 см и 6 см и височина 7,2 см. Намерете обема.
▼
РешениеЛицето на основата (трапец) е \(B = \dfrac{10+6}{2}\cdot 7{,}2 = 8\cdot 7{,}2 = 57{,}6\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 57{,}6\cdot 15 = 288\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 57{,}6\cdot 15 = 288\) куб. см.
9
Намерете обема на пирамида с височина 20 см и основа ромб с периметър 36 см и височина 0,5 дм.
▼
РешениеСтраната на ромба е \(36 : 4 = 9\) см, а височината \(0{,}5\) дм \(= 5\) см. Тогава \(B = 9\cdot 5 = 45\) кв. см и \(V = \dfrac{1}{3}\cdot 45\cdot 20 = 300\) куб. см.
10
Намерете приблизително обема на пирамида с височина 20 см и основа правилен шестоъгълник със страна 40 мм и апотема приблизително 3,46 см.
▼
РешениеПърво превръщаме милиметрите в сантиметри: \(40\) мм \(= 4\) см. Периметърът на основата е \(P = 6\cdot 4 = 24\) см, затова лицето на основата е приблизително \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\) кв. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 41{,}52\cdot 20 = 276{,}8\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 41{,}52\cdot 20 = 276{,}8\) куб. см.
11
Височината на пирамида е 12 см, а основата ѝ е правилен петоъгълник със страна 1,6 см и апотема приблизително 1,1 см. Намерете приблизително обема.
▼
РешениеПериметърът на основата е \(P = 5\cdot 1{,}6 = 8\) см, затова лицето на основата е приблизително \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{8\cdot 1{,}1}{2} = 4{,}4\) кв. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 4{,}4\cdot 12 = 17{,}6\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 4{,}4\cdot 12 = 17{,}6\) куб. см.
12
Височината на пирамида е 12 см, а основата ѝ е правилен деветоъгълник със страна 80 мм и апотема приблизително 11 см. Намерете приблизително обема.
▼
РешениеПревръщаме милиметрите в сантиметри: \(80\) мм \(= 8\) см. Периметърът на основата е \(P = 9\cdot 8 = 72\) см, затова лицето на основата е приблизително \(B \approx \dfrac{72\cdot 11}{2} = 396\) кв. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 396\cdot 12 = 1584\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot 396\cdot 12 = 1584\) куб. см.
13
Намерете обема на четириъгълна пирамида, чиято основа е трапец с основи 2,1 дм и 90 мм и височина 8,4 см, ако височината на пирамидата е равна на 1,5 пъти височината на трапеца.
▼
РешениеЗаписваме всички дължини в сантиметри: \(2{,}1\) дм \(= 21\) см, \(90\) мм \(= 9\) см. Лицето на основата (трапец) е \(B = \dfrac{21+9}{2}\cdot 8{,}4 = 15\cdot 8{,}4 = 126\) кв. см.
Височината на пирамидата е \(h = 1{,}5\cdot 8{,}4 = 12{,}6\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 126\cdot 12{,}6 = 529{,}2\) куб. см.
Височината на пирамидата е \(h = 1{,}5\cdot 8{,}4 = 12{,}6\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 126\cdot 12{,}6 = 529{,}2\) куб. см.
14
Пирамида има обем 17,5 куб. см и лице на основата 10,5 кв. см. Намерете височината на пирамидата.
▼
РешениеИзползваме следствието \(h = \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3\cdot 17{,}5}{10{,}5} = \dfrac{52{,}5}{10{,}5} = 5\) см.
15
Пирамида с основа правоъгълен триъгълник има обем 36 куб. см. Височината на пирамидата е 90 мм, а единият катет на основата е 4 см. Намерете другия катет.
▼
РешениеПревръщаме милиметрите в сантиметри: \(90\) мм \(= 9\) см. Лицето на основата е \(B = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 36}{9} = 12\) кв. см.
За правоъгълния триъгълник \(B = \dfrac{k_1\cdot k_2}{2}\): \(\dfrac{4\cdot k_2}{2} = 12\Rightarrow 2k_2 = 12\Rightarrow k_2 = 6\) см.
За правоъгълния триъгълник \(B = \dfrac{k_1\cdot k_2}{2}\): \(\dfrac{4\cdot k_2}{2} = 12\Rightarrow 2k_2 = 12\Rightarrow k_2 = 6\) см.
16
Основата на пирамида е трапец с основи 6 см и 2 см. Намерете височината на трапеца, ако пирамидата има обем 67,2 куб. см и височина 8 см.
▼
РешениеЛицето на основата е \(B = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 67{,}2}{8} = 25{,}2\) кв. см.
За трапеца \(B = \dfrac{6+2}{2}\cdot h_{\text{тр}} = 4\,h_{\text{тр}}\), значи \(4\,h_{\text{тр}} = 25{,}2\Rightarrow h_{\text{тр}} = 6{,}3\) см.
За трапеца \(B = \dfrac{6+2}{2}\cdot h_{\text{тр}} = 4\,h_{\text{тр}}\), значи \(4\,h_{\text{тр}} = 25{,}2\Rightarrow h_{\text{тр}} = 6{,}3\) см.
17
Правилна осмоъгълна пирамида има обем 76,8 куб. дм. Апотемата на основата е приблизително 4,8 дм, а височината на пирамидата е 3 дм. Намерете приблизителната дължина на основния ръб на пирамидата.
▼
РешениеЛицето на основата е \(B = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 76{,}8}{3} = 76{,}8\) кв. дм.
От \(B = \dfrac{P\cdot a}{2}\) получаваме приблизително \(P \approx \dfrac{2B}{a} = \dfrac{2\cdot 76{,}8}{4{,}8} = 32\) дм. Тогава основният ръб е \(b \approx 32 : 8 = 4\) дм.
От \(B = \dfrac{P\cdot a}{2}\) получаваме приблизително \(P \approx \dfrac{2B}{a} = \dfrac{2\cdot 76{,}8}{4{,}8} = 32\) дм. Тогава основният ръб е \(b \approx 32 : 8 = 4\) дм.
18
Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 2,5 см, апотема на основата приблизително 2,17 см и обем приблизително 162,4 куб. см. Намерете приблизителната височина на пирамидата.
▼
РешениеПериметърът на основата е \(P = 6\cdot 2{,}5 = 15\) см, затова лицето на основата е приблизително \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{15\cdot 2{,}17}{2} = 16{,}275\) кв. см.
\(h \approx \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3\cdot 162{,}4}{16{,}275} \approx 30\) см.
\(h \approx \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3\cdot 162{,}4}{16{,}275} \approx 30\) см.
19
Правилна дванадесетоъгълна пирамида има обем приблизително 1074,8 куб. см, височина 8 см и основен ръб 6 см. Намерете приблизителната дължина на апотемата на основата.
▼
РешениеЛицето на основата е приблизително \(B \approx \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 1074{,}8}{8} = 403{,}05\) кв. см.
Периметърът на основата е \(P = 12\cdot 6 = 72\) см, следователно \(a \approx \dfrac{2B}{P} = \dfrac{2\cdot 403{,}05}{72} \approx 11{,}2\) см.
Периметърът на основата е \(P = 12\cdot 6 = 72\) см, следователно \(a \approx \dfrac{2B}{P} = \dfrac{2\cdot 403{,}05}{72} \approx 11{,}2\) см.
20
Правилна четириъгълна пирамида има обем 120 куб. дм и височина 1 м. Намерете периметъра на основата.
▼
РешениеПревръщаме метрите в дециметри: \(1\) м \(= 10\) дм. Лицето на основата е \(B = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 120}{10} = 36\) кв. дм.
Тъй като основата е квадрат с лице 36 кв. дм, дължината на основния ръб е \(b = 6\) дм (защото \(6^2 = 36\)). Следователно периметърът на основата е \(P = 4\cdot 6 = 24\) дм.
Тъй като основата е квадрат с лице 36 кв. дм, дължината на основния ръб е \(b = 6\) дм (защото \(6^2 = 36\)). Следователно периметърът на основата е \(P = 4\cdot 6 = 24\) дм.
21
Обемът на пирамида е 96 куб. см. Намерете обема на друга пирамида, чиято основа има лице \(\frac{2}{3}\) от лицето на основата на първата, а височината ѝ е равна на два пъти височината на първата пирамида.
▼
РешениеНека първата пирамида има лице на основата \(B\) и височина \(h\). Тогава \(V_1 = \dfrac{1}{3}\,B\,h = 96\) куб. см.
За втората: \(B_2 = \dfrac{2}{3}B\) и \(h_2 = 2h\), затова
\(V_2 = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}B\cdot 2h = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\,B\,h = \dfrac{4}{3}\cdot 96 = 128\) куб. см.
За втората: \(B_2 = \dfrac{2}{3}B\) и \(h_2 = 2h\), затова
\(V_2 = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}B\cdot 2h = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\,B\,h = \dfrac{4}{3}\cdot 96 = 128\) куб. см.
22
Обемът на правилна четириъгълна пирамида е 80% от обема на куб с ръб 6 см, а основният ръб на пирамидата е с 20% по-голям от ръба на куба. Намерете височината на пирамидата.
▼
РешениеОбемът на куба е \(V_{\text{куб}} = 6^3 = 216\) куб. см, затова обемът на пирамидата е \(V = 0{,}8\cdot 216 = 172{,}8\) куб. см.
Основният ръб на пирамидата е с 20% по-голям от ръба на куба, значи \(b = 1{,}2\cdot 6 = 7{,}2\) см, а лицето на основата е \(B = 7{,}2^2 = 51{,}84\) кв. см.
\(h = \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3\cdot 172{,}8}{51{,}84} = \dfrac{518{,}4}{51{,}84} = 10\) см.
Основният ръб на пирамидата е с 20% по-голям от ръба на куба, значи \(b = 1{,}2\cdot 6 = 7{,}2\) см, а лицето на основата е \(B = 7{,}2^2 = 51{,}84\) кв. см.
\(h = \dfrac{3V}{B} = \dfrac{3\cdot 172{,}8}{51{,}84} = \dfrac{518{,}4}{51{,}84} = 10\) см.
23
Нека \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) е куб с ръб 12 см и \(M\) е произволна точка, лежаща върху стената \(A_1B_1C_1D_1\). Намерете обема на пирамидата с основа \(ABCD\) и връх \(M\).
▼
РешениеОсновата \(ABCD\) е квадрат със страна 12 см, значи \(B = 12^2 = 144\) кв. см. Точка \(M\) лежи в равнината на горната стена, която отстои от основата на разстояние, равно на ръба на куба. Затова височината на пирамидата е \(h = 12\) см — независимо къде точно е \(M\).
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 144\cdot 12 = 576\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 144\cdot 12 = 576\) куб. см.
24
Намерете обема на пирамида, чиято основа е ромб с диагонали 15 см и 10 см. Височината на пирамидата е толкова сантиметра, колкото е най-малкото двуцифрено просто число.
▼
РешениеНай-малкото двуцифрено просто число е 11, значи \(h = 11\) см. Лицето на основата (ромб с диагонали \(d_1\) и \(d_2\)) е \(B = \dfrac{d_1\cdot d_2}{2} = \dfrac{15\cdot 10}{2} = 75\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 75\cdot 11 = 275\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 75\cdot 11 = 275\) куб. см.
25
Всички ръбове на куб са разделени на три равни части. През трите делителни точки, които са най-близо до всеки връх, е прекарана равнина и получената ъглова пирамида е отрязана. Намерете обема на останалото тяло, ако ръбът на куба е 9 см.
▼
РешениеРъбът се дели на части по \(9 : 3 = 3\) см. От всеки връх се отрязва триъгълна пирамида с три взаимно перпендикулярни ръба по 3 см. Основата ѝ е правоъгълен триъгълник с катети 3 и 3: \(B = \dfrac{3\cdot 3}{2} = 4{,}5\) кв. см, а височината ѝ е 3 см.
Обемът на една отрязана пирамида е \(\dfrac{1}{3}\cdot 4{,}5\cdot 3 = 4{,}5\) куб. см. Върховете са 8, значи се отрязват \(8\cdot 4{,}5 = 36\) куб. см.
Следователно обемът на останалото тяло е \(9^3 - 36 = 729 - 36 = 693\) куб. см.
Обемът на една отрязана пирамида е \(\dfrac{1}{3}\cdot 4{,}5\cdot 3 = 4{,}5\) куб. см. Върховете са 8, значи се отрязват \(8\cdot 4{,}5 = 36\) куб. см.
Следователно обемът на останалото тяло е \(9^3 - 36 = 729 - 36 = 693\) куб. см.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете обема на пирамида с лице на основата 17,5 кв. дм и височина 87 см.
Отг.: \(87\) см \(= 8{,}7\) дм; \(V = \frac{1}{3}\cdot 17{,}5\cdot 8{,}7 = 50{,}75\) куб. дм.
Отг.: \(87\) см \(= 8{,}7\) дм; \(V = \frac{1}{3}\cdot 17{,}5\cdot 8{,}7 = 50{,}75\) куб. дм.
Задача 2Намерете обема на пирамида с височина 15 см и основа правоъгълник със страни 5,6 см и 9,3 см.
Отг.: \(B = 5{,}6\cdot 9{,}3 = 52{,}08\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 52{,}08\cdot 15 = 260{,}4\) куб. см.
Отг.: \(B = 5{,}6\cdot 9{,}3 = 52{,}08\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 52{,}08\cdot 15 = 260{,}4\) куб. см.
Задача 3Намерете обема на пирамида с височина 20 см и основа равнобедрен трапец с височина 9 см, периметър 58,5 см и бедро 15 см.
Отг.: Сборът на основите е \(58{,}5 - 2\cdot 15 = 28{,}5\) см; \(B = \frac{28{,}5}{2}\cdot 9 = 128{,}25\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 128{,}25\cdot 20 = 855\) куб. см.
Отг.: Сборът на основите е \(58{,}5 - 2\cdot 15 = 28{,}5\) см; \(B = \frac{28{,}5}{2}\cdot 9 = 128{,}25\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 128{,}25\cdot 20 = 855\) куб. см.
Задача 4Височината на пирамида е 12 см, а основата ѝ е триъгълник със страна 4 см и височина към тази страна 3,5 см. Намерете обема.
Отг.: \(B = \frac{4\cdot 3{,}5}{2} = 7\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 7\cdot 12 = 28\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{4\cdot 3{,}5}{2} = 7\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 7\cdot 12 = 28\) куб. см.
Задача 5Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 9 см и височина 10 см.
Отг.: \(B = 9^2 = 81\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 81\cdot 10 = 270\) куб. см.
Отг.: \(B = 9^2 = 81\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 81\cdot 10 = 270\) куб. см.
Задача 6Лицето на една околна стена на правилна четириъгълна пирамида е 15 кв. см. Намерете обема, ако апотемата ѝ е 5 см, а височината ѝ е 4 см.
Отг.: Лицето на една стена е \(\frac{b\cdot 5}{2} = 15\Rightarrow b = 6\) см; \(B = 36\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48\) куб. см.
Отг.: Лицето на една стена е \(\frac{b\cdot 5}{2} = 15\Rightarrow b = 6\) см; \(B = 36\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48\) куб. см.
Задача 7Правилна четириъгълна пирамида има обем 576 куб. см. Намерете основния ѝ ръб, ако височината е 12 см.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 576}{12} = 144\) кв. см; \(b = 12\) см (тъй като \(12^2 = 144\)).
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 576}{12} = 144\) кв. см; \(b = 12\) см (тъй като \(12^2 = 144\)).
Задача 8Правилна четириъгълна пирамида има обем 576 куб. см. Намерете височината, ако основният ѝ ръб е 12 см.
Отг.: \(B = 12^2 = 144\) кв. см; \(h = \frac{3\cdot 576}{144} = 12\) см.
Отг.: \(B = 12^2 = 144\) кв. см; \(h = \frac{3\cdot 576}{144} = 12\) см.
Задача 9Лицето на повърхнината на пирамида е 252 кв. см, а лицето на околната ѝ повърхнина е 1,68 кв. дм. Ако височината е 50 мм, намерете обема.
Отг.: \(1{,}68\) кв. дм \(= 168\) кв. см; \(B = 252 - 168 = 84\) кв. см; \(h = 5\) см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 84\cdot 5 = 140\) куб. см.
Отг.: \(1{,}68\) кв. дм \(= 168\) кв. см; \(B = 252 - 168 = 84\) кв. см; \(h = 5\) см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 84\cdot 5 = 140\) куб. см.
Задача 10Правилна четириъгълна пирамида има обем 48 куб. см, височина 4 см и апотема 5 см. Намерете лицето на повърхнината ѝ.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 48}{4} = 36\) кв. см, \(b = 6\) см; \(S = \frac{(4\cdot 6)\cdot 5}{2} = 60\) кв. см; \(S_1 = 60 + 36 = 96\) кв. см.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 48}{4} = 36\) кв. см, \(b = 6\) см; \(S = \frac{(4\cdot 6)\cdot 5}{2} = 60\) кв. см; \(S_1 = 60 + 36 = 96\) кв. см.
Задача 11Правилна шестоъгълна пирамида има обем 609 куб. см, височина 7 см, апотема приблизително 11,2 см и апотема на основата приблизително 8,7 см. Намерете приблизително лицето на повърхнината.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 609}{7} = 261\) кв. см; \(P \approx \frac{2\cdot 261}{8{,}7} = 60\) см; \(S \approx \frac{60\cdot 11{,}2}{2} = 336\) кв. см; \(S_1 \approx 336 + 261 = 597\) кв. см.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 609}{7} = 261\) кв. см; \(P \approx \frac{2\cdot 261}{8{,}7} = 60\) см; \(S \approx \frac{60\cdot 11{,}2}{2} = 336\) кв. см; \(S_1 \approx 336 + 261 = 597\) кв. см.
Задача 12Основата на пирамида е трапец с основи 14 см и 8 см. Обемът на пирамидата е 220 куб. см, а височината ѝ е 5 см. Намерете височината на основата (трапеца).
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 220}{5} = 132\) кв. см; \(\frac{14+8}{2}\cdot h_{\text{тр}} = 11\,h_{\text{тр}} = 132\Rightarrow h_{\text{тр}} = 12\) см.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 220}{5} = 132\) кв. см; \(\frac{14+8}{2}\cdot h_{\text{тр}} = 11\,h_{\text{тр}} = 132\Rightarrow h_{\text{тр}} = 12\) см.
Задача 13Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 10 см и височина 9 см.
Отг.: \(B = 100\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 100\cdot 9 = 300\) куб. см.
Отг.: \(B = 100\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 100\cdot 9 = 300\) куб. см.
Задача 14Намерете обема на пирамида с височина 10 см и основа правоъгълен триъгълник с катети 5 см и 12 см.
Отг.: \(B = \frac{5\cdot 12}{2} = 30\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 30\cdot 10 = 100\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{5\cdot 12}{2} = 30\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 30\cdot 10 = 100\) куб. см.
Задача 15Намерете обема на пирамида с височина 9 см и основа ромб с диагонали 8 см и 6 см.
Отг.: \(B = \frac{8\cdot 6}{2} = 24\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9 = 72\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{8\cdot 6}{2} = 24\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9 = 72\) куб. см.
Задача 16Нека \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) е куб с ръб 6 см и \(M\) е произволна точка, лежаща върху стената \(A_1B_1C_1D_1\). Намерете обема на пирамидата с основа \(ABCD\) и връх \(M\).
Отг.: \(B = 36\) кв. см, височина \(6\) см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 6 = 72\) куб. см.
Отг.: \(B = 36\) кв. см, височина \(6\) см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 6 = 72\) куб. см.
Задача 17Правилна четириъгълна пирамида има обем 200 куб. см и височина 6 см. Намерете основния ѝ ръб.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 200}{6} = 100\) кв. см; \(b = 10\) см.
Отг.: \(B = \frac{3\cdot 200}{6} = 100\) кв. см; \(b = 10\) см.
Задача 18Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 см, апотема 5 см и височина 4 см. Намерете височината на призма със същата основа, ако лицето на повърхнината на призмата е равно на два пъти лицето на повърхнината на пирамидата.
Отг.: Пирамида: \(S_1 = 60 + 36 = 96\) кв. см; призма: \(2\cdot 96 = 192 = 2\cdot 36 + 24\,h\Rightarrow h = 5\) см.
Отг.: Пирамида: \(S_1 = 60 + 36 = 96\) кв. см; призма: \(2\cdot 96 = 192 = 2\cdot 36 + 24\,h\Rightarrow h = 5\) см.
Задача 19За пирамидата от задача 18 намерете височината на призма със същата основа, ако обемът на призмата е равен на девет пъти обема на пирамидата.
Отг.: \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48\) куб. см; \(V_{\text{призма}} = 9\cdot 48 = 432 = 36\,h\Rightarrow h = 12\) см.
Отг.: \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48\) куб. см; \(V_{\text{призма}} = 9\cdot 48 = 432 = 36\,h\Rightarrow h = 12\) см.
Задача 20Правилна четириъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 240 кв. см, височина 8 см и апотема 10 см. Намерете обема ѝ.
Отг.: \(S = \frac{(4b)\cdot 10}{2} = 20b = 240\Rightarrow b = 12\) см; \(B = 144\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8 = 384\) куб. см.
Отг.: \(S = \frac{(4b)\cdot 10}{2} = 20b = 240\Rightarrow b = 12\) см; \(B = 144\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8 = 384\) куб. см.
Задача 21Каква част от обема на правилна четириъгълна призма с лице на околната повърхнина 240 кв. см и височина 8 см е обемът на пирамидата от задача 20?
Отг.: Призма: \(4b\cdot 8 = 240\Rightarrow b = 7{,}5\) см; \(B = 56{,}25\) кв. см; \(V = 56{,}25\cdot 8 = 450\) куб. см; частта е \(\frac{384}{450} = \frac{64}{75}\).
Отг.: Призма: \(4b\cdot 8 = 240\Rightarrow b = 7{,}5\) см; \(B = 56{,}25\) кв. см; \(V = 56{,}25\cdot 8 = 450\) куб. см; частта е \(\frac{384}{450} = \frac{64}{75}\).
Задача 22Обемите на две пирамиди с равни лица на основите са \(V_1\) и \(V_2\), а височините им — \(h_1\) и \(h_2\). Вярно ли е, че ако \(h_1 = k\,h_2\), то \(V_1 = k\,V_2\)?
Отг.: Да; при равни основи \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1}{h_2} = k\), значи \(V_1 = k\,V_2\).
Отг.: Да; при равни основи \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1}{h_2} = k\), значи \(V_1 = k\,V_2\).
Задача 23Обемите на две пирамиди с равни височини са \(V_1\) и \(V_2\), а лицата на основите им — \(B_1\) и \(B_2\). Вярно ли е, че ако \(B_1 = k\,B_2\), то \(V_1 = k\,V_2\)?
Отг.: Да; при равни височини \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{B_1}{B_2} = k\), значи \(V_1 = k\,V_2\).
Отг.: Да; при равни височини \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{B_1}{B_2} = k\), значи \(V_1 = k\,V_2\).
Задача 24Дадена е правилна шестоъгълна пирамида \(ABCDEFM\) с обем \(V\) и център на основата \(O\). Намерете обема на пирамидата \(ABOM\).
Отг.: Триъгълникът \(ABO\) е \(\frac{1}{6}\) от лицето на шестоъгълника, а върхът \(M\) и височината са същите, значи обемът е \(\frac{1}{6}V\).
Отг.: Триъгълникът \(ABO\) е \(\frac{1}{6}\) от лицето на шестоъгълника, а върхът \(M\) и височината са същите, значи обемът е \(\frac{1}{6}V\).
Задача 25За пирамидата от задача 24 намерете обема на пирамидата \(OCDEM\).
Отг.: Четириъгълникът \(OCDE\) се състои от два от шестте равни триъгълника, тоест \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) от основата; обемът е \(\frac{1}{3}V\).
Отг.: Четириъгълникът \(OCDE\) се състои от два от шестте равни триъгълника, тоест \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) от основата; обемът е \(\frac{1}{3}V\).
Задача 26За пирамидата от задача 24 точка \(N\) е от височината \(MO\), така че \(MN = \frac{1}{3}MO\). Намерете обема на пирамидата \(ABCDEFN\).
Отг.: Височината на новата пирамида е \(NO = MO - MN = \frac{2}{3}MO\); основата е същата, значи обемът е \(\frac{2}{3}V\).
Отг.: Височината на новата пирамида е \(NO = MO - MN = \frac{2}{3}MO\); основата е същата, значи обемът е \(\frac{2}{3}V\).
Задача 27Правилна петоъгълна пирамида има височина 9 см. Периметърът на основата е 20 см, а апотемата на основата е приблизително 2,75 см. Намерете приблизително обема на пирамидата.
Отг.: \(B \approx \frac{20\cdot 2{,}75}{2} = 27{,}5\) кв. см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 27{,}5\cdot 9 = 82{,}5\) куб. см.
Отг.: \(B \approx \frac{20\cdot 2{,}75}{2} = 27{,}5\) кв. см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 27{,}5\cdot 9 = 82{,}5\) куб. см.
Задача 28Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 12 см и височина 5 см.
Отг.: \(B = 144\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 144\cdot 5 = 240\) куб. см.
Отг.: \(B = 144\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 144\cdot 5 = 240\) куб. см.
Задача 29Намерете обема на пирамида с височина 12 см и основа трапец с основи 9 см и 5 см и височина 4 см.
Отг.: \(B = \frac{9+5}{2}\cdot 4 = 28\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 28\cdot 12 = 112\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{9+5}{2}\cdot 4 = 28\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 28\cdot 12 = 112\) куб. см.
Задача 30Намерете обема на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 5 см и височина 10,4 см.
Отг.: \(B = 25\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 25\cdot 10{,}4 \approx 86{,}7\) куб. см.
Отг.: \(B = 25\) кв. см; \(V = \frac{1}{3}\cdot 25\cdot 10{,}4 \approx 86{,}7\) куб. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Обем на пирамида
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за обем на пирамида?
2От формулата \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) лицето на основата е:
3Пирамида има лице на основата 30 кв. см и височина 10 см. Обемът ѝ е:
4Пирамида и призма имат еднакво лице на основата и еднаква височина. Обемът на пирамидата е:
5Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 см и височина 5 см. Обемът ѝ е:
6Пирамида има обем 60 куб. см и лице на основата 20 кв. см. Височината ѝ е:
7Пирамида има височина 10 см и основа правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см. Обемът ѝ е:
8На колко куб. см е равен 1 куб. дм?
9Пирамида има обем 64 куб. см и лице на основата 48 кв. см. Височината ѝ е:
10Височината на пирамида е разстоянието от върха ѝ до:
11Пирамида има лице на основата 12 кв. см и височина 6 см. Обемът ѝ е:
12Основата на пирамида е ромб с диагонали 6 см и 8 см. Лицето на основата е:
13Правилна четириъгълна пирамида има обем 48 куб. см и височина 4 см. Лицето на основата е:
14Обемът на пирамида е \(V\). Ако височината се удвои, а лицето на основата остане непроменено, новият обем е:
15Пирамида има основа трапец с основи 5 см и 3 см и височина 4 см, а височината на пирамидата е 9 см. Обемът ѝ е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
🔺
Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
Урок за 6. клас — елементи и видове пирамиди, правилна пирамида и апотема, развивка и формулите \(S = \tfrac{Pk}{2}\) и \(S_1 = S + B\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📦
Обем на права призма
Урок за 6. клас — обемът на права призма по формулата \(V = B\cdot h\), обем на куб и паралелепипед, мерни единици. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🧱
Права призма. Лице на повърхнина на права призма
Урок за 6. клас — права и правилна призма, развивка, формула на Ойлер и формулите \(S_{\text{ок}}=P\cdot h\) и \(S=2B+P\cdot h\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар