Обем на права призма
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Обем на права призма
Обем на права призма
Обем на права призма по формулата \(V = B\cdot h\), обем на куб \(V = a^3\) и на правоъгълен паралелепипед \(V = a\cdot b\cdot c\), мерни единици за обем — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок ще научим как се намира обемът на права призма. Обемът показва колко място заема тялото и се мери в кубически единици (куб. см, куб. дм, куб. м). Ще въведем основната формула \(V = B\cdot h\), където \(B\) е лицето на една основа, а \(h\) — височината на призмата. След това ще разгледаме обема на куба и правоъгълния паралелепипед като частни случаи и ще решим разнообразни приложни задачи. Към повечето задачи има чертеж или таблица. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
🔷 Обем. Мерни единици
Обемът на едно тяло показва колко място заема то в пространството. Измерва се в кубически единици: кубически сантиметър (куб. см), кубически дециметър (куб. дм) и кубически метър (куб. м).
Връзки между единиците: \(1\text{ куб. дм} = 1\text{ литър}\); \(1\text{ куб. дм} = 1000\text{ куб. см}\); \(1\text{ куб. м} = 1000\text{ куб. дм} = 1\,000\,000\text{ куб. см}\).
📐 Обем на права призма
Обемът на права призма с лице на една от основите \(B\) и височина \(h\) се намира по формулата:
\[\boxed{\;V = B\cdot h\;}\]
Тоест умножаваме лицето на основата по височината на призмата.
Лицето на основата \(B\), умножено по височината \(h\), дава обема \(V = B\cdot h\).
🧊 Частни случаи: куб и правоъгълен паралелепипед
Правоъгълен паралелепипед с измерения \(a\), \(b\) и \(c\): основата е правоъгълник с лице \(B = a\cdot b\), а височината е \(c\), затова
\[V = a\cdot b\cdot c.\]
Куб с ръб \(a\): всички ръбове са равни, затова
\[V = a\cdot a\cdot a = a^3.\]
Куб: \(V = a^3\).
Паралелепипед: \(V = a\cdot b\cdot c\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение. Към повечето задачи има чертеж или таблица.
1
Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако лицето на основата ѝ е 40,8 кв. см.
▼
РешениеПо формулата \(V = B\cdot h\):
\[V = 40{,}8\cdot 25 = 1020 \text{ куб. см}.\]
\[V = 40{,}8\cdot 25 = 1020 \text{ куб. см}.\]
2
Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата ѝ е правоъгълен равнобедрен триъгълник с дължина на бедрото 12 см.
▼
РешениеКатетите на правоъгълния равнобедрен триъгълник са бедрата му: по 12 см. Лице на основата: \(B = \dfrac{12\cdot 12}{2} = 72\) кв. см.
\(V = B\cdot h = 72\cdot 25 = 1800\) куб. см.
\(V = B\cdot h = 72\cdot 25 = 1800\) куб. см.
3
Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата ѝ е успоредник със страна 2,9 см и височина към нея 1,5 см.
▼
РешениеЛице на основата: \(B = 2{,}9\cdot 1{,}5 = 4{,}35\) кв. см.
\(V = 4{,}35\cdot 25 = 108{,}75\) куб. см.
\(V = 4{,}35\cdot 25 = 108{,}75\) куб. см.
4
Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата ѝ е трапец, сборът на основите на който е 36 см, а височината му е 10 см.
▼
РешениеЛице на трапеца: \(B = \dfrac{36}{2}\cdot 10 = 18\cdot 10 = 180\) кв. см.
\(V = 180\cdot 25 = 4500\) куб. см.
\(V = 180\cdot 25 = 4500\) куб. см.
5
Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата ѝ е четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни и имат дължини 5,8 см и 4,15 см.
▼
РешениеЛице на четириъгълник с перпендикулярни диагонали: \(B = \dfrac{d_1\cdot d_2}{2} = \dfrac{5{,}8\cdot 4{,}15}{2} = \dfrac{24{,}07}{2} = 12{,}035\) кв. см.
\(V = 12{,}035\cdot 25 = 300{,}875\) куб. см.
\(V = 12{,}035\cdot 25 = 300{,}875\) куб. см.
6
Намерете обема на куб с ръб 5 см.
▼
Решение\(V = a^3 = 5^3 = 125\) куб. см.
7
Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с размери 8 см, 5 см и 4 см.
▼
Решение\(V = a\cdot b\cdot c = 8\cdot 5\cdot 4 = 160\) куб. см.
8
Обемът на права призма е 246 куб. см, а основата ѝ е триъгълник с дължина на страна 12 см и височина към нея 8,2 см. Намерете дължината на околния ръб (височината) на призмата.
▼
РешениеЛице на основата: \(B = \dfrac{12\cdot 8{,}2}{2} = 49{,}2\) кв. см.
От \(V = B\cdot h\): \(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{246}{49{,}2} = 5\) см.
От \(V = B\cdot h\): \(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{246}{49{,}2} = 5\) см.
9
Обемът на права призма е 120 куб. дм, а основата ѝ е ромб със страна 8 дм и височина 3 дм към тази страна. Намерете височината на призмата.
▼
РешениеЛице на ромба: \(B = 8\cdot 3 = 24\) кв. дм.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{120}{24} = 5\) дм.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{120}{24} = 5\) дм.
10
Правилна четириъгълна призма има обем 1660,5 куб. см и дължина на околния ръб 20,5 см. Намерете: а) лицето на основата; б) дължината на основния ръб и лицето на околната повърхнина.
▼
Решениеа) От \(V = B\cdot h\): \(B = \dfrac{V}{h} = \dfrac{1660{,}5}{20{,}5} = 81\) кв. см.
б) Основата е квадрат с лице 81: тъй като \(9^2 = 81\), а дължината е положителна, основният ръб е \(b = 9\) см. Обиколка \(P = 4\cdot 9 = 36\) см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 36\cdot 20{,}5 = 738\) кв. см.
б) Основата е квадрат с лице 81: тъй като \(9^2 = 81\), а дължината е положителна, основният ръб е \(b = 9\) см. Обиколка \(P = 4\cdot 9 = 36\) см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 36\cdot 20{,}5 = 738\) кв. см.
11
Правилна осмоъгълна призма има лице на околната повърхнина 496,8 кв. см и дължина на околния ръб 15 см. Апотемата на основата е приблизително 5 см. Намерете: а) основния ръб; б) обема.
▼
Решениеа) От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(P = \dfrac{496{,}8}{15} = 33{,}12\) см. Основен ръб: \(b = \dfrac{33{,}12}{8} = 4{,}14\) см.
б) Лице на основата: \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{33{,}12\cdot 5}{2} = 82{,}8\) кв. см.
\(V \approx 82{,}8\cdot 15 = 1242\) куб. см.
б) Лице на основата: \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{33{,}12\cdot 5}{2} = 82{,}8\) кв. см.
\(V \approx 82{,}8\cdot 15 = 1242\) куб. см.
12
Намерете обема на права призма с височина 13 см, ако основата ѝ е триъгълник със страна 6,3 см и височина към нея 4 см.
▼
РешениеЛице на основата: \(B = \dfrac{6{,}3\cdot 4}{2} = 12{,}6\) кв. см.
\(V = 12{,}6\cdot 13 = 163{,}8\) куб. см.
\(V = 12{,}6\cdot 13 = 163{,}8\) куб. см.
13
Намерете обема на права призма с височина 13 см, ако основата ѝ е равнобедрен трапец с периметър 36 см, бедро 5 см и височина 2 см.
▼
РешениеДвете бедра са по 5 см, значи сборът на основите е \(36 - 2\cdot 5 = 26\) см. Лице на трапеца: \(B = \dfrac{26}{2}\cdot 2 = 26\) кв. см.
\(V = 26\cdot 13 = 338\) куб. см.
\(V = 26\cdot 13 = 338\) куб. см.
14
Намерете обема на права призма с височина 13 см, ако основата ѝ е правилен седмоъгълник със страна 3 см и апотема приблизително 3,1 см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 7\cdot 3 = 21\) см. Лице на основата: \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{21\cdot 3{,}1}{2} = 32{,}55\) кв. см.
\(V \approx 32{,}55\cdot 13 = 423{,}15\) куб. см.
\(V \approx 32{,}55\cdot 13 = 423{,}15\) куб. см.
15
Права призма има обем 47,1 куб. см. Намерете обема на друга призма със същото лице на основата и височина, равна на една трета от височината на първата призма.
▼
РешениеПри еднакво лице на основата обемът е правопропорционален на височината. Понеже височината на втората призма е една трета от височината на първата, обемът ѝ също е една трета от обема на първата:
\(V_2 = \dfrac{47{,}1}{3} = 15{,}7\) куб. см.
\(V_2 = \dfrac{47{,}1}{3} = 15{,}7\) куб. см.
16
Обемът на права призма с височина 15 см е 0,54 куб. дм, а основата ѝ е ромб с височина 3 см към една от страните. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
▼
РешениеПривеждаме: \(0{,}54\) куб. дм \(= 540\) куб. см. Лице на основата: \(B = \dfrac{V}{h} = \dfrac{540}{15} = 36\) кв. см.
За лицето на ромба използваме \(B = b\cdot h_b\). Следователно \(36 = b\cdot 3\), откъдето \(b = 12\) см. Обиколка \(P = 4\cdot 12 = 48\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 48\cdot 15 = 720\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 36 + 720 = 792\) кв. см.
За лицето на ромба използваме \(B = b\cdot h_b\). Следователно \(36 = b\cdot 3\), откъдето \(b = 12\) см. Обиколка \(P = 4\cdot 12 = 48\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 48\cdot 15 = 720\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 36 + 720 = 792\) кв. см.
17
Основата на права призма има лице 7 кв. см и обиколка 10 см, а лицето на повърхнината на призмата е 70 кв. см. Намерете обема на призмата.
Схематичен чертеж; формата на основата не е зададена.
▼
РешениеОт \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(S_{\text{ок}} = 70 - 2\cdot 7 = 56\) кв. см. Тогава \(h = \dfrac{S_{\text{ок}}}{P} = \dfrac{56}{10} = 5{,}6\) см.
\(V = B\cdot h = 7\cdot 5{,}6 = 39{,}2\) куб. см.
\(V = B\cdot h = 7\cdot 5{,}6 = 39{,}2\) куб. см.
18
Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна призма е 300 кв. см, а лицето на цялата ѝ повърхнина е 372 кв. см. Намерете обема на призмата.
▼
РешениеОт \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(2B = 372 - 300 = 72\), значи \(B = 36\) кв. см. Основен ръб: \(b = 6\) см, защото \(6^2 = 36\); следователно \(P = 24\) см.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(h = \dfrac{300}{24} = 12{,}5\) см.
\(V = B\cdot h = 36\cdot 12{,}5 = 450\) куб. см.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(h = \dfrac{300}{24} = 12{,}5\) см.
\(V = B\cdot h = 36\cdot 12{,}5 = 450\) куб. см.
19
Аквариумът има форма на правилна четириъгълна призма с основен ръб 60 см и околен ръб 5 дм. Той е пълен с вода до 80% от височината си. Колко рибки могат да живеят в него, ако за една рибка са необходими 4 литра вода?
▼
РешениеВисочина: \(5\) дм \(= 50\) см. Пълен обем: \(V = 60^2\cdot 50 = 3600\cdot 50 = 180\,000\) куб. см.
Вода (80%): \(0{,}8\cdot 180\,000 = 144\,000\) куб. см \(= 144\) литра.
Брой рибки: \(144 : 4 = 36\) рибки.
Вода (80%): \(0{,}8\cdot 180\,000 = 144\,000\) куб. см \(= 144\) литра.
Брой рибки: \(144 : 4 = 36\) рибки.
20
Лицата на три различни стени на правоъгълен паралелепипед са 2 кв. дм, 3 кв. дм и 6 кв. дм. Намерете обема на паралелепипеда.
▼
РешениеНека страните са \(a, b, c\). Тогава \(a\cdot b = 2\), \(b\cdot c = 3\), \(a\cdot c = 6\).
Умножаваме трите: \((a\cdot b)\cdot(b\cdot c)\cdot(a\cdot c) = 2\cdot 3\cdot 6 = 36\), тоест \((a\cdot b\cdot c)^2 = 36\).
Тъй като обемът е положителен и \(6^2 = 36\), то \(V = a\cdot b\cdot c = 6\) куб. дм.
Умножаваме трите: \((a\cdot b)\cdot(b\cdot c)\cdot(a\cdot c) = 2\cdot 3\cdot 6 = 36\), тоест \((a\cdot b\cdot c)^2 = 36\).
Тъй като обемът е положителен и \(6^2 = 36\), то \(V = a\cdot b\cdot c = 6\) куб. дм.
21
Правилна призма с лице на основата 144 кв. см и височина, по-голяма от 12 см, е пълна наполовина с вода. В нея е изцяло потопен куб с ръб 6 см. С колко сантиметра ще се покачи нивото на водата?
▼
РешениеПотопеният куб има обем \(V_{\text{куб}} = 6^3 = 216\) куб. см и измества толкова вода. Височината, с която се покачва нивото, се получава, като обемът на потопения куб се раздели на лицето на основата:
\[\Delta h = \dfrac{V_{\text{куб}}}{B} = \dfrac{216}{144} = 1{,}5 \text{ см}.\]
(Условието, че височината на призмата е по-голяма от 12 см и съдът е пълен наполовина, гарантира, че кубът може да бъде изцяло потопен и че след потапянето водата няма да прелее.)
\[\Delta h = \dfrac{V_{\text{куб}}}{B} = \dfrac{216}{144} = 1{,}5 \text{ см}.\]
(Условието, че височината на призмата е по-голяма от 12 см и съдът е пълен наполовина, гарантира, че кубът може да бъде изцяло потопен и че след потапянето водата няма да прелее.)
22
Права призма има за основа правоъгълник със страни 9 см и 10 см и височина, равна на \(\frac{3}{5}\) от по-големия основен ръб. Колко кубчета с ръб 3 см могат да бъдат подредени в призмата, ако ръбовете им са успоредни на ръбовете на призмата?
▼
РешениеПо-голям основен ръб е 10 см, затова височината е \(h = \dfrac{3}{5}\cdot 10 = 6\) см. Призмата е \(9\times 10\times 6\) см.
По страната с дължина 9 см се побират \(9 : 3 = 3\) кубчета. По страната с дължина 10 см също се побират 3 кубчета, като остава свободна ивица с широчина 1 см. По височината 6 см се нареждат \(6 : 3 = 2\) реда.
Общо: \(3\cdot 3\cdot 2 = 18\) кубчета.
По страната с дължина 9 см се побират \(9 : 3 = 3\) кубчета. По страната с дължина 10 см също се побират 3 кубчета, като остава свободна ивица с широчина 1 см. По височината 6 см се нареждат \(6 : 3 = 2\) реда.
Общо: \(3\cdot 3\cdot 2 = 18\) кубчета.
23
Складът има форма на права призма с дължина 3,5 м. Напречното му сечение е петоъгълник, съставен от правоъгълник с широчина 2 м и височина 1 м и разположен над него триъгълен покрив. Общата височина на сечението е 1,8 м. Може ли складът да побере стока с обем 9 куб. м, ако 20% от обема му трябва да останат незаети?
▼
РешениеЛице на напречното сечение: правоъгълник \(2\cdot 1 = 2\) кв. м плюс триъгълник с основа 2 м и височина \(1{,}8 - 1 = 0{,}8\) м, тоест \(\dfrac{2\cdot 0{,}8}{2} = 0{,}8\) кв. м. Общо \(B = 2 + 0{,}8 = 2{,}8\) кв. м.
Обем на склада: \(V = B\cdot h = 2{,}8\cdot 3{,}5 = 9{,}8\) куб. м.
Полезен обем (80%): \(0{,}8\cdot 9{,}8 = 7{,}84\) куб. м.
Тъй като \(7{,}84 < 9\), складът не може да побере стоката.
Обем на склада: \(V = B\cdot h = 2{,}8\cdot 3{,}5 = 9{,}8\) куб. м.
Полезен обем (80%): \(0{,}8\cdot 9{,}8 = 7{,}84\) куб. м.
Тъй като \(7{,}84 < 9\), складът не може да побере стоката.
24
В съд с форма на права призма, първоначално пълен с вода, е изцяло потопена метална права призма. Лицето на дъното на съда е 225 кв. см, а височината му е 30 см. Металната призма има лице на основата 126 кв. см и околен ръб 25 см. Част от водата прелива. С колко сантиметра ще спадне нивото на водата, ако металната призма се извади?
▼
РешениеОбем на металната призма: \(V_{\text{мет}} = 126\cdot 25 = 3150\) куб. см.
Съдът е пълен, обемът му е \(225\cdot 30 = 6750\) куб. см. Понеже металната призма заема 3150 куб. см, водата в съда е \(6750 - 3150 = 3600\) куб. см.
След изваждане водата заема цялото дъно: ново ниво \(\dfrac{3600}{225} = 16\) см.
Нивото спада с \(30 - 16 = 14\) см.
Съдът е пълен, обемът му е \(225\cdot 30 = 6750\) куб. см. Понеже металната призма заема 3150 куб. см, водата в съда е \(6750 - 3150 = 3600\) куб. см.
След изваждане водата заема цялото дъно: ново ниво \(\dfrac{3600}{225} = 16\) см.
Нивото спада с \(30 - 16 = 14\) см.
25
В правилна шестоъгълна призма с основен ръб 6 дм, апотема на основата приблизително 5,2 дм и височина 12 дм е поставена правилна четириъгълна призма с основен ръб 4 дм и околен ръб, равен на околния ръб на шестоъгълната. Намерете какъв обем пясък може да се събере в пространството между двете призми.
▼
РешениеОбем на шестоъгълната призма: \(B_6 \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{(6\cdot 6)\cdot 5{,}2}{2} = \dfrac{36\cdot 5{,}2}{2} = 93{,}6\) кв. дм; \(V_6 \approx 93{,}6\cdot 12 = 1123{,}2\) куб. дм.
Обем на четириъгълната призма (вътре): \(V_4 = 4^2\cdot 12 = 16\cdot 12 = 192\) куб. дм.
Пясък: \(V_6 - V_4 \approx 1123{,}2 - 192 = 931{,}2\) куб. дм \(= 0{,}9312\) куб. м \(\approx 0{,}93\) куб. м.
Обем на четириъгълната призма (вътре): \(V_4 = 4^2\cdot 12 = 16\cdot 12 = 192\) куб. дм.
Пясък: \(V_6 - V_4 \approx 1123{,}2 - 192 = 931{,}2\) куб. дм \(= 0{,}9312\) куб. м \(\approx 0{,}93\) куб. м.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете обема на права призма с лице на основата 40,8 кв. см и височина 25 см.
Отг.: \(V = 40{,}8\cdot 25 = 1020\) куб. см.
Отг.: \(V = 40{,}8\cdot 25 = 1020\) куб. см.
Задача 2Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата е правоъгълен равнобедрен триъгълник с бедро 12 см.
Отг.: \(B = \frac{12\cdot 12}{2} = 72\); \(V = 72\cdot 25 = 1800\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{12\cdot 12}{2} = 72\); \(V = 72\cdot 25 = 1800\) куб. см.
Задача 3Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата е успоредник със страна 2,9 см и височина 1,5 см към тази страна.
Отг.: \(B = 2{,}9\cdot 1{,}5 = 4{,}35\); \(V = 4{,}35\cdot 25 = 108{,}75\) куб. см.
Отг.: \(B = 2{,}9\cdot 1{,}5 = 4{,}35\); \(V = 4{,}35\cdot 25 = 108{,}75\) куб. см.
Задача 4Намерете обема на права призма с височина 25 см, ако основата е четириъгълник с перпендикулярни диагонали 5,8 см и 4,15 см.
Отг.: \(B = \frac{5{,}8\cdot 4{,}15}{2} = 12{,}035\); \(V = 12{,}035\cdot 25 = 300{,}875\) куб. см.
Отг.: \(B = \frac{5{,}8\cdot 4{,}15}{2} = 12{,}035\); \(V = 12{,}035\cdot 25 = 300{,}875\) куб. см.
Задача 5Намерете обема на куб с ръб 4 см.
Отг.: \(V = 4^3 = 64\) куб. см.
Отг.: \(V = 4^3 = 64\) куб. см.
Задача 6Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с размери 12 см, 5 см и 7 см.
Отг.: \(V = 12\cdot 5\cdot 7 = 420\) куб. см.
Отг.: \(V = 12\cdot 5\cdot 7 = 420\) куб. см.
Задача 7Обемът на права призма е 246 куб. см, а основата е триъгълник със страна 12 см и височина 8,2 см. Намерете околния ръб.
Отг.: \(B = \frac{12\cdot 8{,}2}{2} = 49{,}2\); \(h = \frac{246}{49{,}2} = 5\) см.
Отг.: \(B = \frac{12\cdot 8{,}2}{2} = 49{,}2\); \(h = \frac{246}{49{,}2} = 5\) см.
Задача 8Обемът на права призма е 120 куб. дм, а основата е ромб със страна 8 дм и височина 3 дм към тази страна. Намерете височината.
Отг.: \(B = 8\cdot 3 = 24\); \(h = \frac{120}{24} = 5\) дм.
Отг.: \(B = 8\cdot 3 = 24\); \(h = \frac{120}{24} = 5\) дм.
Задача 9Намерете обема на права призма с основа квадрат със страна 5 см и височина 8 см.
Отг.: \(B = 25\); \(V = 25\cdot 8 = 200\) куб. см.
Отг.: \(B = 25\); \(V = 25\cdot 8 = 200\) куб. см.
Задача 10Намерете обема на правилна шестоъгълна призма с основен ръб 4 см, апотема приблизително 3,46 см и височина 10 см.
Отг.: \(B \approx \frac{(6\cdot 4)\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\); \(V \approx 41{,}52\cdot 10 = 415{,}2\) куб. см.
Отг.: \(B \approx \frac{(6\cdot 4)\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\); \(V \approx 41{,}52\cdot 10 = 415{,}2\) куб. см.
Задача 11Намерете лицето на повърхнината и обема на права призма, ако основата е успоредник със страни 6 см и 8 см и височина 7 см към страната 6 см, а височината на призмата е 15 см.
Отг.: \(B = 6\cdot 7 = 42\); \(V = 42\cdot 15 = 630\) куб. см; \(P = 2(6+8) = 28\); \(S_{\text{ок}} = 28\cdot 15 = 420\); \(S = 2\cdot 42 + 420 = 504\) кв. см.
Отг.: \(B = 6\cdot 7 = 42\); \(V = 42\cdot 15 = 630\) куб. см; \(P = 2(6+8) = 28\); \(S_{\text{ок}} = 28\cdot 15 = 420\); \(S = 2\cdot 42 + 420 = 504\) кв. см.
Задача 12Правилна четириъгълна призма има обем 1660,5 куб. см и околен ръб 20,5 см. Намерете лицето на основата.
Отг.: \(B = \frac{1660{,}5}{20{,}5} = 81\) кв. см.
Отг.: \(B = \frac{1660{,}5}{20{,}5} = 81\) кв. см.
Задача 13За призмата от задача 12 намерете основния ръб и лицето на околната повърхнина.
Отг.: \(b = 9\) см (защото \(9^2 = 81\)); \(P = 36\) см; \(S_{\text{ок}} = 36\cdot 20{,}5 = 738\) кв. см.
Отг.: \(b = 9\) см (защото \(9^2 = 81\)); \(P = 36\) см; \(S_{\text{ок}} = 36\cdot 20{,}5 = 738\) кв. см.
Задача 14Правилна осмоъгълна призма има лице на околната повърхнина 496,8 кв. см, околен ръб 15 см и апотема приблизително 5 см. Намерете основния ръб.
Отг.: \(P = \frac{496{,}8}{15} = 33{,}12\); \(b = \frac{33{,}12}{8} = 4{,}14\) см.
Отг.: \(P = \frac{496{,}8}{15} = 33{,}12\); \(b = \frac{33{,}12}{8} = 4{,}14\) см.
Задача 15За призмата от задача 14 намерете обема.
Отг.: \(B \approx \frac{33{,}12\cdot 5}{2} = 82{,}8\); \(V \approx 82{,}8\cdot 15 = 1242\) куб. см.
Отг.: \(B \approx \frac{33{,}12\cdot 5}{2} = 82{,}8\); \(V \approx 82{,}8\cdot 15 = 1242\) куб. см.
Задача 16Права призма има обем 47,1 куб. см. Намерете обема на друга призма със същото лице на основата и височина, равна на една трета от височината на първата.
Отг.: \(V_2 = \frac{47{,}1}{3} = 15{,}7\) куб. см.
Отг.: \(V_2 = \frac{47{,}1}{3} = 15{,}7\) куб. см.
Задача 17Обемът на права призма с височина 15 см е 0,54 куб. дм, а основата е ромб с височина 3 см към една от страните. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(B = \frac{540}{15} = 36\); страна \(b = 12\) см; \(S_{\text{ок}} = 48\cdot 15 = 720\); \(S = 72 + 720 = 792\) кв. см.
Отг.: \(B = \frac{540}{15} = 36\); страна \(b = 12\) см; \(S_{\text{ок}} = 48\cdot 15 = 720\); \(S = 72 + 720 = 792\) кв. см.
Задача 18Основата на права призма има лице 7 кв. см и обиколка 10 см, а лицето на повърхнината е 70 кв. см. Намерете обема.
Отг.: \(S_{\text{ок}} = 70 - 14 = 56\); \(h = \frac{56}{10} = 5{,}6\); \(V = 7\cdot 5{,}6 = 39{,}2\) куб. см.
Отг.: \(S_{\text{ок}} = 70 - 14 = 56\); \(h = \frac{56}{10} = 5{,}6\); \(V = 7\cdot 5{,}6 = 39{,}2\) куб. см.
Задача 19Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна призма е 300 кв. см, а лицето на цялата ѝ повърхнина е 372 кв. см. Намерете обема на призмата.
Отг.: \(2B = 72\), \(B = 36\), \(b = 6\) см, \(P = 24\) см; \(h = \frac{300}{24} = 12{,}5\); \(V = 36\cdot 12{,}5 = 450\) куб. см.
Отг.: \(2B = 72\), \(B = 36\), \(b = 6\) см, \(P = 24\) см; \(h = \frac{300}{24} = 12{,}5\); \(V = 36\cdot 12{,}5 = 450\) куб. см.
Задача 20Права осмоъгълна призма, всички основни ръбове на която са по 1 см, има лице на околната повърхнина 80 кв. см и обем 48 куб. см. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(P = 8\), \(h = \frac{80}{8} = 10\); \(B = \frac{48}{10} = 4{,}8\); \(S = 2\cdot 4{,}8 + 80 = 89{,}6\) кв. см.
Отг.: \(P = 8\), \(h = \frac{80}{8} = 10\); \(B = \frac{48}{10} = 4{,}8\); \(S = 2\cdot 4{,}8 + 80 = 89{,}6\) кв. см.
Задача 21Как ще се промени обемът на правилна четириъгълна призма, ако основният ѝ ръб се увеличи 3 пъти, а околният ѝ ръб се намали 3 пъти?
Отг.: \(B\) расте 9 пъти (\(b^2\)), \(h\) намалява 3 пъти; \(V\) се увеличава \(9 : 3 = 3\) пъти.
Отг.: \(B\) расте 9 пъти (\(b^2\)), \(h\) намалява 3 пъти; \(V\) се увеличава \(9 : 3 = 3\) пъти.
Задача 22Как ще се промени обемът на правилна четириъгълна призма, ако основният ръб се намали 2 пъти, а околният ръб се увеличи 4 пъти?
Отг.: \(B\) намалява 4 пъти, \(h\) расте 4 пъти; \(V\) не се променя (\(\frac{1}{4}\cdot 4 = 1\)).
Отг.: \(B\) намалява 4 пъти, \(h\) расте 4 пъти; \(V\) не се променя (\(\frac{1}{4}\cdot 4 = 1\)).
Задача 23Колко литра вода събира куб с вътрешен ръб 2 дм?
Отг.: \(V = 2^3 = 8\) куб. дм \(= 8\) литра.
Отг.: \(V = 2^3 = 8\) куб. дм \(= 8\) литра.
Задача 24Барака има правоъгълна основа с дължина 5,5 м и широчина 3,2 м. Таванът се намира на 3 м от земята, а билото на покрива — на 4,6 м. Пространството между покрива и тавана има форма на права триъгълна призма. Намерете неговия обем.
Отг.: Триъгълно сечение: основа 3,2 м, височина \(4{,}6 - 3 = 1{,}6\) м; \(B = \frac{3{,}2\cdot 1{,}6}{2} = 2{,}56\); \(V = 2{,}56\cdot 5{,}5 = 14{,}08\) куб. м.
Отг.: Триъгълно сечение: основа 3,2 м, височина \(4{,}6 - 3 = 1{,}6\) м; \(B = \frac{3{,}2\cdot 1{,}6}{2} = 2{,}56\); \(V = 2{,}56\cdot 5{,}5 = 14{,}08\) куб. м.
Задача 25Съд с форма на правоъгълен паралелепипед с измерения 20 см, 15 см и 30 см е напълнен с вода. Цялото количество вода се прехвърля в съд с форма на права призма, чието дъно има лице 225 кв. см. Колко см най-малко трябва да е височината на този съд?
Отг.: \(V = 20\cdot 15\cdot 30 = 9000\) куб. см; \(h = \frac{9000}{225} = 40\) см.
Отг.: \(V = 20\cdot 15\cdot 30 = 9000\) куб. см; \(h = \frac{9000}{225} = 40\) см.
Задача 26Аквариум с форма на правилна четириъгълна призма с основен ръб 60 см и околен ръб 5 дм е пълен до 80% от височината. Колко рибки могат да живеят в него (по 4 литра на рибка)?
Отг.: \(V = 3600\cdot 50 = 180\,000\) куб. см; вода \(144\,000\) куб. см \(= 144\) л; \(144 : 4 = 36\) рибки.
Отг.: \(V = 3600\cdot 50 = 180\,000\) куб. см; вода \(144\,000\) куб. см \(= 144\) л; \(144 : 4 = 36\) рибки.
Задача 27Лицата на три стени на правоъгълен паралелепипед са 2 кв. дм, 3 кв. дм и 6 кв. дм. Намерете обема.
Отг.: \((abc)^2 = 2\cdot 3\cdot 6 = 36\); \(V = abc = 6\) куб. дм.
Отг.: \((abc)^2 = 2\cdot 3\cdot 6 = 36\); \(V = abc = 6\) куб. дм.
Задача 28Намерете обема на права призма с лице на основата 50 кв. см и височина 12 см.
Отг.: \(V = 50\cdot 12 = 600\) куб. см.
Отг.: \(V = 50\cdot 12 = 600\) куб. см.
Задача 29Намерете височината на права призма с обем 360 куб. см и лице на основата 45 кв. см.
Отг.: \(h = \frac{360}{45} = 8\) см.
Отг.: \(h = \frac{360}{45} = 8\) см.
Задача 30Сборът от дължините на всички ръбове на права десетоъгълна призма, всички основни ръбове на която са равни, е 136,8 см, а околният ѝ ръб е 4 пъти по-дълъг от основния. а) Намерете лицето на околната повърхнина. б) Ако обемът е 278,16 куб. см, намерете лицето на основата.
Отг.: Ръбове: \(20b + 10h = 60b = 136{,}8\) (тъй като \(h = 4b\)); \(b = 2{,}28\), \(h = 9{,}12\). а) \(S_{\text{ок}} = (10\cdot 2{,}28)\cdot 9{,}12 = 207{,}936\) кв. см. б) \(B = \frac{278{,}16}{9{,}12} = 30{,}5\) кв. см.
Отг.: Ръбове: \(20b + 10h = 60b = 136{,}8\) (тъй като \(h = 4b\)); \(b = 2{,}28\), \(h = 9{,}12\). а) \(S_{\text{ок}} = (10\cdot 2{,}28)\cdot 9{,}12 = 207{,}936\) кв. см. б) \(B = \frac{278{,}16}{9{,}12} = 30{,}5\) кв. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Обем на права призма
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя формула дава обема на права призма (\(B\) — лице на основата, \(h\) — височина)?
2Какъв е обемът на куб с ръб 3 см?
3Какъв е обемът на правоъгълен паралелепипед с размери 2 см, 3 см и 4 см?
4Права призма има лице на основата 10 кв. см и височина 5 см. Колко е обемът?
5В какви единици се мери обемът?
6На колко литра е равен 1 куб. дм?
7Права призма има основа триъгълник с лице 6 кв. см и височина 10 см. Колко е обемът?
8Обемът на права призма е 100 куб. см, а лицето на основата — 20 кв. см. Колко е височината?
9Ако височината на призма се увеличи 2 пъти (същата основа), обемът:
10Правилна четириъгълна призма има основен ръб 4 см и височина 10 см. Колко е обемът?
11Обемът на призма е 84 куб. см, а височината — 7 см. Колко е лицето на основата?
12На колко куб. дм е равен 1 куб. м?
13Колко е обемът на права призма с основа квадрат със страна 5 см и височина 6 см?
14Ако височината на призма се намали 3 пъти (същата основа), обемът:
15Колко е обемът на правилна шестоъгълна призма с лице на основата 50 кв. см и височина 4 см?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
📦
Права призма. Лице на повърхнина на права призма
Урок за 6. клас — права и правилна призма, развивка, формула на Ойлер и формулите \(S_{\text{ок}}=P\cdot h\) и \(S=2B+P\cdot h\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
⬡
Многоъгълник. Правилен многоъгълник. Лице на многоъгълник
Урок за 6. клас — апотема, формулите \(P = nb\) и \(S = \tfrac{Pa}{2}\), сбор на ъгли и брой диагонали. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
⚫
Кръг. Лице на кръг
Урок за 6. клас — кръг, полукръг, кръгов венец и формулата \(S = \pi r^2\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар