Права призма. Лице на повърхнина на права призма
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Права призма. Лице на повърхнина
Права призма.
Лице на повърхнина на права призма
Права призма и правилна призма, основи, основни и околни ръбове, височина, развивка, формула на Ойлер \(v + s - r = 2\) и формулите за лице на околна повърхнина \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\) и лице на повърхнина \(S = 2B + P\cdot h\) — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок разглеждаме правата призма и нейните елементи — основи, основни ръбове, околни ръбове (височина), върхове, стени, основна и околна повърхнина. Ще се запознаем с правилната призма, ще научим как се чертае призма и какво е нейната развивка, ще преброим върховете, ръбовете и стените (формула на Ойлер) и ще намерим лицето на околната повърхнина \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\) и лицето на цялата повърхнина \(S = 2B + P\cdot h\). Към повечето задачи има чертеж или таблица. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
🔷 Права призма и нейните елементи
Права призма наричаме тяло (многостен), две успоредни стени на което са еднакви многоъгълници, а останалите стени са правоъгълници. Двете еднакви и успоредни стени се наричат основи (долна и горна), а правоъгълниците — околни стени. Името на призмата се определя от основата ѝ: триъгълна, четириъгълна, петоъгълна, шестоъгълна и т.н.
Прави призми: триъгълна, четириъгълна, петоъгълна и шестоъгълна.
Елементите на права призма \(ABC\,A_1B_1C_1\):
- върхове — точките \(A, B, C\) и \(A_1, B_1, C_1\);
- основи — двата еднакви многоъгълника (долна \(ABC\) и горна \(A_1B_1C_1\));
- основни ръбове — страните на основите (\(AB, BC, CA, A_1B_1, \dots\));
- околни ръбове — отсечките \(AA_1, BB_1, CC_1\); те са равни и перпендикулярни на основите, а дължината им е височина \(h\) на призмата;
- околни стени — правоъгълниците \(ABB_1A_1, BCC_1B_1, ACC_1A_1\).
Права триъгълна призма \(ABC\,A_1B_1C_1\): основи, основен ръб, околен ръб (височина \(h\)) и околна стена.
Внимание. При права призма околните ръбове са перпендикулярни на основите, затова околните стени са правоъгълници. Ако околните стени са успоредници (а не правоъгълници), призмата е наклонена.
⬡ Правилна призма
Правилна призма наричаме правата призма, на която основите са правилни многоъгълници (равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник, правилен шестоъгълник и т.н.). Страната на правилния многоъгълник е основен ръб на правилната призма, а апотемата му \(a\) е апотема на основата.
Кубът е специален случай на правилна четириъгълна призма. Правилна четириъгълна призма е и правоъгълен паралелепипед с квадратна основа. Всеки правоъгълен паралелепипед е права призма.
📊 Брой върхове, стени и ръбове. Формула на Ойлер
За права \(n\)-ъгълна призма:
- върхове \(v = 2n\) (по \(n\) на всяка основа);
- стени \(s = n + 2\) (\(n\) околни стени и 2 основи);
- ръбове \(r = 3n\) (\(2n\) основни и \(n\) околни).
| \(n\) | Върхове \(v=2n\) | Стени \(s=n+2\) | Ръбове \(r=3n\) | \(v+s-r\) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 5 | 9 | 2 |
| 4 | 8 | 6 | 12 | 2 |
| 5 | 10 | 7 | 15 | 2 |
| 6 | 12 | 8 | 18 | 2 |
📐 Чертане и развивка на права призма
Чертане на права призма:
- чертаем долната и горната основа, като успоредните основни ръбове остават успоредни;
- съединяваме съответните върхове на двете основи — чертаем околните ръбове (равни и успоредни), като видимите ръбове са с плътна линия, а невидимите — с прекъсната (пунктирана) линия;
- надписваме означенията на върховете.
Развивка на права призма наричаме равнинната фигура, която се получава, ако разрежем призмата по подходящи ръбове и я разгънем. Тя е съставена от двата многоъгълника (основите) и толкова правоъгълници, колкото са околните стени.
Развивка на права четириъгълна призма: 2 многоъгълника (основите) и 4 правоъгълника (околните стени).
📏 Лице на повърхнина на права призма
Нека \(P\) е обиколката (периметърът) на основата, \(h\) — височината, а \(B\) — лицето на една основа. Тогава:
\[\boxed{\;S_{\text{ок}} = P\cdot h\;}\qquad\text{(лице на околната повърхнина),}\]
\[\boxed{\;S = 2B + S_{\text{ок}} = 2B + P\cdot h\;}\qquad\text{(лице на повърхнината).}\]
Околната повърхнина е сборът от лицата на околните стени (правоъгълници), а пълната повърхнина включва и двете основи.
Полезно за правилна призма. Лицето на основата (правилен \(n\)-ъгълник) се намира с \(B = \dfrac{P\cdot a}{2}\), където \(a\) е апотемата. Затова за правилна призма \(S = P\cdot a + P\cdot h = P(a + h)\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение. Към повечето задачи има чертеж или таблица.
1
Назовете елементите на правата триъгълна призма \(ABC\,A_1B_1C_1\): върхове, основи, основни ръбове, околни ръбове и околни стени.
▼
РешениеВърхове: \(A, B, C, A_1, B_1, C_1\) (6 на брой).
Основи: долна \(ABC\) и горна \(A_1B_1C_1\) (два еднакви триъгълника).
Основни ръбове: \(AB, BC, CA\) и \(A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1\) (6 на брой).
Околни ръбове: \(AA_1, BB_1, CC_1\) (3 на брой) — те са равни и са височината \(h\) на призмата.
Околни стени: правоъгълниците \(ABB_1A_1,\ BCC_1B_1,\ ACC_1A_1\) (3 на брой).
Основи: долна \(ABC\) и горна \(A_1B_1C_1\) (два еднакви триъгълника).
Основни ръбове: \(AB, BC, CA\) и \(A_1B_1, B_1C_1, C_1A_1\) (6 на брой).
Околни ръбове: \(AA_1, BB_1, CC_1\) (3 на брой) — те са равни и са височината \(h\) на призмата.
Околни стени: правоъгълниците \(ABB_1A_1,\ BCC_1B_1,\ ACC_1A_1\) (3 на брой).
2
Кои от телата са прави призми и кое от тях не е? Кои от правите призми биха били правилни, ако основите им са правилни многоъгълници?
▼
РешениеПрави призми са тези, на които околните стени са правоъгълници — триъгълната, четириъгълната и петоъгълната.
Не е права призма наклонената, защото околните ѝ стени са успоредници, а не правоъгълници.
Правилни биха били тези прави призми, чиито основи са правилни многоъгълници: триъгълната — ако основата е равностранен триъгълник; четириъгълната — ако основата е квадрат; петоъгълната — ако основата е правилен петоъгълник.
Не е права призма наклонената, защото околните ѝ стени са успоредници, а не правоъгълници.
Правилни биха били тези прави призми, чиито основи са правилни многоъгълници: триъгълната — ако основата е равностранен триъгълник; четириъгълната — ако основата е квадрат; петоъгълната — ако основата е правилен петоъгълник.
3
Колко основни и колко околни ръба има права \(n\)-ъгълна призма, ако \(n = 3, 4, 6, 8, 12\)?
| \(n\) | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Основни \(=2n\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| Околни \(=n\) | ? | ? | ? | ? | ? |
▼
РешениеВсяка основа има \(n\) страни, значи основните ръбове са \(2n\), а околните ръбове са \(n\) (по един от всеки връх на едната основа).
\(n=3\): 6 основни, 3 околни.
\(n=4\): 8 основни, 4 околни.
\(n=6\): 12 основни, 6 околни.
\(n=8\): 16 основни, 8 околни.
\(n=12\): 24 основни, 12 околни.
\(n=3\): 6 основни, 3 околни.
\(n=4\): 8 основни, 4 околни.
\(n=6\): 12 основни, 6 околни.
\(n=8\): 16 основни, 8 околни.
\(n=12\): 24 основни, 12 околни.
4
Колко върха има права \(n\)-ъгълна призма, ако \(n = 3, 5, 7, 10\)?
| \(n\) | 3 | 5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Върхове \(=2n\) | ? | ? | ? | ? |
▼
РешениеПризмата има по \(n\) върха на всяка от двете основи, значи общо \(v = 2n\) върха.
\(n=3\): 6; \(n=5\): 10; \(n=7\): 14; \(n=10\): 20 върха.
\(n=3\): 6; \(n=5\): 10; \(n=7\): 14; \(n=10\): 20 върха.
5
Колко стени и колко ръба общо има права седмоъгълна призма? Определете вида на права призма, която има 10 стени.
▼
РешениеСедмоъгълна призма (\(n=7\)): стени \(s = n + 2 = 9\); ръбове \(r = 3n = 21\).
Призма с 10 стени: от \(s = n + 2 = 10\) следва \(n = 8\). Това е осмоъгълна призма.
Призма с 10 стени: от \(s = n + 2 = 10\) следва \(n = 8\). Това е осмоъгълна призма.
6
Означете с \(v\) броя на върховете, с \(s\) — броя на стените, и с \(r\) — броя на ръбовете на \(n\)-ъгълна призма. Пресметнете \(v + s - r\) за \(n = 3, 4, 5, 9\) и докажете, че винаги е равно на 2 (формула на Ойлер).
| \(n\) | \(v=2n\) | \(s=n+2\) | \(r=3n\) | \(v+s-r\) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 5 | 9 | ? |
| 4 | ? | ? | ? | ? |
| 5 | ? | ? | ? | ? |
| 9 | ? | ? | ? | ? |
▼
Решение\(n=3\): \(6+5-9=2\). \(n=4\): \(8+6-12=2\). \(n=5\): \(10+7-15=2\). \(n=9\): \(18+11-27=2\).
Доказателство. За всяко \(n\): \(v + s - r = 2n + (n+2) - 3n = 2\). Следователно формулата на Ойлер е изпълнена за всяка призма.
Доказателство. За всяко \(n\): \(v + s - r = 2n + (n+2) - 3n = 2\). Следователно формулата на Ойлер е изпълнена за всяка призма.
7
Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб \(h = 12\) см, ако основата ѝ е триъгълник със страни 13 см, 14 см и 15 см.
▼
РешениеОбиколка на основата: \(P = 13 + 14 + 15 = 42\) см.
Лице на околната повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 42\cdot 12 = 504\) кв. см.
Лице на околната повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 42\cdot 12 = 504\) кв. см.
8
Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12,5 см, ако основата ѝ е квадрат с лице 64 кв. см.
▼
РешениеСтрана на квадрата: тъй като \(8^2 = 64\), а дължината на страна е положителна, то \(b = 8\) см. Обиколка: \(P = 4\cdot 8 = 32\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
9
Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12,5 см, ако основата ѝ е успоредник със страни 10,8 см и 5,2 см.
▼
РешениеОбиколка на успоредника: \(P = 2(10{,}8 + 5{,}2) = 2\cdot 16 = 32\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
10
Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12,5 см, ако основата ѝ е правилен петоъгълник със страна 2,2 см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 5\cdot 2{,}2 = 11\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 11\cdot 12{,}5 = 137{,}5\) кв. см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 11\cdot 12{,}5 = 137{,}5\) кв. см.
11
Намерете лицето на околната повърхнина на правилна шестоъгълна призма с основен ръб \(b = 5\) см и височина \(h = 8\) см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 6\cdot 5 = 30\) см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 30\cdot 8 = 240\) кв. см.
\(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 30\cdot 8 = 240\) кв. см.
12
Една околна стена на правилна петоъгълна призма е квадрат с лице 16 кв. см. Намерете общата дължина на всички ръбове на призмата.
▼
РешениеОколната стена е квадрат с лице 16 кв. см. Тъй като \(16 = 4^2\), а дължината на страна е положителна, страната му е 4 см. Тогава основният ръб \(b = 4\) см и околният ръб (височина) \(h = 4\) см — всички ръбове са по 4 см.
Брой на ръбовете: \(r = 3n = 3\cdot 5 = 15\).
Обща дължина: \(15\cdot 4 = 60\) см.
Брой на ръбовете: \(r = 3n = 3\cdot 5 = 15\).
Обща дължина: \(15\cdot 4 = 60\) см.
13
Обиколката на една от основите на правилна шестоъгълна призма е 42 см, а обиколката на една от околните ѝ стени е 44 см. Намерете дължините на основния ръб и на височината на призмата.
▼
РешениеОсновният ръб: \(b = \dfrac{42}{6} = 7\) см.
Околната стена е правоъгълник със страни \(b\) и \(h\) и периметър 44 см:
\(2(b + h) = 44 \Rightarrow b + h = 22 \Rightarrow h = 22 - 7 = 15\) см.
Околната стена е правоъгълник със страни \(b\) и \(h\) и периметър 44 см:
\(2(b + h) = 44 \Rightarrow b + h = 22 \Rightarrow h = 22 - 7 = 15\) см.
14
Намерете лицето на повърхнината на права четириъгълна призма с основа квадрат със страна \(b = 4\) см и височина \(h = 10\) см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 4\cdot 4 = 16\) см. Лице на една основа: \(B = b^2 = 16\) кв. см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 16\cdot 10 = 160\) кв. см.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 16 + 160 = 32 + 160 = 192\) кв. см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 16\cdot 10 = 160\) кв. см.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 16 + 160 = 32 + 160 = 192\) кв. см.
15
Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна призма е 144 кв. см, а околният ръб на призмата е 4 см. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
▼
РешениеОт \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(144 = P\cdot 4 \Rightarrow P = 36\) см. Основен ръб: \(b = \dfrac{36}{4} = 9\) см.
Лице на основа: \(B = b^2 = 81\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 81 + 144 = 162 + 144 = 306\) кв. см.
Лице на основа: \(B = b^2 = 81\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 81 + 144 = 162 + 144 = 306\) кв. см.
16
Основата на права призма е трапец с основи 14 см и 6 см и височина 5 см. Лицето на повърхнината на призмата е 450 кв. см. Намерете лицето на околната ѝ повърхнина.
▼
РешениеЛице на основата (трапец): \(B = \dfrac{(14 + 6)\cdot 5}{2} = \dfrac{20\cdot 5}{2} = 50\) кв. см.
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(450 = 2\cdot 50 + S_{\text{ок}} = 100 + S_{\text{ок}}\).
\(S_{\text{ок}} = 450 - 100 = 350\) кв. см.
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(450 = 2\cdot 50 + S_{\text{ок}} = 100 + S_{\text{ок}}\).
\(S_{\text{ок}} = 450 - 100 = 350\) кв. см.
17
Намерете лицето на повърхнината на правилна шестоъгълна призма с основен ръб \(b = 4\) дм, апотема на основата \(a = 3{,}46\) дм и височина \(h = 5\) дм.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 6\cdot 4 = 24\) дм.
Лице на основа: \(B = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = \dfrac{83{,}04}{2} = 41{,}52\) кв. дм.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 24\cdot 5 = 120\) кв. дм.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 41{,}52 + 120 = 83{,}04 + 120 = 203{,}04\) кв. дм.
Лице на основа: \(B = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = \dfrac{83{,}04}{2} = 41{,}52\) кв. дм.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 24\cdot 5 = 120\) кв. дм.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 41{,}52 + 120 = 83{,}04 + 120 = 203{,}04\) кв. дм.
18
Намерете лицето на околната повърхнина и височината на правилна шестоъгълна призма с основен ръб 4 дм, апотема 3,46 дм и лице на повърхнината 120 кв. дм.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 6\cdot 4 = 24\) дм. Лице на основа: \(B = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\) кв. дм.
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(S_{\text{ок}} = 120 - 2\cdot 41{,}52 = 120 - 83{,}04 = 36{,}96\) кв. дм.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(h = \dfrac{36{,}96}{24} = 1{,}54\) дм.
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(S_{\text{ок}} = 120 - 2\cdot 41{,}52 = 120 - 83{,}04 = 36{,}96\) кв. дм.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(h = \dfrac{36{,}96}{24} = 1{,}54\) дм.
19
Сборът от дължините на всички ръбове на правилна осмоъгълна призма, чиито околни стени са квадрати, е 120 см. Намерете обиколката на една от основите и лицето на една околна стена.
▼
РешениеОколните стени са квадрати, значи основен ръб \(=\) околен ръб — всички ръбове са равни. Брой на ръбовете: \(r = 3n = 3\cdot 8 = 24\).
Дължина на един ръб: \(120 : 24 = 5\) см.
Обиколка на основата: \(P = 8\cdot 5 = 40\) см.
Лице на околна стена (квадрат): \(5^2 = 25\) кв. см.
Дължина на един ръб: \(120 : 24 = 5\) см.
Обиколка на основата: \(P = 8\cdot 5 = 40\) см.
Лице на околна стена (квадрат): \(5^2 = 25\) кв. см.
20
Правилна шестоъгълна призма има лице на околната повърхнина 168 кв. см, височина 7 см и апотема на основата 3,46 см. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
▼
РешениеОт \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(P = \dfrac{168}{7} = 24\) см (основен ръб \(24 : 6 = 4\) см).
Лице на основа: \(B = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 41{,}52 + 168 = 83{,}04 + 168 = 251{,}04\) кв. см.
Лице на основа: \(B = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\) кв. см.
\(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 41{,}52 + 168 = 83{,}04 + 168 = 251{,}04\) кв. см.
21
Права призма има за основа ромб с лице 108 кв. см и височина на ромба 6 см. Околният ръб на призмата е с \(66\frac{2}{3}\%\) по-дълъг от основния ѝ ръб. Намерете лицето на околната повърхнина и лицето на повърхнината на призмата. ⭐ Трудна
▼
РешениеЛицето на ромб е страна, умножена по височината му: \(108 = b\cdot 6 \Rightarrow b = 18\) см. Значи основният ръб е \(b = 18\) см и обиколката е \(P = 4\cdot 18 = 72\) см.
\(66\frac{2}{3}\% = \dfrac{2}{3}\), затова околният ръб е:
\(h = 18 + \dfrac{2}{3}\cdot 18 = 18 + 12 = 30\) см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 72\cdot 30 = 2160\) кв. см.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 108 + 2160 = 216 + 2160 = 2376\) кв. см.
\(66\frac{2}{3}\% = \dfrac{2}{3}\), затова околният ръб е:
\(h = 18 + \dfrac{2}{3}\cdot 18 = 18 + 12 = 30\) см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 72\cdot 30 = 2160\) кв. см.
Повърхнина: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 108 + 2160 = 216 + 2160 = 2376\) кв. см.
22
Основата на права призма е успоредник с периметър 28 см, на който едната страна е с 25% по-къса от другата, а височината към по-голямата страна е 3 см. Лицето на повърхнината на призмата е 384 кв. см. Намерете дължината на околния ръб на призмата. ⭐ Трудна
▼
РешениеНека по-голямата страна е \(x\). По-малката е с 25% по-къса: \(x - 0{,}25x = 0{,}75x\).
Периметър: \(2(x + 0{,}75x) = 2\cdot 1{,}75x = 3{,}5x = 28 \Rightarrow x = 8\) см. Значи страните са 8 см и 6 см.
Лице на основата: \(B = 8\cdot 3 = 24\) кв. см (по-голяма страна по височината ѝ).
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(384 = 2\cdot 24 + S_{\text{ок}} = 48 + S_{\text{ок}} \Rightarrow S_{\text{ок}} = 336\) кв. см.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(336 = 28\cdot h \Rightarrow h = 12\) см. Околният ръб е 12 см.
Периметър: \(2(x + 0{,}75x) = 2\cdot 1{,}75x = 3{,}5x = 28 \Rightarrow x = 8\) см. Значи страните са 8 см и 6 см.
Лице на основата: \(B = 8\cdot 3 = 24\) кв. см (по-голяма страна по височината ѝ).
От \(S = 2B + S_{\text{ок}}\): \(384 = 2\cdot 24 + S_{\text{ок}} = 48 + S_{\text{ок}} \Rightarrow S_{\text{ок}} = 336\) кв. см.
От \(S_{\text{ок}} = P\cdot h\): \(336 = 28\cdot h \Rightarrow h = 12\) см. Околният ръб е 12 см.
23
За Коледа учениците подготвили 50 еднакви кутии с форма на правилна четириъгълна призма с основен ръб 10 см и околен ръб 35 см. Колко килограма боя са необходими за боядисване на кутиите от всички страни, ако за 1 кв. дм са нужни 8 г боя? ⭐ Трудна
▼
РешениеЕдна кутия: обиколка на основата \(P = 4\cdot 10 = 40\) см; лице на основа \(B = 10^2 = 100\) кв. см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 40\cdot 35 = 1400\) кв. см.
Повърхнина на една кутия: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 100 + 1400 = 1600\) кв. см \(= 16\) кв. дм.
За 50 кутии: \(50\cdot 16 = 800\) кв. дм.
Боя: \(800\cdot 8 = 6400\) г \(= 6{,}4\) кг.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 40\cdot 35 = 1400\) кв. см.
Повърхнина на една кутия: \(S = 2B + S_{\text{ок}} = 2\cdot 100 + 1400 = 1600\) кв. см \(= 16\) кв. дм.
За 50 кутии: \(50\cdot 16 = 800\) кв. дм.
Боя: \(800\cdot 8 = 6400\) г \(= 6{,}4\) кг.
24
Поръчани са 400 ламаринени съда без капаци с форма на права призма. Обиколката на основата е 150 см, лицето на основата е 3300 кв. см, а височината на съда е 90 см. а) Колко кв. метра ламарина са необходими, ако за изрезки и заваряване се губят още 9 кв. м? б) Колко килограма боя са нужни, ако околните стени се боядисват отвън веднъж, а дъното — отвън два пъти, при 250 г боя за 1 кв. м? ⭐ Трудна
▼
РешениеОбиколка на основата: \(P = 150\) см. Лице на дъното: \(B = 3300\) кв. см.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 150\cdot 90 = 13\,500\) кв. см.
а) Съдът е без капак: ламарина за един съд \(= S_{\text{ок}} + B = 13\,500 + 3300 = 16\,800\) кв. см \(= 1{,}68\) кв. м.
За 400 съда: \(400\cdot 1{,}68 = 672\) кв. м. Заедно със загубите: \(672 + 9 = 681\) кв. м.
б) Боядисана площ на един съд: околни стени веднъж \(= 13\,500\) кв. см \(= 1{,}35\) кв. м; дъно два пъти \(= 2\cdot 3300 = 6600\) кв. см \(= 0{,}66\) кв. м. Общо \(1{,}35 + 0{,}66 = 2{,}01\) кв. м.
За 400 съда: \(400\cdot 2{,}01 = 804\) кв. м. Боя: \(804\cdot 250 = 201\,000\) г \(= 201\) кг.
Околна повърхнина: \(S_{\text{ок}} = P\cdot h = 150\cdot 90 = 13\,500\) кв. см.
а) Съдът е без капак: ламарина за един съд \(= S_{\text{ок}} + B = 13\,500 + 3300 = 16\,800\) кв. см \(= 1{,}68\) кв. м.
За 400 съда: \(400\cdot 1{,}68 = 672\) кв. м. Заедно със загубите: \(672 + 9 = 681\) кв. м.
б) Боядисана площ на един съд: околни стени веднъж \(= 13\,500\) кв. см \(= 1{,}35\) кв. м; дъно два пъти \(= 2\cdot 3300 = 6600\) кв. см \(= 0{,}66\) кв. м. Общо \(1{,}35 + 0{,}66 = 2{,}01\) кв. м.
За 400 съда: \(400\cdot 2{,}01 = 804\) кв. м. Боя: \(804\cdot 250 = 201\,000\) г \(= 201\) кг.
25
Колко кв. метра плат са необходими за ушиване на палатка с форма на права триъгълна призма (без под): триъгълникът отпред има основа 1,5 м и височина 1 м, наклонените стени са с дължина 1,25 м, а дължината на палатката е 2 м? За шевовете е нужен допълнително 10% плат. ⭐ Трудна
▼
РешениеПалатката без под се състои от двата триъгълника (предна и задна стена) и двете наклонени правоъгълни стени (без долната — пода).
Лице на един триъгълник: \(\dfrac{1{,}5\cdot 1}{2} = 0{,}75\) кв. м; за двата: \(2\cdot 0{,}75 = 1{,}5\) кв. м.
Лице на една наклонена стена: \(1{,}25\cdot 2 = 2{,}5\) кв. м; за двете: \(2\cdot 2{,}5 = 5\) кв. м.
Плат без шевовете: \(1{,}5 + 5 = 6{,}5\) кв. м.
С допълнителните 10%: \(6{,}5\cdot 1{,}1 = 7{,}15\) кв. м.
Лице на един триъгълник: \(\dfrac{1{,}5\cdot 1}{2} = 0{,}75\) кв. м; за двата: \(2\cdot 0{,}75 = 1{,}5\) кв. м.
Лице на една наклонена стена: \(1{,}25\cdot 2 = 2{,}5\) кв. м; за двете: \(2\cdot 2{,}5 = 5\) кв. м.
Плат без шевовете: \(1{,}5 + 5 = 6{,}5\) кв. м.
С допълнителните 10%: \(6{,}5\cdot 1{,}1 = 7{,}15\) кв. м.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си. Към задачите има таблици и чертежи.
Задача 1Колко основни и колко околни ръба има права 25-ъгълна призма?
Отг.: основни \(2n = 50\); околни \(n = 25\).
Отг.: основни \(2n = 50\); околни \(n = 25\).
Задача 2Колко върха има права осмоъгълна призма?
Отг.: \(v = 2n = 16\).
Отг.: \(v = 2n = 16\).
Задача 3Колко стени има права деветоъгълна призма?
Отг.: \(s = n + 2 = 11\).
Отг.: \(s = n + 2 = 11\).
Задача 4Колко ръба общо има права 12-ъгълна призма?
Отг.: \(r = 3n = 36\).
Отг.: \(r = 3n = 36\).
Задача 5Определете вида на права призма, която има 7 стени.
Отг.: \(n + 2 = 7 \Rightarrow n = 5\) — петоъгълна призма.
Отг.: \(n + 2 = 7 \Rightarrow n = 5\) — петоъгълна призма.
Задача 6Проверете формулата на Ойлер за осмоъгълна призма.
Отг.: \(v = 16,\ s = 10,\ r = 24\); \(16 + 10 - 24 = 2\).
Отг.: \(v = 16,\ s = 10,\ r = 24\); \(16 + 10 - 24 = 2\).
Задача 7Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12,5 см, ако основата е равнобедрен триъгълник с бедро 10 см и основа 12 см.
Отг.: \(P = 10 + 10 + 12 = 32\); \(S_{\text{ок}} = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
Отг.: \(P = 10 + 10 + 12 = 32\); \(S_{\text{ок}} = 32\cdot 12{,}5 = 400\) кв. см.
Задача 8Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12 см, ако основата е успоредник със страни 9,5 см и 3,5 см.
Отг.: \(P = 2(9{,}5 + 3{,}5) = 26\); \(S_{\text{ок}} = 26\cdot 12 = 312\) кв. см.
Отг.: \(P = 2(9{,}5 + 3{,}5) = 26\); \(S_{\text{ок}} = 26\cdot 12 = 312\) кв. см.
Задача 9Намерете лицето на околната повърхнина на права призма с околен ръб 12 см, ако основата е правилен шестоъгълник със страна 7,2 см.
Отг.: \(P = 6\cdot 7{,}2 = 43{,}2\); \(S_{\text{ок}} = 43{,}2\cdot 12 = 518{,}4\) кв. см.
Отг.: \(P = 6\cdot 7{,}2 = 43{,}2\); \(S_{\text{ок}} = 43{,}2\cdot 12 = 518{,}4\) кв. см.
Задача 10Намерете лицето на повърхнината на права призма с околен ръб 5 см, ако основата е правоъгълен триъгълник с катети 6 см и 8 см (хипотенуза 10 см).
Отг.: \(P = 6 + 8 + 10 = 24\); \(S_{\text{ок}} = 24\cdot 5 = 120\); \(B = \frac{6\cdot 8}{2} = 24\); \(S = 2\cdot 24 + 120 = 168\) кв. см.
Отг.: \(P = 6 + 8 + 10 = 24\); \(S_{\text{ок}} = 24\cdot 5 = 120\); \(B = \frac{6\cdot 8}{2} = 24\); \(S = 2\cdot 24 + 120 = 168\) кв. см.
Задача 11Намерете лицето на повърхнината на права призма с околен ръб 5 см, ако основата е правоъгълен трапец с основи 6 см и 9 см и бедра 5 см и 4 см.
Отг.: \(P = 6 + 9 + 5 + 4 = 24\); \(S_{\text{ок}} = 120\); \(B = \frac{(6+9)\cdot 4}{2} = 30\); \(S = 60 + 120 = 180\) кв. см.
Отг.: \(P = 6 + 9 + 5 + 4 = 24\); \(S_{\text{ок}} = 120\); \(B = \frac{(6+9)\cdot 4}{2} = 30\); \(S = 60 + 120 = 180\) кв. см.
Задача 12Намерете лицето на повърхнината на права призма с околен ръб 5 см, ако основата е ромб със страна 4 см и височина, двойно по-малка от страната.
Отг.: височина на ромба \(= 2\); \(P = 16\); \(S_{\text{ок}} = 80\); \(B = 4\cdot 2 = 8\); \(S = 16 + 80 = 96\) кв. см.
Отг.: височина на ромба \(= 2\); \(P = 16\); \(S_{\text{ок}} = 80\); \(B = 4\cdot 2 = 8\); \(S = 16 + 80 = 96\) кв. см.
Задача 13Намерете лицето на околната повърхнина на правилна шестоъгълна призма с основен ръб 6 см и височина 10 см.
Отг.: \(P = 36\); \(S_{\text{ок}} = 36\cdot 10 = 360\) кв. см.
Отг.: \(P = 36\); \(S_{\text{ок}} = 36\cdot 10 = 360\) кв. см.
Задача 14Намерете лицето на повърхнината на куб с ръб 5 см.
Отг.: \(S = 6\cdot 5^2 = 150\) кв. см.
Отг.: \(S = 6\cdot 5^2 = 150\) кв. см.
Задача 15Правилна четириъгълна призма има лице на повърхнината 0,96 кв. дм \((= 96\) кв. см\()\) и лице на основата 9 кв. см. Намерете дължината на околния ръб на призмата.
Отг.: основен ръб \(b = 3\) (защото \(3^2 = 9\)), \(P = 12\); от \(96 = 2\cdot 9 + 12h\) следва \(12h = 78\), \(h = 6{,}5\) см.
Отг.: основен ръб \(b = 3\) (защото \(3^2 = 9\)), \(P = 12\); от \(96 = 2\cdot 9 + 12h\) следва \(12h = 78\), \(h = 6{,}5\) см.
Задача 16Правилна (шестоъгълна) призма има лице на околната повърхнина 168 кв. см, височина 7 см и апотема на основата 3,46 см. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(P = \frac{168}{7} = 24\); \(B = \frac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\); \(S = 2\cdot 41{,}52 + 168 = 251{,}04\) кв. см.
Отг.: \(P = \frac{168}{7} = 24\); \(B = \frac{24\cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\); \(S = 2\cdot 41{,}52 + 168 = 251{,}04\) кв. см.
Задача 17Околните стени на правилна осмоъгълна призма са квадрати, а сборът от всичките ѝ ръбове е 120 см. Намерете обиколката на една от основите и лицето на една околна стена.
Отг.: 24 равни ръба по \(120 : 24 = 5\) см; \(P = 8\cdot 5 = 40\) см; стена \(5^2 = 25\) кв. см.
Отг.: 24 равни ръба по \(120 : 24 = 5\) см; \(P = 8\cdot 5 = 40\) см; стена \(5^2 = 25\) кв. см.
Задача 18Околните стени на правилна петоъгълна призма са квадрати, а сборът от всичките ѝ ръбове е 153 см. Намерете обиколката на една от основите.
Отг.: 15 равни ръба по \(153 : 15 = 10{,}2\) см; \(P = 5\cdot 10{,}2 = 51\) см.
Отг.: 15 равни ръба по \(153 : 15 = 10{,}2\) см; \(P = 5\cdot 10{,}2 = 51\) см.
Задача 19Обиколката на основата на правилна седмоъгълна призма е 42 см, а обиколката на една нейна околна стена е 28 см. Намерете основния ръб и височината.
Отг.: \(b = \frac{42}{7} = 6\); \(2(6 + h) = 28 \Rightarrow h = 8\) см.
Отг.: \(b = \frac{42}{7} = 6\); \(2(6 + h) = 28 \Rightarrow h = 8\) см.
Задача 20Правилна осмоъгълна призма има лице на основата 82,8 кв. дм, апотема 5 дм и лице на повърхнината 496,8 кв. дм. Намерете основния ръб и околния ръб.
Отг.: \(P = \frac{2\cdot 82{,}8}{5} = 33{,}12\); основен ръб \(33{,}12 : 8 = 4{,}14\); \(S_{\text{ок}} = 496{,}8 - 165{,}6 = 331{,}2\); \(h = \frac{331{,}2}{33{,}12} = 10\) дм.
Отг.: \(P = \frac{2\cdot 82{,}8}{5} = 33{,}12\); основен ръб \(33{,}12 : 8 = 4{,}14\); \(S_{\text{ок}} = 496{,}8 - 165{,}6 = 331{,}2\); \(h = \frac{331{,}2}{33{,}12} = 10\) дм.
Задача 21Как ще се промени лицето на околната повърхнина на правилна призма, ако основният ѝ ръб се увеличи с 30%, а височината ѝ се намали с 30%?
Отг.: \(S' = 1{,}3\cdot 0{,}7\cdot S_{\text{ок}} = 0{,}91\, S_{\text{ок}}\) — намалява с 9%.
Отг.: \(S' = 1{,}3\cdot 0{,}7\cdot S_{\text{ок}} = 0{,}91\, S_{\text{ок}}\) — намалява с 9%.
Задача 22Как ще се промени лицето на околната повърхнина на правилна призма, ако основният ѝ ръб се увеличи два пъти?
Отг.: увеличава се два пъти (\(P\) расте два пъти).
Отг.: увеличава се два пъти (\(P\) расте два пъти).
Задача 23Как ще се промени лицето на околната повърхнина, ако околният ръб на призмата се намали три пъти?
Отг.: намалява се три пъти.
Отг.: намалява се три пъти.
Задача 24Как ще се промени лицето на околната повърхнина, ако основният ръб на призмата се намали два пъти, а околният ръб се увеличи два пъти?
Отг.: не се променя (\(\frac{1}{2}\cdot 2 = 1\)).
Отг.: не се променя (\(\frac{1}{2}\cdot 2 = 1\)).
Задача 25Права четириъгълна призма има височина 1,5 дм \((= 15\) см\()\) и лице на околната повърхнина 384 кв. см. Основата е ромб с височина 66 мм \((= 6{,}6\) см\()\). Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(P = \frac{384}{15} = 25{,}6\); основен ръб \(25{,}6 : 4 = 6{,}4\); \(B = 6{,}4\cdot 6{,}6 = 42{,}24\); \(S = 2\cdot 42{,}24 + 384 = 468{,}48\) кв. см.
Отг.: \(P = \frac{384}{15} = 25{,}6\); основен ръб \(25{,}6 : 4 = 6{,}4\); \(B = 6{,}4\cdot 6{,}6 = 42{,}24\); \(S = 2\cdot 42{,}24 + 384 = 468{,}48\) кв. см.
Задача 26Права призма има основа ромб с лице 18 кв. см, височината на който е двойно по-малка от страната. Околният ръб е с 20% по-голям от основния. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(B = b\cdot \frac{b}{2} = \frac{b^2}{2} = 18\), значи \(b^2 = 36\); тъй като \(6^2 = 36\), то \(b = 6\); \(P = 24\); \(h = 1{,}2\cdot 6 = 7{,}2\); \(S_{\text{ок}} = 172{,}8\); \(S = 2\cdot 18 + 172{,}8 = 208{,}8\) кв. см.
Отг.: \(B = b\cdot \frac{b}{2} = \frac{b^2}{2} = 18\), значи \(b^2 = 36\); тъй като \(6^2 = 36\), то \(b = 6\); \(P = 24\); \(h = 1{,}2\cdot 6 = 7{,}2\); \(S_{\text{ок}} = 172{,}8\); \(S = 2\cdot 18 + 172{,}8 = 208{,}8\) кв. см.
Задача 27Колко плочки с размери 20 см и 30 см са нужни за облицоване на стените и пода на баня с под 2,5 м на 1,5 м и височина 2,7 м, ако плочките достигат до 30 см под тавана, а вратата е 80 см на 2 м?
Отг.: височина на плочките \(2{,}7 - 0{,}3 = 2{,}4\) м; стени \(2(2{,}5 + 1{,}5)\cdot 2{,}4 = 19{,}2\) кв. м, минус врата \(0{,}8\cdot 2 = 1{,}6\) → 17,6 кв. м; под \(2{,}5\cdot 1{,}5 = 3{,}75\) кв. м; общо \(21{,}35\) кв. м; една плочка \(0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}06\) кв. м; \(21{,}35 : 0{,}06 \approx 355{,}83\), затова са нужни най-малко 356 плочки.
Отг.: височина на плочките \(2{,}7 - 0{,}3 = 2{,}4\) м; стени \(2(2{,}5 + 1{,}5)\cdot 2{,}4 = 19{,}2\) кв. м, минус врата \(0{,}8\cdot 2 = 1{,}6\) → 17,6 кв. м; под \(2{,}5\cdot 1{,}5 = 3{,}75\) кв. м; общо \(21{,}35\) кв. м; една плочка \(0{,}2\cdot 0{,}3 = 0{,}06\) кв. м; \(21{,}35 : 0{,}06 \approx 355{,}83\), затова са нужни най-малко 356 плочки.
Задача 28Намерете \(n\), ако права призма има 30 ръба.
Отг.: \(3n = 30 \Rightarrow n = 10\) (десетоъгълна призма).
Отг.: \(3n = 30 \Rightarrow n = 10\) (десетоъгълна призма).
Задача 29Намерете \(n\), ако права призма има 18 върха.
Отг.: \(2n = 18 \Rightarrow n = 9\) (деветоъгълна призма).
Отг.: \(2n = 18 \Rightarrow n = 9\) (деветоъгълна призма).
Задача 30Попълнете таблицата за права \(n\)-ъгълна призма (\(v\) — върхове, \(s\) — стени, \(r\) — ръбове).
Отг.: \(n=4\): \(8,\ 6,\ 12,\ 2\). \(n=6\): \(12,\ 8,\ 18,\ 2\). \(n=10\): \(20,\ 12,\ 30,\ 2\).
| \(n\) | \(v\) | \(s\) | \(r\) | \(v+s-r\) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | ? | ? | ? | ? |
| 6 | ? | ? | ? | ? |
| 10 | ? | ? | ? | ? |
✅ Онлайн тест
Тест: Права призма. Лице на повърхнина
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Кое тяло се нарича права призма?
2Какви са околните стени на права призма?
3Колко върха има права \(n\)-ъгълна призма?
4Колко ръба общо има права \(n\)-ъгълна призма?
5Колко стени има права петоъгълна призма?
6Коя формула дава лицето на околната повърхнина (\(P\) — обиколка на основата, \(h\) — височина)?
7Коя формула дава лицето на повърхнината (\(B\) — лице на основата)?
8Лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна призма с основен ръб 5 см и височина 6 см е:
9Колко е стойността на \(v + s - r\) (формула на Ойлер) за всяка призма?
10Една права призма има 12 стени. Каква е тя?
11От какво се състои развивката на права призма?
12Лицето на повърхнината на куб с ръб 2 см е:
13Колко околни ръба има права осмоъгълна призма?
14Кое тяло е правилна четириъгълна призма?
15Лицето на околната повърхнина на права призма е 60 кв. см, а обиколката на основата е 12 см. Колко е височината?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
⬡
Многоъгълник. Правилен многоъгълник. Лице на многоъгълник
Урок за 6. клас — апотема, формулите P = nb и S = Pa/2, сбор на ъгли и брой диагонали. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
⚫
Кръг. Лице на кръг
Урок за 6. клас — кръг, полукръг, кръгов венец и формулата S = πr². Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📐
Декартова координатна система — 6. клас
Координати на точка, квадранти, симетрии, дължина и среда на отсечка, периметри и лица на фигури. Теория, 25 разработени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар