📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Кръг. Лице на кръг

Кръг.
Лице на кръг

Кръг, кръгов сектор, полукръг и кръгов венец, числото \(\pi\) и формулата за лице на кръг \(S = \pi r^2\) — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

6. клас Кръг Лице на кръг Кръгов венец Число π Д-р Атанас Илчев

В този урок разглеждаме кръга и неговите елементи — кръгов сектор, полукръг и кръгов венец. Ще използваме числото \(\pi\) и формулата за лице на кръг: \(S = \pi r^2\). Ще решаваме задачи за намиране на лице по даден радиус или диаметър, обратни задачи — за намиране на радиус по дадено лице, както и задачи с полукръгове, кръгови венци и съставни фигури. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.

⚫ Кръг и неговите елементи

Кръг наричаме частта от равнината, заградена от окръжност \(k(O; r)\), заедно със самата окръжност. Точката \(O\) е център на кръга, а \(r\) — неговият радиус.

Окръжност и кръг. Окръжността е линия (само границата), а кръгът е цялата фигура заедно с вътрешността си. За окръжността говорим за дължина, а за кръга — за лице (площ).

Елементи на кръга:

• Радиус \(r\) и диаметър \(d = 2r\) — както при окръжността;
• Полукръг — половината от кръга, получена при разделяне с диаметър;
• Кръгов сектор — част от кръга, заградена от два радиуса и дъга между тях;
• Кръгов венец (пръстен) — частта между две окръжности с общ център.

📐 Лице на кръг

Лицето на кръг зависи само от радиуса му. Колкото по-голям е радиусът, толкова по-голямо е лицето — но не право пропорционално, а на квадрат: ако радиусът се удвои, лицето става 4 пъти по-голямо.

Лице (площ) на кръг \(S\) с радиус \(r\) се пресмята по формулата: \[S = \pi r^2.\] Ако е даден диаметърът \(d\), първо намираме радиуса \(r = \dfrac{d}{2}\), след което прилагаме формулата. В пресмятанията приемаме \(\pi \approx 3{,}14\) (а понякога \(\pi \approx \frac{22}{7}\)).

Обратна задача. От формулата за лице можем да намерим \(r^2\), а оттам и радиуса: \[r^2 = \dfrac{S}{\pi}.\] Например ако \(S = 28{,}26\) кв. см, то \(r^2 = \dfrac{28{,}26}{3{,}14} = 9\), откъдето \(r = 3\) см.

Части и съставни фигури:

• Полукръг има лице \(\dfrac{S}{2} = \dfrac{\pi r^2}{2}\);
• Четвърт кръг има лице \(\dfrac{S}{4} = \dfrac{\pi r^2}{4}\);
• Кръгов венец между две окръжности с общ център и радиуси \(R\) и \(r\) (\(R > r\)) има лице \(\pi R^2 - \pi r^2\).

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение. Навсякъде приемаме \(\pi \approx 3{,}14\), освен ако не е указано друго.

1

Намерете лицето на кръг с радиус: а) \(r = 3\) см; б) \(r = 1{,}4\) см.

▼

РешениеИзползваме формулата \(S = \pi r^2\).
а) \(S = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26\) кв. см.
б) \(S = 3{,}14 \cdot 1{,}4^2 = 3{,}14 \cdot 1{,}96 = 6{,}1544\) кв. см.

2

Намерете лицето на кръг с диаметър: а) \(d = 7\) см; б) \(d = 14{,}4\) см.

▼

РешениеПърво намираме радиуса \(r = \dfrac{d}{2}\), после прилагаме \(S = \pi r^2\).
а) \(r = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\) см; \(S = 3{,}14 \cdot 3{,}5^2 = 3{,}14 \cdot 12{,}25 = 38{,}465\) кв. см.
б) \(r = \dfrac{14{,}4}{2} = 7{,}2\) см; \(S = 3{,}14 \cdot 7{,}2^2 = 3{,}14 \cdot 51{,}84 = 162{,}7776\) кв. см.

3

Намерете лицето на кръг с радиус \(r = 5\) см.

▼

Решение\(S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 5^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\) кв. см.

4

Намерете лицето на кръг с радиус \(r = 7\) см при \(\pi \approx \frac{22}{7}\).

▼

РешениеКогато радиусът се дели на 7, е удобно да използваме \(\pi \approx \frac{22}{7}\):
\[S = \dfrac{22}{7} \cdot 7^2 = \dfrac{22}{7} \cdot 49 = 22 \cdot 7 = 154 \text{ кв. см}.\]

5

Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 28{,}26\) кв. см.

▼

РешениеОт \(S = \pi r^2\) намираме \(r^2 = \dfrac{S}{\pi}\):
\[r^2 = \dfrac{28{,}26}{3{,}14} = 9 \;\Rightarrow\; r = 3 \text{ см}.\]

6

Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 78{,}5\) кв. см.

▼

Решение\[r^2 = \dfrac{78{,}5}{3{,}14} = 25 \;\Rightarrow\; r = 5 \text{ см}.\]

7

Намерете диаметъра на кръг с лице \(S = 153{,}86\) кв. м.

▼

РешениеПърво намираме радиуса:
\(r^2 = \dfrac{153{,}86}{3{,}14} = 49 \;\Rightarrow\; r = 7\) м.
Тогава диаметърът е \(d = 2r = 14\) м.

8

Колко квадратни сантиметра е лицето на кръг, ако дължината на ограждащата го окръжност е \(2\pi\) см?

▼

РешениеОт дължината намираме радиуса. Понеже \(C = 2\pi r\) и \(C = 2\pi\), то \(2\pi r = 2\pi\), откъдето \(r = 1\) см.
Лицето е \(S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \approx 3{,}14\) кв. см.

9

Намерете радиуса на кръг, чието лице е \(25\pi\) кв. см.

▼

РешениеОт \(S = \pi r^2 = 25\pi\) следва \(r^2 = 25\), откъдето \(r = 5\) см. (Тук дори не е нужно да заместваме \(\pi\) с число.)

10

Намерете лицето на полукръг с диаметър \(d = 8\) см.

▼

РешениеРадиусът е \(r = \dfrac{8}{2} = 4\) см. Лицето на целия кръг е \(S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24\) кв. см.
Полукръгът е половината:
\[\dfrac{S}{2} = \dfrac{50{,}24}{2} = 25{,}12 \text{ кв. см}.\]

11

Намерете лицето на четвърт кръг с радиус \(r = 6\) см.

▼

РешениеЛицето на целия кръг е \(S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04\) кв. см.
Четвърт кръгът е една четвърт:
\[\dfrac{S}{4} = \dfrac{113{,}04}{4} = 28{,}26 \text{ кв. см}.\]

12

Намерете лицето на кръгов венец, заграден от окръжности с радиуси 3 см и 4 см.

▼

РешениеКръговият венец е частта между двата кръга. Лицето му е разликата от лицата на големия и малкия кръг:
\(S = \pi R^2 - \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 4^2 - 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 16 - 3{,}14 \cdot 9\).
\(S = 50{,}24 - 28{,}26 = 21{,}98\) кв. см.

13

Как ще се измени лицето на кръг, ако: а) радиусът се увеличи 5 пъти; б) радиусът се намали 2 пъти?

▼

РешениеЛицето зависи от квадрата на радиуса (\(S = \pi r^2\)), затова промяната на радиуса се отразява „на квадрат“.
а) Ако радиусът се увеличи 5 пъти, лицето се увеличава \(5^2 = 25\) пъти.
б) Ако радиусът се намали 2 пъти, лицето се намалява \(2^2 = 4\) пъти.

14

Как ще се измени лицето на кръг, ако диаметърът се увеличи 4 пъти?

▼

РешениеАко диаметърът се увеличи 4 пъти, то и радиусът се увеличава 4 пъти (защото \(r = \dfrac{d}{2}\)). Тогава лицето се увеличава \(4^2 = 16\) пъти.

15

Радиусът на кръг е намален 2 пъти. Колко процента е лицето на получения кръг от лицето на първия?

▼

РешениеАко радиусът се намали 2 пъти, лицето се намалява \(2^2 = 4\) пъти. Значи новото лице е \(\dfrac{1}{4}\) от старото:
\[\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%.\]
Новият кръг има лице 25% от лицето на първия.

16

Сравнете лицето на квадрат със страна 4 см с лицето на вписан в него кръг (кръг с диаметър 4 см).

▼

РешениеЛице на квадрата: \(S_{кв} = 4 \cdot 4 = 16\) кв. см.
Вписаният кръг има диаметър 4 см, значи радиус \(r = 2\) см: \(S_{кр} = 3{,}14 \cdot 2^2 = 12{,}56\) кв. см.
Кръгът заема по-малко от квадрата. Разликата (четирите ъгълчета) е \(16 - 12{,}56 = 3{,}44\) кв. см.

17

От квадрат със страна 4 см е изрязан възможно най-големият кръг. Намерете лицето на останалата част (четирите ъгълчета).

▼

РешениеНай-големият кръг, който се вписва в квадрата, има диаметър, равен на страната: \(d = 4\) см, значи \(r = 2\) см.
Лице на квадрата: \(16\) кв. см. Лице на кръга: \(3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56\) кв. см.
Останалата част:
\[16 - 12{,}56 = 3{,}44 \text{ кв. см}.\]

18

Кръгова писта е ограничена от две окръжности с общ център. Радиусът на външната е 100 м, а на вътрешната — 90 м. Намерете площта на пистата.

▼

РешениеПистата е кръгов венец между двете окръжности. Лицето ѝ е разликата от лицата на двата кръга:
\(S = \pi R^2 - \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 100^2 - 3{,}14 \cdot 90^2\).
\(S = 3{,}14 \cdot 10\,000 - 3{,}14 \cdot 8100 = 31\,400 - 25\,434 = 5966\) кв. м.

19

Два диаметъра, които образуват прав ъгъл, разделят кръг с радиус 10 см на четири еднакви сектора. Намерете лицето на един сектор.

▼

РешениеЧетирите сектора са еднакви, затова всеки е една четвърт от кръга.
Лице на целия кръг: \(S = 3{,}14 \cdot 10^2 = 314\) кв. см.
Един сектор:
\[\dfrac{S}{4} = \dfrac{314}{4} = 78{,}5 \text{ кв. см}.\]

20

Шадраван има форма на кръг с диаметър 4 м. Около него има затревен участък, чиято външна граница също е окръжност. Лицето на тревната площ е 15,7 кв. м. Намерете лицето на целия участък (шадраван + трева).

▼

РешениеШадраванът е кръг с диаметър 4 м, значи радиус \(r = 2\) м.
Лице на шадравана: \(S_{ш} = 3{,}14 \cdot 2^2 = 12{,}56\) кв. м.
Тревната площ е кръгов венец около него с лице 15,7 кв. м.
Лицето на целия участък е сборът:
\[12{,}56 + 15{,}7 = 28{,}26 \text{ кв. м}.\]

21

Кръглото огледало на телескопа „Хейл“ е с диаметър 5 м, на телескопа в Чили — с диаметър 8,2 м, а на Големия телескоп на Канарските острови — с диаметър 10,4 м. За \(\pi \approx 3{,}14\): а) намерете с точност до 0,1 лицето на всяко огледало; б) с точност до 0,01 колко пъти лицето на огледалото в Чили е по-голямо от това на „Хейл“. ⭐ Трудна

▼

Решениеа) Лицето на всяко кръгло огледало е \(S = \pi r^2\), където \(r = \dfrac{d}{2}\).
„Хейл“ (\(r = 2{,}5\)): \(S = 3{,}14 \cdot 2{,}5^2 = 3{,}14 \cdot 6{,}25 = 19{,}625 \approx 19{,}6\) кв. м.
Чили (\(r = 4{,}1\)): \(S = 3{,}14 \cdot 4{,}1^2 = 3{,}14 \cdot 16{,}81 = 52{,}7834 \approx 52{,}8\) кв. м.
Канари (\(r = 5{,}2\)): \(S = 3{,}14 \cdot 5{,}2^2 = 3{,}14 \cdot 27{,}04 = 84{,}9056 \approx 84{,}9\) кв. м.
б) \(\dfrac{52{,}7834}{19{,}625} \approx 2{,}69\) пъти. Огледалото в Чили има около 2,69 пъти по-голямо лице от това на „Хейл“.

22

Приемете, че \(\pi \approx \frac{22}{7}\). От квадрат със страна \(a\) се изрязват: а) вписан кръг с диаметър \(a\); б) четири четвърт кръга с радиус \(\frac{a}{2}\), разположени при върховете на квадрата. Намерете колко процента от лицето на квадрата остава неизрязано в двата случая и сравнете резултатите. ⭐ Трудна

▼

Решениеа) Лице на квадрата: \(S_{кв} = a^2\). Вписаният кръг има радиус \(\dfrac{a}{2}\), значи лице \(\pi \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi a^2}{4}\).
Неизрязаната част (ъгълчетата) е \(a^2 - \dfrac{\pi a^2}{4} = a^2\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right)\).
При \(\pi = \dfrac{22}{7}\): \(1 - \dfrac{22}{28} = 1 - \dfrac{11}{14} = \dfrac{3}{14} \approx 0{,}2143 = 21{,}43\%\).
б) Четирите четвърт кръга с радиус \(\dfrac{a}{2}\) във върховете заедно образуват точно един цял кръг с радиус \(\dfrac{a}{2}\) — същата площ като в а). Затова неизрязаната част отново е \(\dfrac{3}{14} \approx 21{,}43\%\).
Извод: Двата резултата са равни, защото в двата случая изрязваме една и съща обща площ — кръг с радиус \(\dfrac{a}{2}\).

23

Две окръжности с общ център образуват кръгов венец с широчина 10 см. Ако лицето на кръга, заграден от окръжността с по-малък радиус, е 78,5 кв. см, намерете лицето на кръговия венец. ⭐ Трудна

▼

РешениеПърво намираме малкия радиус от лицето на малкия кръг:
\(\pi r^2 = 78{,}5 \;\Rightarrow\; r^2 = \dfrac{78{,}5}{3{,}14} = 25 \;\Rightarrow\; r = 5\) см.
Широчината на венеца е 10 см, затова големият радиус е \(R = r + 10 = 15\) см.
Лице на кръговия венец:
\[S = \pi R^2 - \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 225 - 78{,}5 = 706{,}5 - 78{,}5 = 628 \text{ кв. см}.\]

24

Кръгова писта е ограничена от две окръжности с общ център. Радиусът на вътрешната е равен на произведението на двете най-малки прости нечетни числа (в метри), а външният радиус е с 10 м по-голям от вътрешния. Намерете площта на пистата в декари. ⭐ Трудна

▼

РешениеДвете най-малки прости нечетни числа са 3 и 5. Вътрешният радиус е \(r = 3 \cdot 5 = 15\) м, а външният — \(R = 15 + 10 = 25\) м.
Лице на пистата (кръгов венец):
\(S = \pi R^2 - \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 625 - 3{,}14 \cdot 225 = 1962{,}5 - 706{,}5 = 1256\) кв. м.
Един декар е 1000 кв. м, затова:
\[1256 : 1000 = 1{,}256 \text{ декара}.\]

25

Фигура се състои от правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см и хипотенуза 5 см, върху чиито страни са построени външни полуокръжности (с диаметри страните на триъгълника). Намерете обиколката на фигурата (\(\pi \approx 3{,}14\)). ⭐ Трудна

▼

РешениеОбиколката на фигурата е сборът от трите полуокръжности, построени върху страните 3, 4 и 5 см. Дължина на полуокръжност с диаметър \(d\) е \(\dfrac{\pi d}{2}\):
• върху катета 3: \(\dfrac{3{,}14 \cdot 3}{2} = 4{,}71\) см;
• върху катета 4: \(\dfrac{3{,}14 \cdot 4}{2} = 6{,}28\) см;
• върху хипотенузата 5: \(\dfrac{3{,}14 \cdot 5}{2} = 7{,}85\) см.
Обиколката е:
\[4{,}71 + 6{,}28 + 7{,}85 = 18{,}84 \text{ см}.\]
Тази задача използва и знанията за дължина на полуокръжност.

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си. Навсякъде \(\pi \approx 3{,}14\), освен ако не е указано друго.

Задача 1Намерете лицето на кръг с радиус \(r = 2\) см.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 2^2 = 12{,}56\) кв. см.

Задача 2Намерете лицето на кръг с радиус \(r = 10\) см.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 100 = 314\) кв. см.

Задача 3Намерете лицето на кръг с диаметър \(d = 6\) см.
Отг.: \(r = 3\) см; \(S = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26\) кв. см.

Задача 4Намерете лицето на кръг с диаметър \(d = 20\) см.
Отг.: \(r = 10\) см; \(S = 3{,}14 \cdot 100 = 314\) кв. см.

Задача 5Намерете лицето на кръг с радиус \(r = 7\) см при \(\pi \approx \frac{22}{7}\).
Отг.: \(S = \frac{22}{7} \cdot 49 = 154\) кв. см.

Задача 6Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 12{,}56\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = \frac{12{,}56}{3{,}14} = 4\); \(r = 2\) см.

Задача 7Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 50{,}24\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = \frac{50{,}24}{3{,}14} = 16\); \(r = 4\) см.

Задача 8Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 113{,}04\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = \frac{113{,}04}{3{,}14} = 36\); \(r = 6\) см.

Задача 9Намерете диаметъра на кръг с лице \(S = 314\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = \frac{314}{3{,}14} = 100\); \(r = 10\) см, значи \(d = 20\) см.

Задача 10Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 154\) кв. см при \(\pi \approx \frac{22}{7}\).
Отг.: \(r^2 = 154 : \frac{22}{7} = 154 \cdot \frac{7}{22} = 49\); \(r = 7\) см.

Задача 11Кръг има лице \(36\pi\) кв. дм. Намерете радиуса и диаметъра му.
Отг.: \(\pi r^2 = 36\pi\); \(r^2 = 36\); \(r = 6\) дм, значи \(d = 12\) дм.

Задача 12Намерете лицето на полукръг с радиус \(r = 10\) см.
Отг.: \(\frac{S}{2} = \frac{3{,}14 \cdot 100}{2} = 157\) кв. см.

Задача 13Намерете лицето на полукръг с диаметър \(d = 12\) см.
Отг.: \(r = 6\) см; \(\frac{S}{2} = \frac{3{,}14 \cdot 36}{2} = 56{,}52\) кв. см.

Задача 14Намерете лицето на четвърт кръг с радиус \(r = 4\) см.
Отг.: \(\frac{S}{4} = \frac{3{,}14 \cdot 16}{4} = 12{,}56\) кв. см.

Задача 15Намерете лицето на кръгов венец, заграден от окръжности с радиуси 6 см и 10 см.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 100 - 3{,}14 \cdot 36 = 314 - 113{,}04 = 200{,}96\) кв. см.

Задача 16Намерете лицето на кръгов венец, заграден от окръжности с радиуси 4 см и 5 см.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 25 - 3{,}14 \cdot 16 = 78{,}5 - 50{,}24 = 28{,}26\) кв. см.

Задача 17Как ще се измени лицето на кръг, ако: а) радиусът се увеличи 3 пъти; б) радиусът се намали 4 пъти?
Отг.: а) увеличава се \(3^2 = 9\) пъти; б) намалява се \(4^2 = 16\) пъти.

Задача 18Как ще се измени лицето на кръг, ако диаметърът се увеличи 10 пъти?
Отг.: Радиусът също се увеличава 10 пъти, значи лицето — \(10^2 = 100\) пъти.

Задача 19Колко процента е лицето на новия кръг от лицето на първоначалния, ако радиусът се увеличи 2 пъти?
Отг.: Лицето става \(2^2 = 4\) пъти по-голямо, тоест 400% от първоначалното.

Задача 20Сравнете лицето на квадрат със страна 10 см с лицето на вписан в него кръг.
Отг.: \(S_{кв} = 100\) кв. см; кръг с \(r = 5\): \(S = 78{,}5\) кв. см. Разлика \(= 21{,}5\) кв. см.

Задача 21Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 200{,}96\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = \frac{200{,}96}{3{,}14} = 64\); \(r = 8\) см.

Задача 22Пресметнете и сравнете лицата на два кръга, ако радиусът на единия е 8 см и е 4 пъти по-голям от радиуса на другия.
Отг.: Голям \(r = 8\): \(S = 200{,}96\) кв. см. Малък \(r = 2\): \(S = 12{,}56\) кв. см. Голямото лице е 16 пъти по-голямо.

Задача 23Кръгова писта е ограничена от две окръжности с общ център. Радиусите им са 40 м и 50 м. Намерете площта на пистата.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 2500 - 3{,}14 \cdot 1600 = 7850 - 5024 = 2826\) кв. м.

Задача 24Как ще се измени радиусът на кръг, ако: а) лицето му се увеличи 100 пъти; б) лицето му се намали 16 пъти?
Отг.: а) радиусът се увеличава \(\sqrt{100} = 10\) пъти; б) радиусът се намалява \(\sqrt{16} = 4\) пъти.

Задача 25Върху бял картонен квадрат със страна 4 дм е оцветен полукръг с диаметър една от страните на квадрата. Намерете лицето на неоцветената част.
Отг.: \(S_{кв} = 16\) кв. дм. Полукръг с \(r = 2\): \(\frac{3{,}14 \cdot 4}{2} = 6{,}28\) кв. дм. Неоцветено \(= 16 - 6{,}28 = 9{,}72\) кв. дм.

Задача 26Колко сантиметра е дължината на окръжност, ако заграденият от нея кръг има лице \(\pi\) кв. см?
Отг.: \(\pi r^2 = \pi\), значи \(r = 1\) см. Тогава \(C = 2\pi r = 2\pi \approx 6{,}28\) см.

Задача 27Намерете лицето на кръг, ако дължината на ограждащата го окръжност е \(12{,}56\) см.
Отг.: \(r = \frac{12{,}56}{6{,}28} = 2\) см; \(S = 3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56\) кв. см.

Задача 28Радиусът на големия кръг е диаметър на малкия. Намерете колко процента от лицето на големия кръг е лицето на малкия.
Отг.: Ако радиусът на големия кръг е \(R\), то радиусът на малкия е \(r = \frac{R}{2}\). \(\frac{S_м}{S_Г} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{(R/2)^2}{R^2} = \frac{1}{4} = 25\%\).

Задача 29Лицето на кръг е \(78{,}5\) кв. см. Намерете дължината на ограждащата го окръжност.
Отг.: \(r^2 = \frac{78{,}5}{3{,}14} = 25\); \(r = 5\) см. \(C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4\) см.

Задача 30От кръг с радиус 12 см е изрязан концентричен кръг с радиус 8 см, така че остава кръгов венец. Намерете лицето на венеца.
Отг.: \(S = 3{,}14 \cdot 144 - 3{,}14 \cdot 64 = 452{,}16 - 200{,}96 = 251{,}2\) кв. см.

---

✅ Онлайн тест

Тест: Кръг. Лице на кръг

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“. Навсякъде \(\pi \approx 3{,}14\).

1Какво е лицето на кръг с радиус \(r = 2\) см?

6,28 кв. см 12,56 кв. см 4 кв. см 3,14 кв. см

2Какво е лицето на кръг с радиус \(r = 10\) см?

62,8 кв. см 31,4 кв. см 314 кв. см 100 кв. см

3Коя е формулата за лице на кръг с радиус \(r\)?

\(S = 2\pi r\) \(S = \pi r^2\) \(S = \pi d\) \(S = \pi r\)

4Какво е лицето на кръг с диаметър \(d = 6\) см?

113,04 кв. см 18,84 кв. см 28,26 кв. см 36 кв. см

5Лицето на кръг е 28,26 кв. см. Колко е радиусът му?

9 см 4,5 см 3 см 6 см

6Лицето на кръг е 78,5 кв. см. Колко е радиусът му?

25 см 10 см 5 см 12,5 см

7Ако радиусът на кръг се увеличи 2 пъти, как ще се измени лицето му?

Увеличава се 2 пъти Увеличава се 4 пъти Увеличава се 8 пъти Не се променя

8Ако радиусът на кръг се намали 2 пъти, лицето му става колко процента от първоначалното?

50% 25% 75% 20%

9Какво е лицето на полукръг с радиус \(r = 4\) см?

50,24 кв. см 12,56 кв. см 25,12 кв. см 16 кв. см

10Какво е лицето на кръгов венец, заграден от окръжности с радиуси 3 см и 5 см?

50,24 кв. см 78,5 кв. см 28,26 кв. см 16 кв. см

11На колко е приблизително равно числото \(\pi\)?

3,41 2,14 3,14 1,34

12Какво е лицето на кръг с радиус \(r = 7\) см при \(\pi \approx \frac{22}{7}\)?

44 кв. см 154 кв. см 49 кв. см 22 кв. см

13Каква е разликата между окръжност и кръг?

Няма разлика Окръжността е по-голяма от кръга Окръжността е линия, а кръгът е фигура с вътрешност Кръгът няма радиус

14Лицето на кръг е \(25\pi\) кв. см. Колко е радиусът му?

5 см 25 см 12,5 см 10 см

15Ако диаметърът на кръг се увеличи 3 пъти, как ще се измени лицето му?

Увеличава се 3 пъти Увеличава се 6 пъти Увеличава се 9 пъти Не се променя

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

⭕

Окръжност. Дължина на окръжност

Урок за 6. клас — радиус, диаметър, хорда, дъга и формулите C = 2πr и C = πd. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.

Към урока →

📐

Декартова координатна система — 6. клас

Координати на точка, квадранти, симетрии, дължина и среда на отсечка, периметри и лица на фигури. Теория, 25 разработени задачи и онлайн тест.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆