Многоъгълник. Правилен многоъгълник. Лице на многоъгълник
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Многоъгълник. Правилен многоъгълник
Многоъгълник. Правилен многоъгълник.
Лице на многоъгълник
Многоъгълник и неговите елементи, правилен многоъгълник, апотема, сбор на вътрешните ъгли и брой на диагоналите, формулите за обиколка \(P = nb\) и лице \(S = \dfrac{Pa}{2}\) — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок разглеждаме многоъгълника и неговите елементи — страни, върхове, ъгли, диагонали, обиколка и лице. Ще се запознаем с правилния многоъгълник и неговата апотема, ще научим формулите за обиколка \(P = nb\) и лице \(S = \dfrac{Pa}{2} = \dfrac{nba}{2}\), а също сбора на вътрешните ъгли \((n-2)\cdot 180^\circ\) и броя на диагоналите \(\dfrac{n(n-3)}{2}\). Към повечето задачи има чертеж или таблица. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
🔷 Многоъгълник и неговите елементи
Многоъгълник наричаме фигурата, която се състои от затворена начупена линия и частта от равнината, която тя огражда. Името на многоъгълника се определя от броя на ъглите (върховете) му: триъгълник (3), четириъгълник (4), петоъгълник (5), шестоъгълник (6) и т.н.
Всеки многоъгълник има:
- страни — отсечките на начупената линия;
- върхове — краищата на страните;
- ъгли — при върховете;
- диагонали — отсечки, свързващи два несъседни върха;
- обиколка (периметър) \(P\) — сборът от дължините на страните;
- лице \(S\) — площта, която заема.
Диагоналите от един връх разделят многоъгълника на триъгълници.
Лице на многоъгълник. Лицето се намира, като многоъгълникът се раздели по подходящ начин на познати фигури (триъгълници, успоредници, трапеци) и се пресметне сборът от техните лица: \(S = S_1 + S_2 + S_3 + \dots\)
⬡ Правилен многоъгълник. Апотема
Правилен многоъгълник наричаме многоъгълника, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни. Върховете на всеки правилен многоъгълник лежат на една окръжност, а нейният център се нарича център на правилния многоъгълник.
Апотема \(a\) на правилния многоъгълник е перпендикулярът, спуснат от центъра \(O\) към една от страните му. Апотемата е перпендикулярна на съответната страна и е равна на разстоянието от центъра до всяка от страните.
\(r\) — радиус на описаната окръжност; \(a\) — апотема; \(b\) — страна.
📐 Обиколка, лице, ъгли и диагонали
Обиколка и лице на правилен \(n\)-ъгълник. Ако означим страната с \(b\) и апотемата с \(a\), то:
\[P = n\cdot b, \qquad S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{n\cdot b\cdot a}{2}.\]
Лицето следва от това, че правилният \(n\)-ъгълник се разделя на \(n\) еднакви триъгълника с общ връх в центъра \(O\), всеки с лице \(\dfrac{b\cdot a}{2}\).
Сбор на вътрешните ъгли. За произволен изпъкнал \(n\)-ъгълник сборът на вътрешните ъгли е:
\[S_{\text{ъгли}} = (n-2)\cdot 180^\circ.\]
Брой на диагоналите. Броят на диагоналите на \(n\)-ъгълник е:
\[D = \dfrac{n(n-3)}{2}.\]
| Фигура | Брой страни \(n\) | Обиколка \(P\) | Лице \(S\) |
|---|---|---|---|
| Равностранен триъгълник | 3 | \(3b\) | \(\dfrac{b\cdot h}{2}\) |
| Квадрат | 4 | \(4b\) | \(b^2\) |
| Правилен петоъгълник | 5 | \(5b\) | \(\dfrac{5ba}{2}\) |
| Правилен шестоъгълник | 6 | \(6b\) | \(\dfrac{6ba}{2}\) |
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение. Към повечето задачи има чертеж или таблица.
1
Назовете елементите на петоъгълника \(ABCDE\): върхове, страни и диагонали от върха \(A\).
▼
РешениеВърхове: \(A, B, C, D, E\) (5 на брой).
Страни: \(AB, BC, CD, DE, EA\) (5 на брой).
Диагонали от върха \(A\): \(AC\) и \(AD\) (свързват \(A\) с несъседните върхове \(C\) и \(D\)). Те разделят петоъгълника на 3 триъгълника.
Страни: \(AB, BC, CD, DE, EA\) (5 на брой).
Диагонали от върха \(A\): \(AC\) и \(AD\) (свързват \(A\) с несъседните върхове \(C\) и \(D\)). Те разделят петоъгълника на 3 триъгълника.
2
Кои от фигурите са правилни многоъгълници и кои не са?
▼
РешениеПравилен е този многоъгълник, на който всички страни и всички ъгли са равни.
Правилни: равностранният триъгълник, квадратът (правилен четириъгълник) и правилният петоъгълник.
Не е правилен: правоъгълникът, защото ъглите му са равни, но страните му не са равни.
Правилни: равностранният триъгълник, квадратът (правилен четириъгълник) и правилният петоъгълник.
Не е правилен: правоъгълникът, защото ъглите му са равни, но страните му не са равни.
3
Намерете обиколката на правилен \(n\)-ъгълник със страна \(b = 2\frac{2}{3}\) см, ако: а) \(n = 5\); б) \(n = 6\).
▼
РешениеЗа правилен многоъгълник \(P = n\cdot b\). Тук \(b = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) см.
а) \(P = 5\cdot \frac{8}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}\) см.
б) \(P = 6\cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{3} = 16\) см.
а) \(P = 5\cdot \frac{8}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}\) см.
б) \(P = 6\cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{3} = 16\) см.
4
Намерете страната на правилен единадесетоъгълник с обиколка 22 см.
| Брой страни \(n\) | Обиколка \(P\) | Страна \(b\) |
|---|---|---|
| 11 | 22 см | ? |
▼
РешениеОт \(P = n\cdot b\) намираме \(b = \dfrac{P}{n}\):
\[b = \dfrac{22}{11} = 2 \text{ см}.\]
\[b = \dfrac{22}{11} = 2 \text{ см}.\]
5
Намерете броя \(n\) на страните на правилен многоъгълник, ако обиколката му е 15,4 см, а страната — 2,2 см.
| Обиколка \(P\) | Страна \(b\) | Брой страни \(n\) |
|---|---|---|
| 15,4 см | 2,2 см | ? |
▼
РешениеОт \(P = n\cdot b\) следва \(n = \dfrac{P}{b}\):
\[n = \dfrac{15{,}4}{2{,}2} = 7.\]
Многоъгълникът е правилен седмоъгълник.
\[n = \dfrac{15{,}4}{2{,}2} = 7.\]
Многоъгълникът е правилен седмоъгълник.
6
Намерете сбора на вътрешните ъгли на: а) квадрат; б) правилен петоъгълник; в) правилен шестоъгълник.
▼
РешениеСборът на вътрешните ъгли на \(n\)-ъгълник е \((n-2)\cdot 180^\circ\).
а) Квадрат (\(n = 4\)): \((4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ\).
б) Петоъгълник (\(n = 5\)): \((5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\).
в) Шестоъгълник (\(n = 6\)): \((6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ\).
а) Квадрат (\(n = 4\)): \((4-2)\cdot 180^\circ = 360^\circ\).
б) Петоъгълник (\(n = 5\)): \((5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\).
в) Шестоъгълник (\(n = 6\)): \((6-2)\cdot 180^\circ = 720^\circ\).
7
Намерете \(n\), ако правилен \(n\)-ъгълник има сбор на ъглите \(1080^\circ\).
| Сбор на ъглите | Формула | \(n\) |
|---|---|---|
| \(1080^\circ\) | \((n-2)\cdot 180^\circ\) | ? |
▼
РешениеОт \((n-2)\cdot 180^\circ = 1080^\circ\):
\(n - 2 = \dfrac{1080}{180} = 6\), откъдето \(n = 8\). Това е правилен осмоъгълник.
\(n - 2 = \dfrac{1080}{180} = 6\), откъдето \(n = 8\). Това е правилен осмоъгълник.
8
Намерете броя на диагоналите на: а) петоъгълник; б) шестоъгълник; в) десетоъгълник.
▼
РешениеБроят на диагоналите на \(n\)-ъгълник е \(D = \dfrac{n(n-3)}{2}\).
а) Петоъгълник: \(D = \dfrac{5\cdot 2}{2} = 5\).
б) Шестоъгълник: \(D = \dfrac{6\cdot 3}{2} = 9\).
в) Десетоъгълник: \(D = \dfrac{10\cdot 7}{2} = 35\).
а) Петоъгълник: \(D = \dfrac{5\cdot 2}{2} = 5\).
б) Шестоъгълник: \(D = \dfrac{6\cdot 3}{2} = 9\).
в) Десетоъгълник: \(D = \dfrac{10\cdot 7}{2} = 35\).
9
Намерете \(n\), ако \(n\)-ъгълник има 14 диагонала.
| Брой диагонали \(D\) | Формула | \(n\) |
|---|---|---|
| 14 | \(\dfrac{n(n-3)}{2}\) | ? |
▼
РешениеОт \(\dfrac{n(n-3)}{2} = 14\) следва \(n(n-3) = 28\). Търсим две числа, които се различават с 3 и имат произведение 28: това са 7 и 4, защото \(7\cdot 4 = 28\).
Значи \(n = 7\) (седмоъгълник).
Значи \(n = 7\) (седмоъгълник).
10
Намерете лицето и обиколката на правилен петоъгълник със страна \(b = 8\) см и апотема \(a = 5{,}5\) см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 5\cdot b = 5\cdot 8 = 40\) см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{40\cdot 5{,}5}{2} = \dfrac{220}{2} = 110\) кв. см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{40\cdot 5{,}5}{2} = \dfrac{220}{2} = 110\) кв. см.
11
Намерете лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 3\) дм и апотема \(a = 2{,}6\) дм.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 6\cdot 3 = 18\) дм.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{18\cdot 2{,}6}{2} = \dfrac{46{,}8}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{18\cdot 2{,}6}{2} = \dfrac{46{,}8}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
12
Намерете лицето на правилен осмоъгълник със страна \(b = 7\) см и апотема \(a = 8{,}4\) см.
▼
РешениеОбиколка: \(P = 8\cdot 7 = 56\) см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{56\cdot 8{,}4}{2} = \dfrac{470{,}4}{2} = 235{,}2\) кв. см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{56\cdot 8{,}4}{2} = \dfrac{470{,}4}{2} = 235{,}2\) кв. см.
13
Пресметнете лицето на трапец с основи 10 см и 8 см и височина 7 см.
▼
РешениеЛицето на трапец е полусборът на основите, умножен по височината:
\[S = \dfrac{(10 + 8)\cdot 7}{2} = \dfrac{18\cdot 7}{2} = \dfrac{126}{2} = 63 \text{ кв. см}.\]
\[S = \dfrac{(10 + 8)\cdot 7}{2} = \dfrac{18\cdot 7}{2} = \dfrac{126}{2} = 63 \text{ кв. см}.\]
14
Намерете обиколката на правилен шестоъгълник, ако страната му е \(b = 3{,}5\) см. После намерете страната на правилен шестоъгълник с обиколка 13,8 см.
| Страна \(b\) | Обиколка \(P = 6b\) | |
|---|---|---|
| а) | 3,5 см | ? |
| б) | ? | 13,8 см |
▼
РешениеЗа шестоъгълник \(P = 6b\).
а) \(P = 6\cdot 3{,}5 = 21\) см.
б) \(b = \dfrac{P}{6} = \dfrac{13{,}8}{6} = 2{,}3\) см.
а) \(P = 6\cdot 3{,}5 = 21\) см.
б) \(b = \dfrac{P}{6} = \dfrac{13{,}8}{6} = 2{,}3\) см.
15
Намерете лицето на квадрат със страна \(b = 1{,}4\) см и лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 3\) дм и апотема \(a = 2{,}6\) дм.
▼
РешениеКвадрат: \(S = b^2 = 1{,}4^2 = 1{,}96\) кв. см.
Шестоъгълник: \(P = 6\cdot 3 = 18\) дм; \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{18\cdot 2{,}6}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
Шестоъгълник: \(P = 6\cdot 3 = 18\) дм; \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{18\cdot 2{,}6}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
16
Намерете \(n\), ако правилен \(n\)-ъгълник има страна 6 см, апотема 3 см и лице 36 кв. см.
| Страна \(b\) | Апотема \(a\) | Лице \(S\) | \(n\) |
|---|---|---|---|
| 6 см | 3 см | 36 кв. см | ? |
▼
РешениеОт \(S = \dfrac{n\cdot b\cdot a}{2}\) намираме \(n = \dfrac{2S}{b\cdot a}\):
\[n = \dfrac{2\cdot 36}{6\cdot 3} = \dfrac{72}{18} = 4.\]
Многоъгълникът е правилен четириъгълник (квадрат).
\[n = \dfrac{2\cdot 36}{6\cdot 3} = \dfrac{72}{18} = 4.\]
Многоъгълникът е правилен четириъгълник (квадрат).
17
Сравнете страните на правилен петоъгълник и правилен осмоъгълник, ако обиколките им са съответно 30 дм и 480 см.
| Фигура | Обиколка | Страна |
|---|---|---|
| Петоъгълник | 30 дм = 300 см | ? |
| Осмоъгълник | 480 см | ? |
▼
РешениеПривеждаме към еднакви единици: 30 дм = 300 см.
Петоъгълник: \(b_5 = \dfrac{300}{5} = 60\) см.
Осмоъгълник: \(b_8 = \dfrac{480}{8} = 60\) см.
Страните са равни — и двете са по 60 см.
Петоъгълник: \(b_5 = \dfrac{300}{5} = 60\) см.
Осмоъгълник: \(b_8 = \dfrac{480}{8} = 60\) см.
Страните са равни — и двете са по 60 см.
18
Центърът \(O\) на правилен шестоъгълник \(ABCDEF\) с обиколка 72 см се намира на разстояние 4 см от всяка от страните. Намерете лицето на шестоъгълника.
▼
РешениеРазстоянието от центъра до всяка страна е апотемата: \(a = 4\) см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{72\cdot 4}{2} = \dfrac{288}{2} = 144\) кв. см.
Лице: \(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{72\cdot 4}{2} = \dfrac{288}{2} = 144\) кв. см.
19
Намерете \(n\), ако правилен \(n\)-ъгълник има страна 2,4 см и обиколка 7,2 см.
▼
РешениеОт \(P = n\cdot b\): \(n = \dfrac{P}{b} = \dfrac{7{,}2}{2{,}4} = 3\). Това е равностранен триъгълник.
20
Намерете лицето на правилен петоъгълник с обиколка 30 см и апотема 4 см.
▼
Решение\(S = \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{30\cdot 4}{2} = \dfrac{120}{2} = 60\) кв. см.
21
Намерете колко квадратни метра ще покрият 1000 плочки с формата на правилен шестоъгълник със страна \(b = 8\) см и апотема \(a = 69\) мм. ⭐ Трудна
▼
РешениеПривеждаме към еднакви единици: \(b = 8\) см \(= 0{,}08\) м и \(a = 69\) мм \(= 0{,}069\) м.
Лице на една плочка:
\[S = \dfrac{6\cdot b\cdot a}{2} = 3ba = 3\cdot 0{,}08\cdot 0{,}069 = 0{,}01656 \text{ кв. м}.\]
Тогава 1000 плочки покриват:
\[1000\cdot 0{,}01656 = 16{,}56 \text{ кв. м}.\]
Лице на една плочка:
\[S = \dfrac{6\cdot b\cdot a}{2} = 3ba = 3\cdot 0{,}08\cdot 0{,}069 = 0{,}01656 \text{ кв. м}.\]
Тогава 1000 плочки покриват:
\[1000\cdot 0{,}01656 = 16{,}56 \text{ кв. м}.\]
22
Дъното на басейн е правилен шестоъгълник със страна \(b = 3\) м и апотема \(a = 26\) дм. Колко квадратни плочки със страна 15 см са необходими за покриване на дъното, ако при това се губят 20% от плочките? ⭐ Трудна
▼
РешениеПривеждаме всичко в сантиметри: \(b = 3\) м \(= 300\) см, \(a = 26\) дм \(= 260\) см.
Лице на дъното:
\(S = \dfrac{6\cdot 300\cdot 260}{2} = 234\,000\) кв. см.
Лице на една плочка: \(15\cdot 15 = 225\) кв. см.
Брой плочки само за площта: \(234\,000 : 225 = 1040\) бр.
Тъй като се губят 20%, в употреба остават 80% от купените. Значи нужният брой е:
\[1040 : 0{,}8 = 1300 \text{ плочки}.\]
Лице на дъното:
\(S = \dfrac{6\cdot 300\cdot 260}{2} = 234\,000\) кв. см.
Лице на една плочка: \(15\cdot 15 = 225\) кв. см.
Брой плочки само за площта: \(234\,000 : 225 = 1040\) бр.
Тъй като се губят 20%, в употреба остават 80% от купените. Значи нужният брой е:
\[1040 : 0{,}8 = 1300 \text{ плочки}.\]
23
От произволна точка \(M\) във вътрешността на правилен шестоъгълник са построени перпендикулярите към всяка от страните. Докажете, че сборът на дължините им не зависи от избора на точката \(M\), и го намерете, ако апотемата на шестоъгълника е 4 см. ⭐ Трудна
▼
РешениеСвързваме \(M\) с върховете. Шестоъгълникът се разделя на 6 триъгълника, всеки с основа страна \(b\) и височина — съответния перпендикуляр \(d_i\). Лицето на шестоъгълника е:
\(S = \dfrac{b\cdot d_1}{2} + \dfrac{b\cdot d_2}{2} + \dots + \dfrac{b\cdot d_6}{2} = \dfrac{b}{2}(d_1 + d_2 + \dots + d_6).\)
Оттук \(d_1 + \dots + d_6 = \dfrac{2S}{b}\). Тъй като \(S\) и \(b\) са постоянни, сборът не зависи от \(M\).
Понеже \(S = \dfrac{6ba}{2} = 3ba\) (тук \(a\) е апотемата), получаваме \(\dfrac{2S}{b} = 6a = 6\cdot 4 = 24\) см.
\(S = \dfrac{b\cdot d_1}{2} + \dfrac{b\cdot d_2}{2} + \dots + \dfrac{b\cdot d_6}{2} = \dfrac{b}{2}(d_1 + d_2 + \dots + d_6).\)
Оттук \(d_1 + \dots + d_6 = \dfrac{2S}{b}\). Тъй като \(S\) и \(b\) са постоянни, сборът не зависи от \(M\).
Понеже \(S = \dfrac{6ba}{2} = 3ba\) (тук \(a\) е апотемата), получаваме \(\dfrac{2S}{b} = 6a = 6\cdot 4 = 24\) см.
24
От метална правоъгълна отливка с размери 2 м и 1,2 м се изрязват еднакви детайли с форма на правилен шестоъгълник със страна \(b = 4{,}6\) см и апотема \(a = 4\) см. Колко детайла могат да се изготвят, ако при изработването им се губят 0,08 от материала? ⭐ Трудна
▼
РешениеЛице на отливката: \(2\) м \(= 200\) см, \(1{,}2\) м \(= 120\) см, значи \(S = 200\cdot 120 = 24\,000\) кв. см.
При загуба 0,08 (8%) полезният материал е \(0{,}92\) от отливката:
\(24\,000\cdot 0{,}92 = 22\,080\) кв. см.
Лице на един детайл (страна \(b = 4{,}6\), апотема \(a = 4\)): \(S = \dfrac{6\cdot b\cdot a}{2} = \dfrac{6\cdot 4{,}6\cdot 4}{2} = 55{,}2\) кв. см.
Брой детайли: \(22\,080 : 55{,}2 = 400\) детайла.
При загуба 0,08 (8%) полезният материал е \(0{,}92\) от отливката:
\(24\,000\cdot 0{,}92 = 22\,080\) кв. см.
Лице на един детайл (страна \(b = 4{,}6\), апотема \(a = 4\)): \(S = \dfrac{6\cdot b\cdot a}{2} = \dfrac{6\cdot 4{,}6\cdot 4}{2} = 55{,}2\) кв. см.
Брой детайли: \(22\,080 : 55{,}2 = 400\) детайла.
25
Построени са диагоналите на правилен петоъгълник със страна \(b = 14\) мм и апотема \(a = 10\) мм. Получава се петолъчна звезда, чиито 10 равни страни са с дължина 9 мм. Намерете обиколката и лицето на звездата (тя се получава от петоъгълника, като се махнат петте външни триъгълничета с основа 14 мм и височина 5 мм). ⭐ Трудна
▼
РешениеОбиколка. Звездата има 10 равни страни по 9 мм:
\(P = 10\cdot 9 = 90\) мм.
Лице. Намираме го, като от лицето на петоъгълника извадим лицата на петте външни равнобедрени триъгълничета.
Лице на петоъгълника: \(S_5 = \dfrac{5\cdot b\cdot a}{2} = \dfrac{5\cdot 14\cdot 10}{2} = 350\) кв. мм.
Едно триъгълниче (основа 14 мм, височина 5 мм): \(\dfrac{14\cdot 5}{2} = 35\) кв. мм; петте заедно: \(5\cdot 35 = 175\) кв. мм.
Лице на звездата:
\[S = 350 - 175 = 175 \text{ кв. мм}.\]
\(P = 10\cdot 9 = 90\) мм.
Лице. Намираме го, като от лицето на петоъгълника извадим лицата на петте външни равнобедрени триъгълничета.
Лице на петоъгълника: \(S_5 = \dfrac{5\cdot b\cdot a}{2} = \dfrac{5\cdot 14\cdot 10}{2} = 350\) кв. мм.
Едно триъгълниче (основа 14 мм, височина 5 мм): \(\dfrac{14\cdot 5}{2} = 35\) кв. мм; петте заедно: \(5\cdot 35 = 175\) кв. мм.
Лице на звездата:
\[S = 350 - 175 = 175 \text{ кв. мм}.\]
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си. Към задачите има таблици и чертежи.
Задача 1Намерете обиколката на правилен четириъгълник със страна \(\frac{2}{5}\) м.
Отг.: \(P = 4\cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6\) м.
Отг.: \(P = 4\cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6\) м.
Задача 2Намерете обиколката на правилен петоъгълник със страна 2 см.
Отг.: \(P = 5\cdot 2 = 10\) см.
Отг.: \(P = 5\cdot 2 = 10\) см.
Задача 3Намерете обиколката на правилен седмоъгълник със страна 3,4 дм.
Отг.: \(P = 7\cdot 3{,}4 = 23{,}8\) дм.
Отг.: \(P = 7\cdot 3{,}4 = 23{,}8\) дм.
Задача 4Намерете обиколката на правилен десетоъгълник със страна \(3\frac{1}{5}\) см.
Отг.: \(3\frac{1}{5} = 3{,}2\); \(P = 10\cdot 3{,}2 = 32\) см.
Отг.: \(3\frac{1}{5} = 3{,}2\); \(P = 10\cdot 3{,}2 = 32\) см.
Задача 5Намерете страната на равностранен триъгълник с обиколка 12 см.
Отг.: \(b = \frac{12}{3} = 4\) см.
Отг.: \(b = \frac{12}{3} = 4\) см.
Задача 6Намерете страната на правилен петоъгълник с обиколка 15,3 дм.
Отг.: \(b = \frac{15{,}3}{5} = 3{,}06\) дм.
Отг.: \(b = \frac{15{,}3}{5} = 3{,}06\) дм.
Задача 7Намерете страната на правилен дванадесетоъгълник с обиколка 2 м 4 см (= 204 см).
Отг.: \(b = \frac{204}{12} = 17\) см.
Отг.: \(b = \frac{204}{12} = 17\) см.
Задача 8Намерете лицето на квадрат със страна 1,4 см.
Отг.: \(S = 1{,}4^2 = 1{,}96\) кв. см.
Отг.: \(S = 1{,}4^2 = 1{,}96\) кв. см.
Задача 9Намерете лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 3\) дм и апотема \(a = 2{,}6\) дм.
Отг.: \(P = 6\cdot 3 = 18\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{18\cdot 2{,}6}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
Отг.: \(P = 6\cdot 3 = 18\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{18\cdot 2{,}6}{2} = 23{,}4\) кв. дм.
Задача 10Намерете лицето на правилен деветоъгълник със страна \(b = 5\) см и апотема \(a = 6{,}9\) см.
Отг.: \(P = 9\cdot 5 = 45\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{45\cdot 6{,}9}{2} = 155{,}25\) кв. см.
Отг.: \(P = 9\cdot 5 = 45\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{45\cdot 6{,}9}{2} = 155{,}25\) кв. см.
Задача 11Намерете лицето на правилен десетоъгълник със страна \(b = 6\) см и апотема \(a = 9{,}2\) см.
Отг.: \(P = 10\cdot 6 = 60\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{60\cdot 9{,}2}{2} = 276\) кв. см.
Отг.: \(P = 10\cdot 6 = 60\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{60\cdot 9{,}2}{2} = 276\) кв. см.
Задача 12Намерете \(n\), ако правилен многоъгълник има обиколка 15,4 см и страна 2,2 см.
Отг.: \(n = \frac{15{,}4}{2{,}2} = 7\).
Отг.: \(n = \frac{15{,}4}{2{,}2} = 7\).
Задача 13Намерете \(n\), ако правилен многоъгълник има обиколка 8 см, а страната е 20% от нея.
Отг.: \(b = 0{,}2\cdot 8 = 1{,}6\) см; \(n = \frac{8}{1{,}6} = 5\).
Отг.: \(b = 0{,}2\cdot 8 = 1{,}6\) см; \(n = \frac{8}{1{,}6} = 5\).
Задача 14Намерете \(n\), ако лицето е 261 кв. см, страната 10 см, а апотемата 8,7 см.
Отг.: \(n = \frac{2S}{b\cdot a} = \frac{2\cdot 261}{10\cdot 8{,}7} = 6\).
Отг.: \(n = \frac{2S}{b\cdot a} = \frac{2\cdot 261}{10\cdot 8{,}7} = 6\).
Задача 15Намерете \(n\), ако лицето е 28 кв. см, страната \(b = 4\) см, а апотемата \(a\) е \(\frac{7}{10}\) от страната.
Отг.: \(a = 0{,}7\cdot 4 = 2{,}8\); \(n = \frac{2S}{b\cdot a} = \frac{2\cdot 28}{4\cdot 2{,}8} = 5\).
Отг.: \(a = 0{,}7\cdot 4 = 2{,}8\); \(n = \frac{2S}{b\cdot a} = \frac{2\cdot 28}{4\cdot 2{,}8} = 5\).
Задача 16Намерете сбора на вътрешните ъгли на правилен седмоъгълник.
Отг.: \((7-2)\cdot 180^\circ = 900^\circ\).
Отг.: \((7-2)\cdot 180^\circ = 900^\circ\).
Задача 17Намерете \(n\), ако сборът на ъглите е \(1260^\circ\).
Отг.: \(n - 2 = \frac{1260}{180} = 7\); \(n = 9\).
Отг.: \(n - 2 = \frac{1260}{180} = 7\); \(n = 9\).
Задача 18Намерете броя на диагоналите на осмоъгълник.
Отг.: \(D = \frac{8\cdot 5}{2} = 20\).
Отг.: \(D = \frac{8\cdot 5}{2} = 20\).
Задача 19Намерете \(n\), ако \(n\)-ъгълник има 27 диагонала.
Отг.: \(n(n-3) = 54 = 9\cdot 6\); \(n = 9\).
Отг.: \(n(n-3) = 54 = 9\cdot 6\); \(n = 9\).
Задача 20Намерете \(n\), ако \(n\)-ъгълник има 54 диагонала.
Отг.: \(n(n-3) = 108 = 12\cdot 9\); \(n = 12\).
Отг.: \(n(n-3) = 108 = 12\cdot 9\); \(n = 12\).
Задача 21Намерете страната и обиколката на равностранен триъгълник с лице 6,92 кв. см и височина 3,46 см.
Отг.: \(b = \frac{2\cdot 6{,}92}{3{,}46} = 4\) см; \(P = 3\cdot 4 = 12\) см.
Отг.: \(b = \frac{2\cdot 6{,}92}{3{,}46} = 4\) см; \(P = 3\cdot 4 = 12\) см.
Задача 22Намерете страната и обиколката на правилен петоъгълник с лице 690 кв. см и апотема 13,8 см.
Отг.: \(b = \frac{2S}{n\cdot a} = \frac{2\cdot 690}{5\cdot 13{,}8} = 20\) см; \(P = 5\cdot 20 = 100\) см.
Отг.: \(b = \frac{2S}{n\cdot a} = \frac{2\cdot 690}{5\cdot 13{,}8} = 20\) см; \(P = 5\cdot 20 = 100\) см.
Задача 23Намерете страната и обиколката на правилен осмоъгълник с лице 484 кв. см и апотема 12,1 см.
Отг.: \(b = \frac{2S}{n\cdot a} = \frac{2\cdot 484}{8\cdot 12{,}1} = 10\) см; \(P = 8\cdot 10 = 80\) см.
Отг.: \(b = \frac{2S}{n\cdot a} = \frac{2\cdot 484}{8\cdot 12{,}1} = 10\) см; \(P = 8\cdot 10 = 80\) см.
Задача 24Намерете апотемата на правилен шестоъгълник с лице 1044 кв. см и страна 20 см.
Отг.: \(a = \frac{2S}{n\cdot b} = \frac{2\cdot 1044}{6\cdot 20} = 17{,}4\) см.
Отг.: \(a = \frac{2S}{n\cdot b} = \frac{2\cdot 1044}{6\cdot 20} = 17{,}4\) см.
Задача 25Намерете апотемата на правилен десетоъгълник със страна 1,8 см и лице 25,2 кв. см.
Отг.: \(a = \frac{2S}{n\cdot b} = \frac{2\cdot 25{,}2}{10\cdot 1{,}8} = 2{,}8\) см.
Отг.: \(a = \frac{2S}{n\cdot b} = \frac{2\cdot 25{,}2}{10\cdot 1{,}8} = 2{,}8\) см.
Задача 26Обиколката на правилен четириъгълник (квадрат) е 6 см. Намерете лицето му.
Отг.: \(b = \frac{6}{4} = 1{,}5\) см; \(S = 1{,}5^2 = 2{,}25\) кв. см.
Отг.: \(b = \frac{6}{4} = 1{,}5\) см; \(S = 1{,}5^2 = 2{,}25\) кв. см.
Задача 27Сравнете страните на правилен седмоъгълник и правилен десетоъгълник, ако обиколките им са 28 дм и 405 см.
Отг.: 28 дм = 280 см; \(b_7 = \frac{280}{7} = 40\) см, \(b_{10} = \frac{405}{10} = 40{,}5\) см. Страната на десетоъгълника е по-голяма.
Отг.: 28 дм = 280 см; \(b_7 = \frac{280}{7} = 40\) см, \(b_{10} = \frac{405}{10} = 40{,}5\) см. Страната на десетоъгълника е по-голяма.
Задача 28Намерете лицето на правилен петоъгълник със страна \(b = 8\) см и апотема \(a = 5{,}5\) см.
Отг.: \(P = 5\cdot 8 = 40\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{40\cdot 5{,}5}{2} = 110\) кв. см.
Отг.: \(P = 5\cdot 8 = 40\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{40\cdot 5{,}5}{2} = 110\) кв. см.
Задача 29Намерете лицето на правилен осмоъгълник със страна \(b = 7\) см и апотема \(a = 8{,}4\) см.
Отг.: \(P = 8\cdot 7 = 56\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{56\cdot 8{,}4}{2} = 235{,}2\) кв. см.
Отг.: \(P = 8\cdot 7 = 56\); \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{56\cdot 8{,}4}{2} = 235{,}2\) кв. см.
Задача 30Попълнете таблицата за правилен многоъгълник (\(n\) — брой страни, \(b\) — страна, \(a\) — апотема, \(P\) — обиколка, \(S\) — лице).
Отг.: Ред 1: \(P = 6\cdot 40 = 240\) см; \(S = \frac{P\cdot a}{2} = \frac{240\cdot 34{,}6}{2} = 4152\) кв. см. Ред 2: от \(S = \frac{5\cdot b\cdot 5{,}5}{2} = 110\) следва \(b = \frac{2\cdot 110}{5\cdot 5{,}5} = 8\) см; \(P = 5\cdot 8 = 40\) см.
| \(n\) | \(b\) | \(a\) | \(P\) | \(S\) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 40 см | 34,6 см | ? | ? |
| 5 | ? | 5,5 см | ? | 110 кв. см |
✅ Онлайн тест
Тест: Многоъгълник. Правилен многоъгълник. Лице
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Кой многоъгълник се нарича правилен?
2Каква е обиколката на правилен петоъгълник със страна 4 см?
3Колко е сборът на вътрешните ъгли на квадрат?
4Колко е сборът на вътрешните ъгли на шестоъгълник?
5Правилен \(n\)-ъгълник има сбор на ъглите \(1080^\circ\). Колко е \(n\)?
6Колко диагонала има петоъгълникът?
7Какво е лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 5\) см и апотема \(a = 4\) см?
8Какво е апотемата на правилен многоъгълник?
9Правилен шестоъгълник има обиколка 24 см. Колко е страната му?
10Какво е лицето на правилен петоъгълник със страна \(b = 6\) см и апотема \(a = 4\) см?
11Какво е диагонал на многоъгълник?
12Колко страни има многоъгълник с 14 диагонала?
13Каква е обиколката на правилен осмоъгълник със страна 3 см?
14Коя формула дава лицето на правилен \(n\)-ъгълник със страна \(b\) и апотема \(a\)?
15Колко е сборът на вътрешните ъгли на седмоъгълник?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
⚫
Кръг. Лице на кръг
Урок за 6. клас — кръг, полукръг, кръгов венец и формулата S = πr². Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
⭕
Окръжност. Дължина на окръжност
Урок за 6. клас — радиус, диаметър, хорда, дъга и формулите C = 2πr и C = πd. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📐
Декартова координатна система — 6. клас
Координати на точка, квадранти, симетрии, дължина и среда на отсечка, периметри и лица на фигури. Теория, 25 разработени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар