Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
Елементи и видове пирамиди, правилна пирамида и апотема, развивка и формулите за лице на околната повърхнина \(S = \dfrac{Pk}{2}\) и за лице на повърхнината \(S_1 = S + B\) — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок ще разгледаме пирамидата и нейните основни елементи. Ще се научим да разпознаваме различните видове пирамиди, да чертаем техните развивки и да намираме лицето на околната и на цялата повърхнина. Особено внимание ще отделим на правилната пирамида и на нейната апотема. След кратката теория ще решим задачи с различна трудност. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
🔷 Какво е пирамида
Пирамида наричаме геометрично тяло, което има една основа — многоъгълник, а останалите му стени са триъгълници с общ връх.
Триъгълните стени с общ връх се наричат околни стени, а общият им връх — връх на пирамидата. Многоъгълникът се нарича основа на пирамидата, а страните му — основни ръбове. Ръбовете, които свързват върха на пирамидата с върховете на основата, се наричат нейни околни ръбове.
В зависимост от това какъв многоъгълник е основата, пирамидите биват триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и т.н. Една \(n\)-ъгълна пирамида има \(n\) основни ръба, \(n\) околни ръба и \(n\) околни стени. Следователно общият брой на ръбовете е \(2n\), общият брой на стените е \(n+1\), а върховете са \(n+1\).
📐 Правилна пирамида. Апотема
Правилна пирамида наричаме пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а всички околни ръбове са равни.
Всяка околна стена на правилната пирамида е равнобедрен триъгълник. Височината на този триъгълник, спусната от върха на пирамидата към средата на съответния основен ръб, се нарича апотема на правилната пирамида и се означава с \(k\).
Перпендикулярът, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височина на пирамидата и се означава с \(h\). При правилната пирамида петата на този перпендикуляр е центърът \(O\) на основата.
Перпендикулярът, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата, се нарича височина на пирамидата и се означава с \(h\). При правилната пирамида петата на този перпендикуляр е центърът \(O\) на основата.
✂️ Развивка на пирамида
Ако разрежем пирамидата по подходящи ръбове и разгънем стените ѝ върху равнина, получаваме нейната развивка. Развивката на правилна пирамида се състои от основата (правилен многоъгълник) и околните стени (еднакви равнобедрени триъгълници).
Примерна развивка на правилна четириъгълна пирамида.
📏 Лице на повърхнина
Сборът от лицата на околните стени се нарича лице на околната повърхнина и се бележи с \(S\). За правилна \(n\)-ъгълна пирамида с основен ръб \(b\) и апотема \(k\):
\[\boxed{\;S = n\cdot\dfrac{b\cdot k}{2} = \dfrac{P\cdot k}{2}\;}\]
където \(P\) е периметърът на основата.
Сборът от лицата на околните стени и лицето на основата се нарича лице на повърхнината и се бележи с \(S_1\): \[\boxed{\;S_1 = S + B\;}\] където \(B\) е лицето на основата.
Сборът от лицата на околните стени и лицето на основата се нарича лице на повърхнината и се бележи с \(S_1\): \[\boxed{\;S_1 = S + B\;}\] където \(B\) е лицето на основата.
В този урок \(S\) означава лице на околната повърхнина на пирамидата, а \(S_1\) — лице на цялата ѝ повърхнина.
Когато основата е правилен многоъгълник, нейното лице се намира по формулата
\[B = \dfrac{P\cdot a}{2},\]
където \(P\) е периметърът, а \(a\) е апотемата на основата. Не бива да смесваме апотемата \(a\) на основата с апотемата \(k\) на пирамидата.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Колко околни и колко основни ръба има: а) петоъгълна пирамида; б) осмоъгълна пирамида; в) 20-ъгълна пирамида? Вярно ли е, че всяка \(n\)-ъгълна пирамида има \(n\) основни и \(n\) околни ръба?
▼
РешениеОсновните ръбове са страните на основата, а околните ръбове свързват върха с върховете на основата. Затова \(n\)-ъгълна пирамида има \(n\) основни и \(n\) околни ръба.
а) Петоъгълната пирамида има 5 основни и 5 околни ръба.
б) Осмоъгълната пирамида има 8 основни и 8 околни ръба.
в) Двадесетоъгълната пирамида има 20 основни и 20 околни ръба.
Да, твърдението е вярно.
а) Петоъгълната пирамида има 5 основни и 5 околни ръба.
б) Осмоъгълната пирамида има 8 основни и 8 околни ръба.
в) Двадесетоъгълната пирамида има 20 основни и 20 околни ръба.
Да, твърдението е вярно.
2
Колко най-малко може да бъде броят на стените на една пирамида?
▼
РешениеНай-малката възможна основа е триъгълник (3 страни). Тогава пирамидата има 1 основа и 3 околни стени, тоест \(1 + 3 = 4\) стени. Това е триъгълна пирамида (тетраедър).
Следователно една пирамида може да има най-малко 4 стени.
Следователно една пирамида може да има най-малко 4 стени.
3
Може ли да има пирамида, за която броят на всички нейни ръбове да е 9?
▼
РешениеЕдна \(n\)-ъгълна пирамида има \(n\) основни и \(n\) околни ръба, тоест общо \(2n\) ръба — винаги четно число. Числото 9 е нечетно, затова такава пирамида не може да съществува.
4
Определете вида на пирамидата, ако: а) има 8 околни стени; б) има общо 13 стени; в) има 7 върха; г) има 14 ръба.
▼
Решениеа) Околните стени са \(n\): \(n = 8\) — осмоъгълна.
б) Стените са \(n+1\): \(n+1 = 13\Rightarrow n = 12\) — дванадесетоъгълна.
в) Върховете са \(n+1\): \(n+1 = 7\Rightarrow n = 6\) — шестоъгълна.
г) Ръбовете са \(2n\): \(2n = 14\Rightarrow n = 7\) — седмоъгълна.
б) Стените са \(n+1\): \(n+1 = 13\Rightarrow n = 12\) — дванадесетоъгълна.
в) Върховете са \(n+1\): \(n+1 = 7\Rightarrow n = 6\) — шестоъгълна.
г) Ръбовете са \(2n\): \(2n = 14\Rightarrow n = 7\) — седмоъгълна.
5
Намерете лицето на околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида с основен ръб 4,2 см и апотема 5 см.
▼
РешениеПериметърът на основата е \(P = 3\cdot 4{,}2 = 12{,}6\) см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{12{,}6\cdot 5}{2} = 31{,}5\) кв. см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{12{,}6\cdot 5}{2} = 31{,}5\) кв. см.
6
Намерете лицето на околната повърхнина на правилна пирамида с периметър на основата 10,8 дм и апотема 16 см.
▼
РешениеПърво превръщаме дециметрите в сантиметри: \(10{,}8\) дм \(= 108\) см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{108\cdot 16}{2} = 864\) кв. см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{108\cdot 16}{2} = 864\) кв. см.
7
Намерете лицето на околната повърхнина на правилна петоъгълна пирамида с периметър на основата 260 мм и апотема, чиято дължина е два пъти дължината на основния ръб.
▼
РешениеЗаписваме всичко в сантиметри: \(260\) мм \(= 26\) см. Тъй като основата е правилен петоъгълник, един основен ръб е \(b = 26 : 5 = 5{,}2\) см, а апотемата е \(k = 2\cdot 5{,}2 = 10{,}4\) см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{26\cdot 10{,}4}{2} = 135{,}2\) кв. см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{26\cdot 10{,}4}{2} = 135{,}2\) кв. см.
8
Намерете лицето на повърхнината на пирамида с лице на основата 68,3 кв. см и лице на околната повърхнина 152,07 кв. см.
▼
Решение\(S_1 = S + B = 152{,}07 + 68{,}3 = 220{,}37\) кв. см.
9
Намерете лицето на повърхнината на правилна четириъгълна пирамида с апотема 9 см и периметър на основата 3,6 дм.
▼
РешениеПърво превръщаме дециметрите в сантиметри: \(3{,}6\) дм \(= 36\) см. Тогава един основен ръб е \(b = 36 : 4 = 9\) см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{36\cdot 9}{2} = 162\) кв. см; \(B = b^2 = 81\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 162 + 81 = 243\) кв. см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{36\cdot 9}{2} = 162\) кв. см; \(B = b^2 = 81\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 162 + 81 = 243\) кв. см.
10
Лицето на основата на една пирамида е 320 кв. см и представлява 40% от лицето на околната ѝ повърхнина. Намерете лицето на цялата повърхнина.
▼
РешениеЛицето на основата е 40% от \(S\): \(B = 0{,}4\cdot S\Rightarrow S = \dfrac{320}{0{,}4} = 800\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 800 + 320 = 1120\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 800 + 320 = 1120\) кв. см.
11
Лицето на околната повърхнина на правилна петоъгълна пирамида е 140 кв. см, а апотемата ѝ е 8 см. Намерете основния ръб на пирамидата.
▼
РешениеОт \(S = \dfrac{P\cdot k}{2}\): \(P = \dfrac{2S}{k} = \dfrac{2\cdot 140}{8} = 35\) см.
Тъй като основата е правилен петоъгълник, дължината на един основен ръб е \(b = 35 : 5 = 7\) см.
Тъй като основата е правилен петоъгълник, дължината на един основен ръб е \(b = 35 : 5 = 7\) см.
12
Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 10 см и апотема на основата приблизително 8,66 см. Намерете лицето на повърхнината, ако апотемата на основата е равна на 20% от апотемата на пирамидата.
▼
РешениеАпотемата на основата е 20% от апотемата на пирамидата, затова \(k \approx \dfrac{8{,}66}{0{,}2} = 43{,}3\) см. Периметърът на основата е \(P = 6\cdot 10 = 60\) см.
\(S \approx \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{60\cdot 43{,}3}{2} = 1299\) кв. см; \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{60\cdot 8{,}66}{2} = 259{,}8\) кв. см.
\(S_1 \approx 1299 + 259{,}8 = 1558{,}8\) кв. см.
\(S \approx \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{60\cdot 43{,}3}{2} = 1299\) кв. см; \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{60\cdot 8{,}66}{2} = 259{,}8\) кв. см.
\(S_1 \approx 1299 + 259{,}8 = 1558{,}8\) кв. см.
13
Правилна дванадесетоъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 81,6 кв. дм и апотема 68 см. Намерете: а) лицето на една околна стена; б) основния ръб на пирамидата.
▼
РешениеПърво превръщаме \(81{,}6\) кв. дм в \(8160\) кв. см.
а) Пирамидата има 12 еднакви околни стени, затова лицето на една от тях е \(8160 : 12 = 680\) кв. см.
б) Лицето на една околна стена е \(\dfrac{b\cdot 68}{2}\). Следователно \(34b = 680\), откъдето \(b = 20\) см.
а) Пирамидата има 12 еднакви околни стени, затова лицето на една от тях е \(8160 : 12 = 680\) кв. см.
б) Лицето на една околна стена е \(\dfrac{b\cdot 68}{2}\). Следователно \(34b = 680\), откъдето \(b = 20\) см.
14
Правилна триъгълна пирамида има основен ръб 5 см, височина на основата приблизително 4,3 см и апотема 8 см. Намерете: а) лицето на околната повърхнина; б) лицето на повърхнината.
▼
Решениеа) \(P = 3\cdot 5 = 15\) см; \(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{15\cdot 8}{2} = 60\) кв. см.
б) Основата е равностранен триъгълник, затова нейното лице е приблизително \(B \approx \dfrac{5\cdot 4{,}3}{2} = 10{,}75\) кв. см.
\(S_1 \approx 60 + 10{,}75 = 70{,}75\) кв. см.
б) Основата е равностранен триъгълник, затова нейното лице е приблизително \(B \approx \dfrac{5\cdot 4{,}3}{2} = 10{,}75\) кв. см.
\(S_1 \approx 60 + 10{,}75 = 70{,}75\) кв. см.
15
Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 12 мм, апотема на основата приблизително 1 см и апотема на пирамидата 2 дм. Намерете лицето на повърхнината на пирамидата.
▼
РешениеЗаписваме всички дължини в сантиметри: \(b = 12\) мм \(= 1{,}2\) см, \(k = 2\) дм \(= 20\) см, \(a \approx 1\) см. Периметърът на основата е \(P = 6\cdot 1{,}2 = 7{,}2\) см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{7{,}2\cdot 20}{2} = 72\) кв. см; \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{7{,}2\cdot 1}{2} = 3{,}6\) кв. см.
\(S_1 \approx 72 + 3{,}6 = 75{,}6\) кв. см.
\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{7{,}2\cdot 20}{2} = 72\) кв. см; \(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{7{,}2\cdot 1}{2} = 3{,}6\) кв. см.
\(S_1 \approx 72 + 3{,}6 = 75{,}6\) кв. см.
16
Правилна четириъгълна пирамида има лице на основата 36 кв. см и лице на една околна стена 42 кв. см. Намерете лицето на повърхнината на пирамидата.
▼
РешениеПирамидата има четири еднакви околни стени, затова \(S = 4\cdot 42 = 168\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 168 + 36 = 204\) кв. см.
\(S_1 = S + B = 168 + 36 = 204\) кв. см.
17
Лицето на околната повърхнина на правилна шестоъгълна пирамида е 52,5 кв. см, апотемата ѝ е 5 см, а апотемата на основата е приблизително 3 см. Намерете лицето на повърхнината на пирамидата.
▼
РешениеОт \(S = \dfrac{P\cdot k}{2}\): \(P = \dfrac{2S}{k} = \dfrac{2\cdot 52{,}5}{5} = 21\) см.
\(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{21\cdot 3}{2} = 31{,}5\) кв. см.
\(S_1 \approx S + B = 52{,}5 + 31{,}5 = 84\) кв. см.
\(B \approx \dfrac{P\cdot a}{2} = \dfrac{21\cdot 3}{2} = 31{,}5\) кв. см.
\(S_1 \approx S + B = 52{,}5 + 31{,}5 = 84\) кв. см.
18
Правилна пирамида има периметър на основата 16 см. Намерете лицето на околната повърхнина при апотема 10 см, 15 см, 20 см, 25 см и 30 см. Ако апотемата се увеличи няколко пъти, ще се увеличи ли лицето на околната повърхнина също толкова пъти?
▼
Решение\(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{16\cdot k}{2} = 8k\).
За \(k = 10, 15, 20, 25, 30\) получаваме съответно \(S = 80,\ 120,\ 160,\ 200,\ 240\) кв. см.
Да — при постоянен периметър лицето на околната повърхнина е правопропорционално на апотемата.
За \(k = 10, 15, 20, 25, 30\) получаваме съответно \(S = 80,\ 120,\ 160,\ 200,\ 240\) кв. см.
Да — при постоянен периметър лицето на околната повърхнина е правопропорционално на апотемата.
19
Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида е 40 кв. см, а периметърът на основата ѝ е \(P\) см. а) Изразете апотемата \(k\) чрез \(P\). б) Ако при постоянно лице на околната повърхнина периметърът се увеличи няколко пъти, ще намалее ли апотемата също толкова пъти?
▼
Решениеа) От \(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = 40\) следва \(k = \dfrac{80}{P}\).
б) Да — при постоянно лице на околната повърхнина апотемата е обратнопропорционална на периметъра.
б) Да — при постоянно лице на околната повърхнина апотемата е обратнопропорционална на периметъра.
20
Правилна петоъгълна пирамида и правилна седмоъгълна пирамида имат едно и също лице на околната повърхнина и равни основни ръбове. Апотемата на петоъгълната пирамида е 21 см. Намерете апотемата на седмоъгълната пирамида.
▼
РешениеЗа правилна пирамида \(S = \dfrac{n\cdot b\cdot k}{2}\). При еднакви \(S\) и \(b\): \(5\cdot 21 = 7\cdot k_7\), откъдето \(k_7 = \dfrac{105}{7} = 15\) см.
21
Дадени са правилна четириъгълна пирамида с лице на околната повърхнина 145 кв. см и правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина 150 кв. см. Ако пирамидите имат равни апотеми, намерете отношението на дължината на основния ръб на четириъгълната пирамида към дължината на основния ръб на триъгълната пирамида.
▼
РешениеЗа правилна пирамида \(S = \dfrac{n\cdot b\cdot k}{2}\). При равни апотеми:
\(\dfrac{S_4}{S_3} = \dfrac{4b_4}{3b_3} = \dfrac{145}{150} = \dfrac{29}{30}\).
Оттук \(\dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{29}{30}\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{29}{40} = 0{,}725\).
\(\dfrac{S_4}{S_3} = \dfrac{4b_4}{3b_3} = \dfrac{145}{150} = \dfrac{29}{30}\).
Оттук \(\dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{29}{30}\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{29}{40} = 0{,}725\).
22
Дадени са две правилни четириъгълни пирамиди. Първата пирамида има основен ръб, който е с 50% по-голям от основния ръб на втората. Пирамидата с по-малък основен ръб има апотема, равна на три пъти апотемата на другата пирамида, а периметърът на основата ѝ е 24 см. а) Коя пирамида има по-голямо лице на околната повърхнина и колко пъти? б) Ако лицето на повърхнината на пирамидата с по-малък основен ръб е 216 кв. см, намерете дължините на апотемите на двете пирамиди.
▼
РешениеПериметърът на основата на пирамидата с по-малък основен ръб е 24 см, затова този ръб е \(24 : 4 = 6\) см. Основният ръб на другата пирамида е с 50% по-голям, следователно е 9 см. Нека апотемата на пирамидата с основен ръб 9 см е \(x\) см; тогава апотемата на пирамидата с основен ръб 6 см е \(3x\) см.
а) Нека \(S_A\) е лицето на околната повърхнина на пирамидата с основен ръб 9 см, а \(S_B\) — на пирамидата с основен ръб 6 см. Тогава \(S_A = \dfrac{4\cdot 9\cdot x}{2} = 18x\) и \(S_B = \dfrac{4\cdot 6\cdot 3x}{2} = 36x\). Следователно лицето на околната повърхнина на пирамидата с по-малък основен ръб е два пъти лицето на околната повърхнина на другата пирамида.
б) За пирамидата с по-малък ръб лицето на повърхнината е \(36x + 6^2 = 36x + 36 = 216\), откъдето \(36x = 180\) и \(x = 5\) см. Тогава апотемите са 5 см (по-голям ръб) и \(3\cdot 5 = 15\) см (по-малък ръб).
а) Нека \(S_A\) е лицето на околната повърхнина на пирамидата с основен ръб 9 см, а \(S_B\) — на пирамидата с основен ръб 6 см. Тогава \(S_A = \dfrac{4\cdot 9\cdot x}{2} = 18x\) и \(S_B = \dfrac{4\cdot 6\cdot 3x}{2} = 36x\). Следователно лицето на околната повърхнина на пирамидата с по-малък основен ръб е два пъти лицето на околната повърхнина на другата пирамида.
б) За пирамидата с по-малък ръб лицето на повърхнината е \(36x + 6^2 = 36x + 36 = 216\), откъдето \(36x = 180\) и \(x = 5\) см. Тогава апотемите са 5 см (по-голям ръб) и \(3\cdot 5 = 15\) см (по-малък ръб).
23
Правилна четириъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 4200 кв. мм и апотема 0,7 дм. а) Намерете лицето на пълната ѝ повърхнина. б) Лицето на повърхнината на друга четириъгълна пирамида е \(\frac{2}{3}\) от намереното в а). Основата на тази пирамида е ромб с периметър 20 см и височина 2 см. Намерете лицето на околната ѝ повърхнина.
▼
РешениеПреобразуваме мерните единици: \(S = 4200\) кв. мм \(= 42\) кв. см, а \(k = 0{,}7\) дм \(= 7\) см.
а) \(P = \dfrac{2S}{k} = \dfrac{2\cdot 42}{7} = 12\) см; основен ръб \(b = 3\) см; \(B = b^2 = 9\) кв. см. Тогава \(S_1 = S + B = 42 + 9 = 51\) кв. см.
б) Лицето на повърхнината на втората пирамида е \(\dfrac{2}{3}\cdot 51 = 34\) кв. см. Ромбът има страна \(20 : 4 = 5\) см и височина 2 см, значи лицето на основата е \(B_2 = 5\cdot 2 = 10\) кв. см.
Лицето на околната повърхнина е \(34 - 10 = 24\) кв. см.
а) \(P = \dfrac{2S}{k} = \dfrac{2\cdot 42}{7} = 12\) см; основен ръб \(b = 3\) см; \(B = b^2 = 9\) кв. см. Тогава \(S_1 = S + B = 42 + 9 = 51\) кв. см.
б) Лицето на повърхнината на втората пирамида е \(\dfrac{2}{3}\cdot 51 = 34\) кв. см. Ромбът има страна \(20 : 4 = 5\) см и височина 2 см, значи лицето на основата е \(B_2 = 5\cdot 2 = 10\) кв. см.
Лицето на околната повърхнина е \(34 - 10 = 24\) кв. см.
24
Показано е тяло, съставено от две правилни пирамиди с обща основа. Пирамидата \(ABCDM\) има лице на околната повърхнина 36 кв. см, а апотемата ѝ е равна на 1,8 пъти апотемата на пирамидата \(ABCDN\). Намерете лицето на повърхнината на показаното тяло.
▼
РешениеДвете пирамиди имат обща основа, значи еднакъв периметър \(P\). От \(S = \dfrac{P\cdot k}{2}\) следва, че \(S\) е правопропорционално на \(k\), затова \(\dfrac{S_M}{S_N} = \dfrac{k_M}{k_N} = 1{,}8\), откъдето \(S_N = \dfrac{36}{1{,}8} = 20\) кв. см.
Общата основа е вътрешна и не участва в повърхнината. Лице на повърхнината на тялото: \(S_M + S_N = 36 + 20 = 56\) кв. см.
Общата основа е вътрешна и не участва в повърхнината. Лице на повърхнината на тялото: \(S_M + S_N = 36 + 20 = 56\) кв. см.
25
Намерете лицето на повърхнината на тяло, образувано от куб с ръб 6 см и правилна четириъгълна пирамида, чиято основа съвпада с горната стена на куба. Апотемата на пирамидата е с 25% по-голяма от ръба на куба.
▼
РешениеОсновата на пирамидата съвпада с горната стена на куба (квадрат със страна 6 см). Апотемата на пирамидата е \(k = 1{,}25\cdot 6 = 7{,}5\) см.
Лице на околната повърхнина на пирамидата: \(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{(4\cdot 6)\cdot 7{,}5}{2} = 90\) кв. см.
От куба се виждат 5 стени (горната е покрита от пирамидата): \(5\cdot 6^2 = 180\) кв. см.
Лице на повърхнината на тялото: \(180 + 90 = 270\) кв. см.
Лице на околната повърхнина на пирамидата: \(S = \dfrac{P\cdot k}{2} = \dfrac{(4\cdot 6)\cdot 7{,}5}{2} = 90\) кв. см.
От куба се виждат 5 стени (горната е покрита от пирамидата): \(5\cdot 6^2 = 180\) кв. см.
Лице на повърхнината на тялото: \(180 + 90 = 270\) кв. см.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Колко основни и колко околни ръба има 9-ъгълна пирамида?
Отг.: 9 основни и 9 околни ръба.
Отг.: 9 основни и 9 околни ръба.
Задача 2Колко стени има 11-ъгълна пирамида?
Отг.: \(11 + 1 = 12\) стени (11 околни и 1 основа).
Отг.: \(11 + 1 = 12\) стени (11 околни и 1 основа).
Задача 3Колко върха има 6-ъгълна пирамида?
Отг.: \(6 + 1 = 7\) върха.
Отг.: \(6 + 1 = 7\) върха.
Задача 4Намерете броя на ръбовете на \(n\)-ъгълни пирамиди за \(n = 3, 5, 6, 10\).
Отг.: \(2n\): 6, 10, 12 и 20 ръба.
Отг.: \(2n\): 6, 10, 12 и 20 ръба.
Задача 5Определете вида на пирамидата, ако броят на ръбовете ѝ е равен на броя на стените на правилна осмоъгълна призма.
Отг.: Призмата има \(8 + 2 = 10\) стени; \(2n = 10\Rightarrow n = 5\) — петоъгълна пирамида.
Отг.: Призмата има \(8 + 2 = 10\) стени; \(2n = 10\Rightarrow n = 5\) — петоъгълна пирамида.
Задача 6Определете вида на пирамидата, ако броят на стените ѝ е равен на стойността на \(3\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot\left(9 - \frac{1}{2}\right)\).
Отг.: \(\frac{10}{3} + \frac{17}{3} = 9\); \(n + 1 = 9\Rightarrow n = 8\) — осмоъгълна пирамида.
Отг.: \(\frac{10}{3} + \frac{17}{3} = 9\); \(n + 1 = 9\Rightarrow n = 8\) — осмоъгълна пирамида.
Задача 7Нека \(v\) е броят на върховете, \(s\) е броят на стените, а \(r\) е броят на ръбовете на една \(n\)-ъгълна пирамида. Вярно ли е, че \(v + s - r = 2\) (формула на Ойлер)?
Отг.: \(v = n+1\), \(s = n+1\), \(r = 2n\); \((n+1)+(n+1)-2n = 2\). Да, вярно е.
Отг.: \(v = n+1\), \(s = n+1\), \(r = 2n\); \((n+1)+(n+1)-2n = 2\). Да, вярно е.
Задача 8Намерете общата дължина на ръбовете на правилна седмоъгълна пирамида, ако една нейна околна стена е равнобедрен триъгълник с основа 4 см и бедра по 5 см.
Отг.: Основният ръб е 4 см, а околният ръб е 5 см. Затова \(7\cdot 4 + 7\cdot 5 = 28 + 35 = 63\) см.
Отг.: Основният ръб е 4 см, а околният ръб е 5 см. Затова \(7\cdot 4 + 7\cdot 5 = 28 + 35 = 63\) см.
Задача 9Намерете общата дължина на ръбовете на правилна петоъгълна пирамида, ако една нейна околна стена е равностранен триъгълник, а разликата между обиколката на основата и обиколката на една околна стена е 21 см.
Отг.: \(5b - 3b = 2b = 21\Rightarrow b = 10{,}5\); общо \(10b = 105\) см.
Отг.: \(5b - 3b = 2b = 21\Rightarrow b = 10{,}5\); общо \(10b = 105\) см.
Задача 10Правилна десетоъгълна пирамида има периметър на основата 78 см и обиколка на една околна стена 34 см. Намерете сбора от дължините на всички ръбове.
Отг.: Един основен ръб е \(78 : 10 = 7{,}8\) см. Двата околни ръба на една стена са \(34 - 7{,}8 = 26{,}2\) см, значи един околен ръб е \(26{,}2 : 2 = 13{,}1\) см. Сборът от всички ръбове е \(78 + 10\cdot 13{,}1 = 209\) см.
Отг.: Един основен ръб е \(78 : 10 = 7{,}8\) см. Двата околни ръба на една стена са \(34 - 7{,}8 = 26{,}2\) см, значи един околен ръб е \(26{,}2 : 2 = 13{,}1\) см. Сборът от всички ръбове е \(78 + 10\cdot 13{,}1 = 209\) см.
Задача 11Намерете лицето на околната повърхнина на правилна пирамида с периметър на основата 10,8 дм и апотема 16 см.
Отг.: \(P = 108\) см; \(S = \frac{108\cdot 16}{2} = 864\) кв. см.
Отг.: \(P = 108\) см; \(S = \frac{108\cdot 16}{2} = 864\) кв. см.
Задача 12Намерете лицето на повърхнината на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 2 дм, апотема на основата приблизително 17 см и апотема на пирамидата 22 см.
Отг.: \(b = 20\), \(P = 120\); \(S = \frac{120\cdot 22}{2} = 1320\); \(B \approx \frac{120\cdot 17}{2} = 1020\); \(S_1 \approx 2340\) кв. см.
Отг.: \(b = 20\), \(P = 120\); \(S = \frac{120\cdot 22}{2} = 1320\); \(B \approx \frac{120\cdot 17}{2} = 1020\); \(S_1 \approx 2340\) кв. см.
Задача 13Изразете лицето на повърхнината на правилна седмоъгълна пирамида с лице на основата \(B\) кв. дм, основен ръб \(b\) дм и апотема 10 дм.
Отг.: \(S = \frac{(7b)\cdot 10}{2} = 35b\); \(S_1 = 35b + B\) кв. дм.
Отг.: \(S = \frac{(7b)\cdot 10}{2} = 35b\); \(S_1 = 35b + B\) кв. дм.
Задача 14Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 10 см и апотема на основата приблизително 8,66 см. Намерете лицето на повърхнината, ако апотемата на основата е равна на 20% от апотемата на пирамидата.
Отг.: \(k \approx \frac{8{,}66}{0{,}2} = 43{,}3\); \(S \approx 1299\); \(B \approx 259{,}8\); \(S_1 \approx 1558{,}8\) кв. см.
Отг.: \(k \approx \frac{8{,}66}{0{,}2} = 43{,}3\); \(S \approx 1299\); \(B \approx 259{,}8\); \(S_1 \approx 1558{,}8\) кв. см.
Задача 15Правилна дванадесетоъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 81,6 кв. дм и апотема 68 см. Намерете лицето на една околна стена и основния ръб.
Отг.: \(8160 : 12 = 680\) кв. см; \(34b = 680\Rightarrow b = 20\) см.
Отг.: \(8160 : 12 = 680\) кв. см; \(34b = 680\Rightarrow b = 20\) см.
Задача 16Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 12 мм, апотема на основата приблизително 1 см и апотема на пирамидата 2 дм. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(P = 7{,}2\); \(S = 72\); \(B \approx 3{,}6\); \(S_1 \approx 75{,}6\) кв. см.
Отг.: \(P = 7{,}2\); \(S = 72\); \(B \approx 3{,}6\); \(S_1 \approx 75{,}6\) кв. см.
Задача 17Лицето на околната повърхнина на правилна шестоъгълна пирамида е 52,5 кв. см, апотемата ѝ е 5 см, а апотемата на основата е приблизително 3 см. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: \(P = 21\); \(B \approx 31{,}5\); \(S_1 \approx 84\) кв. см.
Отг.: \(P = 21\); \(B \approx 31{,}5\); \(S_1 \approx 84\) кв. см.
Задача 18Лицето на околната повърхнина на правилна петоъгълна пирамида е 140 кв. см, а апотемата ѝ е 8 см. Намерете основния ръб.
Отг.: \(P = \frac{2\cdot 140}{8} = 35\); \(b = 7\) см.
Отг.: \(P = \frac{2\cdot 140}{8} = 35\); \(b = 7\) см.
Задача 19Правилна пирамида има периметър на основата 16 см. Намерете лицето на околната повърхнина при апотема 20 см.
Отг.: \(S = \frac{16\cdot 20}{2} = 160\) кв. см.
Отг.: \(S = \frac{16\cdot 20}{2} = 160\) кв. см.
Задача 20Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида е 40 кв. см. Вярно ли е, че при постоянно лице на околната повърхнина колкото пъти се увеличи периметърът, толкова пъти се намалява апотемата?
Отг.: Да; от \(k = \frac{80}{P}\) следва, че \(k\) е обратнопропорционално на \(P\).
Отг.: Да; от \(k = \frac{80}{P}\) следва, че \(k\) е обратнопропорционално на \(P\).
Задача 21Лицето на околната повърхнина на правилна шестоъгълна пирамида е равно на удвоеното лице на основата ѝ. С колко процента апотемата на пирамидата е по-голяма от апотемата на основата?
Отг.: \(\frac{Pk}{2} = 2\cdot\frac{Pa}{2}\Rightarrow k = 2a\) — със 100%.
Отг.: \(\frac{Pk}{2} = 2\cdot\frac{Pa}{2}\Rightarrow k = 2a\) — със 100%.
Задача 22Покривът на къщичка има форма на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 2 м и апотема 2 м. Колко листа ламарина са необходими, ако площта на един лист е 1,6 кв. м и за оформяне се предвиждат 10% повече?
Отг.: \(S = \frac{(6\cdot 2)\cdot 2}{2} = 12\) кв. м; \(12\cdot 1{,}1 = 13{,}2\); \(13{,}2 : 1{,}6 = 8{,}25\) — най-малко 9 листа.
Отг.: \(S = \frac{(6\cdot 2)\cdot 2}{2} = 12\) кв. м; \(12\cdot 1{,}1 = 13{,}2\); \(13{,}2 : 1{,}6 = 8{,}25\) — най-малко 9 листа.
Задача 23Даден е куб с ръб 20 см. От всяка негова стена е изрязана навътре правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 15 см и връх в центъра на куба. Апотемата на всяка от изрязаните пирамиди е 12,5 см. Намерете лицето на повърхнината на полученото тяло.
Отг.: От всяка стена остава част с лице \(20^2 - 15^2 = 175\) кв. см. Четирите триъгълни стени на една вдлъбнатина имат лице \(\frac{(4\cdot 15)\cdot 12{,}5}{2} = 375\) кв. см. На всяка страна се падат \(175 + 375 = 550\) кв. см, а за шестте — \(6\cdot 550 = 3300\) кв. см.
Отг.: От всяка стена остава част с лице \(20^2 - 15^2 = 175\) кв. см. Четирите триъгълни стени на една вдлъбнатина имат лице \(\frac{(4\cdot 15)\cdot 12{,}5}{2} = 375\) кв. см. На всяка страна се падат \(175 + 375 = 550\) кв. см, а за шестте — \(6\cdot 550 = 3300\) кв. см.
Задача 24Намерете лицето на повърхнината на тяло, образувано от куб с ръб 6 см и правилна четириъгълна пирамида, чиято основа съвпада с горната стена на куба. Апотемата на пирамидата е с 25% по-голяма от ръба на куба.
Отг.: \(k = 7{,}5\); \(S = 90\); 5 стени на куба \(= 180\); общо \(270\) кв. см.
Отг.: \(k = 7{,}5\); \(S = 90\); 5 стени на куба \(= 180\); общо \(270\) кв. см.
Задача 25Правилна петоъгълна пирамида и правилна седмоъгълна пирамида имат еднакво лице на околната повърхнина и равни основни ръбове. Апотемата на петоъгълната е 21 см. Намерете апотемата на седмоъгълната.
Отг.: \(5\cdot 21 = 7\cdot k_7\Rightarrow k_7 = 15\) см.
Отг.: \(5\cdot 21 = 7\cdot k_7\Rightarrow k_7 = 15\) см.
Задача 26Правилна четириъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 145 кв. см, а правилна триъгълна — 150 кв. см. Ако апотемите им са равни, намерете отношението на основния ръб на четириъгълната пирамида към основния ръб на триъгълната.
Отг.: \(\frac{4b_4}{3b_3} = \frac{145}{150}\Rightarrow \frac{b_4}{b_3} = \frac{29}{40} = 0{,}725\).
Отг.: \(\frac{4b_4}{3b_3} = \frac{145}{150}\Rightarrow \frac{b_4}{b_3} = \frac{29}{40} = 0{,}725\).
Задача 27Правилна четириъгълна пирамида има лице на околната повърхнина 4200 кв. мм и апотема 0,7 дм. Намерете лицето на пълната ѝ повърхнина.
Отг.: \(S = 42\), \(k = 7\); \(P = 12\), \(b = 3\), \(B = 9\); \(S_1 = 51\) кв. см.
Отг.: \(S = 42\), \(k = 7\); \(P = 12\), \(b = 3\), \(B = 9\); \(S_1 = 51\) кв. см.
Задача 28Друга четириъгълна пирамида има лице на повърхнината, равно на \(\frac{2}{3}\) от лицето на повърхнината на пирамидата от задача 27. Тя има основа ромб с периметър 20 см и височина 2 см. Намерете лицето на околната ѝ повърхнина.
Отг.: \(S_1 = \frac{2}{3}\cdot 51 = 34\); \(B = 5\cdot 2 = 10\); \(S = 34 - 10 = 24\) кв. см.
Отг.: \(S_1 = \frac{2}{3}\cdot 51 = 34\); \(B = 5\cdot 2 = 10\); \(S = 34 - 10 = 24\) кв. см.
Задача 29Гирлянда е изработена от 20 правилни четириъгълни пирамиди (основен ръб 12 см, апотема 10 см), съединени последователно ту по основите си, ту по върховете си. Основите не се боядисват. От околните стени на всяка пирамида две са боядисани в червено, а другите две — в жълто. Колко жълта и колко червена боя са необходими, ако за боядисването на 1 кв. м са нужни 150 г боя?
Отг.: Една стена \(= \frac{12\cdot 10}{2} = 60\) кв. см; по 2 стени всеки цвят \(\Rightarrow 20\cdot 120 = 2400\) кв. см \(= 0{,}24\) кв. м; \(0{,}24\cdot 150 = 36\) г от всеки цвят.
Отг.: Една стена \(= \frac{12\cdot 10}{2} = 60\) кв. см; по 2 стени всеки цвят \(\Rightarrow 20\cdot 120 = 2400\) кв. см \(= 0{,}24\) кв. м; \(0{,}24\cdot 150 = 36\) г от всеки цвят.
Задача 30Тяло е съставено от две правилни пирамиди с обща основа. Пирамидата \(ABCDM\) има лице на околната повърхнина 36 кв. см, а апотемата ѝ е равна на 1,8 пъти апотемата на пирамидата \(ABCDN\). Намерете лицето на повърхнината на тялото.
Отг.: \(S_N = \frac{36}{1{,}8} = 20\); общо \(36 + 20 = 56\) кв. см.
Отг.: \(S_N = \frac{36}{1{,}8} = 20\); общо \(36 + 20 = 56\) кв. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Пирамида. Развивка и лице на повърхнина
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Кое твърдение описва пирамида?
2Колко най-малко стени може да има една пирамида?
3Колко околни ръба има \(n\)-ъгълна пирамида?
4Колко ръба общо има \(n\)-ъгълна пирамида?
5Коя формула дава лицето на околната повърхнина на правилна пирамида?
6Лицето на повърхнината на пирамида е:
7Как се нарича височината на една околна стена на правилна пирамида, прекарана към съответния основен ръб?
8Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида с периметър 20 см и апотема 6 см е:
9Правилна четириъгълна пирамида има периметър на основата 24 см и апотема 5 см. Колко е лицето на околната повърхнина на пирамидата?
10Ако лицето на основата е 20 кв. см, а лицето на околната повърхнина 50 кв. см, то лицето на повърхнината е:
11Колко върха има триъгълна пирамида?
12Развивката на правилна пирамида се състои от:
13За една \(n\)-ъгълна пирамида събираме броя на върховете и броя на стените и изваждаме броя на ръбовете. Какъв резултат получаваме?
14Колко равнобедрени триъгълника има в околната повърхнина на правилна шестоъгълна пирамида?
15Лицето на околната повърхнина на правилна пирамида е 40 кв. см, а периметърът — 10 см. Колко е апотемата?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
📦
Обем на права призма
Урок за 6. клас — обемът на права призма по формулата \(V = B\cdot h\), обем на куб и паралелепипед, мерни единици. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🧱
Права призма. Лице на повърхнина на права призма
Урок за 6. клас — права и правилна призма, развивка, формула на Ойлер и формулите \(S_{\text{ок}}=P\cdot h\) и \(S=2B+P\cdot h\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
⬡
Многоъгълник. Правилен многоъгълник. Лице на многоъгълник
Урок за 6. клас — апотема, формулите \(P = nb\) и \(S = \tfrac{Pa}{2}\), сбор на ъгли и брой диагонали. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар