Решаване на системи уравнения от втора степен, на които едното уравнение е линейно 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Системи уравнения

Системи уравнения
Квадратно и линейно уравнение с две неизвестни

Исторически преглед, приложения, метод на заместването — 4 разработени задачи (вкл. система без реални решения) и 6 задачи за самостоятелна работа

Системи уравнения Квадратно уравнение Метод на заместването Дискриминанта Д-р Атанас Илчев

Систематично решаване на смесени системи чрез заместване — от исторически произход до практически приложения в физиката, икономиката и криптографията

Въведение и исторически бележки

Системите от уравнения с две неизвестни са основен инструмент в алгебрата. Те ни позволяват да решаваме задачи, включващи повече от една променлива. В този урок разглеждаме системи, в които едното уравнение е от втора степен, а другото е линейно.

Системите от уравнения с две неизвестни се изучават от древността. Един от ранните известни примери е от гръцкия математик Диофант (III в.), който разглежда системи с цели числа като неизвестни. Едно от най-известните уравнения от този период е \(x^2+y^2=z^2\), описващо Питагоровата теорема. През следващите векове тези системи намират все по-широко приложение при моделирането на физически явления и анализа на сложни проблеми.

Приложения на смесените системи уравнения:
• Физика: моделиране на движение под действие на гравитация — позиция и скорост на хвърлен обект.
• Икономика: анализ на търсене/предлагане — намиране на оптимална цена и количество.
• Инженерство: определяне на напрежение и деформация на конструкции под натоварване.
• Криптография: криптиране и декриптиране на данни чрез системи уравнения.

Метод на решаване (заместване):
1) Изразяваме едно от неизвестните от линейното уравнение.
2) Заместваме в квадратното уравнение — получаваме квадратно уравнение с едно неизвестно.
3) Решаваме квадратното уравнение (формула или разлагане).
4) За всяка намерена стойност намираме второто неизвестно от линейното уравнение.
5) Записваме наредените двойки като отговор.

Забележка: Ако дискриминантата \(D = b^2-4ac \lt 0\), квадратното уравнение няма реални корени и системата няма решение в \(\mathbb{R}\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Решете системата: \[\left|\begin{array}{l} x+2y=5 \\ x^2+y^2=10 \end{array}\right.\]

▼

Решение От I уравнение изразяваме \(x\): \(x = 5-2y\). Заместваме в II: \[(5-2y)^2+y^2=10 \implies 25-20y+4y^2+y^2=10 \implies 5y^2-20y+15=0.\] Прилагаме формулата с \(a=5,\,b=-20,\,c=15\): \[y = \frac{20\pm\sqrt{400-300}}{10} = \frac{20\pm10}{10}.\] \[y_1=3,\quad y_2=1.\] За \(y_1=3\): \(x+6=5 \Rightarrow x=-1\).
За \(y_2=1\): \(x+2=5 \Rightarrow x=3\).
Отговор: \((-1;\,3)\) и \((3;\,1)\).

2

Решете системата: \[\left|\begin{array}{l} y-2x=1 \\ x^2-2x+y=2 \end{array}\right.\]

▼

Решение От I уравнение: \(y=2x+1\). Заместваме в II: \[x^2-2x+(2x+1)=2 \implies x^2+1=2 \implies x^2-x-1=0.\] Прилагаме формулата с \(a=1,\,b=-1,\,c=-1\): \[x = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.\] За \(x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\): \(y_1=2\cdot\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\sqrt{5}+2\).
За \(x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\): \(y_2=2\cdot\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=-\sqrt{5}+2\).
Отговор: \(\!\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\,\sqrt{5}+2\right)\) и \(\!\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};\,-\sqrt{5}+2\right)\).

3

Решете системата: \[\left|\begin{array}{l} (x-2)^2+(y-1)^2=4 \\ 3x+y=1 \end{array}\right.\]

▼

Решение От II уравнение: \(y=1-3x\). Заместваме в I: \[(x-2)^2+((1-3x)-1)^2=4 \implies (x-2)^2+(-3x)^2=4.\] \[x^2-4x+4+9x^2=4 \implies 10x^2-4x=0 \implies 2x(5x-2)=0.\] \[x_1=0,\quad x_2=\frac{2}{5}.\] За \(x_1=0\): \(y_1=1-3\cdot0=1\).
За \(x_2=\dfrac{2}{5}\): \(y_2=1-3\cdot\dfrac{2}{5}=1-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{1}{5}\).
Отговор: \((0;\,1)\) и \(\!\left(\dfrac{2}{5};\,-\dfrac{1}{5}\right)\).

4

Решете системата: \[\left|\begin{array}{l} x+y=5 \\ xy=14 \end{array}\right.\]

▼

Решение От I уравнение: \(x=5-y\). Заместваме в II: \[(5-y)y=14 \implies 5y-y^2=14 \implies y^2-5y+14=0.\] Пресмятаме дискриминантата: \(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot14=25-56=-31\lt 0\).
Тъй като \(D\lt 0\), квадратното уравнение няма реални корени.
Отговор: Системата няма решение в множеството на реалните числа, \((x;\,y)\in\emptyset\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 \[\left|\begin{array}{l} x+y=5 \\ xy=-14 \end{array}\right.\]

Задача 2 \[\left|\begin{array}{l} x-y=1 \\ xy=20 \end{array}\right.\]

Задача 3 \[\left|\begin{array}{l} x+2y=5 \\ x^2+y^2=10 \end{array}\right.\]

Задача 4 \[\left|\begin{array}{l} y-2x=1 \\ x^2-2x+y=2 \end{array}\right.\]

Задача 5 \[\left|\begin{array}{l} (y-3x)^2=0 \\ x^2-2y+y^2=4 \end{array}\right.\]

Задача 6 \[\left|\begin{array}{l} x^2+y=-5 \\ 2x-y=4 \end{array}\right.\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Системи уравнения — квадратно и линейно

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1При решаване на смесена система чрез заместване, от кое уравнение изразяваме неизвестното?

От квадратното От линейното Без значение кое

2В Задача 1: от \(x+2y=5\) изразяваме \(x=\)

\(x=2y-5\) \(x=5-2y\) \(x=5+2y\)

3В Задача 1: след заместване получаваме квадратно уравнение:

\(5y^2-20y+25=0\) \(5y^2-20y+15=0\) \(y^2-20y+15=0\)

4В Задача 1: решенията са:

\((1;\,3)\) и \((3;\,1)\) \((-1;\,3)\) и \((3;\,1)\) \((-1;\,3)\) и \((-3;\,1)\)

5В Задача 2: след заместване \(y=2x+1\) в II уравнение получаваме:

\(x^2+x-1=0\) \(x^2-x-1=0\) \(x^2-x+1=0\)

6В Задача 2: корените на \(x^2-x-1=0\) са:

\(x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\) \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

7В Задача 3: от \(3x+y=1\) изразяваме \(y=\)

\(y=3x-1\) \(y=1-3x\) \(y=3x+1\)

8В Задача 3: \((x-2)^2+(-3x)^2=4\) се опростява до:

\(9x^2-17x+8=0\) \(10x^2-4x=0\) \(10x^2+4x=0\)

9В Задача 3: решенията са:

\(\left(\frac{4}{3};\,-3\right)\) и \(\left(\frac{2}{3};\,-1\right)\) \((0;\,1)\) и \(\left(\frac{2}{5};\,-\frac{1}{5}\right)\) \((1;\,0)\) и \(\left(\frac{1}{5};\,\frac{2}{5}\right)\)

10В Задача 4: след заместване \(x=5-y\) в \(xy=14\) получаваме:

\(y^2-5y-14=0\) \(y^2-5y+14=0\) \(y^2+5y+14=0\)

11В Задача 4: дискриминантата е \(D=\)

\(81\) \(-31\) \(31\)

12В Задача 4: системата:

Има две реални решения Няма решения в \(\mathbb{R}\) Има едно реално решение

13Ако \(D \lt 0\), то квадратното уравнение:

Има два равни корена Няма реални корени Има два различни реални корена

14Диофант е изучавал системи уравнения с цели числа в:

I в. пр. Хр. III в. сл. Хр. XV в. сл. Хр.

15Формулата за корените на квадратното уравнение \(ax^2+bx+c=0\) е:

\(x=\dfrac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по темата:

Видео урок — Системи уравнения с квадратно и линейно уравнение

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆