Уроци по математика (Math lessons)

Когато съставяме математически модел на дадена задача е необходимо първо да означим това, което търсим с някаква буква (най-често $x$, $y$ и т.н.). След това съставяме уравнение (в случай квадратно уравнение), като вземем в предвид условията в разглежданата задача (казано по друг начин още - стойностите, които променливата може да приема според спецификата на самата задача, наричат се още допустими стойности) и го решаваме. Когато намерим решенията му определяме кои от тях могат да бъдат решение на поставената задача т.е. кои отговарят на допустимите стойности на задачата. Нека да разгледаме някои примери. 1 Задача Едно сако струва $50$ лв. Два пъти намалявали цената му, като второто намаление било с два пъти по-голям процент от първото. След двете намаления сакото струвало $36$ лв. С колко процента е било всяко от двете намаления. Решение: Нека първото намаление на сакото да е било с $x$% следователно новата му цена ще е $50-\frac{x}{100}.50$. Тъй като второто намаление е с $2x$% полу...

Теорема 1: Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) , то са изпълнени следните равенства: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ и $x_1.x_2=\frac{c}{a}$. Зависимостите между корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение от Теорема 1 и неговите коефициенти се наричат формули на Виет (последните две равенства от Теорема 1 ). Важно е да споменем, че формулите на Виет не ни гарантират наличието на реални решения на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Със следващата теорема, която се нарича обратна теорема на Виет можем да възстановим едно квадратно уравнение, ако знаем неговите корени.  Теорема 2 (обратна теорема на Виет): Ако за числата $x_1$ и $x_2$ са в сила равенствата $x_1+x_2=-p$ и $x_1.x_2=q$, то $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2+px+q=0$. Преди да преминем към разглеждането на задачите, нека кажем и някои важни следствия от формулите за съкратено умножение, които съществено ще използваме в някои от примерите. Сборът $x_1^2+x_2^2$ можем да пр...

В този урок ще разгладаме приложението на теорията за квадратните уравнения при решаването на уравнения от по-висока степен. Един от най-честите подходи, когато решаваме уравнения от степен по-голяма от втора е да разложим многочлена, който участва в уравнението на линейни и/или квадратни множители. Така решаването на даденото уравнение ще се сведе до решаването на линейни и/или квадратни уравнения, за които ние вече сме подготвени и можем да решим.  Ако в уравнението от по-висока степен забележим, че неизвестното участва в някакъв повтарящ израз, тогава е удачно да положим (да заменим неизвестното с ново неизвестно и така да получим по-просто уравнение от даденото относно новата променлива, виж урока за биквадатни уравнения ). Нека да разгледаме някои примери. 1 Задача Решете уравнението $(2x-1)^4-25(2x-1)^2+144=0$. Решение: Ако започнeм да разкриваме скобите в това уравнение ще достигнем до уравнение което ще е много сложно за решаване, ето какво ще е уравнението, което бихме пол...

Определение 1: Уравнение от вида $ax^4+bx^2+c=0$, където $a\neq 0$ се нарича биквадратно уравнение.  Тук $a$, $b$ и $c$ са реални числа и се наричат коефициенти на биквадратното уравнение, а $x$ е неизвестното. Забелязваме, че даденото биквадратно уравнение можем да запишем във вида $a(x^2)^2+bx^2+c=0$. Сега можем да положим $x^2=t$ (полагането представлява заменянето на променливата или израз в който участва тя в даденото уравнение с нова променлива, като по този начин получим по просто уравнение относно новата променлива). Така получаваме квадратното уравнение относно $t$ - $at^2+bt+c=0$. След, като решим даденото квадратно уравнение получаваме за корени съответно $t_1$ и $t_2$ (ако съществуват реални корени, ако не съществуват реални корени за квадратното уравнение относно променливата $t$, то и биквадратното уравнение няма реални корени). Връщаме се в положеното, където ще имаме, че от една страна $x^2=t_1$, а от друга страна $x^2=t_2$. Последните две уравнения представляват ...

Определение 1: Израз от вида $ax^2+bx+c$, където $a\neq 0$ ще наричаме квадратен тричлен. Всеки квадратен тричлен, на който дискриминантата е по-голяма или равна на нула, може да се разложи на множители, като приложим формулата $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)$, където $x_1$ и $x_2$ са корени на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$. Когато $D<0$ ще казваме, че квадратният тричлен е неразложим над $\mathbb{R}$. Разлагането на квадратен тричлен на множители не е ново за един осмокласник. Такива задачи са разглеждани в 7 клас, в темите свързани с разлагане на многочлени на множители чрез формули за съкратено умножение , чрез групиране и чрез комбинирано прилагане на групирането, изнасянето на общ множител пред скоби и прилагането на формулите за съкратено умножение. Нека да разгледаме квадратният тричлен $x^2+5x-6$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-x+6x-6$. Групираме първите две и вторите две събираеми и изнасяме общите им множители, така получаваме, че $x^2-x+6x-6=x(x-1)...

При решаването на квадратни уравнения с параметър е добре да имаме в предвид следните известни вече до момента факти.  Първият от тях се касае до това, какво ще наричаме решение или корен на едно уравнение. Нека да го припомним, ако някой е забравил. Определение 1: Решение (корен) на дадено уравнение ще наричаме такова число, което като го поставим на мястото на неизвестното в даденото уравнение то се превръща във вярно числово равенство.  Пример: Нека разгледаме линейното уравнение $2x-1=0$, което очевидно има за корен числото $x=\frac{1}{2}$. Сега нека заменим $x$ в даденото уравнение с числото $\frac{1}{2}$, получаваме числовото равенство $2.\frac{1}{2}-1=0$, което очевидно е вярно и следователно $x=\frac{1}{2}$ наистина е решение на уравнението $2x-1=0$.  Следващите факти, които ще припомним преди да преминем към решаването на квадратни уравнения с параметър са свързани с броя на корените на едно квадратно уравнение и стойностите на неговата дискриминанта. В урока з...

Определение 1: Уравнение от вида $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) ще наричаме квадратно уравнение, в което $a$, $b$ и $c$ са числа (наричат се още коефициенти на квадратното уравнение), а $x$ е неизвестно. В този урок ще предполагаме, че $b\neq 0$ и $c\neq 0$ в случаите, когато някой от коефициенти е равен на $0$ вече разгледахме в урока ни "Непълни квадратни уравнения 8 клас"  .  Квадратните уравнения съвсем не са непознати за един осмокласник. Още в седми клас вие сте се сблъсквали с решаването на квадратни уравнения, но не като прилагате метода даден по-долу (чрез формулата), а като се приложи подходящо разлагане на квадратния тричлен или пък се допълни до точен квадрат.  Да разгледаме следното уравнение $x^2-5x+6=0$. Забелязваме, че можем да го запишем във вида $x^2-2x-3x+6=0$. Сега, нека да групираме първите две и вторите две събираеми и да изнесем общ множител пред скоби (за първите две събираеми е $x$, а за вторите две е $-3$), така получаваме уравнението $x(x-2)-3(x-2)=...