Разлагане на квадратен тричлен на множители 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Алгебра › Квадратен тричлен

Квадратен тричлен
Разлагане на множители

Определение, формула за разлагане чрез корени, методи: изнасяне, допълване до квадрат, приложение при опростяване на дроби — 5 разработени задачи и 3 задачи за самостоятелна работа

8 клас Квадратен тричлен Разлагане на множители Опростяване на дроби 5 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Три метода за разлагане на квадратен тричлен на множители и тяхното приложение при опростяване на алгебрични дроби

Теория

Определение 1: Израз от вида \(ax^2+bx+c\), където \(a\neq 0\), ще наричаме квадратен тричлен.

Основна формула за разлагане:
Всеки квадратен тричлен, на който дискриминантата е \(D\geq 0\), може да се разложи на множители по формулата: \[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\] където \(x_1\) и \(x_2\) са корените на квадратното уравнение \(ax^2+bx+c=0\).
Когато \(D<0\), казваме, че квадратният тричлен е неразложим над \(\mathbb{R}\).

Метод 1 — Изнасяне на общ множител и групиране:
Пример: \(x^2+5x-6=x^2-x+6x-6=x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x+6)\).

Метод 2 — Допълване до точен квадрат:
Пример: \(x^2-10x+26=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2-1^2=(x-5)^2-1^2=(x-5-1)(x-5+1)=(x-6)(x-4)\).

Стратегия за опростяване на дроби: Разлагаме на множители числителя и знаменателя (чрез основната формула или методите по-горе) и съкращаваме еднаквите множители.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Разложете на множители изразите:
а) \(7x^2-13x\);  б) \(4x^3+11x^2\);  в) \(4-(3x-1)^2\);  г) \((2x+1)^2-(3x-2)^2\).

▼

Решение а) Изнасяме общ множител \(x\): \[7x^2-13x=x(7x-13).\] б) Изнасяме общ множител \(x^2\): \[4x^3+11x^2=x^2(4x+11).\] в) Прилагаме формулата за сбор по разлика \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\): \[4-(3x-1)^2=[2-(3x-1)][2+(3x-1)]=(2-3x+1)(2+3x-1)=(-3x+3)(3x+1)=3(-x+1)(3x+1).\] г) Отново прилагаме формулата за сбор по разлика: \[(2x+1)^2-(3x-2)^2=[(2x+1)-(3x-2)][(2x+1)+(3x-2)]=(2x+1-3x+2)(2x+1+3x-2)=(-x+3)(5x-1).\]

2

Разложете на множители квадратния тричлен \(x^2-15x+26\).

▼

Решение Прилагаме формулата \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Решаваме \(x^2-15x+26=0\) с \(a=1\), \(b=-15\), \(c=26\): \[D=(-15)^2-4\cdot1\cdot26=225-104=121.\] \[x_{1,2}=\frac{15\pm 11}{2} \implies x_1=\frac{26}{2}=13,\quad x_2=\frac{4}{2}=2.\] Следователно: \[x^2-15x+26=(x-2)(x-13).\]

3

Разложете на множители квадратния тричлен \(4x^2-8x+3\).

▼

Решение Решаваме \(4x^2-8x+3=0\) с \(a=4\), \(b=-8\), \(c=3\): \[D=(-8)^2-4\cdot4\cdot3=64-48=16.\] \[x_1=\frac{8+4}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{8-4}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.\] Следователно: \[4x^2-8x+3=4\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=4\cdot\frac{2x-3}{2}\cdot\frac{2x-1}{2}=(2x-3)(2x-1).\]

4

Опростете дробта \(\dfrac{x^2-x-20}{x^2-16}\).

▼

Решение Разлагаме числителя: \(x^2-x-20=0\) с \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-20\): \[D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81.\] \[x_1=\frac{1+9}{2}=5,\quad x_2=\frac{1-9}{2}=-4.\] Следователно \(x^2-x-20=(x-5)(x+4)\).
Разлагаме знаменателя чрез формулата за сбор по разлика: \[x^2-16=(x-4)(x+4).\] Записваме и съкращаваме: \[\frac{x^2-x-20}{x^2-16}=\frac{(x-5)(x+4)}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-5}{x-4}.\]

5

Опростете дробта \(\dfrac{x^2-(a-2b)x-2ab}{x^2+(a+2b)x+2ab}\).

▼

Решение Числител: Решаваме \(x^2-(a-2b)x-2ab=0\): \[D=[-(a-2b)]^2-4\cdot1\cdot(-2ab)=a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2.\] \[x_1=\frac{a-2b+(a+2b)}{2}=a,\quad x_2=\frac{a-2b-(a+2b)}{2}=-2b.\] Следователно \(x^2-(a-2b)x-2ab=(x-a)(x+2b)\).

Знаменател: Решаваме \(x^2+(a+2b)x+2ab=0\): \[D=(a+2b)^2-4\cdot1\cdot2ab=a^2+4ab+4b^2-8ab=a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2.\] \[x_1=\frac{-(a+2b)+(a-2b)}{2}=-2b,\quad x_2=\frac{-(a+2b)-(a-2b)}{2}=-a.\] Следователно \(x^2+(a+2b)x+2ab=(x+2b)(x+a)\).

Записваме и съкращаваме: \[\frac{(x-a)(x+2b)}{(x+a)(x+2b)}=\frac{x-a}{x+a}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Разложете на множители изразите:
а) \(x^2-3x\);  б) \(5x^3-4x\);  в) \(5-(2x-1)^2\);  г) \(25x^2-(7x+9)^2\);  д) \((5x-1)^2-(3x+2)^2\).

Задача 2Да се разложи на множители квадратният тричлен:
а) \(x^2-8x+7\);  б) \(-y^2-3y+5\);  в) \(3z+2z^2-7\);  г) \(3x^2+(9-\sqrt{3})x-3\sqrt{3}\).

Задача 3Опростете дробта:
а) \(\dfrac{t^2-3t-10}{t+2}\);  б) \(\dfrac{49y^2+14y-15}{49y^2-35y+6}\);  в) \(\dfrac{x^2+4x-21}{x^2-9x+18}\);  г) \(\dfrac{4x^2-32x-36}{2x^2-26x+72}\);  д) \(\dfrac{m^2+(5-\sqrt{2})m-5\sqrt{2}}{m^2-(6+\sqrt{2})m+6\sqrt{2}}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Квадратен тричлен — разлагане на множители

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Квадратен тричлен е израз от вида \(ax^2+bx+c\), при условие, че:

\(a=0\) \(a\neq 0\) \(b=0\)

2Формулата за разлагане на квадратен тричлен е:

\(ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)\) \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) \(ax^2+bx+c=a(x+x_1)(x+x_2)\)

3При \(D<0\) квадратният тричлен:

Се разлага на два линейни множителя Е неразложим над \(\mathbb{R}\) Се разлага на точен квадрат

4\(7x^2-13x\) разложен на множители е:

\(x(7x+13)\) \(x(7x-13)\) \(7x(x-13)\)

5\(4-(3x-1)^2\) разложен е:

\((4-3x+1)(4+3x-1)\) \(3(-x+1)(3x+1)\) \((3x-3)(3x+1)\)

6\((2x+1)^2-(3x-2)^2\) разложен е:

\((x+3)(5x-1)\) \((-x+3)(5x-1)\) \((x-3)(5x+1)\)

7В Задача 2: \(D\) на \(x^2-15x+26=0\) е:

\(104\) \(121\) \(225\)

8\(x^2-15x+26\) разложен е:

\((x-3)(x-13)\) \((x-2)(x-13)\) \((x+2)(x+13)\)

9\(4x^2-8x+3\) разложен е:

\((4x-3)(x-1)\) \((2x-3)(2x-1)\) \((4x-1)(x-3)\)

10В Задача 4: числителят \(x^2-x-20\) се разлага на:

\((x+5)(x-4)\) \((x-5)(x+4)\) \((x-5)(x-4)\)

11Опростена дроб \(\dfrac{x^2-x-20}{x^2-16}\) е:

\(\dfrac{x-5}{x+4}\) \(\dfrac{x-5}{x-4}\) \(\dfrac{x+5}{x-4}\)

12В Задача 5: числителят \(x^2-(a-2b)x-2ab\) се разлага на:

\((x+a)(x-2b)\) \((x-a)(x+2b)\) \((x-a)(x-2b)\)

13Опростена дроб \(\dfrac{x^2-(a-2b)x-2ab}{x^2+(a+2b)x+2ab}\) е:

\(\dfrac{x+a}{x-a}\) \(\dfrac{x-a}{x+a}\) \(\dfrac{x-2b}{x+2b}\)

14При разлагане на \(4x^3+11x^2\) изнасяме пред скоби:

\(x\) \(x^2\) \(4x\)

15Дискриминантата \(D\) на \(4x^2-8x+3=0\) е:

\(64\) \(16\) \(48\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по разлагане на квадратен тричлен на множители:

Видео урок — Квадратен тричлен. Разлагане на множители

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆