📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Геометрия › Лица на геометрични фигури

Лица на геометрични фигури, образувани от изучените фигури

Лице на произволна фигура чрез разделяне с диагонал \(S = \tfrac{1}{2}\,AC\,(h_1 + h_2)\), перпендикулярни диагонали \(S = \tfrac{1}{2}\,d_1 d_2\) и ограждане с правоъгълник; 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

5. клас Геометрия Лице Диагонали Съставни фигури

Досега се научихме да намираме лицата на триъгълник, правоъгълник, успоредник, ромб и трапец. В този урок ще намираме лицето на произволна фигура, като я разделим на познати фигури или я оградим с познати фигури. След теорията решаваме заедно 25 задачи, а след това следват 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

◆ Разделяне с диагонал

Диагоналът \(AC\) разделя изпъкналия четириъгълник \(ABCD\) на два триъгълника, затова \[ S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}. \] Ако \(h_1\) и \(h_2\) са разстоянията от върховете \(B\) и \(D\) до диагонала \(AC\), то \[ S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h_1 + \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h_2 = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot (h_1 + h_2). \]

Диагоналът \(AC\) и височините \(h_1\), \(h_2\) от \(B\) и \(D\).

◆ Четириъгълник с перпендикулярни диагонали

Ако диагоналите \(AC\) и \(BD\) на изпъкнал четириъгълник са перпендикулярни, то лицето му е \[ S = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD. \]

Перпендикулярни диагонали \(AC \perp BD\), пресичащи се в \(O\).

◆ Ограждане с правоъгълник

Понякога е удобно фигурата да се огради с правоъгълник \(MPQR\) и от неговото лице да се извадят лицата на ъгловите триъгълници: \[ S_{ABCD} = S_{MPQR} - (S_{\triangle AMB} + S_{\triangle BPC} + S_{\triangle CQD} + S_{\triangle DRA}). \]

Четириъгълникът \(ABCD\), ограден с правоъгълника \(MPQR\).

Общо правило: лицето на произволна равнинна фигура намираме, като я разделим на фигури, чиито лица можем да пресметнем (или я оградим с познати фигури).

✏️ Разработени задачи

1

По данните от чертежа намерете лицето на четириъгълника \(ABCD\), ако диагоналът \(AC = 12\) cm, а разстоянията от върховете \(B\) и \(D\) до него са \(4\) cm и \(6\) cm.

Четириъгълник с диагонал и височини.

▼

РешениеДиагоналът \(AC\) разделя четириъгълника на \(\triangle ABC\) и \(\triangle ACD\). Затова \(S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h_1 + \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot (4 + 6) = 6\cdot 10 = 60\ \text{cm}^2.\)

2

Диагоналите \(AC\) и \(BD\) на четириъгълника \(ABCD\) са перпендикулярни и имат дължини \(8\) cm и \(6\) cm. Намерете лицето на четириъгълника.

Перпендикулярни диагонали.

▼

Решение\(S = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6 = 24\ \text{cm}^2.\)

3

Диагоналите \(AC\) и \(BD\) на четириъгълника \(ABCD\) са перпендикулярни и имат дължини \(5\) cm и \(10\) cm. Установете, че \(S_{ABCD} = 25\ \text{cm}^2\).

Перпендикулярни диагонали.

▼

Решение\(S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 10 = 25\ \text{cm}^2.\) С това твърдението е доказано.

4

Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни. Лицето му е \(24\ \text{cm}^2\), а единият диагонал е \(8\) cm. Намерете другия диагонал.

Перпендикулярни диагонали.

▼

РешениеОт \(S = \tfrac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\) следва \(d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2\cdot 24}{8} = 6\) cm.

5

Върху квадратна мрежа със страна на квадратчето \(1\) cm е начертан четириъгълник. Намерете лицето му.

Четириъгълник върху мрежа.

▼

РешениеОграждаме четириъгълника с правоъгълник \(6\times 5 = 30\ \text{cm}^2\) и изваждаме лицата на четирите ъглови правоъгълни триъгълника: \(4 + 2 + 4 + 2 = 12\ \text{cm}^2\). Тогава \(S = 30 - 12 = 18\ \text{cm}^2.\)

6

Градина с форма на правоъгълник \(ABCD\) има дължина \(12\) m и широчина \(8\) m. В единия край е направена площадка за отдих с форма на правоъгълен трапец с основи \(5\) m и \(3\) m и височина \(4\) m. Колко квадратни метра ще бъде затревената площ?

Градина с площадка — правоъгълен трапец.

▼

РешениеЛицето на градината е \(12\cdot 8 = 96\ \text{m}^2\), а на площадката — \(\dfrac{5 + 3}{2}\cdot 4 = 16\ \text{m}^2\). Затревената площ е \(96 - 16 = 80\ \text{m}^2.\)

7

Колко декара е защрихованата част от правоъгълен парцел, ако тя има форма на триъгълник с основа \(200\) m и височина \(100\) m? (\(1\) декар \(= 1000\ \text{m}^2\))

Парцел с триъгълник.

▼

Решение\(S = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot 100 = 10000\ \text{m}^2 = 10000 : 1000 = 10\) декара.

8

Лозе с форма на четириъгълник с перпендикулярни диагонали \(8\) m и \(6\) m е продадено по \(2{,}50\) евро за квадратен метър. За колко евро е продадено?

Лозе с перпендикулярни диагонали.

▼

РешениеЛицето е \(S = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6 = 24\ \text{m}^2\). Цената е \(24\cdot 2{,}50 = 60\) евро.

9

Фигурата е съставена от квадрат и четири равностранни триъгълника (вж. чертежа). Намерете лицето ѝ, ако обиколката ѝ е \(32\) dm, а височината на равностранния триъгълник е \(h \approx 3{,}46\) dm.

Квадрат с 4 равностранни триъгълника.

▼

РешениеОбиколката е съставена от \(8\) страни на равностранните триъгълници, затова страната на триъгълника (и на квадрата) е \(32 : 8 = 4\) dm. Лицето на квадрата е \(4\cdot 4 = 16\ \text{dm}^2\), а на един триъгълник — \(\tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3{,}46 = 6{,}92\ \text{dm}^2\). Общо: \(S = 16 + 4\cdot 6{,}92 = 16 + 27{,}68 = 43{,}68\ \text{dm}^2.\)

10

Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и дължините им са \(6\) cm и \(7\) cm. Намерете лицето на четириъгълника.

Перпендикулярни диагонали.

▼

Решение\(S = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 7 = 21\ \text{cm}^2.\)

11

Диагоналът \(AC\) на четириъгълника \(ABCD\) е \(10\) cm, а лицето му е \(40\ \text{cm}^2\). Разстоянието от \(B\) до \(AC\) е \(3\) cm. Намерете разстоянието от \(D\) до \(AC\).

Четириъгълник с диагонал.

▼

Решение\(S = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot (h_1 + h_2)\), затова \(h_1 + h_2 = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2\cdot 40}{10} = 8\) cm. Тогава \(h_2 = 8 - 3 = 5\) cm.

12

При върха на един квадрат е изрязан малък квадрат и се получава фигура с лице \(105\ \text{cm}^2\). Страната на изрязания квадрат е с \(7\) cm по-малка от страната на големия квадрат. Намерете лицето на изрязаната част.

Квадрат с изрязан ъгъл.

▼

РешениеНека страната на големия квадрат е \(x\). Тогава \(x\cdot x - (x - 7)\cdot (x - 7) = 105\), тоест \(14x - 49 = 105\), \(14x = 154\), \(x = 11\) cm. Страната на изрязания квадрат е \(11 - 7 = 4\) cm, а лицето му — \(4\cdot 4 = 16\ \text{cm}^2.\)

13

Правоъгълникът \(ABCD\) е разделен на четири правоъгълника. Лицата на три от тях са \(75\ \text{cm}^2\), \(150\ \text{cm}^2\) и \(225\ \text{cm}^2\) (вж. чертежа). Намерете обиколката на квадрат, чието лице е равно на лицето на \(ABCD\).

Правоъгълник, разделен на 4 части.

▼

РешениеЧетвъртото лице е \(\dfrac{150\cdot 225}{75} = 450\ \text{cm}^2\) (отношенията на съседните лица са равни). Лицето на \(ABCD\) е \(75 + 225 + 150 + 450 = 900\ \text{cm}^2\). Квадрат с такова лице има страна \(30\) cm (защото \(30\cdot 30 = 900\)) и обиколка \(P = 4\cdot 30 = 120\) cm.

14

По данните от чертежа намерете лицето на защрихования четириъгълник (страна на квадратчето \(1\) cm).

Четириъгълник върху мрежа.

▼

РешениеОграждащият правоъгълник има лице \(6\times 5 = 30\ \text{cm}^2\). Ъгловите триъгълници са \(4 + 3 + 4 + 3 = 14\ \text{cm}^2\), затова \(S = 30 - 14 = 16\ \text{cm}^2.\)

15

Диагоналът \(BD\) на четириъгълника \(ABCD\) е \(9\) cm. Разстоянията от върховете \(A\) и \(C\) до него са \(4\) cm и \(2\) cm. Намерете лицето на четириъгълника.

Четириъгълник с диагонал \(BD\).

▼

Решение\(S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot BD\cdot (h_A + h_C) = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot (4 + 2) = \tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 6 = 27\ \text{cm}^2.\)

16

Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(4\) dm и \(30\) cm. Намерете лицето му в квадратни сантиметри.

Перпендикулярни диагонали.

▼

Решение\(4\ \text{dm} = 40\) cm. Тогава \(S = \tfrac{1}{2}\cdot 40\cdot 30 = 600\ \text{cm}^2.\)

17

Намерете лицето на петоъгълника, начертан върху квадратна мрежа (страна на квадратчето \(1\) cm).

Петоъгълник върху мрежа.

▼

РешениеОграждащият правоъгълник има лице \(6\times 5 = 30\ \text{cm}^2\). Частите извън петоъгълника са \(4{,}5 + 1{,}5 + 2 + 2 = 10\ \text{cm}^2\), затова \(S = 30 - 10 = 20\ \text{cm}^2.\)

18

Парк се състои от два участъка с форма на трапец, разделени от правоъгълна алея. Горният трапец има основи \(18\) m и \(34\) m и височина \(15\) m, долният — основи \(34\) m и \(18\) m и височина \(35\) m, а алеята е с дължина \(34\) m и широчина \(2\) m. Намерете площта на парка.

Парк — два трапеца и правоъгълна алея.

▼

РешениеГорен трапец: \(\dfrac{18 + 34}{2}\cdot 15 = 390\ \text{m}^2\); долен трапец: \(\dfrac{34 + 18}{2}\cdot 35 = 910\ \text{m}^2\); алея: \(34\cdot 2 = 68\ \text{m}^2\). Площта на парка е \(390 + 910 + 68 = 1368\ \text{m}^2.\)

19

Намерете лицето на четириъгълника \(ABCD\), ако диагоналът \(AC = 15\) cm, а височините от \(B\) и \(D\) към него са съответно \(6\) cm и \(4\) cm.

Четириъгълник с диагонал \(AC\).

▼

Решение\(S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot (h_1 + h_2) = \tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot (6 + 4) = \tfrac{1}{2}\cdot 15\cdot 10 = 75\ \text{cm}^2.\)

20

Върху квадратна мрежа с дължина на страната на квадратчето \(10\) m е начертана скица на парцел. Колко декара е площта на парцела?

Парцел върху мрежа (\(10\) m).

▼

РешениеОграждаме парцела с правоъгълник \(6\times 5 = 30\) квадратчета. Извън парцела остават: горен ляв триъгълник \(\dfrac{3\cdot 2}{2} = 3\), горен десен \(\dfrac{3\cdot 2}{2} = 3\), долен десен \(\dfrac{2\cdot 3}{2} = 3\) и долна лява част \(\dfrac{1\cdot 3}{2} + \dfrac{4\cdot 1}{2} = 1{,}5 + 2 = 3{,}5\) квадратчета. Значи лицето на парцела е \(30 - (3 + 3 + 3 + 3{,}5) = 30 - 12{,}5 = 17{,}5\) квадратчета. Едно квадратче е \(10\cdot 10 = 100\ \text{m}^2\), затова \(S = 17{,}5\cdot 100 = 1750\ \text{m}^2\). Понеже \(1\) декар \(= 1000\ \text{m}^2\), площта е \(1{,}75\) декара.

21

На чертежа \(ABCD\) е трапец (\(AB \parallel CD\)), а отсечката \(DM\) е успоредна на бедрото \(BC\) (\(M\) е върху \(AB\)). Ако лицето на \(ABCD\) е \(140\ \text{m}^2\), а на \(\triangle ACD\) е \(30\ \text{m}^2\), намерете лицето на \(\triangle AMD\).

Трапец \(ABCD\) с \(DM \parallel BC\).

⭐ повишена трудност

▼

РешениеТъй като \(DM \parallel BC\) и \(MB \parallel DC\), четириъгълникът \(MBCD\) е успоредник. Триъгълникът \(ACD\) има основа \(DC\) и височина, равна на височината \(h\) на трапеца, затова \(S_{MBCD} = DC\cdot h = 2\cdot S_{\triangle ACD} = 2\cdot 30 = 60\ \text{m}^2\). Отсечката \(DM\) разделя трапеца на \(\triangle AMD\) и успоредника \(MBCD\), затова \(S_{\triangle AMD} = S_{ABCD} - S_{MBCD} = 140 - 60 = 80\ \text{m}^2.\)

22

Диагоналите на четириъгълник \(ABCD\) са перпендикулярни и се пресичат в точка \(O\). Намерете лицето на четириъгълника, ако \(AO = 5\) dm, \(CO = 3\) dm, \(BO = 4\) dm и \(DO = 6\) dm.

Перпендикулярни диагонали с пресечна точка \(O\).

⭐ повишена трудност

▼

Решение\(S_{ABCD} = \tfrac{1}{2}(AO + CO)(BO + DO) = \tfrac{1}{2}\cdot(5 + 3)(4 + 6) = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 10 = 40\ \text{dm}^2.\)

23

В \(\triangle ABC\) точката \(N\) е средата на \(BC\), а точката \(M\) е върху \(AB\) и \(AM = 2\cdot MB\). Отсечките \(AN\) и \(CM\) се пресичат в точка \(P\). Намерете лицето на четириъгълника \(MBNP\), ако \(S_{\triangle ABC} = 30\ \text{cm}^2\).

Триъгълник \(ABC\) с чевиани \(AN\) и \(CM\), \(P = AN \cap CM\).

⭐ повишена трудност

▼

РешениеНека \(x = S_{\triangle MBP}\) и \(y = S_{\triangle BNP}\). Понеже \(AM = 2\cdot MB\), триъгълниците \(AMP\) и \(MBP\) имат обща височина от \(P\), затова \(S_{\triangle AMP} = 2x\). Тъй като \(N\) е средата на \(BC\): \(S_{\triangle CNP} = S_{\triangle BNP} = y\), значи \(S_{\triangle BCP} = 2y\). Точките \(C, P, M\) лежат на една права; \(\triangle MBP\) и \(\triangle BCP\) имат обща височина от \(B\) към \(CM\), затова \(\dfrac{MP}{PC} = \dfrac{x}{2y}\). Аналогично \(\triangle AMP\) и \(\triangle APC\) имат обща височина от \(A\), затова \(\dfrac{MP}{PC} = \dfrac{2x}{S_{\triangle APC}}\). От \(\dfrac{2x}{S_{\triangle APC}} = \dfrac{x}{2y}\) следва \(S_{\triangle APC} = 4y\). Медианата \(AN\) дели \(\triangle ABC\) на две равнолицеви части: \(S_{\triangle ACN} = \dfrac{30}{2} = 15\ \text{cm}^2\). Понеже \(\triangle ACN\) се състои от \(\triangle APC\) и \(\triangle CNP\): \(4y + y = 15\), \(y = 3\). Понеже \(\triangle ABN\) се състои от \(\triangle AMP\), \(\triangle MBP\) и \(\triangle BNP\): \(2x + x + y = 15\), \(3x + 3 = 15\), \(x = 4\). Тогава \(S_{MBNP} = x + y = 4 + 3 = 7\ \text{cm}^2.\)

24

На чертежа диагоналите \(AC\) и \(BD\) на четириъгълника \(ABCD\) са перпендикулярни. Ако \(AC = 20\) cm и лицето на \(ABCD\) е \(0{,}04\ \text{m}^2\), намерете дължината на \(BD\).

Перпендикулярни диагонали.

⭐ повишена трудност

▼

Решение\(0{,}04\ \text{m}^2 = 400\ \text{cm}^2\). От \(S = \tfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\) следва \(BD = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2\cdot 400}{20} = 40\ \text{cm} = 4\) dm.

25

На чертежа точка \(M\) е средата на \(AC\), а точка \(P\) — средата на \(AB\). Ако лицето на \(\triangle MBP\) е \(6\ \text{cm}^2\), намерете лицето на четириъгълника \(PBCM\).

Триъгълник \(ABC\); \(P\) среда на \(AB\), \(M\) среда на \(AC\).

⭐ повишена трудност

▼

РешениеПонеже \(P\) е средата на \(AB\), триъгълниците \(APM\) и \(MBP\) имат равни основи \(AP = PB\) и обща височина от \(M\), затова \(S_{\triangle APM} = S_{\triangle MBP} = 6\ \text{cm}^2\). Тъй като \(P\) и \(M\) са среди на \(AB\) и \(AC\), \(\triangle APM\) е подобен на \(\triangle ABC\) с коефициент \(\tfrac{1}{2}\), затова \(S_{\triangle ABC} = 4\cdot S_{\triangle APM} = 4\cdot 6 = 24\ \text{cm}^2\). Тогава \(S_{PBCM} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle APM} = 24 - 6 = 18\ \text{cm}^2.\)

📝 Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(10\) cm и \(4\) cm. Намерете лицето му.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 4 = 20\ \text{cm}^2.\)

Задача 2Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(12\) cm и \(5\) cm. Намерете лицето му.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 5 = 30\ \text{cm}^2.\)

Задача 3Диагоналът \(AC = 8\) cm разделя четириъгълника \(ABCD\) на два триъгълника. Разстоянията от \(B\) и \(D\) до \(AC\) са \(3\) cm и \(5\) cm. Намерете лицето му.

Четириъгълник с диагонал.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot (3 + 5) = 4\cdot 8 = 32\ \text{cm}^2.\)

Задача 4Намерете лицето на четириъгълник с диагонал \(AC = 10\) cm, ако разстоянията от другите два върха до него са \(2\) cm и \(4\) cm.

Четириъгълник с диагонал.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot (2 + 4) = 5\cdot 6 = 30\ \text{cm}^2.\)

Задача 5Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни. Лицето му е \(18\ \text{cm}^2\), а единият диагонал е \(6\) cm. Намерете другия диагонал.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2\cdot 18}{6} = 6\) cm.

Задача 6Намерете лицето на четириъгълника върху квадратната мрежа (страна на квадратчето \(1\) cm).

Четириъгълник върху мрежа.

Отг.: \(S = 15\ \text{cm}^2\) (разлагане на триъгълници или ограждане с правоъгълник).

Задача 7Градина-правоъгълник е с размери \(10\) m и \(6\) m. В единия край има площадка с форма на правоъгълен трапец с основи \(4\) m и \(2\) m и височина \(3\) m. Колко квадратни метра е затревената площ?

Градина с площадка — правоъгълен трапец.

Отг.: \(10\cdot 6 = 60\); площадка \(\dfrac{4 + 2}{2}\cdot 3 = 9\); затревено \(60 - 9 = 51\ \text{m}^2.\)

Задача 8Колко декара е триъгълен парцел с основа \(300\) m и височина \(200\) m? (\(1\) декар \(= 1000\ \text{m}^2\))

Парцел с триъгълник.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 300\cdot 200 = 30000\ \text{m}^2 = 30\) декара.

Задача 9Лозе с форма на четириъгълник с перпендикулярни диагонали \(10\) m и \(9\) m е продадено по \(2{,}50\) евро за квадратен метър. За колко евро е продадено?

Лозе.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 9 = 45\ \text{m}^2\); цена \(= 45\cdot 2{,}50 = 112{,}50\) евро.

Задача 10Фигура е съставена от квадрат и четири равностранни триъгълника. Обиколката ѝ е \(24\) cm, а височината на равностранния триъгълник е \(h \approx 2{,}6\) cm. Намерете лицето ѝ.

Квадрат с 4 равностранни триъгълника.

Отг.: страна \(= 24 : 8 = 3\); квадрат \(3\cdot 3 = 9\); триъгълник \(\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 2{,}6 = 3{,}9\); общо \(9 + 4\cdot 3{,}9 = 24{,}6\ \text{cm}^2.\)

Задача 11Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(5\) dm и \(40\) cm. Намерете лицето му в квадратни сантиметри.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(5\ \text{dm} = 50\) cm; \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 50\cdot 40 = 1000\ \text{cm}^2.\)

Задача 12Намерете лицето на защрихования четириъгълник, като го оградите с правоъгълник (страна на квадратчето \(1\) cm).

Четириъгълник върху мрежа.

Отг.: правоъгълник \(6\times 5 = 30\); минус ъгловите триъгълници \(= 15\ \text{cm}^2.\)

Задача 13Диагоналът \(AC = 12\) cm на четириъгълник, а лицето му е \(36\ \text{cm}^2\). Разстоянието от единия връх до \(AC\) е \(2\) cm. Намерете разстоянието от другия връх.

Четириъгълник с диагонал.

Отг.: \(h_1 + h_2 = \dfrac{2\cdot 36}{12} = 6\); \(h_2 = 6 - 2 = 4\) cm.

Задача 14Намерете лицето на петоъгълника върху квадратната мрежа (страна на квадратчето \(1\) cm).

Петоъгълник върху мрежа.

Отг.: \(S = 22\ \text{cm}^2.\)

Задача 15Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(9\) cm и \(8\) cm. Намерете лицето му.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 9\cdot 8 = 36\ \text{cm}^2.\)

Задача 16Парк се състои от два трапеца с общи основи \(12\) m и \(20\) m, разделени от правоъгълна алея с дължина \(20\) m и широчина \(2\) m. Височините на трапците са \(10\) m и \(20\) m. Намерете площта на парка.

Парк — два трапеца и правоъгълна алея.

Отг.: \(\dfrac{12 + 20}{2}\cdot 10 = 160\); \(\dfrac{12 + 20}{2}\cdot 20 = 320\); алея \(20\cdot 2 = 40\); общо \(160 + 320 + 40 = 520\ \text{m}^2.\)

Задача 17Върху мрежа със страна \(10\) m е начертан парцел. Колко декара е площта му?

Парцел върху мрежа.

Отг.: \(13\) квадратчета \(\times 100 = 1300\ \text{m}^2 = 1{,}3\) декара.

Задача 18Правоъгълник е разделен на четири правоъгълника. Лицата на три от тях са \(40\ \text{cm}^2\), \(60\ \text{cm}^2\) и \(120\ \text{cm}^2\). Намерете лицето на целия правоъгълник.

Правоъгълник, разделен на 4 части.

Отг.: четвъртото лице \(= \dfrac{60\cdot 120}{40} = 180\); общо \(40 + 60 + 120 + 180 = 400\ \text{cm}^2.\)

Задача 19При върха на квадрат е изрязан малък квадрат и се получава фигура с лице \(96\ \text{cm}^2\). Страната на изрязания квадрат е с \(8\) cm по-малка от страната на големия. Намерете лицето на изрязаната част.

Квадрат с изрязан ъгъл.

Отг.: \(x\cdot x - (x - 8)\cdot (x - 8) = 96\), \(16x - 64 = 96\), \(x = 10\); изрязан квадрат страна \(2\), лице \(4\ \text{cm}^2.\)

Задача 20Диагоналът \(BD = 14\) cm на четириъгълник \(ABCD\). Разстоянията от \(A\) и \(C\) до него са \(5\) cm и \(3\) cm. Намерете лицето на четириъгълника.

Четириъгълник с диагонал \(BD\).

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 14\cdot (5 + 3) = 7\cdot 8 = 56\ \text{cm}^2.\)

Задача 21 — с повишена трудностДиагоналите на четириъгълник \(ABCD\) са перпендикулярни и се пресичат в \(O\). Намерете лицето му, ако \(AO = 6\) cm, \(CO = 4\) cm, \(BO = 5\) cm и \(DO = 3\) cm.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}(AO + CO)(BO + DO) = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 8 = 40\ \text{cm}^2.\)

Задача 22 — с повишена трудност\(ABCD\) е трапец (\(AB \parallel CD\)), а \(DM \parallel BC\) (\(M\) върху \(AB\)). Лицето на \(ABCD\) е \(160\ \text{m}^2\), а на \(\triangle ACD\) — \(45\ \text{m}^2\). Намерете лицето на \(\triangle AMD\).

Трапец \(ABCD\) с \(DM \parallel BC\).

Отг.: \(S_{MBCD} = 2\cdot S_{\triangle ACD} = 90\); \(S_{\triangle AMD} = 160 - 90 = 70\ \text{m}^2.\)

Задача 23 — с повишена трудностДаден е четириъгълник \(ABCD\) с лице \(9600\ \text{cm}^2\) и диагонал \(BD = 2{,}4\) m. Намерете разстоянието от върха \(A\) до \(BD\), ако върхът \(C\) е на разстояние \(45\) cm от него.

Четириъгълник с диагонал \(BD\).

Отг.: \(2{,}4\ \text{m} = 240\) cm; \(h_A + h_C = \dfrac{2\cdot 9600}{240} = 80\); \(h_A = 80 - 45 = 35\) cm.

Задача 24 — с повишена трудностДаден е четириъгълник \(ABCD\) с перпендикулярни диагонали. Ако диагоналът \(BD = 6\) dm и лицето му е \(367{,}2\ \text{cm}^2\), намерете дължината на диагонала \(AC\).

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(6\ \text{dm} = 60\) cm; \(AC = \dfrac{2S}{BD} = \dfrac{2\cdot 367{,}2}{60} = 12{,}24\) cm.

Задача 25 — с повишена трудностТочките \(M\), \(N\) и \(P\) са средите съответно на \(AB\), \(AC\) и \(BN\) в \(\triangle ABC\). Ако \(S_{\triangle MPN} = 105\ \text{cm}^2\), намерете лицето на \(\triangle ABC\).

Триъгълник \(ABC\); \(M, N, P\) среди на \(AB, AC, BN\).

Отг.: Понеже \(M, N\) са среди на \(AB, AC\), \(\triangle AMN\) е подобен на \(\triangle ABC\) с коефициент \(\tfrac{1}{2}\), затова \(S_{\triangle AMN} = \tfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}\) и \(S_{\triangle BMN} = \tfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}\). Тъй като \(P\) е средата на \(BN\), \(S_{\triangle MPN} = \tfrac{1}{2}S_{\triangle BMN} = \tfrac{1}{8}S_{\triangle ABC}\). От \(S_{\triangle MPN} = 105\): \(S_{\triangle ABC} = 8\cdot 105 = 840\ \text{cm}^2.\)

Задача 26Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(7\) cm и \(6\) cm. Намерете лицето му.

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 6 = 21\ \text{cm}^2.\)

Задача 27Диагоналът \(AC = 16\) cm разделя четириъгълник на два триъгълника. Разстоянията от другите върхове до \(AC\) са \(3\) cm и \(5\) cm. Намерете лицето му.

Четириъгълник с диагонал.

Отг.: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot (3 + 5) = 8\cdot 8 = 64\ \text{cm}^2.\)

Задача 28Намерете лицето на четириъгълника върху квадратната мрежа (страна на квадратчето \(1\) cm).

Четириъгълник върху мрежа.

Отг.: \(S = 15\ \text{cm}^2.\)

Задача 29 — с повишена трудностДиагоналите на четириъгълник \(ABCD\) са перпендикулярни и се пресичат в \(O\), като \(AO = 8\) cm, \(OC = 2\) cm, \(BO = OD = 5\) cm. Намерете лицето на четириъгълника и на \(\triangle AOB\).

Перпендикулярни диагонали.

Отг.: \(S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 5 = 20\ \text{cm}^2\); \(S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}(8 + 2)(5 + 5) = \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 10 = 50\ \text{cm}^2.\)

Задача 30Правоъгълна градина \(12\) m на \(7\) m има в единия край площадка-трапец с основи \(5\) m и \(3\) m и височина \(4\) m. Намерете затревената площ.

Градина с площадка — правоъгълен трапец.

Отг.: \(12\cdot 7 = 84\); площадка \(\dfrac{5 + 3}{2}\cdot 4 = 16\); затревено \(84 - 16 = 68\ \text{m}^2.\)

✅ Онлайн тест

Тест: Лица на геометрични фигури, образувани от изучените фигури

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Отбележете по един отговор на всеки въпрос и натиснете бутона.

1Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(8\) cm и \(6\) cm. Лицето му е:

\(24\ \text{cm}^2\)\(48\ \text{cm}^2\)\(14\ \text{cm}^2\)\(28\ \text{cm}^2\)

2Диагоналът \(AC = 12\) cm, а разстоянията от другите два върха до него са \(4\) cm и \(6\) cm. Лицето на четириъгълника е:

\(30\ \text{cm}^2\)\(60\ \text{cm}^2\)\(120\ \text{cm}^2\)\(72\ \text{cm}^2\)

3Лицето на четириъгълника върху мрежата (страна на квадратчето \(1\) cm) е:

\(18\ \text{cm}^2\)\(16{,}5\ \text{cm}^2\)\(15\ \text{cm}^2\)\(20\ \text{cm}^2\)

4Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни. Лицето му е \(30\ \text{cm}^2\), а единият диагонал — \(12\) cm. Другият диагонал е:

\(2{,}5\) cm\(60\) cm\(2\) cm\(5\) cm

5Градина \(10\times 6\) m има площадка-трапец с основи \(4\) m и \(2\) m и височина \(3\) m. Затревената площ е:

\(51\ \text{m}^2\)\(60\ \text{m}^2\)\(9\ \text{m}^2\)\(42\ \text{m}^2\)

6Триъгълен парцел има основа \(200\) m и височина \(100\) m. Площта му в декари е:

\(5\)\(10\)\(20\)\(1\)

7Лозе-четириъгълник с перпендикулярни диагонали \(8\) m и \(6\) m е продадено по \(2{,}50\) евро/\(\text{m}^2\). Продадено е за:

\(24\) евро\(120\) евро\(60\) евро\(48\) евро

8Диагоналите на четириъгълник са перпендикулярни и имат дължини \(5\) dm и \(30\) cm. Лицето му в квадратни сантиметри е:

\(75\)\(150\)\(375\)\(750\)

9Диагоналът \(AC = 10\) cm, лицето на четириъгълника е \(40\ \text{cm}^2\), а едната височина към \(AC\) е \(3\) cm. Другата височина е:

\(5\) cm\(8\) cm\(4\) cm\(6\) cm

10Фигура от квадрат и 4 равностранни триъгълника има обиколка \(32\) cm. Страната на квадрата е:

\(8\) cm\(4\) cm\(16\) cm\(3\) cm

11Лицето на петоъгълника върху мрежата (страна на квадратчето \(1\) cm) е:

\(18\ \text{cm}^2\)\(22\ \text{cm}^2\)\(20\ \text{cm}^2\)\(25\ \text{cm}^2\)

12Перпендикулярните диагонали на четириъгълник се пресичат в \(O\): \(AO = 5\), \(CO = 3\), \(BO = 4\), \(DO = 6\) (в cm). Лицето му е:

\(30\ \text{cm}^2\)\(80\ \text{cm}^2\)\(20\ \text{cm}^2\)\(40\ \text{cm}^2\)

13Правоъгълник е разделен на 4 правоъгълника с лица \(75\), \(150\), \(225\ \text{cm}^2\) (и четвърто). Обиколката на квадрат с лице, равно на правоъгълника, е:

\(120\) cm\(90\) cm\(30\) cm\(60\) cm

14\(ABCD\) е трапец, \(DM \parallel BC\) (\(M\) върху \(AB\)). \(S_{ABCD} = 140\ \text{m}^2\), \(S_{\triangle ACD} = 30\ \text{m}^2\). Лицето на \(\triangle AMD\) е:

\(60\ \text{m}^2\)\(80\ \text{m}^2\)\(70\ \text{m}^2\)\(100\ \text{m}^2\)

15\(M\) е средата на \(AC\), \(P\) — средата на \(AB\). Ако \(S_{\triangle MBP} = 6\ \text{cm}^2\), лицето на четириъгълника \(PBCM\) е:

\(12\ \text{cm}^2\)\(24\ \text{cm}^2\)\(18\ \text{cm}^2\)\(30\ \text{cm}^2\)

0 / 60 точки

Верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видеоуроци

🎥

Видеоурок — очаквайте скоро

Видеоурокът по темата е в процес на подготовка.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

51

Лице на трапец

Лице на трапец по формулата \(S = \dfrac{{a + b}}{{2}}\cdot h\).

Към урока →

49

Лице на успоредник

Лице на успоредник и ромб по формулата \(S = a\cdot h\).

Към урока →

47

Лице на триъгълник

Лице на триъгълник \(S = \dfrac{{a\cdot h_a}}{{2}}\).

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆