📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Умножение на дроби

Умножение на обикновени дроби

Умножение на естествено число с дроб, правило за умножение на две дроби, съкращаване преди умножението, умножение на смесени числа, реципрочни числа, обиколка и лице. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Умножение на дроби Съкращаване Смесени числа

Умножението на дроби е най-простото от четирите действия — не се налага общ знаменател. Числителите се умножават с числителите, знаменателите — със знаменателите, и толкова. Затова пък се появява едно ново умение, което пести много работа: съкращаването още преди да сме умножили. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

✖️ Умножение на естествено число с дроб

Умножението с естествено число е съкратен запис на повтарящо се събиране: \[n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}.\] Умножаваме числителя по числото, а знаменателят остава същият.

\(\dfrac{2}{7}\)

\(\dfrac{2}{7}\)

\(\dfrac{2}{7}\)

\(\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} = 3 \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 \cdot 2}{7} = \dfrac{6}{7}\)

📋 Правило за умножение на две дроби

Две обикновени дроби умножаваме, като умножим числителите им и полученото произведение запишем за числител, а за знаменател запишем произведението на знаменателите: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.\]

Пример. \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).
Освен това \(0 \cdot \dfrac{a}{b} = 0\) и \(1 \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\).

Квадратът е разделен на \(3\) стълба и \(4\) реда, тоест на \(12\) равни квадратчета. Тъмната част е \(\dfrac{2}{3}\) от \(\dfrac{3}{4}\) и заема \(6\) от тях: \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).

✂️ Съкращаване преди умножението

Преди да умножим, е удобно да съкратим — както вътре във всеки множител, така и между числител на едната дроб и знаменател на другата. Така работим с малки числа и резултатът веднага се получава несъкратим.

Пример. \(\dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{8}{27}\): съкращаваме \(9\) и \(27\) на \(9\), а \(8\) и \(20\) на \(4\): \[\frac{9}{20} \cdot \frac{8}{27} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{2}{15}.\] Ако умножим направо, ще получим \(\dfrac{72}{540}\) — същата дроб, но със значително повече сметки.

🧮 Умножение на смесени числа

Смесените числа първо записваме като неправилни дроби и след това умножаваме получените дроби.

Пример. \(1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{21}{10} = \dfrac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}\) (съкращаваме \(5\) с \(10\) и \(21\) с \(3\)).
Целите части не се умножават отделно — това е честа грешка.

🔄 Реципрочни числа

Две ненулеви числа се наричат реципрочни (взаимно обратни), ако произведението им е \(1\). Ако \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\), дробите \(\dfrac{a}{b}\) и \(\dfrac{b}{a}\) са реципрочни: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1.\] Например \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = 1\) и \(\dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{25}{12} = 1\). Числото \(0\) няма реципрочно число.

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Запишете сборовете като произведение и ги пресметнете: а) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12}\).

▼

Решениеа) \(3 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{8}\).
б) \(4 \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}\).

2

Намерете произведението: а) \(4 \cdot \dfrac{2}{7}\); б) \(\dfrac{3}{11} \cdot 5\); в) \(6 \cdot \dfrac{5}{24}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{4 \cdot 2}{7} = \dfrac{8}{7}\).
б) \(\dfrac{3 \cdot 5}{11} = \dfrac{15}{11}\).
в) \(\dfrac{6 \cdot 5}{24} = \dfrac{30}{24} = \dfrac{5}{4}\) (или направо съкращаваме \(6\) с \(24\)).

3

Намерете произведението: а) \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5}\); б) \(\dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{7}{4}\); в) \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \dfrac{4}{15}\).
б) \(\dfrac{2 \cdot 7}{9 \cdot 4} = \dfrac{14}{36} = \dfrac{7}{18}\).
в) \(\dfrac{5 \cdot 3}{8 \cdot 7} = \dfrac{15}{56}\).

4

Извършете умножението и съкратете получената дроб: а) \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9}\); б) \(\dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{7}{15}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}\).
б) \(\dfrac{35}{210} = \dfrac{1}{6}\).
Забележете колко по-леко е, ако съкратим предварително: в а) \(3\) с \(9\) и \(4\) с \(8\); в б) \(5\) с \(15\) и \(7\) с \(14\).

5

Извършете съкращения преди умножението и намерете произведението: а) \(\dfrac{6}{25} \cdot \dfrac{15}{8}\); б) \(\dfrac{21}{40} \cdot \dfrac{16}{35}\).

▼

Решениеа) Съкращаваме \(6\) с \(8\) на \(2\) и \(15\) с \(25\) на \(5\): \(\dfrac{3 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \dfrac{9}{20}\).
б) Съкращаваме \(21\) с \(35\) на \(7\) и \(16\) с \(40\) на \(8\): \(\dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \dfrac{6}{25}\).

6

Пресметнете: а) \(0 \cdot \dfrac{7}{13}\); б) \(1 \cdot \dfrac{9}{17}\); в) \(\dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{25}{12}\).

▼

Решениеа) \(0\).  б) \(\dfrac{9}{17}\).  в) \(\dfrac{12 \cdot 25}{25 \cdot 12} = 1\) — двете дроби са реципрочни.

7

Умножете: а) \(\dfrac{3}{7}\) и \(\dfrac{7}{3}\); б) \(\dfrac{5}{11}\) и \(\dfrac{11}{5}\). Как се наричат тези двойки числа?

▼

Решениеа) \(\dfrac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = 1\).  б) \(\dfrac{5 \cdot 11}{11 \cdot 5} = 1\).
И в двата случая произведението е \(1\), защото числата са реципрочни (обратни).

8

Запишете смесените числа като неправилни дроби и умножете: а) \(2\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{5}\); б) \(1\dfrac{2}{3} \cdot 2\dfrac{1}{10}\).

▼

Решениеа) \(2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4}\), затова \(\dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{27}{20}\).
б) \(1\dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\) и \(2\dfrac{1}{10} = \dfrac{21}{10}\); съкращаваме \(5\) с \(10\) и \(21\) с \(3\): \(\dfrac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}\).

9

Намерете произведението: а) \(2\dfrac{1}{3} \cdot 1\dfrac{5}{7}\); б) \(\dfrac{3}{8} \cdot 12\dfrac{2}{3}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{12}{7} = \dfrac{12}{3} = 4\).
б) \(12\dfrac{2}{3} = \dfrac{38}{3}\), затова \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{38}{3} = \dfrac{38}{8} = \dfrac{19}{4} = 4\dfrac{3}{4}\).

10

Пресметнете: а) \(4 \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{10}\); б) \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{15}{8} \cdot \dfrac{4}{9}\).

▼

РешениеИзвършваме действията отляво надясно.
а) \(4 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}\); \(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{3}{10} = 1\).
б) \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4}\); \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{3}\).

11

Намерете \(3 \cdot a\), ако \(a = \dfrac{5}{9}\), и \(4 \cdot a\), ако \(a = \dfrac{7}{8}\).

▼

Решение\(3 \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}\);  \(4 \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}\).

12

Открийте кои числа трябва да поставите на мястото на \(*\): а) \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \cdot *}{5 \cdot *} = \dfrac{6}{35}\); б) \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{*}{*} = \dfrac{4 \cdot 5}{9 \cdot 11} = \dfrac{20}{99}\).

▼

Решениеа) На мястото на звездичките стоят числителят и знаменателят на втората дроб: \(3\) и \(7\).
б) Втората дроб е \(\dfrac{5}{11}\).

13

Кое е вярното равенство? А) \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{3}\); Б) \(\dfrac{5}{9} \cdot 3 = \dfrac{5}{27}\); В) \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{7}{3} = 1\); Г) \(\dfrac{4}{5} \cdot 2 = \dfrac{6}{5}\).

▼

РешениеА) \(\dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \dfrac{10}{9}\) — грешно.
Б) \(\dfrac{5 \cdot 3}{9} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}\) — грешно (умножава се числителят, а не знаменателят).
В) \(\dfrac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = 1\) — вярно.
Г) \(\dfrac{4 \cdot 2}{5} = \dfrac{8}{5}\) — грешно.

14

Поставете знак \(\lt\), \(\gt\) или \(=\): а) \(\dfrac{2}{3} \cdot 6\) и \(4\); б) \(\dfrac{3}{4} \cdot 5\) и \(4\); в) \(1\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}\) и \(1\); г) \(2\dfrac{1}{4} \cdot 2\) и \(4\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{12}{3} = 4\) → знак \(=\).
б) \(\dfrac{15}{4} = 3\dfrac{3}{4}\) → знак \(\lt\).
в) \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = 1\) → знак \(=\).
г) \(\dfrac{9}{2} = 4\dfrac{1}{2}\) → знак \(\gt\).

15

Пресметнете стойността на израза: а) \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9} + \dfrac{1}{3}\); б) \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8}\).

▼

РешениеПърво се извършва умножението, след това събирането или изваждането.
а) \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac{2}{3}\), значи \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\).
б) \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{8}\), значи \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).

16

Пресметнете стойността на израза: а) \(2\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{3}{5} + 2\); б) \(4\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{9} - 3\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{8}{5} = 4\), значи \(4 + 2 = 6\).
б) \(\dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{10}{9} = 5\), значи \(5 - 3 = 2\).

17

Намерете произведението на дробта \(\dfrac{8}{15}\) със сбора на дробите \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{1}{4}\).

▼

РешениеСборът е \(\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Произведението е \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \dfrac{2}{5}\).

18

Намерете произведението на сбора \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3}\) с разликата \(2\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\).

▼

РешениеСборът е \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\), а разликата е \(2\).
Произведението е \(\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\).

19

Страната на квадрат е \(4\dfrac{1}{2}\) cm. Намерете обиколката и лицето на квадрата.

▼

Решение\(4\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}\) cm.
Обиколка: \(4 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\) cm.
Лице: \(\dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{81}{4} = 20\dfrac{1}{4}\) cm².

20

Едната страна на правоъгълник е \(3\dfrac{1}{5}\) cm, а другата е два пъти по-дълга. Намерете обиколката и лицето на правоъгълника.

▼

Решение\(3\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{5}\) cm, а другата страна е \(2 \cdot \dfrac{16}{5} = \dfrac{32}{5} = 6\dfrac{2}{5}\) cm.
Обиколка: \(2 \cdot \left(\dfrac{16}{5} + \dfrac{32}{5}\right) = 2 \cdot \dfrac{48}{5} = \dfrac{96}{5} = 19\dfrac{1}{5}\) cm.
Лице: \(\dfrac{16}{5} \cdot \dfrac{32}{5} = \dfrac{512}{25} = 20\dfrac{12}{25}\) cm².

21

При равномерно движение изминатият път \(S\), скоростта \(V\) и времето \(t\) са свързани със зависимостта \(S = V \cdot t\). Намерете \(S\), ако: а) \(V = 4\dfrac{1}{2}\) km в час и \(t = 2\dfrac{2}{3}\) h; б) \(V = 3\dfrac{3}{5}\) km в час и \(t = \dfrac{5}{6}\) h.⭐ повишена трудност

▼

Решениеа) \(S = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{3 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 12\) km.
б) \(S = \dfrac{18}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = 3\) km.

22

В склад на пекарна има \(15\) kg брашно. За приготвянето на хляб са взели \(3\) пъти по \(\dfrac{3}{4}\) kg, \(2\) пъти по \(1\dfrac{1}{2}\) kg и \(4\) пъти по \(\dfrac{1}{2}\) kg брашно. Колко брашно е останало в склада?⭐ повишена трудност

▼

РешениеВзетото брашно е:
\(3 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}\) kg; \(2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3\) kg; \(4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2\) kg.
Общо: \(2\dfrac{1}{4} + 3 + 2 = 7\dfrac{1}{4}\) kg.
Остават \(15 - 7\dfrac{1}{4} = 7\dfrac{3}{4}\) kg брашно.

23

Една градина е с площ \(\dfrac{4}{5}\) декара, а \(\dfrac{3}{4}\) от градината са засадени с ягоди. Каква площ от целия декар е засадена с ягоди?⭐ повишена трудност

▼

РешениеТърсим \(\dfrac{3}{4}\) от \(\dfrac{4}{5}\) декара, тоест произведението:
\(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\). С ягоди са засадени \(\dfrac{3}{5}\) декара.

24

Мария решила в петък \(\dfrac{2}{9}\) от задачите си за домашно, а в събота — три пъти толкова, колкото в петък. Каква част от домашното ѝ е останала да реши?⭐ повишена трудност

▼

РешениеВ събота Мария е решила \(3 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9}\) от задачите.
За двата дни: \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{9}\).
Остава ѝ \(\dfrac{9}{9} - \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{9}\) от домашното.

25

Пресметнете стойността на израза \(2\dfrac{1}{2} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{5}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{6}\right)\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеПърво пресмятаме скобите и записваме \(2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\): \[\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}.\] В произведението числителят на всяка дроб се съкращава със знаменателя на предходната: \(2\) с \(2\), \(3\) с \(3\), \(4\) с \(4\) и \(5\) с \(5\). Остават \(5\) в числителя и \(6\) в знаменателя, тоест \(\dfrac{5}{6}\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Запишете сбора \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7}\) като произведение и го пресметнете.
Отг.: \(5 \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{10}{7}\).

Задача 2Намерете произведението: а) \(3 \cdot \dfrac{4}{9}\); б) \(\dfrac{5}{6} \cdot 7\).
Отг.: а) \(\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\); б) \(\dfrac{35}{6}\).

Задача 3Намерете произведението: а) \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{7}\); б) \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{8}\).
Отг.: а) \(\dfrac{6}{35}\); б) \(\dfrac{20}{72} = \dfrac{5}{18}\).

Задача 4Намерете произведението: а) \(\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{8}{21}\).
Отг.: а) \(\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{56}{252} = \dfrac{2}{9}\).

Задача 5Извършете съкращения преди умножението: а) \(\dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{8}{15}\); б) \(\dfrac{14}{25} \cdot \dfrac{10}{21}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \dfrac{3}{10}\); б) \(\dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \dfrac{4}{15}\).

Задача 6Пресметнете: а) \(0 \cdot \dfrac{5}{9}\); б) \(1 \cdot \dfrac{13}{20}\); в) \(\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{8}{7}\).
Отг.: а) \(0\); б) \(\dfrac{13}{20}\); в) \(1\).

Задача 7Умножете \(\dfrac{4}{9}\) и \(\dfrac{9}{4}\). Как се наричат тези две числа?
Отг.: произведението е \(1\); числата са реципрочни (обратни).

Задача 8Запишете като неправилни дроби и умножете: \(1\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{5}{8} = 1\).

Задача 9Умножете \(2\dfrac{2}{3} \cdot 1\dfrac{1}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{9}{8} = 3\).

Задача 10Умножете \(3\dfrac{1}{2} \cdot 2\dfrac{4}{7}\).
Отг.: \(\dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{18}{7} = 9\).

Задача 11Умножете \(\dfrac{5}{6} \cdot 2\dfrac{2}{5}\).
Отг.: \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{12}{5} = 2\).

Задача 12Пресметнете \(3 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\).

Задача 13Пресметнете \(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{8} \cdot \dfrac{2}{3}\).
Отг.: \(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{8} = \dfrac{3}{2}\); \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = 1\).

Задача 14Намерете \(5 \cdot a\), ако \(a = \dfrac{3}{10}\).
Отг.: \(\dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).

Задача 15Открийте кои числа стоят на мястото на \(*\): \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{3 \cdot *}{8 \cdot *} = \dfrac{15}{56}\).
Отг.: \(5\) и \(7\).

Задача 16Кое е вярното равенство? А) \(\dfrac{2}{5} \cdot 3 = \dfrac{6}{15}\); Б) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1\); В) \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{9}\); Г) \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 1\).
Отг.: Б).

Задача 17Поставете знак \(\lt\), \(\gt\) или \(=\): а) \(\dfrac{3}{5} \cdot 10\) и \(6\); б) \(\dfrac{2}{3} \cdot 5\) и \(4\).
Отг.: а) \(=\); б) \(\lt\) (\(\dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}\)).

Задача 18Поставете знак \(\lt\), \(\gt\) или \(=\): а) \(1\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{5}\) и \(1\); б) \(2\dfrac{1}{2} \cdot 3\) и \(7\).
Отг.: а) \(=\); б) \(\gt\) (\(\dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2}\)).

Задача 19Пресметнете \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{8} + \dfrac{1}{4}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\).

Задача 20Пресметнете \(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{12}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{12}\).

Задача 21Пресметнете \(1\dfrac{1}{3} \cdot 1\dfrac{1}{2} + 3\).
Отг.: \(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = 2\); \(2 + 3 = 5\).

Задача 22Пресметнете \(3\dfrac{3}{4} \cdot 1\dfrac{1}{5} - 2\).
Отг.: \(\dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{9}{2} = 4\dfrac{1}{2}\); \(4\dfrac{1}{2} - 2 = 2\dfrac{1}{2}\).

Задача 23Намерете произведението на дробта \(\dfrac{9}{14}\) със сбора на дробите \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{6}\).
Отг.: сборът е \(\dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{28}\).

Задача 24Намерете произведението на сбора \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8}\) с разликата \(3\dfrac{1}{2} - 1\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\).

Задача 25Страната на квадрат е \(2\dfrac{1}{3}\) cm. Намерете обиколката и лицето на квадрата.
Отг.: обиколка \(4 \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{3} = 9\dfrac{1}{3}\) cm; лице \(\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{49}{9} = 5\dfrac{4}{9}\) cm².

Задача 26Едната страна на правоъгълник е \(2\dfrac{1}{2}\) cm, а другата е три пъти по-дълга. Намерете обиколката и лицето на правоъгълника.
Отг.: другата страна е \(\dfrac{15}{2} = 7\dfrac{1}{2}\) cm; обиколка \(2 \cdot \left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{2}\right) = 20\) cm; лице \(\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{15}{2} = \dfrac{75}{4} = 18\dfrac{3}{4}\) cm².

Задача 27При равномерно движение \(S = V \cdot t\). Намерете \(S\), ако \(V = 6\dfrac{2}{3}\) km в час и \(t = \dfrac{3}{4}\) h.
Отг.: \(\dfrac{20}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = 5\) km.

Задача 28В магазин доставили \(8\dfrac{1}{4}\) kg портокали, а масата на доставените банани е два пъти по-голяма от масата на доставените портокали. Колко килограма плодове са доставили общо?
Отг.: банани \(2 \cdot \dfrac{33}{4} = \dfrac{33}{2} = 16\dfrac{1}{2}\) kg; общо \(8\dfrac{1}{4} + 16\dfrac{1}{2} = 24\dfrac{3}{4}\) kg.

Задача 29Една нива е с площ \(\dfrac{5}{8}\) декара, а \(\dfrac{2}{5}\) от нивата са засадени с домати. Каква площ е засадена с домати?
Отг.: \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{4}\) декара.

Задача 30 — с повишена трудностПресметнете \(\left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{9}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{16}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{25}\right)\).
Отг.: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{15}{16} \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{3}{5}\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Умножение на обикновени дроби

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Две обикновени дроби се умножават, като:

умножим числителите и умножим знаменателитеумножим числителите, а знаменателят остане същиятги приведем към общ знаменателумножим числителя на едната със знаменателя на другата

2Произведението \(3 \cdot \dfrac{2}{7}\) е равно на:

\(\dfrac{6}{21}\)\(\dfrac{6}{7}\)\(\dfrac{2}{21}\)\(\dfrac{5}{7}\)

3Произведението \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5}\) е равно на:

\(\dfrac{5}{12}\)\(\dfrac{4}{15}\)\(\dfrac{4}{8}\)\(\dfrac{1}{15}\)

4Произведението \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9}\), записано с несъкратима дроб, е:

\(\dfrac{12}{17}\)\(\dfrac{27}{32}\)\(\dfrac{1}{6}\)\(\dfrac{7}{17}\)

5Произведението \(0 \cdot \dfrac{7}{13}\) е равно на:

\(\dfrac{7}{13}\)\(0\)\(1\)\(\dfrac{13}{7}\)

6Произведението \(\dfrac{12}{25} \cdot \dfrac{25}{12}\) е равно на:

\(0\)\(1\)\(\dfrac{144}{625}\)\(\dfrac{25}{12}\)

7Как се наричат числата \(\dfrac{3}{7}\) и \(\dfrac{7}{3}\)?

равниправилниреципрочни (обратни)смесени

8При умножение на смесени числа първо:

ги записваме като неправилни дробиумножаваме отделно целите частиги привеждаме към общ знаменателсъбираме цялата и дробната част

9Произведението \(2\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{5}\) е равно на:

\(\dfrac{6}{20}\)\(\dfrac{27}{20}\)\(2\dfrac{3}{20}\)\(\dfrac{6}{9}\)

10Произведението \(2\dfrac{1}{3} \cdot 1\dfrac{5}{7}\) е равно на:

\(2\dfrac{5}{21}\)\(3\)\(4\)\(3\dfrac{1}{2}\)

11Лицето на квадрат със страна \(4\dfrac{1}{2}\) cm е:

\(18\) cm²\(20\dfrac{1}{4}\) cm²\(16\dfrac{1}{4}\) cm²\(9\) cm²

12Изразът \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9} + \dfrac{1}{3}\) е равен на:

\(\dfrac{2}{3}\)\(1\)\(\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{3}{5}\)

13При \(S = V \cdot t\), \(V = 4\dfrac{1}{2}\) km в час и \(t = 2\dfrac{2}{3}\) h изминатият път е:

\(8\) km\(12\) km\(10\dfrac{2}{3}\) km\(7\dfrac{1}{6}\) km

14Градина с площ \(\dfrac{4}{5}\) декара е засадена с ягоди на \(\dfrac{3}{4}\) от площта си. Каква площ от целия декар е засадена с ягоди?

\(\dfrac{4}{5}\)\(\dfrac{12}{5}\)\(\dfrac{3}{5}\)\(\dfrac{3}{4}\)

15Стойността на израза \(2\dfrac{1}{2} \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{5}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{6}\right)\) е:

\(1\)\(\dfrac{5}{6}\)\(\dfrac{5}{2}\)\(\dfrac{1}{6}\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

22

Събиране и изваждане на обикновени дроби. Намиране на неизвестно събираемо, умаляемо и умалител

Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: изрази с няколко действия и намиране на неизвестно число.

Към урока →

19

Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна обикновена дроб и обратно

Урок за 5. клас — преминаването към неправилна дроб е първата стъпка при умножение на смесени числа.

Към урока →

15

Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на обикновени дроби

Урок за 5. клас — съкращаването, което прилагаме още преди умножението, за да работим с малки числа.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆