📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Смесени числа

Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна обикновена дроб и обратно

Цяла и дробна част на смесено число, превръщане на смесено число в неправилна дроб, изключване на цялото, смесено число при мерни единици, реципрочно число на смесено число. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Смесени числа Неправилна дроб Изключване на цялото

Когато разделим \(7\) еднакви шоколада поравно между \(4\) деца, всяко дете получава по \(\dfrac{7}{4}\) шоколада. Този запис е верен, но не се вижда лесно колко всъщност е това. Ако обаче кажем „един цял шоколад и още три четвърти“, картината става ясна веднага. Точно това е смесеното число — удобен запис на неправилна дроб, при който цялата и дробната част се виждат отделно. В този урок ще се научим да преминаваме от смесено число в неправилна дроб и обратно. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

🔢 Какво е смесено число

Ако \(a\), \(m\) и \(n\) са естествени числа и \(m \lt n\), то сборът \[a + \frac{m}{n} = a\dfrac{m}{n}\] се нарича смесено число. Числото \(a\) се нарича цяла част на смесеното число, а правилната дроб \(\dfrac{m}{n}\) — негова дробна част.

Дробната част на смесеното число е винаги правилна дроб. Затова сборът \(3 + \dfrac{7}{5}\) още не е записан като смесено число. Понеже \(\dfrac{7}{5} = 1 + \dfrac{2}{5}\), получаваме \[3 + \frac{7}{5} = 3 + 1 + \frac{2}{5} = 4\dfrac{2}{5}.\]

едно цяло \(= \dfrac{4}{4}\)

и още \(\dfrac{3}{4}\)

Заедно това е \(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4} = 1\dfrac{3}{4}\).

➡️ От смесено число към неправилна дроб

Всяко смесено число \(a\dfrac{m}{n}\) може да се запише като неправилна дроб: \[a\dfrac{m}{n} = \frac{n \cdot a + m}{n}.\] Умножаваме цялата част по знаменателя, прибавяме числителя на дробната част и записваме получения сбор върху същия знаменател.

Пример. \(3\dfrac{5}{9} = \dfrac{9 \cdot 3 + 5}{9} = \dfrac{27 + 5}{9} = \dfrac{32}{9}\).

⬅️ От неправилна дроб към смесено число

За да изключим цялото от неправилна дроб, делим числителя на знаменателя:
• частното е цялата част;
• остатъкът е числителят на дробната част;
• знаменателят се запазва.
Казваме, че „изключваме цялото“.

Пример. \(\dfrac{29}{6}\): от \(29 : 6 = 4\) и остатък \(5\) следва \(\dfrac{29}{6} = 4\dfrac{5}{6}\).
Ако остатъкът е \(0\), дробта е равна на естествено число и не се записва като смесено число: \(\dfrac{21}{7} = 3\).
Ако дробта е съкратима, първо я съкращаваме: \(\dfrac{950}{400} = \dfrac{19}{8} = 2\dfrac{3}{8}\).

Върху числовия лъч \(\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}\) стои между \(1\) и \(2\) — след едно цяло и още три четвърти.

📏 Смесени числа и мерни единици

Смесеното число е удобно за записване на мерки: \(1\) km \(= 1000\) m, \(1\) kg \(= 1000\) g, \(1\) m \(= 10\) dm, \(1\) лв. \(= 100\) стотинки.
Например \(3\) kg \(250\) g \(= 3\dfrac{250}{1000}\) kg \(= 3\dfrac{1}{4}\) kg, а обратно \(5\dfrac{3}{10}\) m \(= 5\) m \(3\) dm.

🔄 Реципрочно число на смесено число

За да намерим реципрочното число на смесено число, първо го превръщаме в неправилна дроб, а след това разменяме числителя и знаменателя.

Пример. \(2\dfrac{1}{5} = \dfrac{11}{5}\), затова реципрочното число е \(\dfrac{5}{11}\).

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Запишете като смесени числа сборовете: \(3 + \dfrac{1}{4}\); \(7 + \dfrac{5}{8}\); \(24 + \dfrac{3}{7}\); \(105 + \dfrac{9}{100}\); \(76 + \dfrac{41}{1000}\).

▼

РешениеЗаписваме цялата част и до нея дробната, без знака за събиране.
\(3\dfrac{1}{4}\); \(7\dfrac{5}{8}\); \(24\dfrac{3}{7}\); \(105\dfrac{9}{100}\); \(76\dfrac{41}{1000}\).

2

Запишете смесеното число: а) с цяла част \(14\) и дробна част \(\dfrac{9}{23}\); б) с дробна част \(\dfrac{5}{17}\) и цяла част \(32\).

▼

РешениеЦялата част се пише отпред, дробната част — след нея.
а) \(14\dfrac{9}{23}\).  б) \(32\dfrac{5}{17}\).

3

Запишете като сбор на естествено число и правилна дроб смесените числа \(31\dfrac{4}{7}\); \(216\dfrac{3}{8}\); \(1005\dfrac{9}{19}\); \(407\dfrac{2}{5}\).

▼

Решение\(31\dfrac{4}{7} = 31 + \dfrac{4}{7}\); \(216\dfrac{3}{8} = 216 + \dfrac{3}{8}\); \(1005\dfrac{9}{19} = 1005 + \dfrac{9}{19}\); \(407\dfrac{2}{5} = 407 + \dfrac{2}{5}\).

4

Запишете като неправилни дроби смесените числа \(3\dfrac{4}{9}\); \(6\dfrac{2}{5}\); \(15\dfrac{1}{3}\); \(11\dfrac{5}{12}\).

▼

РешениеУмножаваме цялата част по знаменателя и прибавяме числителя.
\(3\dfrac{4}{9} = \dfrac{9 \cdot 3 + 4}{9} = \dfrac{31}{9}\); \(6\dfrac{2}{5} = \dfrac{5 \cdot 6 + 2}{5} = \dfrac{32}{5}\);
\(15\dfrac{1}{3} = \dfrac{3 \cdot 15 + 1}{3} = \dfrac{46}{3}\); \(11\dfrac{5}{12} = \dfrac{12 \cdot 11 + 5}{12} = \dfrac{137}{12}\).

5

Запишете като смесени числа неправилните дроби \(\dfrac{29}{13}\); \(\dfrac{74}{7}\); \(\dfrac{95}{8}\); \(\dfrac{613}{12}\).

▼

РешениеДелим числителя на знаменателя.
\(29 : 13 = 2\) и остатък \(3\) → \(2\dfrac{3}{13}\).
\(74 : 7 = 10\) и остатък \(4\) → \(10\dfrac{4}{7}\).
\(95 : 8 = 11\) и остатък \(7\) → \(11\dfrac{7}{8}\).
\(613 : 12 = 51\) и остатък \(1\) → \(51\dfrac{1}{12}\).

6

Запишете като смесено число: а) в километри 7 km 450 m; б) в дециметри 15 dm 7 cm; в) в килограми 4 kg 375 g; г) в левове 8 лв. 65 стотинки.

▼

Решениеа) \(7\dfrac{450}{1000}\) km \(= 7\dfrac{9}{20}\) km.
б) \(15\dfrac{7}{10}\) dm.
в) \(4\dfrac{375}{1000}\) kg \(= 4\dfrac{3}{8}\) kg.
г) \(8\dfrac{65}{100}\) лв. \(= 8\dfrac{13}{20}\) лв.

7

Запишете: а) \(5\dfrac{7}{10}\) m в метри и дециметри; б) \(240\dfrac{37}{1000}\) km в километри и метри; в) \(9\dfrac{1}{4}\) kg в килограми и грамове; г) \(3\dfrac{3}{5}\) лв. в левове и стотинки.

▼

Решениеа) \(\dfrac{7}{10}\) m са 7 dm → 5 m 7 dm.
б) \(\dfrac{37}{1000}\) km са 37 m → 240 km 37 m.
в) \(\dfrac{1}{4}\) kg \(= \dfrac{250}{1000}\) kg, тоест 250 g → 9 kg 250 g.
г) \(\dfrac{3}{5}\) лв. \(= \dfrac{60}{100}\) лв., тоест 60 стотинки → 3 лв. 60 ст.

8

Проверете верността на равенствата и посочете кои от записите са смесени числа: а) \(1 + \dfrac{7}{5} = 2\dfrac{2}{5}\); б) \(3\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{3}{2}\); в) \(1 + \dfrac{8}{4} = 3\).

▼

РешениеПревръщаме всяка страна в неправилна дроб.
а) \(1 + \dfrac{7}{5} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{7}{5} = \dfrac{12}{5}\), а \(2\dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{5}\) → равенството е вярно.
б) \(3\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\), а \(2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}\) → вярно.
в) \(1 + \dfrac{8}{4} = 1 + 2 = 3\) → вярно.
Смесени числа са само записите \(2\dfrac{2}{5}\) и \(3\dfrac{1}{2}\). Останалите страни са оставени като сборове, защото дробите в тях (\(\dfrac{7}{5}\), \(\dfrac{3}{2}\), \(\dfrac{8}{4}\)) не са правилни.

9

Намерете реципрочните числа на: а) \(3\dfrac{1}{4}\); б) \(7\dfrac{2}{5}\); в) \(9\dfrac{1}{6}\).

▼

РешениеПърво превръщаме в неправилна дроб, после разменяме числителя и знаменателя.
а) \(3\dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}\) → реципрочно \(\dfrac{4}{13}\).
б) \(7\dfrac{2}{5} = \dfrac{37}{5}\) → реципрочно \(\dfrac{5}{37}\).
в) \(9\dfrac{1}{6} = \dfrac{55}{6}\) → реципрочно \(\dfrac{6}{55}\).

10

Намерете реципрочните числа на: а) \(2 + \dfrac{1}{3}\); б) \(5 + \dfrac{3}{7}\); в) \(8 + \dfrac{2}{9}\).

▼

Решениеа) \(2 + \dfrac{1}{3} = 2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\) → реципрочно \(\dfrac{3}{7}\).
б) \(5 + \dfrac{3}{7} = \dfrac{38}{7}\) → реципрочно \(\dfrac{7}{38}\).
в) \(8 + \dfrac{2}{9} = \dfrac{74}{9}\) → реципрочно \(\dfrac{9}{74}\).

11

Запишете като смесени числа неправилните дроби: а) \(\dfrac{428}{25}\); б) \(\dfrac{950}{400}\); в) \(\dfrac{273}{117}\); г) \(\dfrac{205}{90}\).

▼

РешениеКъдето е възможно, първо съкращаваме.
а) \(428 : 25 = 17\) и остатък \(3\) → \(17\dfrac{3}{25}\).
б) \(\dfrac{950}{400} = \dfrac{19}{8}\) (на \(50\)); \(19 : 8 = 2\) и остатък \(3\) → \(2\dfrac{3}{8}\).
в) \(\dfrac{273}{117} = \dfrac{7}{3}\) (на \(39\)); \(7 : 3 = 2\) и остатък \(1\) → \(2\dfrac{1}{3}\).
г) \(\dfrac{205}{90} = \dfrac{41}{18}\) (на \(5\)); \(41 : 18 = 2\) и остатък \(5\) → \(2\dfrac{5}{18}\).

12

Превърнете в неправилни дроби смесените числа: а) \(4\dfrac{101}{103}\); б) \(6\dfrac{47}{96}\); в) \(12\dfrac{33}{97}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{103 \cdot 4 + 101}{103} = \dfrac{412 + 101}{103} = \dfrac{513}{103}\).
б) \(\dfrac{96 \cdot 6 + 47}{96} = \dfrac{576 + 47}{96} = \dfrac{623}{96}\).
в) \(\dfrac{97 \cdot 12 + 33}{97} = \dfrac{1164 + 33}{97} = \dfrac{1197}{97}\).

13

Превърнете в неправилни дроби смесените числа: а) \(25\dfrac{4}{9}\); б) \(60\dfrac{9}{13}\); в) \(45\dfrac{7}{15}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{9 \cdot 25 + 4}{9} = \dfrac{229}{9}\).
б) \(\dfrac{13 \cdot 60 + 9}{13} = \dfrac{789}{13}\).
в) \(\dfrac{15 \cdot 45 + 7}{15} = \dfrac{682}{15}\).

14

За кое най-голямо естествено число, записано на мястото на \(*\), записът ще е смесено число: а) \(5\dfrac{*}{9}\); б) \(17\dfrac{*}{11}\); в) \(40\dfrac{*}{300}\)?

▼

РешениеДробната част трябва да е правилна дроб, тоест числителят да е по-малък от знаменателя.
а) \(* \lt 9\) → най-голямо \(* = 8\).
б) \(* \lt 11\) → \(* = 10\).
в) \(* \lt 300\) → \(* = 299\).

15

За кое най-малко естествено число, записано на мястото на \(*\), записът ще е смесено число: а) \(7\dfrac{6}{*}\); б) \(21\dfrac{30}{*}\); в) \(64\dfrac{45}{*}\)?

▼

РешениеСега знаменателят трябва да е по-голям от числителя.
а) \(* \gt 6\) → най-малко \(* = 7\).
б) \(* \gt 30\) → \(* = 31\).
в) \(* \gt 45\) → \(* = 46\).

16

Запишете дроб с числител най-голямото просто двуцифрено число и знаменател най-малкото просто двуцифрено число. Ако дробта е неправилна, я запишете като смесено число.

▼

РешениеНай-голямото просто двуцифрено число е \(97\), а най-малкото просто двуцифрено число е \(11\).
Получава се \(\dfrac{97}{11}\) — неправилна дроб. От \(97 : 11 = 8\) и остатък \(9\) следва \(\dfrac{97}{11} = 8\dfrac{9}{11}\).

17

Запишете дроб с числител най-малкото четирицифрено число и знаменател стойността на израза \((72 - 12) : 5\). Запишете я като смесено число.

▼

РешениеНай-малкото четирицифрено число е \(1000\), а \((72 - 12) : 5 = 60 : 5 = 12\).
Получава се \(\dfrac{1000}{12} = \dfrac{250}{3}\) (съкращаваме на \(4\)).
От \(250 : 3 = 83\) и остатък \(1\) следва \(\dfrac{250}{3} = 83\dfrac{1}{3}\).

18

Запишете дроб с числител \(\text{НОК}(6, 8)\) и знаменател \(\text{НОД}(15, 35)\). Запишете я като смесено число.

▼

Решение\(\text{НОК}(6, 8) = 24\) и \(\text{НОД}(15, 35) = 5\), затова дробта е \(\dfrac{24}{5}\).
От \(24 : 5 = 4\) и остатък \(4\) следва \(\dfrac{24}{5} = 4\dfrac{4}{5}\).

19

Запишете със смесено число колко шоколада ще вземе всяко дете, ако \(7\) еднакви шоколада се разделят поравно между: а) \(4\) деца; б) \(5\) деца.

▼

Решениеа) Всяко дете получава по \(\dfrac{7}{4}\) шоколада; \(7 : 4 = 1\) и остатък \(3\) → \(1\dfrac{3}{4}\) шоколада.
б) Всяко дете получава по \(\dfrac{7}{5}\) шоколада; \(7 : 5 = 1\) и остатък \(2\) → \(1\dfrac{2}{5}\) шоколада.

20

Запишете със смесено число: а) \(6\) цяло и три осми; б) \(15\) цяло и четири единадесети; в) \(9\) цяло и седем дванадесети.

▼

Решениеа) \(6\dfrac{3}{8}\).  б) \(15\dfrac{4}{11}\).  в) \(9\dfrac{7}{12}\).

21

Сред числата \(\dfrac{5}{12},\ \dfrac{27}{8},\ \dfrac{14}{14},\ \dfrac{23}{6},\ \dfrac{9}{17},\ \dfrac{40}{9},\ \dfrac{31}{5}\) открийте неправилните дроби и ги запишете като смесени числа. Една от неправилните дроби не може да се запише като смесено число — коя и защо?⭐ повишена трудност

▼

РешениеНеправилни са \(\dfrac{27}{8},\ \dfrac{14}{14},\ \dfrac{23}{6},\ \dfrac{40}{9}\) и \(\dfrac{31}{5}\) (числител \(\ge\) знаменател).
\(\dfrac{27}{8} = 3\dfrac{3}{8}\); \(\dfrac{23}{6} = 3\dfrac{5}{6}\); \(\dfrac{40}{9} = 4\dfrac{4}{9}\); \(\dfrac{31}{5} = 6\dfrac{1}{5}\).
Дробта \(\dfrac{14}{14}\) не се записва като смесено число, защото \(14 : 14 = 1\) без остатък — тя е равна на естественото число \(1\) и дробна част няма.

22

Преди тренировка спортистите правят обиколки на пистата. Тази сутрин те са направили \(\dfrac{17}{4}\) обиколки. Колко цели обиколки са направили и каква част от следващата обиколка са изминали?⭐ повишена трудност

▼

РешениеИзключваме цялото: \(17 : 4 = 4\) и остатък \(1\), тоест \(\dfrac{17}{4} = 4\dfrac{1}{4}\).
Значи спортистите са направили \(4\) цели обиколки и още \(\dfrac{1}{4}\) от следващата обиколка.

23

Майката на Мартин разрязала няколко еднакви торти на четвъртинки. Мартин изял \(3\) парчета, сестра му — \(5\) парчета, а баща им — \(6\) парчета. а) Запишете с обикновена дроб и със смесено число колко торти са изяли тримата общо. б) Колко най-малко торти е разрязала майката?⭐ повишена трудност

▼

Решениеа) Всяко парче е \(\dfrac{1}{4}\) от торта, а парчетата са \(3 + 5 + 6 = 14\). Значи тримата са изяли \(\dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2}\) торти, тоест \(3\dfrac{1}{2}\) торти.
б) Три торти дават \(3 \cdot 4 = 12\) четвъртинки, а са изядени \(14\) четвъртинки — три торти не стигат. Четири торти дават \(4 \cdot 4 = 16\) четвъртинки, което е достатъчно. Значи майката е разрязала най-малко \(4\) торти.

24

Смесеното число \(3\dfrac{5}{7}\) е записано като неправилна дроб. Как ще се промени тази дроб, ако цялата част се увеличи с \(1\)? А ако се увеличи с \(2\)? Обяснете защо.⭐ повишена трудност

▼

Решение\(3\dfrac{5}{7} = \dfrac{7 \cdot 3 + 5}{7} = \dfrac{26}{7}\).
При цяла част \(4\): \(4\dfrac{5}{7} = \dfrac{33}{7}\), тоест числителят се увеличава със \(7\), а дробта — с \(\dfrac{7}{7} = 1\).
При цяла част \(5\): \(5\dfrac{5}{7} = \dfrac{40}{7}\), тоест дробта се увеличава с \(\dfrac{14}{7} = 2\).
Причината е, че цялата част участва в числителя чрез произведението \(n \cdot a\): при увеличаване на \(a\) с \(1\) числителят нараства точно с \(n\), а това е едно цяло.

25

Неправилната дроб \(\dfrac{a}{7}\), записана като смесено число, има цяла част \(6\) и дробна част с числител \(3\). а) Намерете \(a\). б) Намерете всички неправилни дроби със знаменател \(7\), които могат да се запишат като смесено число с цяла част \(6\).⭐ повишена трудност

▼

Решениеа) Търсим числото \(a\), за което \(a : 7 = 6\) и остатък \(3\), тоест \(a = 7 \cdot 6 + 3 = 45\). Проверка: \(\dfrac{45}{7} = 6\dfrac{3}{7}\).
б) Цялата част е \(6\), когато остатъкът при деление на \(7\) е \(1, 2, 3, 4, 5\) или \(6\), тоест \(a\) е \(43, 44, 45, 46, 47\) или \(48\):
\(\dfrac{43}{7},\ \dfrac{44}{7},\ \dfrac{45}{7},\ \dfrac{46}{7},\ \dfrac{47}{7},\ \dfrac{48}{7}\) — общо \(6\) дроби.
Дробта \(\dfrac{42}{7}\) отпада, защото е равна на \(6\) и няма дробна част.

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Запишете като смесени числа сборовете: \(4 + \dfrac{2}{5}\); \(9 + \dfrac{3}{8}\); \(12 + \dfrac{7}{10}\).
Отг.: \(4\dfrac{2}{5}\); \(9\dfrac{3}{8}\); \(12\dfrac{7}{10}\).

Задача 2Запишете като смесени числа сборовете: \(150 + \dfrac{7}{100}\); \(63 + \dfrac{19}{1000}\).
Отг.: \(150\dfrac{7}{100}\); \(63\dfrac{19}{1000}\).

Задача 3Запишете смесеното число: а) с цяла част \(21\) и дробна част \(\dfrac{4}{9}\); б) с дробна част \(\dfrac{11}{25}\) и цяла част \(7\).
Отг.: а) \(21\dfrac{4}{9}\); б) \(7\dfrac{11}{25}\).

Задача 4Запишете като сбор на естествено число и правилна дроб: \(18\dfrac{2}{7}\); \(340\dfrac{5}{12}\).
Отг.: \(18 + \dfrac{2}{7}\); \(340 + \dfrac{5}{12}\).

Задача 5Запишете като неправилни дроби смесените числа \(2\dfrac{5}{6}\); \(7\dfrac{3}{4}\); \(10\dfrac{1}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{17}{6}\); \(\dfrac{31}{4}\); \(\dfrac{81}{8}\).

Задача 6Запишете като неправилни дроби смесените числа \(13\dfrac{2}{11}\); \(30\dfrac{5}{7}\).
Отг.: \(\dfrac{145}{11}\); \(\dfrac{215}{7}\).

Задача 7Запишете като смесени числа неправилните дроби \(\dfrac{17}{5}\); \(\dfrac{23}{4}\); \(\dfrac{50}{9}\).
Отг.: \(3\dfrac{2}{5}\); \(5\dfrac{3}{4}\); \(5\dfrac{5}{9}\).

Задача 8Запишете като смесени числа неправилните дроби \(\dfrac{100}{7}\); \(\dfrac{253}{8}\); \(\dfrac{1001}{10}\).
Отг.: \(14\dfrac{2}{7}\); \(31\dfrac{5}{8}\); \(100\dfrac{1}{10}\).

Задача 9Запишете като смесено число: а) 8 km 250 m в километри; б) 5 kg 400 g в килограми.
Отг.: а) \(8\dfrac{250}{1000} = 8\dfrac{1}{4}\) km; б) \(5\dfrac{400}{1000} = 5\dfrac{2}{5}\) kg.

Задача 10Запишете като смесено число: а) 14 dm 9 cm в дециметри; б) 6 лв. 40 стотинки в левове.
Отг.: а) \(14\dfrac{9}{10}\) dm; б) \(6\dfrac{40}{100} = 6\dfrac{2}{5}\) лв.

Задача 11Запишете: а) \(4\dfrac{3}{10}\) m в метри и дециметри; б) \(7\dfrac{1}{2}\) kg в килограми и грамове.
Отг.: а) 4 m 3 dm; б) 7 kg 500 g.

Задача 12Запишете: а) \(12\dfrac{1}{4}\) лв. в левове и стотинки; б) \(105\dfrac{6}{1000}\) km в километри и метри.
Отг.: а) 12 лв. 25 ст.; б) 105 km 6 m.

Задача 13Проверете верността на равенствата: а) \(2 + \dfrac{5}{3} = 3\dfrac{2}{3}\); б) \(4 + \dfrac{9}{6} = 5\dfrac{1}{2}\).
Отг.: а) вярно, защото \(2 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{11}{3} = 3\dfrac{2}{3}\); б) вярно, защото \(4 + \dfrac{9}{6} = 4 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{8}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{11}{2} = 5\dfrac{1}{2}\).

Задача 14Намерете реципрочните числа на: а) \(1\dfrac{3}{4}\); б) \(6\dfrac{1}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{7}{4}\) → \(\dfrac{4}{7}\); б) \(\dfrac{31}{5}\) → \(\dfrac{5}{31}\).

Задача 15Намерете реципрочните числа на: а) \(2 + \dfrac{4}{9}\); б) \(10 + \dfrac{1}{3}\).
Отг.: а) \(\dfrac{22}{9}\) → \(\dfrac{9}{22}\); б) \(\dfrac{31}{3}\) → \(\dfrac{3}{31}\).

Задача 16Запишете като смесени числа: а) \(\dfrac{620}{45}\); б) \(\dfrac{168}{60}\).
Отг.: а) \(\dfrac{620}{45} = \dfrac{124}{9} = 13\dfrac{7}{9}\); б) \(\dfrac{168}{60} = \dfrac{14}{5} = 2\dfrac{4}{5}\).

Задача 17Превърнете в неправилни дроби смесените числа \(8\dfrac{51}{52}\); \(14\dfrac{29}{31}\).
Отг.: \(\dfrac{467}{52}\); \(\dfrac{463}{31}\).

Задача 18За кое най-голямо естествено число на мястото на \(*\) записът е смесено число: а) \(6\dfrac{*}{13}\); б) \(25\dfrac{*}{120}\)?
Отг.: а) \(12\); б) \(119\).

Задача 19За кое най-малко естествено число на мястото на \(*\) записът е смесено число: а) \(9\dfrac{8}{*}\); б) \(4\dfrac{50}{*}\)?
Отг.: а) \(9\); б) \(51\).

Задача 20Запишете дроб с числител най-голямото двуцифрено число и знаменател най-малкото просто число. Запишете я като смесено число.
Отг.: \(\dfrac{99}{2} = 49\dfrac{1}{2}\).

Задача 21Запишете дроб с числител \(\text{НОК}(4, 9)\) и знаменател \(\text{НОД}(20, 30)\). Запишете я като смесено число.
Отг.: \(\dfrac{36}{10} = \dfrac{18}{5} = 3\dfrac{3}{5}\).

Задача 22Запишете със смесено число колко торти ще вземе всяко дете, ако \(9\) еднакви торти се разделят поравно между: а) \(4\) деца; б) \(6\) деца.
Отг.: а) \(\dfrac{9}{4} = 2\dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).

Задача 23Запишете със смесено число: а) \(7\) цяло и две пети; б) \(20\) цяло и девет четиринадесети.
Отг.: а) \(7\dfrac{2}{5}\); б) \(20\dfrac{9}{14}\).

Задача 24Сред числата \(\dfrac{3}{8},\ \dfrac{19}{6},\ \dfrac{21}{21},\ \dfrac{45}{7},\ \dfrac{5}{9},\ \dfrac{33}{4}\) открийте неправилните дроби и ги запишете като смесени числа, където това е възможно.
Отг.: \(\dfrac{19}{6} = 3\dfrac{1}{6}\); \(\dfrac{45}{7} = 6\dfrac{3}{7}\); \(\dfrac{33}{4} = 8\dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{21}{21} = 1\) — естествено число, не се записва като смесено.

Задача 25Спортистите са направили \(\dfrac{23}{5}\) обиколки на пистата. Колко цели обиколки са направили и каква част от следващата обиколка са изминали?
Отг.: \(\dfrac{23}{5} = 4\dfrac{3}{5}\) — четири цели обиколки и \(\dfrac{3}{5}\) от следващата.

Задача 26Един бегач е пробягал \(\dfrac{11}{3}\) km. Запишете разстоянието със смесено число.
Отг.: \(3\dfrac{2}{3}\) km.

Задача 27Запишете като смесено число най-малката неправилна дроб със знаменател \(9\), която е по-голяма от \(5\).
Отг.: \(5 = \dfrac{45}{9}\), затова търсената дроб е \(\dfrac{46}{9} = 5\dfrac{1}{9}\).

Задача 28Намерете всички неправилни дроби със знаменател \(6\), чиято цяла част при записване като смесено число е \(4\).
Отг.: \(\dfrac{25}{6},\ \dfrac{26}{6},\ \dfrac{27}{6},\ \dfrac{28}{6},\ \dfrac{29}{6}\) (дробта \(\dfrac{24}{6} = 4\) отпада, защото няма дробна част).

Задача 29Смесеното число \(5\dfrac{2}{9}\) е записано като неправилна дроб. Как ще се промени дробта, ако цялата част се намали с \(1\)?
Отг.: \(5\dfrac{2}{9} = \dfrac{47}{9}\), а \(4\dfrac{2}{9} = \dfrac{38}{9}\) — числителят намалява с \(9\), тоест дробта намалява с \(\dfrac{9}{9} = 1\).

Задача 30 — с повишена трудностНеправилната дроб \(\dfrac{a}{8}\), записана като смесено число, има цяла част \(7\) и дробна част с числител \(5\). Намерете \(a\) и запишете дробта.
Отг.: \(a = 8 \cdot 7 + 5 = 61\); дробта е \(\dfrac{61}{8} = 7\dfrac{5}{8}\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна дроб и обратно

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Смесеното число се състои от:

цяла част и дробна частдве правилни дробидва знаменателядве цели части

2Дробната част на смесеното число е винаги:

неправилна дробправилна дробестествено числоравна на \(1\)

3Сборът \(5 + \dfrac{2}{7}\), записан като смесено число, е:

\(\dfrac{7}{7}\)\(5\dfrac{2}{7}\)\(2\dfrac{5}{7}\)\(\dfrac{10}{7}\)

4Смесеното число \(3\dfrac{4}{5}\), записано като неправилна дроб, е:

\(\dfrac{19}{5}\)\(\dfrac{12}{5}\)\(\dfrac{35}{5}\)\(\dfrac{34}{5}\)

5Смесеното число \(6\dfrac{1}{4}\), записано като неправилна дроб, е:

\(\dfrac{24}{4}\)\(\dfrac{25}{4}\)\(\dfrac{11}{4}\)\(\dfrac{64}{4}\)

6Неправилната дроб \(\dfrac{17}{5}\), записана като смесено число, е:

\(2\dfrac{3}{5}\)\(3\dfrac{2}{5}\)\(5\dfrac{2}{3}\)\(3\dfrac{1}{5}\)

7Неправилната дроб \(\dfrac{23}{4}\), записана като смесено число, е:

\(5\dfrac{3}{4}\)\(4\dfrac{3}{4}\)\(5\dfrac{1}{4}\)\(6\dfrac{1}{4}\)

8Дробта \(\dfrac{21}{21}\) се записва като:

\(1\dfrac{1}{21}\)естественото число \(1\)\(21\dfrac{1}{21}\)\(0\)

9Реципрочното число на \(2\dfrac{1}{3}\) е:

\(3\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{7}{3}\)\(\dfrac{3}{7}\)\(\dfrac{1}{3}\)

10Записът \(5\dfrac{*}{8}\) е смесено число за най-голямо естествено \(*\), равно на:

\(8\)\(7\)\(9\)\(40\)

11Записът \(4\dfrac{9}{*}\) е смесено число за най-малко естествено \(*\), равно на:

\(8\)\(9\)\(10\)\(36\)

12Масата 3 kg 250 g, записана в килограми със смесено число, е:

\(3\dfrac{1}{40}\) kg\(3\dfrac{1}{4}\) kg\(3\dfrac{2}{5}\) kg\(3\dfrac{5}{8}\) kg

13Дължината \(7\dfrac{3}{10}\) m, записана в метри и дециметри, е:

7 m 30 dm3 m 7 dm7 m 3 dm7 m 3 cm

14Ако \(7\) еднакви шоколада се разделят поравно между \(4\) деца, всяко дете взема:

\(\dfrac{4}{7}\) от шоколад\(1\dfrac{3}{4}\) шоколада\(2\dfrac{1}{4}\) шоколада\(1\dfrac{1}{4}\) шоколада

15Дробта \(\dfrac{428}{25}\), записана като смесено число, е:

\(16\dfrac{3}{25}\)\(18\dfrac{3}{25}\)\(17\dfrac{3}{25}\)\(17\dfrac{1}{25}\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

18

Събиране и изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели

Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: правила за сбор и разлика при равни знаменатели, съкращаване на резултата, проверка чрез събиране.

Към урока →

14

Правилни и неправилни дроби

Урок за 5. клас — неправилната дроб се записва като смесено число, когато числителят не се дели точно на знаменателя; при деление без остатък тя е равна на естествено число.

Към урока →

6

Деление с остатък. Делител и кратно на естествено число

Урок за 5. клас — изключването на цялото е точно деление с остатък: частното дава цялата част, а остатъкът — числителя на дробната част.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆