Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на обикновени дроби
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Дробни числа › Основно свойство на дробите
Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на обикновени дроби
Основно свойство на дробите, разширяване с допълнителен множител, съкращаване, несъкратима и съкратима дроб, съкращаване чрез \(\text{НОД}\). 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Една и съща част от цялото може да се запише с различни дроби. Половината от една лента е \(\dfrac{1}{2}\), но същата половина е и \(\dfrac{2}{4}\), и \(\dfrac{4}{8}\) — променят се числителят и знаменателят, но не и стойността на дробта. Причината за това е основното свойство на дробите. От него следват двете най-важни умения в тази тема: разширяване и съкращаване на обикновени дроби. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🔑 Основно свойство на дробите
Ако умножим числителя и знаменателя на една дроб с едно и също естествено число или ги разделим на едно и също естествено число, което е техен общ делител, се получава дроб, равна на дадената.
С букви: за естествени числа \(a\), \(b\) и \(k\) \[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \qquad \text{и} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k},\] като във втория случай \(k\) трябва да е общ делител на \(a\) и \(b\).
С букви: за естествени числа \(a\), \(b\) и \(k\) \[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \qquad \text{и} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k},\] като във втория случай \(k\) трябва да е общ делител на \(a\) и \(b\).
Защо изискваме \(k\) да е естествено число? Естествените числа са \(1, 2, 3, \ldots\) и нулата не е сред тях — а с нула не бихме могли да работим: при умножение с \(0\) знаменателят би станал \(0\), а дроб с нулев знаменател не съществува; деление на \(0\) също не е определено.
При \(k = 1\) дробта не се променя, затова на практика работим с \(k \gt 1\).
При \(k = 1\) дробта не се променя, затова на практика работим с \(k \gt 1\).
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{2}{4}\)
\(\dfrac{4}{8}\)
Оцветената част е една и съща, затова \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{8}\).
✖️ Разширяване на дроби
Умножението на числителя и знаменателя на една обикновена дроб с едно и също естествено число \(k\) се нарича разширяване на дробта. Множителят \(k\) се нарича допълнителен множител.
Например разширяваме \(\dfrac{5}{7}\) с допълнителен множител \(6\):
\[\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}.\]
Разширяването се използва най-често, когато трябва да получим дроб с предварително зададен знаменател. Например, за да запишем \(\dfrac{3}{4}\) със знаменател \(20\), търсим с колко се умножава \(4\), за да стане \(20\): \(20 : 4 = 5\), затова \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \dfrac{15}{20}\).
➗ Съкращаване на дроби
Делението на числителя и знаменателя на една обикновена дроб на едно и също естествено число \(k\), което е техен общ делител, се нарича съкращаване на дробта (казваме, че съкращаваме дробта на \(k\)).
Например \(\dfrac{12}{15} = \dfrac{12 : 3}{15 : 3} = \dfrac{4}{5}\) и \(\dfrac{100}{250} = \dfrac{100 : 50}{250 : 50} = \dfrac{2}{5}\).
\(\dfrac{6}{8}\)
\(\dfrac{3}{4}\)
Съкращаване на \(2\): \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4}\).
🧩 Несъкратима и съкратима дроб
Дроб, на която числителят и знаменателят са взаимно прости числа, се нарича несъкратима.
Дроб, на която числителят и знаменателят имат общ делител, по-голям от \(1\), се нарича съкратима.
Дроб, на която числителят и знаменателят имат общ делител, по-голям от \(1\), се нарича съкратима.
Най-голямото число, на което може да се съкрати дробта \(\dfrac{a}{b}\), е \(\text{НОД}(a, b)\). Затова, ако разделим числителя и знаменателя на техния \(\text{НОД}\), веднага получаваме несъкратима дроб.
Например \(\dfrac{84}{126}\): \(\text{НОД}(84, 126) = 42\), затова \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 : 42}{126 : 42} = \dfrac{2}{3}\) — несъкратима дроб.
Полезни бързи наблюдения: ако числителят и знаменателят са четни, дробта е съкратима (на \(2\)); ако и двата завършват на \(0\) или на \(5\), дробта е съкратима (на \(5\)); дроб с числител \(1\) е несъкратима.
Полезни бързи наблюдения: ако числителят и знаменателят са четни, дробта е съкратима (на \(2\)); ако и двата завършват на \(0\) или на \(5\), дробта е съкратима (на \(5\)); дроб с числител \(1\) е несъкратима.
| Дроб | \(\text{НОД}\) на числителя и знаменателя | Вид | Несъкратим вид |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{7}{15}\) | \(1\) | несъкратима | \(\dfrac{7}{15}\) |
| \(\dfrac{18}{24}\) | \(6\) | съкратима | \(\dfrac{3}{4}\) |
| \(\dfrac{35}{42}\) | \(7\) | съкратима | \(\dfrac{5}{6}\) |
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Разширете дробите \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{8},\ \dfrac{55}{56},\ \dfrac{8}{3}\) и \(\dfrac{23}{13}\) с числото \(3\).
▼
РешениеУмножаваме числителя и знаменателя с \(3\).
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}\); \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\); \(\dfrac{55}{56} = \dfrac{165}{168}\); \(\dfrac{8}{3} = \dfrac{24}{9}\); \(\dfrac{23}{13} = \dfrac{69}{39}\).
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}\); \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}\); \(\dfrac{55}{56} = \dfrac{165}{168}\); \(\dfrac{8}{3} = \dfrac{24}{9}\); \(\dfrac{23}{13} = \dfrac{69}{39}\).
2
Разширете всяка дроб с посочения допълнителен множител: а) \(\dfrac{1}{2}\) с \(5\); б) \(\dfrac{4}{9}\) с \(3\); в) \(\dfrac{6}{11}\) с \(10\); г) \(\dfrac{13}{11}\) с \(6\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{5}{10}\); б) \(\dfrac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \dfrac{12}{27}\); в) \(\dfrac{6 \cdot 10}{11 \cdot 10} = \dfrac{60}{110}\); г) \(\dfrac{13 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \dfrac{78}{66}\).
3
Обяснете защо са верни равенствата: \(\dfrac{5}{11} = \dfrac{15}{33}\); \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{21}\); \(\dfrac{6}{7} = \dfrac{12}{14}\).
▼
РешениеВсяка втора дроб е получена от първата чрез разширяване, затова по основното свойство дробите са равни.
\(\dfrac{5}{11} = \dfrac{5 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \dfrac{15}{33}\); \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \dfrac{9}{21}\); \(\dfrac{6}{7} = \dfrac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \dfrac{12}{14}\).
\(\dfrac{5}{11} = \dfrac{5 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \dfrac{15}{33}\); \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \dfrac{9}{21}\); \(\dfrac{6}{7} = \dfrac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \dfrac{12}{14}\).
4
Съкратете на \(4\) дробите \(\dfrac{20}{28},\ \dfrac{16}{32},\ \dfrac{4}{20},\ \dfrac{28}{4},\ \dfrac{36}{44}\).
▼
РешениеДелим числителя и знаменателя на \(4\).
\(\dfrac{20}{28} = \dfrac{5}{7}\); \(\dfrac{16}{32} = \dfrac{4}{8}\); \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\); \(\dfrac{28}{4} = \dfrac{7}{1}\); \(\dfrac{36}{44} = \dfrac{9}{11}\).
Забележете, че \(\dfrac{4}{8}\) може да се съкрати още веднъж — на \(4\), и се получава \(\dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{20}{28} = \dfrac{5}{7}\); \(\dfrac{16}{32} = \dfrac{4}{8}\); \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\); \(\dfrac{28}{4} = \dfrac{7}{1}\); \(\dfrac{36}{44} = \dfrac{9}{11}\).
Забележете, че \(\dfrac{4}{8}\) може да се съкрати още веднъж — на \(4\), и се получава \(\dfrac{1}{2}\).
5
Съкратете на \(5\) дробите \(\dfrac{25}{35},\ \dfrac{115}{75},\ \dfrac{200}{305},\ \dfrac{10}{100},\ \dfrac{85}{35}\).
▼
РешениеВсички числители и знаменатели завършват на \(0\) или на \(5\), затова се делят на \(5\).
\(\dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}\); \(\dfrac{115}{75} = \dfrac{23}{15}\); \(\dfrac{200}{305} = \dfrac{40}{61}\); \(\dfrac{10}{100} = \dfrac{2}{20}\); \(\dfrac{85}{35} = \dfrac{17}{7}\).
\(\dfrac{25}{35} = \dfrac{5}{7}\); \(\dfrac{115}{75} = \dfrac{23}{15}\); \(\dfrac{200}{305} = \dfrac{40}{61}\); \(\dfrac{10}{100} = \dfrac{2}{20}\); \(\dfrac{85}{35} = \dfrac{17}{7}\).
6
Съкратете дробите така, че да се получат несъкратими дроби: \(\dfrac{10}{15},\ \dfrac{8}{6},\ \dfrac{7}{14},\ \dfrac{3}{12},\ \dfrac{40}{72}\).
▼
РешениеДелим на \(\text{НОД}\) на числителя и знаменателя.
\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\) (на \(5\)); \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\) (на \(2\)); \(\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) (на \(7\)); \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\) (на \(3\)); \(\dfrac{40}{72} = \dfrac{5}{9}\) (на \(8\)).
\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\) (на \(5\)); \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\) (на \(2\)); \(\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) (на \(7\)); \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\) (на \(3\)); \(\dfrac{40}{72} = \dfrac{5}{9}\) (на \(8\)).
7
Съкратете дробите така, че да се получат несъкратими дроби: \(\dfrac{15}{55},\ \dfrac{22}{66},\ \dfrac{3}{243},\ \dfrac{18}{300},\ \dfrac{45}{900}\).
▼
Решение\(\dfrac{15}{55} = \dfrac{3}{11}\) (на \(5\)); \(\dfrac{22}{66} = \dfrac{1}{3}\) (на \(22\)); \(\dfrac{3}{243} = \dfrac{1}{81}\) (на \(3\)); \(\dfrac{18}{300} = \dfrac{3}{50}\) (на \(6\)); \(\dfrac{45}{900} = \dfrac{1}{20}\) (на \(45\)).
8
Съкратете до несъкратима дроб, като използвате \(\text{НОД}\): а) \(\dfrac{84}{126}\); б) \(\dfrac{72}{120}\).
▼
Решениеа) \(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\), \(126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\), значи \(\text{НОД}(84, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\) и \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 : 42}{126 : 42} = \dfrac{2}{3}\).
б) \(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\), \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\), значи \(\text{НОД}(72, 120) = 24\) и \(\dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5}\).
б) \(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\), \(120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\), значи \(\text{НОД}(72, 120) = 24\) и \(\dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5}\).
9
Установете, че дробите \(\dfrac{5}{37},\ \dfrac{18}{41},\ \dfrac{8}{105},\ \dfrac{99}{79}\) са несъкратими.
▼
РешениеДробта е несъкратима, когато числителят и знаменателят са взаимно прости.
\(\dfrac{5}{37}\): \(37\) е просто и не се дели на \(5\) → \(\text{НОД} = 1\).
\(\dfrac{18}{41}\): \(41\) е просто и не дели \(18\) → \(\text{НОД} = 1\).
\(\dfrac{8}{105}\): \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\), а \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\) е нечетно → нямат общ прост делител.
\(\dfrac{99}{79}\): \(99 = 3 \cdot 3 \cdot 11\), а \(79\) е просто → \(\text{НОД} = 1\).
\(\dfrac{5}{37}\): \(37\) е просто и не се дели на \(5\) → \(\text{НОД} = 1\).
\(\dfrac{18}{41}\): \(41\) е просто и не дели \(18\) → \(\text{НОД} = 1\).
\(\dfrac{8}{105}\): \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\), а \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\) е нечетно → нямат общ прост делител.
\(\dfrac{99}{79}\): \(99 = 3 \cdot 3 \cdot 11\), а \(79\) е просто → \(\text{НОД} = 1\).
10
Установете, че дробите \(\dfrac{9}{111},\ \dfrac{625}{315},\ \dfrac{819}{27}\) са съкратими, и ги съкратете.
▼
Решение\(\dfrac{9}{111}\): сборът от цифрите на \(111\) е \(3\), затова \(111\) се дели на \(3\); \(\dfrac{9}{111} = \dfrac{3}{37}\).
\(\dfrac{625}{315}\): и двете завършват на \(5\), затова се делят на \(5\); \(\dfrac{625}{315} = \dfrac{125}{63}\).
\(\dfrac{819}{27}\): сборът от цифрите на \(819\) е \(18\) → дели се на \(9\); \(\dfrac{819}{27} = \dfrac{91}{3}\).
\(\dfrac{625}{315}\): и двете завършват на \(5\), затова се делят на \(5\); \(\dfrac{625}{315} = \dfrac{125}{63}\).
\(\dfrac{819}{27}\): сборът от цифрите на \(819\) е \(18\) → дели се на \(9\); \(\dfrac{819}{27} = \dfrac{91}{3}\).
11
Разширете дробите \(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{7}{8},\ \dfrac{11}{6},\ \dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{17}{24}\) до дроби със знаменател \(48\).
▼
РешениеЗа всяка дроб намираме допълнителния множител като разделим \(48\) на знаменателя.
\(48 : 2 = 24\) → \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{120}{48}\); \(48 : 4 = 12\) → \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{36}{48}\); \(48 : 8 = 6\) → \(\dfrac{7}{8} = \dfrac{42}{48}\);
\(48 : 6 = 8\) → \(\dfrac{11}{6} = \dfrac{88}{48}\); \(48 : 12 = 4\) → \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{20}{48}\); \(48 : 24 = 2\) → \(\dfrac{17}{24} = \dfrac{34}{48}\).
\(48 : 2 = 24\) → \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{120}{48}\); \(48 : 4 = 12\) → \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{36}{48}\); \(48 : 8 = 6\) → \(\dfrac{7}{8} = \dfrac{42}{48}\);
\(48 : 6 = 8\) → \(\dfrac{11}{6} = \dfrac{88}{48}\); \(48 : 12 = 4\) → \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{20}{48}\); \(48 : 24 = 2\) → \(\dfrac{17}{24} = \dfrac{34}{48}\).
12
Кои двойки дроби са равни: а) \(\dfrac{1}{7}\) и \(\dfrac{2}{14}\); б) \(\dfrac{5}{9}\) и \(\dfrac{15}{45}\); в) \(\dfrac{23}{27}\) и \(\dfrac{115}{135}\); г) \(\dfrac{89}{100}\) и \(\dfrac{346}{400}\); д) \(\dfrac{25}{30}\) и \(\dfrac{75}{90}\)?
▼
Решениеа) \(\dfrac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \dfrac{2}{14}\) → равни.
б) \(\dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\), а \(\dfrac{5}{9}\) е несъкратима → не са равни.
в) \(\dfrac{23 \cdot 5}{27 \cdot 5} = \dfrac{115}{135}\) → равни.
г) \(\dfrac{89 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \dfrac{356}{400} \ne \dfrac{346}{400}\) → не са равни.
д) \(\dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{75}{90} = \dfrac{5}{6}\) → равни.
б) \(\dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\), а \(\dfrac{5}{9}\) е несъкратима → не са равни.
в) \(\dfrac{23 \cdot 5}{27 \cdot 5} = \dfrac{115}{135}\) → равни.
г) \(\dfrac{89 \cdot 4}{100 \cdot 4} = \dfrac{356}{400} \ne \dfrac{346}{400}\) → не са равни.
д) \(\dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{75}{90} = \dfrac{5}{6}\) → равни.
13
Намерете \(x\), ако: а) \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{15}{35}\); б) \(\dfrac{4}{x} = \dfrac{72}{54}\); в) \(\dfrac{7}{13} = \dfrac{x}{130}\); г) \(\dfrac{5}{19} = \dfrac{65}{x}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{15}{35} = \dfrac{3}{7}\) (съкращаваме на \(5\)) → \(x = 3\).
б) \(\dfrac{72}{54} = \dfrac{4}{3}\) (съкращаваме на \(18\)) → \(x = 3\).
в) \(130 : 13 = 10\), затова разширяваме с \(10\): \(x = 7 \cdot 10 = 70\).
г) \(65 : 5 = 13\), затова разширяваме с \(13\): \(x = 19 \cdot 13 = 247\).
б) \(\dfrac{72}{54} = \dfrac{4}{3}\) (съкращаваме на \(18\)) → \(x = 3\).
в) \(130 : 13 = 10\), затова разширяваме с \(10\): \(x = 7 \cdot 10 = 70\).
г) \(65 : 5 = 13\), затова разширяваме с \(13\): \(x = 19 \cdot 13 = 247\).
14
Вярно или невярно е равенството: а) \(\dfrac{17}{22} = \dfrac{68}{98}\); б) \(\dfrac{33}{13} = \dfrac{363}{143}\); в) \(\dfrac{28}{37} = \dfrac{84}{101}\); г) \(\dfrac{37}{19} = \dfrac{296}{252}\)?
▼
РешениеПроверяваме дали втората дроб е получена от първата чрез разширяване с едно и също число.
а) \(68 : 17 = 4\), но \(22 \cdot 4 = 88 \ne 98\) → невярно.
б) \(363 : 33 = 11\) и \(13 \cdot 11 = 143\) → вярно.
в) \(84 : 28 = 3\), но \(37 \cdot 3 = 111 \ne 101\) → невярно.
г) \(296 : 37 = 8\), но \(19 \cdot 8 = 152 \ne 252\) → невярно.
а) \(68 : 17 = 4\), но \(22 \cdot 4 = 88 \ne 98\) → невярно.
б) \(363 : 33 = 11\) и \(13 \cdot 11 = 143\) → вярно.
в) \(84 : 28 = 3\), но \(37 \cdot 3 = 111 \ne 101\) → невярно.
г) \(296 : 37 = 8\), но \(19 \cdot 8 = 152 \ne 252\) → невярно.
15
Вместо \(*\) поставете подходящо естествено число така, че равенството да е вярно: а) \(\dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{*}\); б) \(\dfrac{7}{13} = \dfrac{*}{26}\); в) \(\dfrac{13}{*} = \dfrac{91}{119}\); г) \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{77}{*}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2}\) (съкращаваме на \(12\)) → \(* = 2\).
б) \(26 : 13 = 2\) → \(* = 7 \cdot 2 = 14\).
в) \(91 = 7 \cdot 13\) и \(119 = 7 \cdot 17\), затова \(\dfrac{91}{119} = \dfrac{13}{17}\) → \(* = 17\).
г) \(77 : 7 = 11\) → \(* = 9 \cdot 11 = 99\).
б) \(26 : 13 = 2\) → \(* = 7 \cdot 2 = 14\).
в) \(91 = 7 \cdot 13\) и \(119 = 7 \cdot 17\), затова \(\dfrac{91}{119} = \dfrac{13}{17}\) → \(* = 17\).
г) \(77 : 7 = 11\) → \(* = 9 \cdot 11 = 99\).
16
Съкратете дробите: а) \(\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10}{9 \cdot 10 \cdot 16}\); б) \(\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 8}{3 \cdot 16}\); в) \(\dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3}\); г) \(\dfrac{21 \cdot 32}{7 \cdot 8 \cdot 3}\).
▼
РешениеСъкращаваме еднаквите множители, без да пресмятаме произведенията.
а) \(\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10}{9 \cdot 10 \cdot 16} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\).
б) \(\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 8}{3 \cdot 16} = \dfrac{2 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 2\) (съкратихме \(\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\)).
в) \(\dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3}\): съкращаваме \(6\) и \(3\) на \(3\), \(8\) и \(4\) на \(4\), \(10\) и \(5\) на \(5\). Остават множителите \(2, 2\) и \(2\), затова стойността е \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).
г) \(21 = 7 \cdot 3\) и \(32 = 8 \cdot 4\), затова \(\dfrac{21 \cdot 32}{7 \cdot 8 \cdot 3} = 4\).
а) \(\dfrac{8 \cdot 9 \cdot 10}{9 \cdot 10 \cdot 16} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\).
б) \(\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 8}{3 \cdot 16} = \dfrac{2 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 2\) (съкратихме \(\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\)).
в) \(\dfrac{6 \cdot 8 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3}\): съкращаваме \(6\) и \(3\) на \(3\), \(8\) и \(4\) на \(4\), \(10\) и \(5\) на \(5\). Остават множителите \(2, 2\) и \(2\), затова стойността е \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).
г) \(21 = 7 \cdot 3\) и \(32 = 8 \cdot 4\), затова \(\dfrac{21 \cdot 32}{7 \cdot 8 \cdot 3} = 4\).
17
Напишете по три обикновени дроби, равни на: а) \(2\); б) \(3\); в) \(5\).
▼
РешениеТръгваме от \(\dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{1}, \dfrac{5}{1}\) и разширяваме.
а) \(\dfrac{2}{1}, \dfrac{4}{2}, \dfrac{6}{3}\); б) \(\dfrac{3}{1}, \dfrac{6}{2}, \dfrac{9}{3}\); в) \(\dfrac{5}{1}, \dfrac{10}{2}, \dfrac{15}{3}\).
а) \(\dfrac{2}{1}, \dfrac{4}{2}, \dfrac{6}{3}\); б) \(\dfrac{3}{1}, \dfrac{6}{2}, \dfrac{9}{3}\); в) \(\dfrac{5}{1}, \dfrac{10}{2}, \dfrac{15}{3}\).
18
Запишете с несъкратима дроб каква част от килограма са: а) 250 g; б) 400 g; в) 800 g.
▼
Решение1 kg = 1000 g, затова всяка част записваме със знаменател \(1000\) и съкращаваме.
а) \(\dfrac{250}{1000} = \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{400}{1000} = \dfrac{2}{5}\); в) \(\dfrac{800}{1000} = \dfrac{4}{5}\).
а) \(\dfrac{250}{1000} = \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{400}{1000} = \dfrac{2}{5}\); в) \(\dfrac{800}{1000} = \dfrac{4}{5}\).
19
Запишете с несъкратима дроб каква част от километъра са: а) 500 m; б) 20 m; в) 400 dm; г) 1250 m.
▼
Решение1 km = 1000 m.
а) \(\dfrac{500}{1000} = \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{20}{1000} = \dfrac{1}{50}\);
в) 400 dm = 40 m, затова \(\dfrac{40}{1000} = \dfrac{1}{25}\); г) \(\dfrac{1250}{1000} = \dfrac{5}{4}\) — неправилна дроб, тъй като 1250 m е повече от километър.
а) \(\dfrac{500}{1000} = \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{20}{1000} = \dfrac{1}{50}\);
в) 400 dm = 40 m, затова \(\dfrac{40}{1000} = \dfrac{1}{25}\); г) \(\dfrac{1250}{1000} = \dfrac{5}{4}\) — неправилна дроб, тъй като 1250 m е повече от километър.
20
За училищния празник учениците правят цветни гирлянди. Една гирлянда е разделена на \(12\) еднакви части и за украса са използвани \(8\) части. Друг екип използва \(6\) от общо \(18\) части. Запишете с несъкратима дроб каква част е използвал всеки екип и сравнете двете части.
▼
РешениеПърви екип: \(\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\) (съкращаваме на \(4\)).
Втори екип: \(\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\) (съкращаваме на \(6\)).
При равни знаменатели по-голяма е дробта с по-голям числител, затова \(\dfrac{2}{3} \gt \dfrac{1}{3}\) — първият екип е използвал по-голяма част от гирляндата (два пъти по-голяма).
Втори екип: \(\dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\) (съкращаваме на \(6\)).
При равни знаменатели по-голяма е дробта с по-голям числител, затова \(\dfrac{2}{3} \gt \dfrac{1}{3}\) — първият екип е използвал по-голяма част от гирляндата (два пъти по-голяма).
21
Дадена е дробта \(\dfrac{30}{42}\). Напишете всички дроби, които се получават от нея чрез деление на числителя и знаменателя на едно и също число.⭐ повишена трудност
▼
РешениеЧислото, на което делим, трябва да е общ делител на \(30\) и \(42\).
\(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\), значи \(\text{НОД}(30, 42) = 6\) и общите делители са \(1, 2, 3\) и \(6\).
Получават се дробите \(\dfrac{30}{42}\) (при \(1\)), \(\dfrac{15}{21}\) (при \(2\)), \(\dfrac{10}{14}\) (при \(3\)) и \(\dfrac{5}{7}\) (при \(6\)). Всички те са равни помежду си, а последната е несъкратима.
\(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\), значи \(\text{НОД}(30, 42) = 6\) и общите делители са \(1, 2, 3\) и \(6\).
Получават се дробите \(\dfrac{30}{42}\) (при \(1\)), \(\dfrac{15}{21}\) (при \(2\)), \(\dfrac{10}{14}\) (при \(3\)) и \(\dfrac{5}{7}\) (при \(6\)). Всички те са равни помежду си, а последната е несъкратима.
22
Кои от дробите \(\dfrac{7}{28},\ \dfrac{14}{56},\ \dfrac{4}{12},\ \dfrac{9}{36},\ \dfrac{10}{40},\ \dfrac{8}{24}\) са равни на несъкратимата дроб \(\dfrac{1}{4}\)?⭐ повишена трудност
▼
РешениеСъкращаваме всяка дроб до несъкратима:
\(\dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\).
На \(\dfrac{1}{4}\) са равни \(\dfrac{7}{28},\ \dfrac{14}{56},\ \dfrac{9}{36}\) и \(\dfrac{10}{40}\).
\(\dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\).
На \(\dfrac{1}{4}\) са равни \(\dfrac{7}{28},\ \dfrac{14}{56},\ \dfrac{9}{36}\) и \(\dfrac{10}{40}\).
23
Съкратете дробите, като предварително разложите числителя и знаменателя на прости множители: а) \(\dfrac{960}{640}\); б) \(\dfrac{585}{1275}\); в) \(\dfrac{363}{660}\); г) \(\dfrac{5555}{55}\).⭐ повишена трудност
▼
Решениеа) \(960 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\), а \(640 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5\). Общите прости множители дават \(\text{НОД} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 320\), затова \(\dfrac{960}{640} = \dfrac{960 : 320}{640 : 320} = \dfrac{3}{2}\).
б) \(585 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13\), \(1275 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17\); общите множители дават \(\text{НОД} = 15\) → \(\dfrac{585}{1275} = \dfrac{39}{85}\).
в) \(363 = 3 \cdot 11 \cdot 11\), \(660 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\); \(\text{НОД} = 33\) → \(\dfrac{363}{660} = \dfrac{11}{20}\).
г) \(5555 = 5 \cdot 11 \cdot 101\), \(55 = 5 \cdot 11\) → \(\dfrac{5555}{55} = 101\).
б) \(585 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13\), \(1275 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17\); общите множители дават \(\text{НОД} = 15\) → \(\dfrac{585}{1275} = \dfrac{39}{85}\).
в) \(363 = 3 \cdot 11 \cdot 11\), \(660 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\); \(\text{НОД} = 33\) → \(\dfrac{363}{660} = \dfrac{11}{20}\).
г) \(5555 = 5 \cdot 11 \cdot 101\), \(55 = 5 \cdot 11\) → \(\dfrac{5555}{55} = 101\).
24
Докажете, че \(\dfrac{56}{99} = \dfrac{5656}{9999}\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеЗабелязваме, че \(5656 = 56 \cdot 101\) и \(9999 = 99 \cdot 101\).
Значи дробта \(\dfrac{5656}{9999}\) е получена от \(\dfrac{56}{99}\) чрез разширяване с допълнителен множител \(101\), затова двете дроби са равни: \[\frac{56}{99} = \frac{56 \cdot 101}{99 \cdot 101} = \frac{5656}{9999}.\] По същия начин \(\dfrac{56}{99} = \dfrac{56 \cdot 10101}{99 \cdot 10101} = \dfrac{565\,656}{999\,999}\).
Значи дробта \(\dfrac{5656}{9999}\) е получена от \(\dfrac{56}{99}\) чрез разширяване с допълнителен множител \(101\), затова двете дроби са равни: \[\frac{56}{99} = \frac{56 \cdot 101}{99 \cdot 101} = \frac{5656}{9999}.\] По същия начин \(\dfrac{56}{99} = \dfrac{56 \cdot 10101}{99 \cdot 10101} = \dfrac{565\,656}{999\,999}\).
25
Знаменателят на една дроб е с \(40\) по-голям от числителя ѝ. Намерете дробта, ако след съкращаване се получава дробта \(\dfrac{5}{9}\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеТърсената дроб е получена от \(\dfrac{5}{9}\) чрез разширяване с някакво число \(k\), тоест тя е \(\dfrac{5k}{9k}\).
Разликата между знаменателя и числителя е \(9k - 5k = 4k\), а по условие тя е \(40\). От \(4k = 40\) следва \(k = 10\).
Значи дробта е \(\dfrac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \dfrac{50}{90}\). Проверка: \(90 - 50 = 40\) и \(\dfrac{50}{90} = \dfrac{5}{9}\).
Разликата между знаменателя и числителя е \(9k - 5k = 4k\), а по условие тя е \(40\). От \(4k = 40\) следва \(k = 10\).
Значи дробта е \(\dfrac{5 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \dfrac{50}{90}\). Проверка: \(90 - 50 = 40\) и \(\dfrac{50}{90} = \dfrac{5}{9}\).
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Разширете дробите \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{8}\) и \(\dfrac{8}{3}\) с числото \(2\).
Отг.: \(\dfrac{2}{6},\ \dfrac{10}{16},\ \dfrac{16}{6}\).
Отг.: \(\dfrac{2}{6},\ \dfrac{10}{16},\ \dfrac{16}{6}\).
Задача 2Разширете дробите \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{8}\) и \(\dfrac{8}{3}\) с числото \(10\).
Отг.: \(\dfrac{10}{30},\ \dfrac{50}{80},\ \dfrac{80}{30}\).
Отг.: \(\dfrac{10}{30},\ \dfrac{50}{80},\ \dfrac{80}{30}\).
Задача 3Съкратете на \(2\) дробите \(\dfrac{20}{30},\ \dfrac{10}{40},\ \dfrac{70}{50}\).
Отг.: \(\dfrac{10}{15},\ \dfrac{5}{20},\ \dfrac{35}{25}\).
Отг.: \(\dfrac{10}{15},\ \dfrac{5}{20},\ \dfrac{35}{25}\).
Задача 4Съкратете на \(10\) дробите \(\dfrac{20}{30},\ \dfrac{100}{110},\ \dfrac{10}{40},\ \dfrac{70}{50}\).
Отг.: \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{10}{11},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{7}{5}\).
Отг.: \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{10}{11},\ \dfrac{1}{4},\ \dfrac{7}{5}\).
Задача 5Обяснете защо са верни равенствата \(\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13}\), \(\dfrac{30}{54} = \dfrac{5}{9}\).
Отг.: съкращаване съответно на \(7\), на \(4\) и на \(6\).
Отг.: съкращаване съответно на \(7\), на \(4\) и на \(6\).
Задача 6Съкратете на \(3\) дробите \(\dfrac{9}{12},\ \dfrac{15}{21},\ \dfrac{27}{33},\ \dfrac{30}{45}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{7},\ \dfrac{9}{11},\ \dfrac{10}{15}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{7},\ \dfrac{9}{11},\ \dfrac{10}{15}\).
Задача 7Съкратете до несъкратима дроб: \(\dfrac{16}{32},\ \dfrac{15}{45},\ \dfrac{35}{42},\ \dfrac{64}{100}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{6},\ \dfrac{16}{25}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{6},\ \dfrac{16}{25}\).
Задача 8Проверете дали дробите са вярно съкратени: \(\dfrac{16}{18} = \dfrac{8}{9}\); \(\dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}\); \(\dfrac{17}{34} = \dfrac{6}{9}\).
Отг.: вярно; вярно; невярно (\(\dfrac{17}{34} = \dfrac{1}{2}\)).
Отг.: вярно; вярно; невярно (\(\dfrac{17}{34} = \dfrac{1}{2}\)).
Задача 9Попълнете липсващото число: а) \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{10}{8}\); б) \(\dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{30}\); в) \(\dfrac{15}{20} = \dfrac{x}{4}\); г) \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{x}\).
Отг.: а) \(x = 5\); б) \(x = 15\); в) \(x = 3\); г) \(x = 5\).
Отг.: а) \(x = 5\); б) \(x = 15\); в) \(x = 3\); г) \(x = 5\).
Задача 10Разширете дробите \(\dfrac{4}{3},\ \dfrac{5}{4},\ \dfrac{5}{9},\ \dfrac{11}{12},\ \dfrac{7}{18}\) до дроби със знаменател \(36\).
Отг.: \(\dfrac{48}{36},\ \dfrac{45}{36},\ \dfrac{20}{36},\ \dfrac{33}{36},\ \dfrac{14}{36}\).
Отг.: \(\dfrac{48}{36},\ \dfrac{45}{36},\ \dfrac{20}{36},\ \dfrac{33}{36},\ \dfrac{14}{36}\).
Задача 11Разширете същите дроби до дроби със знаменател \(72\).
Отг.: \(\dfrac{96}{72},\ \dfrac{90}{72},\ \dfrac{40}{72},\ \dfrac{66}{72},\ \dfrac{28}{72}\).
Отг.: \(\dfrac{96}{72},\ \dfrac{90}{72},\ \dfrac{40}{72},\ \dfrac{66}{72},\ \dfrac{28}{72}\).
Задача 12Съкратете дробите \(\dfrac{12}{18},\ \dfrac{12}{36}\) и \(\dfrac{10}{30}\) до дроб със знаменател \(3\).
Отг.: \(\dfrac{2}{3}\) (на \(6\)); \(\dfrac{1}{3}\) (на \(12\)); \(\dfrac{1}{3}\) (на \(10\)).
Отг.: \(\dfrac{2}{3}\) (на \(6\)); \(\dfrac{1}{3}\) (на \(12\)); \(\dfrac{1}{3}\) (на \(10\)).
Задача 13Вместо \(*\) поставете естествено число: а) \(\dfrac{15}{30} = \dfrac{*}{6}\); б) \(\dfrac{6}{4} = \dfrac{30}{*}\); в) \(\dfrac{*}{45} = \dfrac{8}{5}\); г) \(\dfrac{24}{*} = \dfrac{3}{4}\).
Отг.: а) \(3\); б) \(20\); в) \(72\); г) \(32\).
Отг.: а) \(3\); б) \(20\); в) \(72\); г) \(32\).
Задача 14Дробта \(\dfrac{18}{24}\) НЕ е равна на: А) \(\dfrac{3}{4}\); Б) \(\dfrac{9}{12}\); В) \(\dfrac{36}{48}\); Г) \(\dfrac{6}{12}\).
Отг.: Г) \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\), а \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\).
Отг.: Г) \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\), а \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}\).
Задача 15Кои от дробите \(\dfrac{5}{10},\ \dfrac{6}{15},\ \dfrac{8}{20},\ \dfrac{9}{18}\) са равни на \(\dfrac{2}{5}\)?
Отг.: \(\dfrac{6}{15}\) и \(\dfrac{8}{20}\) (другите две са равни на \(\dfrac{1}{2}\)).
Отг.: \(\dfrac{6}{15}\) и \(\dfrac{8}{20}\) (другите две са равни на \(\dfrac{1}{2}\)).
Задача 16Напишете четири обикновени дроби, равни на \(\dfrac{1}{3}\).
Отг.: например \(\dfrac{2}{6},\ \dfrac{3}{9},\ \dfrac{4}{12},\ \dfrac{5}{15}\).
Отг.: например \(\dfrac{2}{6},\ \dfrac{3}{9},\ \dfrac{4}{12},\ \dfrac{5}{15}\).
Задача 17Напишете четири обикновени дроби, равни на \(3\).
Отг.: например \(\dfrac{3}{1},\ \dfrac{6}{2},\ \dfrac{9}{3},\ \dfrac{12}{4}\).
Отг.: например \(\dfrac{3}{1},\ \dfrac{6}{2},\ \dfrac{9}{3},\ \dfrac{12}{4}\).
Задача 18Установете, че дробите \(\dfrac{4}{9},\ \dfrac{13}{40},\ \dfrac{25}{48}\) са несъкратими.
Отг.: \(\text{НОД} = 1\) и в трите случая (\(4 = 2 \cdot 2\) и \(9 = 3 \cdot 3\); \(13\) е просто и не дели \(40\); \(25 = 5 \cdot 5\), а \(48\) не се дели на \(5\)).
Отг.: \(\text{НОД} = 1\) и в трите случая (\(4 = 2 \cdot 2\) и \(9 = 3 \cdot 3\); \(13\) е просто и не дели \(40\); \(25 = 5 \cdot 5\), а \(48\) не се дели на \(5\)).
Задача 19Установете, че дробите \(\dfrac{26}{39},\ \dfrac{105}{70},\ \dfrac{121}{88}\) са съкратими, и ги съкратете.
Отг.: \(\dfrac{26}{39} = \dfrac{2}{3}\) (на \(13\)); \(\dfrac{105}{70} = \dfrac{3}{2}\) (на \(35\)); \(\dfrac{121}{88} = \dfrac{11}{8}\) (на \(11\)).
Отг.: \(\dfrac{26}{39} = \dfrac{2}{3}\) (на \(13\)); \(\dfrac{105}{70} = \dfrac{3}{2}\) (на \(35\)); \(\dfrac{121}{88} = \dfrac{11}{8}\) (на \(11\)).
Задача 20Съкратете дробта \(\dfrac{7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 11}{9 \cdot 11 \cdot 14 \cdot 16}\).
Отг.: \(\dfrac{7 \cdot 8}{14 \cdot 16} = \dfrac{1}{4}\).
Отг.: \(\dfrac{7 \cdot 8}{14 \cdot 16} = \dfrac{1}{4}\).
Задача 21Съкратете дробта \(\dfrac{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10}{3 \cdot 16 \cdot 40}\).
Отг.: \(1\) (числителят и знаменателят са равни на \(1920\)).
Отг.: \(1\) (числителят и знаменателят са равни на \(1920\)).
Задача 22Съкратете дробите \(\dfrac{64}{96}\) и \(\dfrac{6666}{33}\).
Отг.: \(\dfrac{64}{96} = \dfrac{2}{3}\) (на \(32\)); \(\dfrac{6666}{33} = 202\) (на \(33\)).
Отг.: \(\dfrac{64}{96} = \dfrac{2}{3}\) (на \(32\)); \(\dfrac{6666}{33} = 202\) (на \(33\)).
Задача 23Запишете с несъкратима дроб каква част от километъра са 250 m и 750 m.
Отг.: \(\dfrac{250}{1000} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{750}{1000} = \dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(\dfrac{250}{1000} = \dfrac{1}{4}\); \(\dfrac{750}{1000} = \dfrac{3}{4}\).
Задача 24Запишете с несъкратима дроб каква част от часа са: а) 15 min; б) 45 min; в) 1 h 20 min.
Отг.: а) \(\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\); в) \(\dfrac{80}{60} = \dfrac{4}{3}\).
Отг.: а) \(\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\); в) \(\dfrac{80}{60} = \dfrac{4}{3}\).
Задача 25Запишете с несъкратима дроб каква част от метъра са: а) 5 dm; б) 25 cm; в) 200 mm.
Отг.: а) \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\); в) \(\dfrac{200}{1000} = \dfrac{1}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}\); в) \(\dfrac{200}{1000} = \dfrac{1}{5}\).
Задача 26За рождения ден на Криси тортата е разделена на \(24\) еднакви парчета. Ако Лакомчо е изял \(6\) парчета, каква част от тортата е изял (запишете с несъкратима дроб)? Ако Боби е изял \(\dfrac{1}{12}\) част от тортата, колко парчета е изял?
Отг.: \(\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\); Боби е изял \(2\) парчета (\(24 : 12 = 2\)).
Отг.: \(\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\); Боби е изял \(2\) парчета (\(24 : 12 = 2\)).
Задача 27(Продължение) Колко парчета са изяли двамата общо и каква част от тортата е това? Колко парчета остават за другите гости и каква част от тортата са те?
Отг.: \(6 + 2 = 8\) парчета, тоест \(\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\); остават \(16\) парчета, тоест \(\dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}\).
Отг.: \(6 + 2 = 8\) парчета, тоест \(\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\); остават \(16\) парчета, тоест \(\dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}\).
Задача 28Дадена е дробта \(\dfrac{60}{120}\). Запишете дробите, които се получават при деление на числителя и знаменателя на \(k\), където \(k\) приема стойности \(3, 4, 6, 10\) и \(15\).
Отг.: \(\dfrac{20}{40},\ \dfrac{15}{30},\ \dfrac{10}{20},\ \dfrac{6}{12},\ \dfrac{4}{8}\) — всички са равни на \(\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(\dfrac{20}{40},\ \dfrac{15}{30},\ \dfrac{10}{20},\ \dfrac{6}{12},\ \dfrac{4}{8}\) — всички са равни на \(\dfrac{1}{2}\).
Задача 29Кое равенство НЕ е вярно: А) \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{10}{18}\); Б) \(\dfrac{22}{66} = \dfrac{11}{6}\); В) \(\dfrac{25}{30} = \dfrac{75}{90}\); Г) \(\dfrac{17}{19} = \dfrac{85}{95}\)?
Отг.: Б) \(\dfrac{22}{66} = \dfrac{1}{3}\), а не \(\dfrac{11}{6}\).
Отг.: Б) \(\dfrac{22}{66} = \dfrac{1}{3}\), а не \(\dfrac{11}{6}\).
Задача 30 — с повишена трудностЗнаменателят на една дроб е с \(24\) по-голям от числителя ѝ. Намерете дробта, ако след съкращаване се получава дробта \(\dfrac{3}{7}\).
Отг.: дробта е \(\dfrac{3k}{7k}\); от \(7k - 3k = 24\) следва \(k = 6\), значи дробта е \(\dfrac{18}{42}\).
Отг.: дробта е \(\dfrac{3k}{7k}\); от \(7k - 3k = 24\) следва \(k = 6\), значи дробта е \(\dfrac{18}{42}\).
✅ Онлайн тест
Тест: Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на обикновени дроби
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Как се нарича умножението на числителя и знаменателя на дроб с едно и също естествено число?
2Как се нарича делението на числителя и знаменателя на дроб с техен общ делител?
3Дробта \(\dfrac{3}{5}\), разширена с \(4\), е равна на:
4Дробта \(\dfrac{24}{36}\), съкратена на \(12\), е равна на:
5Множителят, с който разширяваме една дроб, се нарича:
6Дроб, на която числителят и знаменателят са взаимно прости числа, се нарича:
7Коя от дробите е несъкратима?
8Коя от дробите е съкратима?
9Дробта \(\dfrac{5}{7}\), разширена до дроб със знаменател \(42\), е:
10Дробта \(\dfrac{18}{24}\), съкратена до несъкратима, е:
11Дробта \(\dfrac{18}{24}\) НЕ е равна на:
12За коя стойност на \(x\) е вярно равенството \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{15}{35}\)?
13Най-голямото число, на което може да се съкрати дробта \(\dfrac{a}{b}\), е:
14Каква част от километъра са 500 m, записано с несъкратима дроб?
15Знаменателят на една дроб е с \(40\) по-голям от числителя ѝ, а след съкращаване се получава \(\dfrac{5}{9}\). Дробта е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
14
Правилни и неправилни дроби
Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: кога дробта е правилна и кога неправилна, сравнение с единица, дроб равна на 1, реципрочна (обратна) дроб.
Към урока →
13
Обикновени дроби
Урок за 5. клас — обикновена дроб, числител и знаменател, дроб като част от цяло, записване словом.
Към урока →
11
Най-голям общ делител (НОД). Взаимно прости числа
Урок за 5. клас — понятията, върху които стъпва съкращаването: общи делители, най-голям общ делител чрез разлагане на прости множители и взаимно прости числа.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар