Общ делител. Най-голям общ делител (НОД). Взаимно прости числа
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Делимост на числата › Най-голям общ делител (НОД)
Най-голям общ делител (НОД). Взаимно прости числа
Общи делители на две и повече числа, най-голям общ делител, намиране на НОД чрез разлагане на прости множители, взаимно прости числа и текстови задачи. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Когато две числа имат общи делители, сред тях винаги има един най-голям. Той се среща постоянно в практиката — когато делим предмети на равни групи, подреждаме нещо в редици или опростяваме дроби. В този урок ще научим какво е общ делител на няколко числа, кой е техният най-голям общ делител (НОД) и как да го намираме бързо чрез разлагане на прости множители. Ще се запознаем и с взаимно простите числа. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🤝 Общ делител и най-голям общ делител
Положителните естествени числа, които делят без остатък едновременно две или повече дадени положителни естествени числа, се наричат техни общи делители.
Най-големият от тези делители се нарича най-голям общ делител (НОД).
Най-големият от тези делители се нарича най-голям общ делител (НОД).
Например делителите на \(30\) са \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\), а на \(105\) — \(1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\). Общите им делители са \(1, 3, 5\) и \(15\), а най-големият от тях е \(15\). Записваме \(\text{НОД}(30, 105) = 15\).
🔗 Взаимно прости числа
Две или повече положителни естествени числа се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ делител е числото \(1\).
Например \(8\) и \(15\) са взаимно прости, защото единственият им общ делител е \(1\), тоест \(\text{НОД}(8, 15) = 1\). Взаимно простите числа не е задължително самите те да са прости — важно е само да нямат общ делител, по-голям от \(1\).
✖️ Намиране на НОД чрез разлагане на прости множители
За да намерим НОД на няколко числа:
• разлагаме числата на прости множители;
• отделяме общите прости множители, като всеки записваме толкова пъти, колкото е най-малкият брой на срещанията му в разлаганията на дадените числа;
• намираме тяхното произведение.
• разлагаме числата на прости множители;
• отделяме общите прости множители, като всеки записваме толкова пъти, колкото е най-малкият брой на срещанията му в разлаганията на дадените числа;
• намираме тяхното произведение.
Например \(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) и \(140 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7\). Общите множители са \(2, 2\) и \(7\), затова \(\text{НОД}(84, 140) = 2\cdot 2\cdot 7 = 28\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Намерете: а) делителите на \(36\); б) делителите на \(60\); в) общите делители на \(36\) и \(60\); г) \(\text{НОД}(36, 60)\).
▼
Решениеа) делители на \(36\): \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).
б) делители на \(60\): \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).
в) общи делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
г) \(\text{НОД}(36, 60) = 12\).
б) делители на \(60\): \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).
в) общи делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
г) \(\text{НОД}(36, 60) = 12\).
2
Намерете общите делители на числата \(40\) и \(72\) и посочете най-големия от тях.
▼
РешениеДелителите на \(40\) са \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\), а на \(72\) — \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\).
Общи делители: \(1, 2, 4, 8\). Най-големият е \(8\), значи \(\text{НОД}(40, 72) = 8\).
Общи делители: \(1, 2, 4, 8\). Най-големият е \(8\), значи \(\text{НОД}(40, 72) = 8\).
3
Намерете общите делители на числата \(15\) и \(28\).
▼
РешениеДелителите на \(15\) са \(1, 3, 5, 15\), а на \(28\) — \(1, 2, 4, 7, 14, 28\).
Единственият общ делител е \(1\). Значи \(15\) и \(28\) са взаимно прости.
Единственият общ делител е \(1\). Значи \(15\) и \(28\) са взаимно прости.
4
Намерете най-големия общ делител на числата \(18\) и \(30\).
▼
Решение\(18 = 2\cdot 3\cdot 3\) и \(30 = 2\cdot 3\cdot 5\). Общите множители са \(2\) и \(3\).
\(\text{НОД}(18, 30) = 2\cdot 3 = 6\).
\(\text{НОД}(18, 30) = 2\cdot 3 = 6\).
5
Кои двойки числа са взаимно прости: а) \(25\) и \(42\); б) \(33\) и \(55\); в) \(14\) и \(15\); г) \(21\) и \(35\)?
▼
РешениеПроверяваме кой е най-големият общ делител.
а) \(\text{НОД}(25, 42) = 1\) → взаимно прости.
б) \(\text{НОД}(33, 55) = 11\) → не са.
в) \(\text{НОД}(14, 15) = 1\) → взаимно прости.
г) \(\text{НОД}(21, 35) = 7\) → не са.
а) \(\text{НОД}(25, 42) = 1\) → взаимно прости.
б) \(\text{НОД}(33, 55) = 11\) → не са.
в) \(\text{НОД}(14, 15) = 1\) → взаимно прости.
г) \(\text{НОД}(21, 35) = 7\) → не са.
6
Намерете чрез разлагане на прости множители най-големия общ делител на числата \(84\) и \(140\).
▼
Решение\(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) и \(140 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7\).
Общите множители са \(2, 2\) и \(7\), затова \(\text{НОД}(84, 140) = 2\cdot 2\cdot 7 = 28\).
Общите множители са \(2, 2\) и \(7\), затова \(\text{НОД}(84, 140) = 2\cdot 2\cdot 7 = 28\).
7
Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОД}(675, 825)\).
▼
Решение\(675 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\) и \(825 = 3\cdot 5\cdot 5\cdot 11\).
Общите множители са \(3, 5\) и \(5\), затова \(\text{НОД}(675, 825) = 3\cdot 5\cdot 5 = 75\).
Общите множители са \(3, 5\) и \(5\), затова \(\text{НОД}(675, 825) = 3\cdot 5\cdot 5 = 75\).
8
Намерете \(\text{НОД}(48, 72, 120)\).
▼
Решение\(48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\); \(72 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\); \(120 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\).
Във всяко от трите разлагания се съдържат \(2, 2, 2\) и \(3\). Затова \(\text{НОД}(48, 72, 120) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24\).
Във всяко от трите разлагания се съдържат \(2, 2, 2\) и \(3\). Затова \(\text{НОД}(48, 72, 120) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24\).
9
Намерете \(\text{НОД}(a, b)\), ако: а) \(a = 1, b = 35\); б) \(a = 15, b = 75\); в) \(a = 45, b = 60\); г) \(a = 55, b = 110\).
▼
Решениеа) \(\text{НОД}(1, 35) = 1\).
б) \(75\) се дели на \(15\), затова \(\text{НОД}(15, 75) = 15\).
в) \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\), \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 3\cdot 5 = 15\).
г) \(110\) се дели на \(55\), затова \(\text{НОД}(55, 110) = 55\).
б) \(75\) се дели на \(15\), затова \(\text{НОД}(15, 75) = 15\).
в) \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\), \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 3\cdot 5 = 15\).
г) \(110\) се дели на \(55\), затова \(\text{НОД}(55, 110) = 55\).
10
Намерете \(\text{НОД}(a, b)\), ако: а) \(a = 20, b = 30\); б) \(a = 50, b = 125\); в) \(a = 60, b = 90\); г) \(a = 18, b = 45\).
▼
Решениеа) \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\), \(30 = 2\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 2\cdot 5 = 10\).
б) \(50 = 2\cdot 5\cdot 5\), \(125 = 5\cdot 5\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 5\cdot 5 = 25\).
в) \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 2\cdot 3\cdot 5 = 30\).
г) \(18 = 2\cdot 3\cdot 3\), \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 3\cdot 3 = 9\).
б) \(50 = 2\cdot 5\cdot 5\), \(125 = 5\cdot 5\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 5\cdot 5 = 25\).
в) \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 2\cdot 3\cdot 5 = 30\).
г) \(18 = 2\cdot 3\cdot 3\), \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 3\cdot 3 = 9\).
11
Намерете всички общи делители на числата: а) \(20, 40, 60\); б) \(34, 85, 136\).
▼
Решениеа) Най-големият общ делител е \(\text{НОД}(20, 40, 60) = 20\). Общите делители са всички делители на \(20\): \(1, 2, 4, 5, 10, 20\).
б) \(\text{НОД}(34, 85, 136) = 17\). Общите делители са делителите на \(17\): \(1\) и \(17\).
б) \(\text{НОД}(34, 85, 136) = 17\). Общите делители са делителите на \(17\): \(1\) и \(17\).
12
Намерете: а) \(\text{НОД}(25, 150)\); б) \(\text{НОД}(60, 80, 48)\); в) \(\text{НОД}(36, 54, 72, 90)\).
▼
Решениеа) \(150\) се дели на \(25\), затова \(\text{НОД}(25, 150) = 25\).
б) \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(80 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\), \(48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) → общи са \(2, 2\), значи \(\text{НОД} = 4\).
в) \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\), \(54 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\), \(72 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\), \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\) → общи са \(2, 3, 3\), значи \(\text{НОД} = 18\).
б) \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(80 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\), \(48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) → общи са \(2, 2\), значи \(\text{НОД} = 4\).
в) \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\), \(54 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\), \(72 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\), \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\) → общи са \(2, 3, 3\), значи \(\text{НОД} = 18\).
13
Намерете: а) \(\text{НОД}(30, 60, 90)\); б) \(\text{НОД}(8, 16, 56)\); в) \(\text{НОД}(15, 50)\).
▼
Решениеа) \(60\) и \(90\) се делят на \(30\), затова \(\text{НОД}(30, 60, 90) = 30\).
б) \(16\) и \(56\) се делят на \(8\), затова \(\text{НОД}(8, 16, 56) = 8\).
в) \(15 = 3\cdot 5\), \(50 = 2\cdot 5\cdot 5\) → общ множител \(5\), значи \(\text{НОД}(15, 50) = 5\).
б) \(16\) и \(56\) се делят на \(8\), затова \(\text{НОД}(8, 16, 56) = 8\).
в) \(15 = 3\cdot 5\), \(50 = 2\cdot 5\cdot 5\) → общ множител \(5\), значи \(\text{НОД}(15, 50) = 5\).
14
Намерете две числа, чийто НОД е: а) \(1\); б) \(2\); в) \(3\); г) \(10\).
▼
РешениеДостатъчно е да изберем подходящи двойки.
а) \(\text{НОД}(8, 9) = 1\); б) \(\text{НОД}(6, 10) = 2\); в) \(\text{НОД}(9, 12) = 3\); г) \(\text{НОД}(20, 30) = 10\).
а) \(\text{НОД}(8, 9) = 1\); б) \(\text{НОД}(6, 10) = 2\); в) \(\text{НОД}(9, 12) = 3\); г) \(\text{НОД}(20, 30) = 10\).
15
В цветарски магазин има \(16\) лалета, \(20\) рози и \(24\) зюмбюла. Колко най-много еднакви букета могат да се направят от тях, така че всяко цвете да е използвано?
▼
РешениеБроят на еднаквите букети трябва да дели и \(16\), и \(20\), и \(24\), а за да е най-много — да е техният НОД.
\(\text{НОД}(16, 20, 24) = 4\). Значи могат да се направят най-много \(4\) еднакви букета (по \(4\) лалета, \(5\) рози и \(6\) зюмбюла във всеки).
\(\text{НОД}(16, 20, 24) = 4\). Значи могат да се направят най-много \(4\) еднакви букета (по \(4\) лалета, \(5\) рози и \(6\) зюмбюла във всеки).
16
В училище има \(24\) червени и \(36\) сини балона. Учителят иска да ги раздели на еднакви групи, така че във всяка група да има еднакъв брой червени и еднакъв брой сини балони, без да останат балони. Колко най-много групи могат да се направят?
▼
РешениеБроят на групите трябва да дели и \(24\), и \(36\), и да е възможно най-голям — тоест \(\text{НОД}(24, 36)\).
\(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\) → \(\text{НОД} = 2\cdot 2\cdot 3 = 12\).
Могат да се направят най-много \(12\) групи (по \(2\) червени и \(3\) сини балона във всяка).
\(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\) → \(\text{НОД} = 2\cdot 2\cdot 3 = 12\).
Могат да се направят най-много \(12\) групи (по \(2\) червени и \(3\) сини балона във всяка).
17
Децата от един детски дом получили за Коледа еднакви подаръци, приготвени от \(210\) портокала и \(84\) шоколада. Колко най-много деца са получили подаръци и по колко портокала и шоколада е имало във всеки подарък?
▼
РешениеБроят на децата трябва да дели и \(210\), и \(84\), и да е възможно най-голям — тоест \(\text{НОД}(210, 84)\).
\(210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\), \(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 3, 7\), значи \(\text{НОД} = 42\).
Подаръци са получили \(42\) деца, като всяко получило по \(210 : 42 = 5\) портокала и \(84 : 42 = 2\) шоколада.
\(210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\), \(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 3, 7\), значи \(\text{НОД} = 42\).
Подаръци са получили \(42\) деца, като всяко получило по \(210 : 42 = 5\) портокала и \(84 : 42 = 2\) шоколада.
18
На колко е равен \(\text{НОД}(a, b)\), ако \(a\) се дели на \(b\) без остатък?
▼
РешениеАко \(a\) се дели на \(b\), то \(b\) е делител и на \(a\), и на себе си. По-голям общ делител от \(b\) не може да има, защото никое число, по-голямо от \(b\), не дели \(b\).
Затова \(\text{НОД}(a, b) = b\). Например \(\text{НОД}(96, 24) = 24\).
Затова \(\text{НОД}(a, b) = b\). Например \(\text{НОД}(96, 24) = 24\).
19
Сравнете числата \(\text{НОД}(22, 33)\) и \(\text{НОД}(46, 69)\).
▼
Решение\(22 = 2\cdot 11\), \(33 = 3\cdot 11\) → \(\text{НОД}(22, 33) = 11\).
\(46 = 2\cdot 23\), \(69 = 3\cdot 23\) → \(\text{НОД}(46, 69) = 23\).
Понеже \(11 \lt 23\), то \(\text{НОД}(22, 33) \lt \text{НОД}(46, 69)\).
\(46 = 2\cdot 23\), \(69 = 3\cdot 23\) → \(\text{НОД}(46, 69) = 23\).
Понеже \(11 \lt 23\), то \(\text{НОД}(22, 33) \lt \text{НОД}(46, 69)\).
20
Намерете неизвестното число \(x\), където \(\text{НОД}(10, 15) + x = \text{НОД}(30, 45)\).
▼
Решение\(\text{НОД}(10, 15) = 5\) и \(\text{НОД}(30, 45) = 15\).
От \(5 + x = 15\) следва \(x = 10\).
От \(5 + x = 15\) следва \(x = 10\).
21
Числото \(A = (2\,845 - 1\,900) : 7\), а числото \(B = \text{НОД}(A, 54)\). Намерете числото \(B\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеПърво намираме \(A = (2\,845 - 1\,900) : 7 = 945 : 7 = 135\).
Сега \(B = \text{НОД}(135, 54)\). \(135 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\), \(54 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\) → общи \(3, 3, 3\).
\(B = 3\cdot 3\cdot 3 = 27\).
Сега \(B = \text{НОД}(135, 54)\). \(135 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\), \(54 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\) → общи \(3, 3, 3\).
\(B = 3\cdot 3\cdot 3 = 27\).
22
Установете, че числата \(864\) и \(875\) са взаимно прости.⭐ повишена трудност
▼
РешениеРазлагаме на прости множители: \(864 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\) (само двойки и тройки), а \(875 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\) (само петици и седмица).
Двете числа нямат нито един общ прост множител, затова \(\text{НОД}(864, 875) = 1\) — те са взаимно прости.
Двете числа нямат нито един общ прост множител, затова \(\text{НОД}(864, 875) = 1\) — те са взаимно прости.
23
Намерете по рационален начин, без пълно разлагане, \(\text{НОД}\) на числата \(20\cdot 95\) и \(16\cdot 95\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеИ двете числа имат общ множител \(95\). Затова \(\text{НОД}(20\cdot 95,\ 16\cdot 95) = 95\cdot \text{НОД}(20, 16)\).
\(\text{НОД}(20, 16) = 4\), значи търсеният НОД е \(95\cdot 4 = 380\).
\(\text{НОД}(20, 16) = 4\), значи търсеният НОД е \(95\cdot 4 = 380\).
24
Най-големият общ делител на две числа е \(28\), а сумата им е \(168\). Да се намерят числата.⭐ повишена трудност
▼
РешениеЩом НОД на числата е \(28\), всяко от тях е кратно на \(28\): нека са \(28\cdot m\) и \(28\cdot n\), където \(m\) и \(n\) са взаимно прости.
От \(28\cdot m + 28\cdot n = 168\) следва \(28\cdot (m + n) = 168\), тоест \(m + n = 6\).
Взаимно прости числа със сбор \(6\) са \(1\) и \(5\). Значи числата са \(28\cdot 1 = 28\) и \(28\cdot 5 = 140\).
От \(28\cdot m + 28\cdot n = 168\) следва \(28\cdot (m + n) = 168\), тоест \(m + n = 6\).
Взаимно прости числа със сбор \(6\) са \(1\) и \(5\). Значи числата са \(28\cdot 1 = 28\) и \(28\cdot 5 = 140\).
25
Числата \(127\) и \(141\) при деление на едно и също число дават остатъци съответно \(7\) и \(6\). Намерете неизвестния делител.⭐ повишена трудност
▼
РешениеАко извадим остатъците, получените числа се делят точно на търсения делител: \(127 - 7 = 120\) и \(141 - 6 = 135\).
Значи делителят е общ делител на \(120\) и \(135\). Общите делители на \(120\) и \(135\) са \(1, 3, 5\) и \(15\) (\(\text{НОД}(120, 135) = 15\)).
Делителят трябва да е по-голям от най-големия остатък \(7\), затова единствената възможност е \(15\). Проверка: \(127 : 15\) дава остатък \(7\), а \(141 : 15\) дава остатък \(6\). ✓
Значи делителят е общ делител на \(120\) и \(135\). Общите делители на \(120\) и \(135\) са \(1, 3, 5\) и \(15\) (\(\text{НОД}(120, 135) = 15\)).
Делителят трябва да е по-голям от най-големия остатък \(7\), затова единствената възможност е \(15\). Проверка: \(127 : 15\) дава остатък \(7\), а \(141 : 15\) дава остатък \(6\). ✓
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете общите делители на числата \(48\) и \(60\) и посочете \(\text{НОД}(48, 60)\).
Отг.: общи делители 1, 2, 3, 4, 6, 12; \(\text{НОД} = 12\).
Отг.: общи делители 1, 2, 3, 4, 6, 12; \(\text{НОД} = 12\).
Задача 2Намерете общите делители на числата \(54\) и \(72\) и посочете най-големия от тях.
Отг.: общи делители 1, 2, 3, 6, 9, 18; \(\text{НОД} = 18\).
Отг.: общи делители 1, 2, 3, 6, 9, 18; \(\text{НОД} = 18\).
Задача 3Намерете общите делители на числата \(16\) и \(25\).
Отг.: единственият общ делител е 1 → числата са взаимно прости.
Отг.: единственият общ делител е 1 → числата са взаимно прости.
Задача 4Намерете \(\text{НОД}(24, 40)\).
Отг.: \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 8\).
Отг.: \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОД} = 8\).
Задача 5Кои двойки числа са взаимно прости: а) \(21\) и \(50\); б) \(18\) и \(27\); в) \(35\) и \(36\); г) \(28\) и \(63\)?
Отг.: а) взаимно прости (НОД 1); б) не (НОД 9); в) взаимно прости (НОД 1); г) не (НОД 7).
Отг.: а) взаимно прости (НОД 1); б) не (НОД 9); в) взаимно прости (НОД 1); г) не (НОД 7).
Задача 6Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОД}(90, 126)\).
Отг.: \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\), \(126 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 3, 3\) → \(\text{НОД} = 18\).
Отг.: \(90 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\), \(126 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 3, 3\) → \(\text{НОД} = 18\).
Задача 7Намерете \(\text{НОД}(56, 70, 84)\).
Отг.: \(56 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7\), \(70 = 2\cdot 5\cdot 7\), \(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 7\) → \(\text{НОД} = 14\).
Отг.: \(56 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7\), \(70 = 2\cdot 5\cdot 7\), \(84 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7\) → общи \(2, 7\) → \(\text{НОД} = 14\).
Задача 8На колко е равен \(\text{НОД}(a, b)\), ако \(a\) и \(b\) са взаимно прости?
Отг.: на 1 (по определение за взаимно прости числа).
Отг.: на 1 (по определение за взаимно прости числа).
Задача 9Намерете \(\text{НОД}(a, b)\), ако: а) \(a = 1, b = 48\); б) \(a = 12, b = 60\); в) \(a = 35, b = 49\); г) \(a = 40, b = 90\).
Отг.: а) 1; б) 12 (60 се дели на 12); в) 7; г) 10.
Отг.: а) 1; б) 12 (60 се дели на 12); в) 7; г) 10.
Задача 10Намерете \(\text{НОД}(200, 120, 320)\).
Отг.: общи множители \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 = 40\) → \(\text{НОД} = 40\).
Отг.: общи множители \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5 = 40\) → \(\text{НОД} = 40\).
Задача 11Намерете всички общи делители на числата \(24, 36\) и \(48\).
Отг.: \(\text{НОД} = 12\); общи делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Отг.: \(\text{НОД} = 12\); общи делители 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Задача 12Намерете: а) \(\text{НОД}(45, 75)\); б) \(\text{НОД}(120, 150, 90)\).
Отг.: а) 15; б) 30.
Отг.: а) 15; б) 30.
Задача 13Намерете две числа, чийто НОД е: а) \(4\); б) \(9\); в) \(12\).
Отг.: например а) 8 и 12; б) 9 и 18; в) 12 и 36 (сами проверете НОД).
Отг.: например а) 8 и 12; б) 9 и 18; в) 12 и 36 (сами проверете НОД).
Задача 14Сравнете числата \(\text{НОД}(14, 21)\) и \(\text{НОД}(20, 25)\).
Отг.: \(\text{НОД}(14, 21) = 7\), \(\text{НОД}(20, 25) = 5\); значи \(7 \gt 5\).
Отг.: \(\text{НОД}(14, 21) = 7\), \(\text{НОД}(20, 25) = 5\); значи \(7 \gt 5\).
Задача 15Намерете неизвестното число \(x\), където \(\text{НОД}(12, 18) + x = \text{НОД}(40, 60)\).
Отг.: \(\text{НОД}(12, 18) = 6\), \(\text{НОД}(40, 60) = 20\); \(6 + x = 20\) → \(x = 14\).
Отг.: \(\text{НОД}(12, 18) = 6\), \(\text{НОД}(40, 60) = 20\); \(6 + x = 20\) → \(x = 14\).
Задача 16В цветарски магазин има \(18\) карамфила, \(24\) рози и \(30\) лалета. Колко най-много еднакви букета могат да се направят?
Отг.: \(\text{НОД}(18, 24, 30) = 6\) → 6 букета (по 3 карамфила, 4 рози и 5 лалета).
Отг.: \(\text{НОД}(18, 24, 30) = 6\) → 6 букета (по 3 карамфила, 4 рози и 5 лалета).
Задача 17В една работилница има \(30\) червени и \(45\) зелени топчета. На колко най-много еднакви групи могат да се разпределят топчетата, така че всяка да съдържа еднакъв брой червени и еднакъв брой зелени, без да останат топчета?
Отг.: \(\text{НОД}(30, 45) = 15\) → 15 групи (по 2 червени и 3 зелени).
Отг.: \(\text{НОД}(30, 45) = 15\) → 15 групи (по 2 червени и 3 зелени).
Задача 18На колко е равен \(\text{НОД}(a, b)\), ако \(b\) се дели на \(a\) без остатък?
Отг.: на \(a\) (по-малкото число, което дели по-голямото).
Отг.: на \(a\) (по-малкото число, което дели по-голямото).
Задача 19Намерете по рационален начин, без пълно разлагане, \(\text{НОД}\) на числата \(14\cdot 60\) и \(21\cdot 60\).
Отг.: \(60\cdot \text{НОД}(14, 21) = 60\cdot 7 = 420\).
Отг.: \(60\cdot \text{НОД}(14, 21) = 60\cdot 7 = 420\).
Задача 20Установете, че числата \(49\) и \(96\) са взаимно прости.
Отг.: \(49 = 7\cdot 7\), \(96 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) → нямат общ прост множител → НОД 1.
Отг.: \(49 = 7\cdot 7\), \(96 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) → нямат общ прост множител → НОД 1.
Задача 21Напишете три числа, имащи най-голям общ делител, равен на: а) \(6\); б) \(15\).
Отг.: например а) 6, 12, 18; б) 15, 30, 45 (сами проверете НОД).
Отг.: например а) 6, 12, 18; б) 15, 30, 45 (сами проверете НОД).
Задача 22Намерете \(\text{НОД}(25, 49)\).
Отг.: \(25 = 5\cdot 5\), \(49 = 7\cdot 7\) → нямат общ множител → \(\text{НОД} = 1\) (взаимно прости).
Отг.: \(25 = 5\cdot 5\), \(49 = 7\cdot 7\) → нямат общ множител → \(\text{НОД} = 1\) (взаимно прости).
Задача 23Числото \(A = (1\,206 + 594) : 8\), а числото \(B = \text{НОД}(A, 60)\). Намерете \(B\).
Отг.: \(A = 1\,800 : 8 = 225 = 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\); \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → \(B = 3\cdot 5 = 15\).
Отг.: \(A = 1\,800 : 8 = 225 = 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\); \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → \(B = 3\cdot 5 = 15\).
Задача 24Най-големият общ делител на две числа е \(9\), а сумата им е \(63\). Намерете числата.
Отг.: \(9\cdot (m + n) = 63\) → \(m + n = 7\); взаимно прости двойки със сбор 7 са (1, 6), (2, 5) и (3, 4) → числата са (9, 54), (18, 45) или (27, 36).
Отг.: \(9\cdot (m + n) = 63\) → \(m + n = 7\); взаимно прости двойки със сбор 7 са (1, 6), (2, 5) и (3, 4) → числата са (9, 54), (18, 45) или (27, 36).
Задача 25Числата \(83\) и \(94\) при деление на едно и също число дават остатъци съответно \(5\) и \(4\). Намерете неизвестния делител.
Отг.: \(83 - 5 = 78\), \(94 - 4 = 90\); \(\text{НОД}(78, 90) = 6\); делителят е по-голям от 5 → 6.
Отг.: \(83 - 5 = 78\), \(94 - 4 = 90\); \(\text{НОД}(78, 90) = 6\); делителят е по-голям от 5 → 6.
Задача 26Намерете \(\text{НОД}(100, 240)\).
Отг.: \(100 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\), \(240 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → общи \(2, 2, 5\) → \(\text{НОД} = 20\).
Отг.: \(100 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\), \(240 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\) → общи \(2, 2, 5\) → \(\text{НОД} = 20\).
Задача 27Взаимно прости ли са числата \(30\) и \(61\)?
Отг.: 61 е просто и не дели 30 → нямат общ делител, по-голям от 1 → да, взаимно прости.
Отг.: 61 е просто и не дели 30 → нямат общ делител, по-голям от 1 → да, взаимно прости.
Задача 28От числата \(12, 15, 25, 35, 42, 63\) намерете една двойка взаимно прости числа.
Отг.: например 25 и 42, защото \(\text{НОД}(25, 42) = 1\). Подходяща е и двойката 25 и 63.
Отг.: например 25 и 42, защото \(\text{НОД}(25, 42) = 1\). Подходяща е и двойката 25 и 63.
Задача 29Намерете \(\text{НОД}(7\,200, 1\,080)\).
Отг.: \(7\,200 = 2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\), \(1\,080 = 2^3\cdot 3^3\cdot 5\) → общи \(2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 360\).
Отг.: \(7\,200 = 2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\), \(1\,080 = 2^3\cdot 3^3\cdot 5\) → общи \(2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 360\).
Задача 30 — с повишена трудностДадено е трицифрено число. Записваме число със същите цифри, но в обратен ред. От по-голямото изваждаме по-малкото. Докажете, че получената разлика винаги се дели на \(9\), на \(11\) и на \(99\).
Отг.: \(\left|\overline{abc} - \overline{cba}\right| = 99\cdot \left|a - c\right|\); тъй като \(99 = 9\cdot 11\), разликата винаги се дели на 9, на 11 и на 99.
Отг.: \(\left|\overline{abc} - \overline{cba}\right| = 99\cdot \left|a - c\right|\); тъй като \(99 = 9\cdot 11\), разликата винаги се дели на 9, на 11 и на 99.
✅ Онлайн тест
Тест: Най-голям общ делител (НОД). Взаимно прости числа
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1На колко е равен \(\text{НОД}(15, 35)\)?
2На колко е равен \(\text{НОД}(42, 48)\)?
3Кое се нарича най-голям общ делител на две числа?
4Кои са общите делители на \(80\) и \(115\)?
5Две числа са взаимно прости, когато техният НОД е:
6На колко е равен \(\text{НОД}(18, 81)\)?
7Ако \(\text{НОД}(10, 15) + x = \text{НОД}(30, 45)\), то \(x\) е:
8В магазин има \(16\) лалета, \(20\) рози и \(24\) зюмбюла. Колко най-много еднакви букета могат да се направят?
9Коя двойка числа е взаимно проста?
10Ако \(a\) се дели на \(b\), то \(\text{НОД}(a, b)\) е равен на:
11На колко е равен \(\text{НОД}(24, 36)\)?
12\(24\) червени и \(36\) сини балона се делят на еднакви групи без остатък. Колко най-много групи?
13На колко е равен \(\text{НОД}(50, 175)\)?
14Взаимно прости ли са числата \(864\) и \(875\)?
15На колко е равен \(\text{НОД}(7\,200, 1\,080)\)?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
10
Прости и съставни числа
Урок за 5. клас — предходната тема от глава „Делимост на числата“: прости и съставни числа, таблица на простите до 100, разлагане на прости множители.
Към урока →
9
Признаци за делимост на 3 и на 9
Урок за 5. клас — признаци за делимост на 3 и на 9 по сбора от цифрите, остатъци при деление на 3.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато едно число се дели точно на друго, второто число е негов делител. Любопитен материал за делителите и закономерностите в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар