Признаци за делимост на 3 и 9
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Делимост на числата › Признаци за делимост на 3 и на 9
Признаци за делимост на 3 и на 9
Делимост по сбора от цифрите, признак за делимост на 3 и на 9, остатъци при деление на 3, делимост на сбор и произведение, доказателства и текстови задачи. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
При делимостта на 2, 5 и 10 всичко се решаваше от последната цифра. При 3 и 9 обаче последната цифра не помага — тук значение има сборът от всички цифри на числото. Това е изненадващо и удобно правило: за да проверим дали едно голямо число се дели на 3 или на 9, е достатъчно да съберем цифрите му. В този урок ще усвоим тези два признака и ще ги приложим в разнообразни задачи. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
➌ Признак за делимост на 3
Едно естествено число се дели на 3 тогава и само тогава, когато сборът от цифрите му се дели на \(3\).
Ако сборът от цифрите не се дели на \(3\), то и числото не се дели на \(3\).
Ако сборът от цифрите не се дели на \(3\), то и числото не се дели на \(3\).
Например при \(204\) сборът от цифрите е \(2 + 0 + 4 = 6\), а \(6\) се дели на \(3\), затова и \(204\) се дели на \(3\). При \(517\) сборът е \(5 + 1 + 7 = 13\), който не се дели на \(3\), значи и \(517\) не се дели на \(3\).
➒ Признак за делимост на 9
Едно естествено число се дели на 9 тогава и само тогава, когато сборът от цифрите му се дели на \(9\).
Ако сборът от цифрите не се дели на \(9\), то и числото не се дели на \(9\).
Ако сборът от цифрите не се дели на \(9\), то и числото не се дели на \(9\).
При \(900\,018\) сборът е \(9 + 0 + 0 + 0 + 1 + 8 = 18\), а \(18\) се дели на \(9\), затова и числото се дели на \(9\). Забележете, че всяко число, което се дели на \(9\), се дели и на \(3\) (защото щом сборът се дели на \(9\), той се дели и на \(3\)). Обратното не винаги е вярно: \(204\) се дели на \(3\), но не и на \(9\).
Полезно свойство. Едно естествено число и сборът от цифрите му дават един и същ остатък при деление на \(3\). Същото важи и при деление на \(9\). Затова, за да намерим остатъка на голямо число, е достатъчно да намерим остатъка на сбора от цифрите му.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Кои от числата \(204,\ 1\,000\,101,\ 517\,428,\ 63\,005,\ 900\,018,\ 428\,317\): а) се делят на \(3\); б) се делят на \(9\)?
▼
РешениеСъбираме цифрите на всяко число.
\(204 \to 6\); \(1\,000\,101 \to 3\); \(517\,428 \to 27\); \(63\,005 \to 14\); \(900\,018 \to 18\); \(428\,317 \to 25\).
а) на \(3\) (сборът се дели на \(3\)): \(204, 1\,000\,101, 517\,428, 900\,018\).
б) на \(9\) (сборът се дели на \(9\)): \(517\,428\) (сбор \(27\)) и \(900\,018\) (сбор \(18\)).
\(204 \to 6\); \(1\,000\,101 \to 3\); \(517\,428 \to 27\); \(63\,005 \to 14\); \(900\,018 \to 18\); \(428\,317 \to 25\).
а) на \(3\) (сборът се дели на \(3\)): \(204, 1\,000\,101, 517\,428, 900\,018\).
б) на \(9\) (сборът се дели на \(9\)): \(517\,428\) (сбор \(27\)) и \(900\,018\) (сбор \(18\)).
2
Заместете \(a\) с такава цифра, че полученото число да се дели на \(3\): а) \(\overline{358a}\); б) \(\overline{7840a00}\). По колко решения има всеки случай?
▼
Решениеа) Сборът на познатите цифри е \(3 + 5 + 8 = 16\). Търсим \(a\), при което \(16 + a\) се дели на \(3\): това са \(a = 2, 5, 8\) — 3 решения.
б) Сборът на познатите цифри е \(7 + 8 + 4 = 19\). За \(19 + a\) кратно на \(3\): \(a = 2, 5, 8\) — 3 решения.
б) Сборът на познатите цифри е \(7 + 8 + 4 = 19\). За \(19 + a\) кратно на \(3\): \(a = 2, 5, 8\) — 3 решения.
3
Обяснете защо числото: а) \(3\,527\,304\) се дели на \(2\) и на \(3\); б) \(60\,123\,465\) се дели на \(3\) и на \(5\); в) \(576\,540\) се дели на \(2\), на \(3\) и на \(5\).
▼
Решениеа) завършва на \(4\) → дели се на \(2\); сборът от цифрите е \(24\), който се дели на \(3\) → дели се на \(3\).
б) завършва на \(5\) → дели се на \(5\); сборът е \(27\), който се дели на \(3\) → дели се на \(3\).
в) завършва на \(0\) → дели се на \(2\) и на \(5\); сборът е \(27\), който се дели на \(3\) → дели се и на \(3\).
б) завършва на \(5\) → дели се на \(5\); сборът е \(27\), който се дели на \(3\) → дели се на \(3\).
в) завършва на \(0\) → дели се на \(2\) и на \(5\); сборът е \(27\), който се дели на \(3\) → дели се и на \(3\).
4
Посочете най-малкото естествено число \(a\), така че изразът \(30 + 17 + a\) да се дели и на \(3\), и на \(5\).
▼
Решение\(30 + 17 + a = 47 + a\). За да се дели едновременно на \(3\) и на \(5\), сборът трябва да се дели на \(15\).
Първото кратно на \(15\), което е по-голямо от \(47\), е \(60\). Значи \(47 + a = 60\), откъдето \(a = 13\).
Първото кратно на \(15\), което е по-голямо от \(47\), е \(60\). Значи \(47 + a = 60\), откъдето \(a = 13\).
5
Между кои две последователни числа, кратни на \(3\), се намира всяко от числата \(428, 352, 784\)?
▼
РешениеТърсим най-близките кратни на \(3\) от двете страни.
\(428\): между \(426\) и \(429\). \(352\): между \(351\) и \(354\). \(784\): между \(783\) и \(786\).
\(428\): между \(426\) и \(429\). \(352\): между \(351\) и \(354\). \(784\): между \(783\) и \(786\).
6
Напишете трицифрено, четирицифрено и шестцифрено число, всяко от които е кратно на: а) \(3\); б) \(9\).
▼
РешениеДостатъчно е да подберем цифри с подходящ сбор.
а) кратни на \(3\) (сбор кратен на \(3\)): например \(123, 1\,230, 111\,000\).
б) кратни на \(9\) (сбор кратен на \(9\)): например \(126, 3\,600, 900\,000\).
а) кратни на \(3\) (сбор кратен на \(3\)): например \(123, 1\,230, 111\,000\).
б) кратни на \(9\) (сбор кратен на \(9\)): например \(126, 3\,600, 900\,000\).
7
Намерете три числа, които се записват само с цифрата \(1\) и се делят на \(3\).
▼
РешениеЧисло, записано само с цифрата \(1\), се дели на \(3\), когато броят на единиците в записа му се дели на \(3\) (сборът от цифрите е равен на този брой).
Например \(111\) (сбор \(3\)), \(111\,111\) (сбор \(6\)) и \(111\,111\,111\) (сбор \(9\)).
Например \(111\) (сбор \(3\)), \(111\,111\) (сбор \(6\)) и \(111\,111\,111\) (сбор \(9\)).
8
Без да пресмятате, намерете остатъците при деление на \(3\) на числата \(28\,651,\ 42\,569,\ 2\,703\,402\).
▼
РешениеОстатъкът при деление на \(3\) е същият като остатъка на сбора от цифрите.
\(28\,651 \to\) сбор \(22\), а \(22 : 3\) дава остатък \(1\).
\(42\,569 \to\) сбор \(26\), остатък \(2\).
\(2\,703\,402 \to\) сбор \(18\), който се дели на \(3\) → остатък \(0\).
\(28\,651 \to\) сбор \(22\), а \(22 : 3\) дава остатък \(1\).
\(42\,569 \to\) сбор \(26\), остатък \(2\).
\(2\,703\,402 \to\) сбор \(18\), който се дели на \(3\) → остатък \(0\).
9
Кои от числата \(384\,321,\ 541\,638,\ 90\,390,\ 81\,741,\ 51\,535,\ 981\,621\) се делят на \(3\)? А кои се делят на \(9\)?
▼
РешениеСъбираме цифрите: \(384\,321 \to 21\); \(541\,638 \to 27\); \(90\,390 \to 21\); \(81\,741 \to 21\); \(51\,535 \to 19\); \(981\,621 \to 27\).
На \(3\) (сбор кратен на \(3\)): \(384\,321, 541\,638, 90\,390, 81\,741, 981\,621\).
На \(9\) (сбор кратен на \(9\)): \(541\,638\) и \(981\,621\) (сбор \(27\)).
На \(3\) (сбор кратен на \(3\)): \(384\,321, 541\,638, 90\,390, 81\,741, 981\,621\).
На \(9\) (сбор кратен на \(9\)): \(541\,638\) и \(981\,621\) (сбор \(27\)).
10
Покажете, че всяко трицифрено число, записано с еднакви цифри, е кратно на \(3\).
▼
РешениеАко трицифреното число е записано с цифрата \(c\), то сборът от цифрите му е \(c + c + c = 3\cdot c\).
Този сбор винаги се дели на \(3\), затова и самото число се дели на \(3\).
Този сбор винаги се дели на \(3\), затова и самото число се дели на \(3\).
11
Запишете най-малкото и най-голямото четирицифрено число, което е кратно на \(9\).
▼
РешениеНай-малко: тръгваме от \(1\,000\) нагоре. Първото кратно на \(9\) е \(1\,008\) (сбор \(9\)).
Най-голямо: тръгваме от \(9\,999\) надолу. \(9\,999\) има сбор \(36\), който се дели на \(9\), значи \(9\,999\) е кратно на \(9\).
Най-голямо: тръгваме от \(9\,999\) надолу. \(9\,999\) има сбор \(36\), който се дели на \(9\), значи \(9\,999\) е кратно на \(9\).
12
Напишете естествените числа \(x\), които са кратни на \(3\) и изпълняват условието \(373 \lt x \lt 380\).
▼
РешениеПроверяваме числата между \(373\) и \(380\) по сбора от цифрите.
\(375 \to 15\) (кратно на \(3\)) и \(378 \to 18\) (кратно на \(3\)).
Значи \(x = 375\) и \(x = 378\).
\(375 \to 15\) (кратно на \(3\)) и \(378 \to 18\) (кратно на \(3\)).
Значи \(x = 375\) и \(x = 378\).
13
Кои от числата \(132, 288, 590, 870, 54\,900\) са кратни на \(3\), кои са кратни на \(5\) и кои са кратни на \(9\)? Кои от тях при деление на \(9\) дават остатък \(5\)?
▼
РешениеСборове от цифрите: \(132 \to 6\); \(288 \to 18\); \(590 \to 14\); \(870 \to 15\); \(54\,900 \to 18\).
Кратни на \(3\): \(132, 288, 870, 54\,900\). Кратни на \(5\): \(590, 870, 54\,900\). Кратни на \(9\): \(288, 54\,900\).
Остатък \(5\) при деление на \(9\): само \(590\) (сбор \(14\), а \(14 : 9\) дава остатък \(5\)).
Кратни на \(3\): \(132, 288, 870, 54\,900\). Кратни на \(5\): \(590, 870, 54\,900\). Кратни на \(9\): \(288, 54\,900\).
Остатък \(5\) при деление на \(9\): само \(590\) (сбор \(14\), а \(14 : 9\) дава остатък \(5\)).
14
Дайте по един пример за цифрите \(a\) и \(b\) във всеки от възможните случаи, така че петцифреното число \(\overline{3a5b1}\) да се дели на \(9\).
▼
РешениеСборът от цифрите е \(3 + a + 5 + b + 1 = 9 + a + b\). За да се дели числото на \(9\), сборът \(a + b\) също трябва да се дели на \(9\).
Възможности: \(a + b = 0\) (например \(a = 0, b = 0\) → \(30\,501\)), \(a + b = 9\) (например \(a = 4, b = 5\) → \(34\,551\)) или \(a + b = 18\) (само \(a = 9, b = 9\) → \(39\,591\)).
Възможности: \(a + b = 0\) (например \(a = 0, b = 0\) → \(30\,501\)), \(a + b = 9\) (например \(a = 4, b = 5\) → \(34\,551\)) или \(a + b = 18\) (само \(a = 9, b = 9\) → \(39\,591\)).
15
Напишете естествените числа \(x\), които са кратни на \(3\) и изпълняват условието \(923 \lt x \le 930\).
▼
РешениеПроверяваме числата от \(924\) до \(930\) по сбора от цифрите.
\(924 \to 15\), \(927 \to 18\), \(930 \to 12\) — и трите се делят на \(3\).
Значи \(x = 924, 927, 930\).
\(924 \to 15\), \(927 \to 18\), \(930 \to 12\) — и трите се делят на \(3\).
Значи \(x = 924, 927, 930\).
16
С помощта на цифрите \(1, 2, 7\) и \(8\) напишете всички двуцифрени числа, които се делят на \(9\). Числата \(27\) и \(17\) сред написаните ли са? Защо?
▼
РешениеДвуцифрено число се дели на \(9\), когато сборът на двете цифри е \(9\) (или \(18\)). От дадените цифри такива двойки са \(1 + 8\) и \(2 + 7\).
Числата са \(18, 81, 27, 72\).
\(27\) е сред тях (сбор \(9\)). \(17\) обаче не е — сборът \(1 + 7 = 8\) не се дели на \(9\).
Числата са \(18, 81, 27, 72\).
\(27\) е сред тях (сбор \(9\)). \(17\) обаче не е — сборът \(1 + 7 = 8\) не се дели на \(9\).
17
Покажете, че произведението на три последователни естествени числа е кратно и на \(2\), и на \(3\), и на \(6\).
▼
РешениеСред всеки три последователни числа поне едно е четно, значи произведението се дели на \(2\).
Освен това сред всеки три последователни числа точно едно се дели на \(3\), значи произведението се дели и на \(3\).
Тъй като се дели и на \(2\), и на \(3\), то се дели и на \(2\cdot 3 = 6\).
Освен това сред всеки три последователни числа точно едно се дели на \(3\), значи произведението се дели и на \(3\).
Тъй като се дели и на \(2\), и на \(3\), то се дели и на \(2\cdot 3 = 6\).
18
На местата на \(\ast_1, \ast_2, \ast_3\) в числото \(\overline{1\ast_1 2\,34\ast_2\,5\ast_3 7}\) стоят цифри. Известно е, че това число се дели на \(3\). Напишете поне едно такова число, ако всяка от трите звездички може независимо да бъде заменена с една от цифрите \(2, 4, 6\).
▼
РешениеПознатите цифри дават сбор \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22\). Ако трите звезди заменим с цифри със сбор \(s\), целият сбор е \(22 + s\); той трябва да се дели на \(3\).
Ако трите звезди заменим с цифрите \(4, 2, 2\), сборът им е \(8\), тогава \(22 + 8 = 30\), който се дели на \(3\). Едно решение е \(142\,342\,527\) (звездите са \(4, 2, 2\)).
Ако трите звезди заменим с цифрите \(4, 2, 2\), сборът им е \(8\), тогава \(22 + 8 = 30\), който се дели на \(3\). Едно решение е \(142\,342\,527\) (звездите са \(4, 2, 2\)).
19
Намерете стойността на едноцифреното число \(y\), така че сумата \(y + 32\,546\) да се дели: а) на \(3\); б) на \(9\).
▼
РешениеСборът от цифрите на \(32\,546\) е \(3 + 2 + 5 + 4 + 6 = 20\). Числото \(32\,546\) дава при деление на \(3\) (и на \(9\)) същия остатък като \(20\), затова \(32\,546 + y\) дава същия остатък като \(20 + y\).
а) за делимост на \(3\): \(20 + y\) кратно на \(3\) → \(y = 1, 4\) или \(7\).
б) за делимост на \(9\): \(20 + y\) кратно на \(9\) → само \(y = 7\) (\(20 + 7 = 27\)).
а) за делимост на \(3\): \(20 + y\) кратно на \(3\) → \(y = 1, 4\) или \(7\).
б) за делимост на \(9\): \(20 + y\) кратно на \(9\) → само \(y = 7\) (\(20 + 7 = 27\)).
20
Между кои две последователни числа, кратни на \(9\), се намира числото \(500\)?
▼
РешениеТърсим кратните на \(9\) непосредствено под и над \(500\).
\(495 = 9\cdot 55\) (сбор \(18\)) е под \(500\), а \(504 = 9\cdot 56\) (сбор \(9\)) е над него.
Значи \(500\) е между \(495\) и \(504\).
\(495 = 9\cdot 55\) (сбор \(18\)) е под \(500\), а \(504 = 9\cdot 56\) (сбор \(9\)) е над него.
Значи \(500\) е между \(495\) и \(504\).
21
В числото \(A\) всяка от цифрите от \(1\) до \(9\) се среща точно три пъти. Покажете, че \(A\) е кратно на \(9\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеСборът на цифрите от \(1\) до \(9\) е \(1 + 2 + \ldots + 9 = 45\).
Тъй като всяка цифра се среща по три пъти, сборът от всички цифри на \(A\) е \(3\cdot 45 = 135\).
\(135\) се дели на \(9\) (сборът му от цифри е \(1 + 3 + 5 = 9\)), затова и \(A\) се дели на \(9\).
Тъй като всяка цифра се среща по три пъти, сборът от всички цифри на \(A\) е \(3\cdot 45 = 135\).
\(135\) се дели на \(9\) (сборът му от цифри е \(1 + 3 + 5 = 9\)), затова и \(A\) се дели на \(9\).
22
С цифрите от \(1\) до \(7\) е записано седемцифрено число \(A\), като всяка цифра е използвана точно веднъж. Вярно ли е, че \(A\) е кратно на \(9\)?⭐ повишена трудност
▼
РешениеСборът от цифрите винаги е \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28\), независимо от подредбата.
\(28\) не се дели на \(9\) (\(28 = 9\cdot 3 + 1\)), затова числото \(A\) не е кратно на \(9\). (Освен това \(28\) не се дели и на \(3\), значи \(A\) не е кратно и на \(3\).)
\(28\) не се дели на \(9\) (\(28 = 9\cdot 3 + 1\)), затова числото \(A\) не е кратно на \(9\). (Освен това \(28\) не се дели и на \(3\), значи \(A\) не е кратно и на \(3\).)
23
Георги умножил едно число по \(9\) и получил числото \(A\). След време установил, че една от цифрите на \(A\) е изтрита и \(A\) изглежда така: \(\overline{32\ast57}\). Коя е изтритата цифра?⭐ повишена трудност
▼
РешениеТъй като \(A\) е произведение с множител \(9\), то \(A\) се дели на \(9\), значи сборът от цифрите му се дели на \(9\).
Сборът на познатите цифри е \(3 + 2 + 5 + 7 = 17\). За да стане кратен на \(9\), изтритата цифра \(\ast\) трябва да е такава, че \(17 + \ast\) да се дели на \(9\).
Това е \(\ast = 1\) (\(17 + 1 = 18\)). Изтритата цифра е \(1\).
Сборът на познатите цифри е \(3 + 2 + 5 + 7 = 17\). За да стане кратен на \(9\), изтритата цифра \(\ast\) трябва да е такава, че \(17 + \ast\) да се дели на \(9\).
Това е \(\ast = 1\) (\(17 + 1 = 18\)). Изтритата цифра е \(1\).
24
Естествените числа от \(1\) до \(21\) включително са записани едно след друго (получава се числото \(\overline{123456789101112 \ldots 21}\)). Дели ли се така полученото многоцифрено число на \(3\)?⭐ повишена трудност
▼
РешениеДелимостта на \(3\) зависи от сбора на всички цифри, а той е равен на сбора от цифрите на числата \(1, 2, 3, \ldots, 21\).
Сборът на самите числа от \(1\) до \(21\) е \(\dfrac{21\cdot 22}{2} = 231\). Сборът от цифрите дава същия остатък при деление на \(3\) като този сбор, а \(231\) се дели на \(3\) (сбор \(2 + 3 + 1 = 6\)).
Значи полученото многоцифрено число се дели на \(3\).
Сборът на самите числа от \(1\) до \(21\) е \(\dfrac{21\cdot 22}{2} = 231\). Сборът от цифрите дава същия остатък при деление на \(3\) като този сбор, а \(231\) се дели на \(3\) (сбор \(2 + 3 + 1 = 6\)).
Значи полученото многоцифрено число се дели на \(3\).
25
Възрастта на прадядото на Жанет е шест пъти по-голяма от нейната възраст. Ако между цифрите на възрастта на Жанет поставим \(0\), ще получим възрастта на нейния прадядо. На колко години е Жанет?⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека възрастта на Жанет е двуцифрено число с цифра на десетиците \(d\) и цифра на единиците \(e\), тоест \(\overline{de}\). Като поставим \(0\) между цифрите, получаваме трицифреното \(\overline{d0e}\).
Възрастта на Жанет е \(10\cdot d + e\), а на прадядото \(100\cdot d + e\). Условието е \(100\cdot d + e = 6\cdot (10\cdot d + e)\).
Оттук \(100\cdot d + e = 60\cdot d + 6\cdot e\), тоест \(40\cdot d = 5\cdot e\), значи \(8\cdot d = e\). Единствената възможност с цифри е \(d = 1, e = 8\).
Жанет е на \(18\) години (а прадядото на \(108\)).
Възрастта на Жанет е \(10\cdot d + e\), а на прадядото \(100\cdot d + e\). Условието е \(100\cdot d + e = 6\cdot (10\cdot d + e)\).
Оттук \(100\cdot d + e = 60\cdot d + 6\cdot e\), тоест \(40\cdot d = 5\cdot e\), значи \(8\cdot d = e\). Единствената възможност с цифри е \(d = 1, e = 8\).
Жанет е на \(18\) години (а прадядото на \(108\)).
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Кои от числата \(315,\ 2\,000\,202,\ 634\,128,\ 72\,004,\ 810\,045,\ 527\,713\): а) се делят на \(3\); б) се делят на \(9\)?
Отг.: сборове 9, 6, 24, 13, 18, 25; а) на 3: 315, 2 000 202, 634 128, 810 045; б) на 9: 315, 810 045.
Отг.: сборове 9, 6, 24, 13, 18, 25; а) на 3: 315, 2 000 202, 634 128, 810 045; б) на 9: 315, 810 045.
Задача 2Заместете \(a\) с такава цифра, че полученото число да се дели на \(3\): а) \(\overline{471a}\); б) \(\overline{63a2}\); в) \(\overline{5a08}\).
Отг.: а) сбор \(12 + a\) → \(a = 0, 3, 6, 9\); б) сбор \(11 + a\) → \(a = 1, 4, 7\); в) сбор \(13 + a\) → \(a = 2, 5, 8\).
Отг.: а) сбор \(12 + a\) → \(a = 0, 3, 6, 9\); б) сбор \(11 + a\) → \(a = 1, 4, 7\); в) сбор \(13 + a\) → \(a = 2, 5, 8\).
Задача 3Обяснете защо числото: а) \(4\,271\,316\) се дели на \(2\) и на \(3\); б) \(83\,410\,215\) се дели на \(3\) и на \(5\).
Отг.: а) завършва на 6 (на 2), сбор 24 (на 3); б) завършва на 5 (на 5), сбор 24 (на 3).
Отг.: а) завършва на 6 (на 2), сбор 24 (на 3); б) завършва на 5 (на 5), сбор 24 (на 3).
Задача 4Посочете най-малкото естествено число \(a\), така че изразът \(25 + 14 + a\) да се дели и на \(3\), и на \(5\).
Отг.: \(25 + 14 + a = 39 + a\); за делимост на 15 → първото кратно на 15 над 39 е 45 → \(a = 6\).
Отг.: \(25 + 14 + a = 39 + a\); за делимост на 15 → първото кратно на 15 над 39 е 45 → \(a = 6\).
Задача 5Между кои две последователни числа, кратни на \(3\), се намира всяко от числата \(316, 470, 851\)?
Отг.: 316 → между 315 и 318; 470 → между 468 и 471; 851 → между 849 и 852.
Отг.: 316 → между 315 и 318; 470 → между 468 и 471; 851 → между 849 и 852.
Задача 6Напишете трицифрено, четирицифрено и петцифрено число, всяко от които е кратно на: а) \(3\); б) \(9\).
Отг.: например а) 132, 1 233, 12 300; б) 108, 3 600, 90 000 (сборовете са кратни на 3, съответно на 9).
Отг.: например а) 132, 1 233, 12 300; б) 108, 3 600, 90 000 (сборовете са кратни на 3, съответно на 9).
Задача 7Намерете три числа, които се записват само с цифрата \(2\) и се делят на \(3\).
Отг.: сборът е \(2 \cdot (\text{брой двойки})\); дели се на 3, когато броят на двойките се дели на 3 → 222 (сбор 6), 222 222 (сбор 12), 222 222 222 (сбор 18).
Отг.: сборът е \(2 \cdot (\text{брой двойки})\); дели се на 3, когато броят на двойките се дели на 3 → 222 (сбор 6), 222 222 (сбор 12), 222 222 222 (сбор 18).
Задача 8Без да пресмятате, намерете остатъците при деление на \(3\) на числата \(51\,742,\ 683\,033,\ 4\,215\,608\).
Отг.: остатъкът е като на сбора от цифрите — 51 742 → сбор 19 → остатък 1; 683 033 → сбор 23 → остатък 2; 4 215 608 → сбор 26 → остатък 2.
Отг.: остатъкът е като на сбора от цифрите — 51 742 → сбор 19 → остатък 1; 683 033 → сбор 23 → остатък 2; 4 215 608 → сбор 26 → остатък 2.
Задача 9Кои от числата \(720\,315,\ 444\,201,\ 90\,036,\ 51\,048,\ 83\,214,\ 615\,933\) се делят на \(3\)? А кои на \(9\)?
Отг.: сборове 18, 15, 18, 18, 18, 27; всички се делят на 3; на 9 → 720 315, 90 036, 51 048, 83 214, 615 933 (сборове 18 и 27).
Отг.: сборове 18, 15, 18, 18, 18, 27; всички се делят на 3; на 9 → 720 315, 90 036, 51 048, 83 214, 615 933 (сборове 18 и 27).
Задача 10Покажете, че всяко шестцифрено число, записано с еднакви цифри, е кратно на \(3\).
Отг.: сборът е \(c + c + c + c + c + c = 6c = 3 \cdot 2c\) → винаги се дели на 3.
Отг.: сборът е \(c + c + c + c + c + c = 6c = 3 \cdot 2c\) → винаги се дели на 3.
Задача 11Запишете най-малкото и най-голямото трицифрено число, което е кратно на \(9\).
Отг.: най-малко 108 (сбор 9), най-голямо 999 (сбор 27).
Отг.: най-малко 108 (сбор 9), най-голямо 999 (сбор 27).
Задача 12Напишете естествените числа \(x\), които са кратни на \(3\) и изпълняват условието \(548 \lt x \lt 556\).
Отг.: 549 (сбор 18) и 552 (сбор 12) → \(x = 549, 552\).
Отг.: 549 (сбор 18) и 552 (сбор 12) → \(x = 549, 552\).
Задача 13Кои от числата \(261, 405, 738, 594, 8\,127\) са кратни едновременно на \(3\) и на \(9\)?
Отг.: сборове 9, 9, 18, 18, 18 — всички се делят на 9 (следователно и на 3).
Отг.: сборове 9, 9, 18, 18, 18 — всички се делят на 9 (следователно и на 3).
Задача 14Намерете цифрата \(a\), така че числото \(\overline{6a24}\) да се дели на \(9\).
Отг.: сбор \(6 + a + 2 + 4 = 12 + a\); за делимост на 9 → \(a = 6\) (\(12 + 6 = 18\)).
Отг.: сбор \(6 + a + 2 + 4 = 12 + a\); за делимост на 9 → \(a = 6\) (\(12 + 6 = 18\)).
Задача 15Напишете естествените числа \(x\), които са кратни на \(9\) и изпълняват условието \(700 \lt x \lt 740\).
Отг.: 702, 711, 720 (сбор 9), 729, 738 (сбор 18) → \(x = 702, 711, 720, 729, 738\).
Отг.: 702, 711, 720 (сбор 9), 729, 738 (сбор 18) → \(x = 702, 711, 720, 729, 738\).
Задача 16С помощта на цифрите \(2, 3, 6\) и \(7\) напишете всички двуцифрени числа, които се делят на \(9\). Числото \(36\) сред тях ли е?
Отг.: двойки със сбор 9 → \(2 + 7\) и \(3 + 6\); числата са 27, 72, 36, 63. Да, 36 е сред тях (сбор 9).
Отг.: двойки със сбор 9 → \(2 + 7\) и \(3 + 6\); числата са 27, 72, 36, 63. Да, 36 е сред тях (сбор 9).
Задача 17Покажете, че произведението на две последователни четни числа се дели на \(3\), ако едно от тях се дели на \(3\).
Отг.: ако единият множител се дели на 3, то и произведението се дели на 3 (свойство от предходния урок).
Отг.: ако единият множител се дели на 3, то и произведението се дели на 3 (свойство от предходния урок).
Задача 18Намерете стойността на едноцифреното число \(y\), така че сумата \(y + 41\,758\) да се дели: а) на \(3\); б) на \(9\).
Отг.: \(41\,758\) дава при деление на 3 и на 9 същия остатък като сбора 25 от цифрите му, затова \(41\,758 + y\) — като \(25 + y\); а) на 3 → \(y = 2, 5, 8\); б) на 9 → \(y = 2\) (\(25 + 2 = 27\)).
Отг.: \(41\,758\) дава при деление на 3 и на 9 същия остатък като сбора 25 от цифрите му, затова \(41\,758 + y\) — като \(25 + y\); а) на 3 → \(y = 2, 5, 8\); б) на 9 → \(y = 2\) (\(25 + 2 = 27\)).
Задача 19Между кои две последователни числа, кратни на \(9\), се намира числото \(400\)?
Отг.: \(396 = 9 \cdot 44\) и \(405 = 9 \cdot 45\) → между 396 и 405.
Отг.: \(396 = 9 \cdot 44\) и \(405 = 9 \cdot 45\) → между 396 и 405.
Задача 20В магазин докарали пакетирани в торбички по \(3\) kg картофи. Може ли всичките картофи да са \(156\) kg, \(201\) kg, \(284\) kg, \(333\) kg, \(417\) kg?
Отг.: делят се на 3 по сбора от цифрите — възможни са количествата 156, 201, 333 и 417 kg; 284 kg (сбор 14) не е възможно.
Отг.: делят се на 3 по сбора от цифрите — възможни са количествата 156, 201, 333 и 417 kg; 284 kg (сбор 14) не е възможно.
Задача 21Намерете всички естествени числа \(a \le 20\), за които \(20 - a\) се дели на \(6\).
Отг.: \(a = 2, 8, 14, 20\) (тогава \(20 - a\) е съответно 18, 12, 6, 0).
Отг.: \(a = 2, 8, 14, 20\) (тогава \(20 - a\) е съответно 18, 12, 6, 0).
Задача 22Намерете всички естествени числа \(b \le 34\), за които \(34 - b\) се дели на \(9\).
Отг.: \(b = 7, 16, 25, 34\) (тогава \(34 - b\) е съответно 27, 18, 9, 0).
Отг.: \(b = 7, 16, 25, 34\) (тогава \(34 - b\) е съответно 27, 18, 9, 0).
Задача 23Разликата между цифрата на десетиците и цифрата на единиците на едно двуцифрено число е равна на половината от цифрата на десетиците. Вярно ли е, че числото се дели на \(3\)?
Отг.: нека цифрата на десетиците е \(d = 2k\); от \(d - e = k\) следва \(e = k\). Тогава сборът \(d + e = 2k + k = 3k\) се дели на 3. Да, вярно е.
Отг.: нека цифрата на десетиците е \(d = 2k\); от \(d - e = k\) следва \(e = k\). Тогава сборът \(d + e = 2k + k = 3k\) се дели на 3. Да, вярно е.
Задача 24С цифрите от \(1\) до \(8\) е записано осемцифрено число, като всяка цифра е използвана точно веднъж. Вярно ли е, че то е кратно на \(9\)?
Отг.: сборът винаги е \(1 + 2 + \ldots + 8 = 36\), който се дели на 9 → да, кратно е на 9.
Отг.: сборът винаги е \(1 + 2 + \ldots + 8 = 36\), който се дели на 9 → да, кратно е на 9.
Задача 25Естествените числа от \(1\) до \(14\) са записани едно след друго. Дели ли се полученото число на \(3\)?
Отг.: сборът от цифрите е \(1 + 2 + \ldots + 9 = 45\) за едноцифрените, а за 10, 11, 12, 13, 14 — \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\); общо \(45 + 15 = 60\), който се дели на 3. Да, дели се.
Отг.: сборът от цифрите е \(1 + 2 + \ldots + 9 = 45\) за едноцифрените, а за 10, 11, 12, 13, 14 — \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\); общо \(45 + 15 = 60\), който се дели на 3. Да, дели се.
Задача 26Отдясно и отляво на цифрата \(7\) запишете по една цифра, така че полученото трицифрено число да се дели на \(9\).
Отг.: сборът на трите цифри трябва да е кратен на 9; напр. \(2\,7\,0\) (270), \(1\,7\,1\) (171), \(6\,7\,5\) (675).
Отг.: сборът на трите цифри трябва да е кратен на 9; напр. \(2\,7\,0\) (270), \(1\,7\,1\) (171), \(6\,7\,5\) (675).
Задача 27Даден е изразът \(M = 111 + 42\cdot 3\). Дели ли се \(M\) на \(3\)? А на \(9\)?
Отг.: \(M = 111 + 126 = 237\); сбор 12 → дели се на 3, но не на 9.
Отг.: \(M = 111 + 126 = 237\); сбор 12 → дели се на 3, но не на 9.
Задача 28Кой от сборовете се дели на \(9\): а) \(9 + 63 + 222\); б) \(261 + 504 + 333\)?
Отг.: а) \(294\) (сбор 15) не се дели на 9; б) \(1\,098\) (сбор 18) се дели на 9.
Отг.: а) \(294\) (сбор 15) не се дели на 9; б) \(1\,098\) (сбор 18) се дели на 9.
Задача 29 — с повишена трудностПокажете, че сборът на едно двуцифрено число и числото, получено при размяна на цифрите му, се дели на \(11\).
Отг.: \(\overline{de} + \overline{ed} = (10d + e) + (10e + d) = 11d + 11e = 11(d + e)\) → дели се на 11.
Отг.: \(\overline{de} + \overline{ed} = (10d + e) + (10e + d) = 11d + 11e = 11(d + e)\) → дели се на 11.
Задача 30Отдясно до числото \(32\) допишете две цифри, така че полученото четирицифрено число да се дели на \(9\).
Отг.: сборът \(3 + 2 + a + b = 5 + a + b\) трябва да е кратен на 9 → \(a + b = 4\) (напр. 3 204) или \(a + b = 13\) (напр. 3 249).
Отг.: сборът \(3 + 2 + a + b = 5 + a + b\) трябва да е кратен на 9 → \(a + b = 4\) (напр. 3 204) или \(a + b = 13\) (напр. 3 249).
✅ Онлайн тест
Тест: Признаци за делимост на 3 и на 9
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Кое е вярно за числото \(621\)?
2Числото \(294\) дели ли се на \(9\)?
3По кой признак се проверява делимостта на \(3\)?
4Кое от числата се дели на \(3\)?
5С коя цифра да заместим \(\ast\) в \(\overline{182\ast3}\), така че числото да се дели на \(9\)?
6Какъв остатък дава \(28\,651\) при деление на \(3\)?
7Всяко число, което се дели на \(9\):
8Кое произведение се дели на \(3\)?
9Кой сбор се дели на \(9\)?
10Числото \(\overline{3a5b1}\) се дели на \(9\), когато:
11Ако всяка от цифрите от \(1\) до \(9\) се среща в едно число по три пъти, числото се дели на:
12Най-малката цифра \(y\), при която \(y + 32\,546\) се дели на \(9\), е:
13Кое число е кратно едновременно на \(3\), на \(5\) и на \(9\)?
14Най-голямото четирицифрено число, кратно на \(9\), е:
15Седемцифрено число, записано с цифрите от \(1\) до \(7\) (всяка веднъж), кратно ли е на \(9\)?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
8
Признаци за делимост на 2, 5 и 10
Урок за 5. клас — предходната тема от глава „Делимост на числата“: признаци за делимост на 2, 5 и 10 по последната цифра и на 4 и 25 по последните две цифри.
Към урока →
7
Делимост на сбор и на произведение
Урок за 5. клас — свойства на делимостта: кога сборът, разликата и произведението се делят на дадено число.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато едно число се дели точно на друго, второто число е негов делител. Любопитен материал за делителите и закономерностите в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар