Делимост на сбор и на произведение
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Делимост на числата › Делимост на сбор и на произведение
Делимост на сбор и на произведение
Свойства на делимостта, кога сборът и разликата се делят на дадено число, делимост на произведение, доказателства и текстови задачи. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В предишния урок се запознахме с делителите и кратните на едно число. Сега ще видим как да преценим дали един сбор, една разлика или едно произведение се дели на дадено число — и то без да пресмятаме стойността му. Тези свойства спестяват много работа и стоят в основата на признаците за делимост. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
➕ Делимост на сбор и на разлика
Нека \(a\), \(b\) и \(c\) са естествени числа, като \(a \ne 0\).
• Ако \(a\) дели \(b\) и \(a\) дели \(c\), то \(a\) дели и сбора \(b + c\).
• Ако \(a\) дели \(b\) и \(a\) дели \(c\) (при \(b \ge c\)), то \(a\) дели и разликата \(b - c\).
• Ако \(a\) дели \(b\) и \(a\) дели \(c\), то \(a\) дели и сбора \(b + c\).
• Ако \(a\) дели \(b\) и \(a\) дели \(c\) (при \(b \ge c\)), то \(a\) дели и разликата \(b - c\).
Понеже и \(24\), и \(18\) се делят на \(3\), още преди да намерим сбора им, знаем, че и той се дели на \(3\). По същия начин, понеже \(90\) и \(45\) се делят на \(9\), разликата \(90 - 45\) също се дели на \(9\).
⚠️ Кога изводът не е сигурен
• Ако \(a\) не дели \(b\) и \(a\) не дели \(c\), не може предварително да се направи извод дали \(a\) дели \(b + c\). Например \(2\) не дели \(7\) и не дели \(5\), но \(2\) дели \(7 + 5 = 12\).
• Ако \(a\) дели \(b\), но \(a\) не дели \(c\), то \(a\) не дели \(b + c\). Ако освен това \(b \ge c\), то \(a\) не дели и \(b - c\).
• Ако \(a\) дели \(b\), но \(a\) не дели \(c\), то \(a\) не дели \(b + c\). Ако освен това \(b \ge c\), то \(a\) не дели и \(b - c\).
✖️ Делимост на произведение
Ако \(a\) дели \(b\), то \(a\) дели и всяко произведение \(b\cdot c\).
С други думи: ако едно от числата в произведението се дели на \(a\), то и цялото произведение се дели на \(a\).
С други думи: ако едно от числата в произведението се дели на \(a\), то и цялото произведение се дели на \(a\).
Например произведението \(7\cdot 3842\) се дели на \(7\), защото първият множител е \(7\). А произведението \(38\cdot 25\,432\) се дели на \(19\), защото \(38 = 2\cdot 19\), тоест единият множител се дели на \(19\).
Защо тези свойства са верни? Ако \(a\) дели \(b\) и \(a\) дели \(c\), то \(b = a\cdot m\) и \(c = a\cdot n\) за някои естествени числа \(m\) и \(n\). Тогава
\[b + c = a\cdot m + a\cdot n = a\cdot (m + n),\]затова \(a\) дели \(b + c\). При \(b \ge c\) по същия начин \(b - c = a\cdot (m - n)\), следователно \(a\) дели \(b - c\).
За произведението е достатъчно да знаем, че \(a\) дели единия множител. Ако \(b = a\cdot m\), то \[b\cdot c = (a\cdot m)\cdot c = a\cdot (m\cdot c),\]следователно \(a\) дели \(b\cdot c\).
За произведението е достатъчно да знаем, че \(a\) дели единия множител. Ако \(b = a\cdot m\), то \[b\cdot c = (a\cdot m)\cdot c = a\cdot (m\cdot c),\]следователно \(a\) дели \(b\cdot c\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Без да извършвате пресмятания, обяснете защо: а) \(4\) дели \(20 + 16\); б) \(9\) дели \(27 + 54\); в) \(6\) дели \(30 + 42\); г) \(12\) дели \(36 + 60 + 84\).
▼
РешениеАко всяко събираемо се дели на числото, то и сборът се дели на него.
а) \(20\) и \(16\) се делят на \(4\) → \(4\) дели \(20 + 16\).
б) \(27\) и \(54\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(27 + 54\).
в) \(30\) и \(42\) се делят на \(6\) → \(6\) дели \(30 + 42\).
г) \(36\), \(60\) и \(84\) се делят на \(12\) → \(12\) дели сбора им.
а) \(20\) и \(16\) се делят на \(4\) → \(4\) дели \(20 + 16\).
б) \(27\) и \(54\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(27 + 54\).
в) \(30\) и \(42\) се делят на \(6\) → \(6\) дели \(30 + 42\).
г) \(36\), \(60\) и \(84\) се делят на \(12\) → \(12\) дели сбора им.
2
Проверете дали даденият сбор се дели на посоченото число: а) \(16 + 8\) на \(3\); б) \(25 + 10\) на \(5\); в) \(30 + 7\) на \(4\); г) \(50 + 13\) на \(9\).
▼
Решениеа) \(16 + 8 = 24\), а \(24 : 3 = 8\) → дели се.
б) \(25 + 10 = 35\), а \(35 : 5 = 7\) → дели се.
в) \(30 + 7 = 37\); \(37\) не се дели на \(4\) → не се дели.
г) \(50 + 13 = 63\), а \(63 : 9 = 7\) → дели се.
б) \(25 + 10 = 35\), а \(35 : 5 = 7\) → дели се.
в) \(30 + 7 = 37\); \(37\) не се дели на \(4\) → не се дели.
г) \(50 + 13 = 63\), а \(63 : 9 = 7\) → дели се.
3
Без да извършвате умножението, установете, че произведението: а) \(6\cdot 452\) се дели на \(6\); б) \(45\cdot 1238\) се дели на \(9\); в) \(14\cdot 853\) се дели на \(7\); г) \(55\cdot 742\) се дели на \(11\).
▼
РешениеАко единият множител се дели на числото, то и произведението се дели на него.
а) \(6\) се дели на \(6\).
б) \(45 = 9\cdot 5\) се дели на \(9\).
в) \(14 = 7\cdot 2\) се дели на \(7\).
г) \(55 = 11\cdot 5\) се дели на \(11\).
а) \(6\) се дели на \(6\).
б) \(45 = 9\cdot 5\) се дели на \(9\).
в) \(14 = 7\cdot 2\) се дели на \(7\).
г) \(55 = 11\cdot 5\) се дели на \(11\).
4
Посочете поне четири естествени числа, които делят произведението \(26\cdot 33\).
▼
РешениеВсеки делител на единия множител дели и цялото произведение.
Делители на \(26\): \(1, 2, 13, 26\). Делители на \(33\): \(1, 3, 11, 33\).
Затова произведението \(26\cdot 33\) се дели например на 2, 3, 11, 13 (също на 26, 33 и др.).
Делители на \(26\): \(1, 2, 13, 26\). Делители на \(33\): \(1, 3, 11, 33\).
Затова произведението \(26\cdot 33\) се дели например на 2, 3, 11, 13 (също на 26, 33 и др.).
5
Обяснете защо произведението \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 8\) се дели на \(6\), \(10\), \(14\), \(15\), \(24\), \(40\) и \(56\).
▼
РешениеВсяко от посочените числа е произведение на някои от дадените множители.
\(6 = 2\cdot 3\); \(10 = 2\cdot 5\); \(14 = 2\cdot 7\); \(15 = 3\cdot 5\); \(24 = 3\cdot 8\); \(40 = 5\cdot 8\); \(56 = 7\cdot 8\).
Следователно даденото произведение се дели на всяко от тези числа.
\(6 = 2\cdot 3\); \(10 = 2\cdot 5\); \(14 = 2\cdot 7\); \(15 = 3\cdot 5\); \(24 = 3\cdot 8\); \(40 = 5\cdot 8\); \(56 = 7\cdot 8\).
Следователно даденото произведение се дели на всяко от тези числа.
6
Без да извършвате пресмятанията, покажете, че: а) \(8\) дели \(64 - 40\); б) \(9\) дели \(90 - 45\); в) \(11\) дели \(88 - 55\).
▼
РешениеАко умаляемото и умалителят се делят на числото, то и разликата се дели на него.
а) \(64\) и \(40\) се делят на \(8\) → \(8\) дели \(64 - 40\).
б) \(90\) и \(45\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(90 - 45\).
в) \(88\) и \(55\) се делят на \(11\) → \(11\) дели \(88 - 55\).
а) \(64\) и \(40\) се делят на \(8\) → \(8\) дели \(64 - 40\).
б) \(90\) и \(45\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(90 - 45\).
в) \(88\) и \(55\) се делят на \(11\) → \(11\) дели \(88 - 55\).
7
Обяснете защо даденото произведение се дели на посоченото число: а) \(8\cdot 15\) на \(24\); б) \(12\cdot 21\) на \(36\); в) \(10\cdot 27\) на \(45\); г) \(14\cdot 22\) на \(77\).
▼
РешениеРазлагаме посоченото число на множители, които се съдържат в произведението.
а) \(24 = 8\cdot 3\); \(8\) е множител, а \(3\) дели \(15\) → \(24\) дели \(8\cdot 15\).
б) \(36 = 12\cdot 3\); \(12\) е множител, а \(3\) дели \(21\) → \(36\) дели \(12\cdot 21\).
в) \(45 = 5\cdot 9\); \(5\) дели \(10\), а \(9\) дели \(27\) → \(45\) дели \(10\cdot 27\).
г) \(77 = 7\cdot 11\); \(7\) дели \(14\), а \(11\) дели \(22\) → \(77\) дели \(14\cdot 22\).
а) \(24 = 8\cdot 3\); \(8\) е множител, а \(3\) дели \(15\) → \(24\) дели \(8\cdot 15\).
б) \(36 = 12\cdot 3\); \(12\) е множител, а \(3\) дели \(21\) → \(36\) дели \(12\cdot 21\).
в) \(45 = 5\cdot 9\); \(5\) дели \(10\), а \(9\) дели \(27\) → \(45\) дели \(10\cdot 27\).
г) \(77 = 7\cdot 11\); \(7\) дели \(14\), а \(11\) дели \(22\) → \(77\) дели \(14\cdot 22\).
8
Без да пресмятате, установете, че: а) \(8\) дели \(40 + 32 - 56\); б) \(9\) дели \(90 - 45 + 63\).
▼
РешениеАко всяко число в израза се дели на даденото число, то и стойността на целия израз се дели на него.
а) \(40\), \(32\) и \(56\) се делят на \(8\) → \(8\) дели \(40 + 32 - 56\).
б) \(90\), \(45\) и \(63\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(90 - 45 + 63\).
а) \(40\), \(32\) и \(56\) се делят на \(8\) → \(8\) дели \(40 + 32 - 56\).
б) \(90\), \(45\) и \(63\) се делят на \(9\) → \(9\) дели \(90 - 45 + 63\).
9
Без да извършвате означените действия, посочете няколко делителя на: а) \(2\cdot 5\cdot 8 + 2\cdot 4\cdot 5\); б) \(3\cdot 5\cdot 7 + 5\cdot 7\cdot 4\).
▼
РешениеТърсим множители, общи за двете събираеми — те делят целия сбор.
а) И двете събираеми съдържат множителите \(2\) и \(5\), значи сборът се дели на \(2\), \(5\) и \(2\cdot 5 = 10\).
б) И двете съдържат \(5\) и \(7\), значи сборът се дели на \(5\), \(7\) и \(5\cdot 7 = 35\).
а) И двете събираеми съдържат множителите \(2\) и \(5\), значи сборът се дели на \(2\), \(5\) и \(2\cdot 5 = 10\).
б) И двете съдържат \(5\) и \(7\), значи сборът се дели на \(5\), \(7\) и \(5\cdot 7 = 35\).
10
С кое от числата \(7, 11, 18, 33, 44, 72\) трябва да заместим \(y\), така че: а) сборът \(54 + y\) да се дели на \(6\); б) разликата \(99 - y\) да се дели на \(11\)?
▼
Решениеа) \(54\) се дели на \(6\), затова сборът се дели на \(6\) само ако и \(y\) се дели на \(6\). От списъка това са \(18\) и \(72\).
б) \(99\) се дели на \(11\), затова разликата се дели на \(11\) само ако и \(y\) се дели на \(11\). От списъка това са \(11\), \(33\) и \(44\).
б) \(99\) се дели на \(11\), затова разликата се дели на \(11\) само ако и \(y\) се дели на \(11\). От списъка това са \(11\), \(33\) и \(44\).
11
Установете без пресмятане, че: а) \(29\cdot (35 + 63)\) е кратно на \(7\); б) \((16 + 24)\cdot 4\) е кратно на \(16\).
▼
Решениеа) Числата \(35\) и \(63\) се делят на \(7\), затова и сборът \(35 + 63\) се дели на \(7\). Следователно произведението \(29\cdot (35 + 63)\) също се дели на \(7\).
б) \(16 + 24 = 2\cdot 8 + 3\cdot 8 = 5\cdot 8\). Тогава \((16 + 24)\cdot 4 = 5\cdot 8\cdot 4 = 10\cdot 16\), следователно произведението се дели на \(16\).
б) \(16 + 24 = 2\cdot 8 + 3\cdot 8 = 5\cdot 8\). Тогава \((16 + 24)\cdot 4 = 5\cdot 8\cdot 4 = 10\cdot 16\), следователно произведението се дели на \(16\).
12
Числото \(a\) се дели на \(2\), а числото \(b\) се дели на \(3\). Покажете, че произведението \(a\cdot b\) се дели на \(6\).
▼
РешениеЩом \(a\) се дели на \(2\), то \(a = 2\cdot m\) за някакво естествено число \(m\). Щом \(b\) се дели на \(3\), то \(b = 3\cdot n\).
Тогава \(a\cdot b = 2\cdot m\cdot 3\cdot n = 6\cdot (m\cdot n)\), тоест произведението се дели на \(6\).
Тогава \(a\cdot b = 2\cdot m\cdot 3\cdot n = 6\cdot (m\cdot n)\), тоест произведението се дели на \(6\).
13
Установете, че сборът на три последователни естествени числа се дели на \(3\).
▼
РешениеНека числата са \(n\), \(n + 1\) и \(n + 2\). Тяхната сума е
\[n + (n + 1) + (n + 2) = 3\cdot n + 3 = 3\cdot (n + 1).\]Последният израз има множител \(3\), следователно сборът се дели на \(3\).
\[n + (n + 1) + (n + 2) = 3\cdot n + 3 = 3\cdot (n + 1).\]Последният израз има множител \(3\), следователно сборът се дели на \(3\).
14
Без да пресмятате, докажете, че сборът \(45 + 1035\) се дели на \(45\).
▼
РешениеПървото събираемо \(45\) очевидно се дели на \(45\). Второто: \(1035 = 45\cdot 23\), значи също се дели на \(45\).
Понеже и двете събираеми се делят на \(45\), целият сбор се дели на \(45\).
Понеже и двете събираеми се делят на \(45\), целият сбор се дели на \(45\).
15
В произведението \(66\cdot a\) заместете \(a\) с подходящо положително естествено число, така че произведението: а) да се дели на \(5\); б) да се дели на \(35\).
▼
РешениеЧислото \(66 = 2\cdot 3\cdot 11\) не се дели нито на \(5\), нито на \(7\), затова трябва да изберем подходяща стойност на \(a\).
а) За делимост на \(5\) можем да изберем \(a = 5\).
б) За делимост на \(35 = 5\cdot 7\) можем да изберем \(a = 35\).
а) За делимост на \(5\) можем да изберем \(a = 5\).
б) За делимост на \(35 = 5\cdot 7\) можем да изберем \(a = 35\).
16
С кое най-малко естествено число трябва да се замени \(x\) в израза \(14 + 63 + 30 + x\), така че той да се дели на \(7\)?
▼
Решение\(14\) и \(63\) се делят на \(7\), а \(30\) не се дели (\(30 = 7\cdot 4 + 2\)). За да се дели целият израз на \(7\), сборът \(30 + x\) трябва да се дели на \(7\).
Най-малкото \(x\), при което \(30 + x\) се дели на \(7\), е \(x = 5\) (\(30 + 5 = 35 = 7\cdot 5\)).
Най-малкото \(x\), при което \(30 + x\) се дели на \(7\), е \(x = 5\) (\(30 + 5 = 35 = 7\cdot 5\)).
17
Дадени са числата \(2, 3, 5\) и \(7\). Съставете с някои от тях произведение, което е кратно на: а) \(6\); б) \(15\); в) \(21\).
▼
РешениеИзбираме от дадените числа подходящите множители.
а) \(6 = 2\cdot 3\), затова можем да съставим произведението \(2\cdot 3\).
б) \(15 = 3\cdot 5\), затова избираме \(3\cdot 5\).
в) \(21 = 3\cdot 7\), затова избираме \(3\cdot 7\).
а) \(6 = 2\cdot 3\), затова можем да съставим произведението \(2\cdot 3\).
б) \(15 = 3\cdot 5\), затова избираме \(3\cdot 5\).
в) \(21 = 3\cdot 7\), затова избираме \(3\cdot 7\).
18
В цветарски магазин доставили пет кутии с по \(21\) рози във всяка кутия. Могат ли от доставените рози да направят букети с по \(7\) рози и колко букета ще се получат?
▼
РешениеОбщият брой на розите е \(5\cdot 21 = 105\). Понеже \(21\) се дели на \(7\), от розите могат да се направят букети по \(7\), без да останат неизползвани рози. Ще се получат \(105 : 7 = \mathbf{15}\) букета.
19
В едно училище записали в първи клас \(36\) деца през март, \(48\) през април и \(24\) през май. Могат ли записаните деца да се разпределят в четири паралелки с еднакъв брой ученици?
▼
РешениеОбщо децата са \(36 + 48 + 24\). Всяко от трите числа се дели на \(4\) (\(36 = 4\cdot 9\), \(48 = 4\cdot 12\), \(24 = 4\cdot 6\)), затова и сборът се дели на \(4\).
Значи \(36 + 48 + 24 = 108\). Следователно децата могат да се разпределят в четири паралелки с по \(108 : 4 = 27\) ученици. Да, може.
Значи \(36 + 48 + 24 = 108\). Следователно децата могат да се разпределят в четири паралелки с по \(108 : 4 = 27\) ученици. Да, може.
20
При деление на числото \(A\) на \(225\) се получава остатък \(150\). Дели ли се \(A\) на \(25\)? А на \(75\)?
▼
РешениеПо правилото за деление с остатък \(A = 225\cdot q + 150\).
\(225\) се дели на \(25\) и на \(75\); \(150\) също се дели на \(25\) (\(150 = 25\cdot 6\)) и на \(75\) (\(150 = 75\cdot 2\)).
Значи и двете събираеми се делят на \(25\) и на \(75\), затова \(A\) се дели и на \(25\), и на \(75\).
\(225\) се дели на \(25\) и на \(75\); \(150\) също се дели на \(25\) (\(150 = 25\cdot 6\)) и на \(75\) (\(150 = 75\cdot 2\)).
Значи и двете събираеми се делят на \(25\) и на \(75\), затова \(A\) се дели и на \(25\), и на \(75\).
21
Установете, че сборът на пет последователни естествени числа се дели на \(5\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека числата са \(n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4\). Тяхната сума е
\[n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5\cdot n + 10 = 5\cdot (n + 2).\]Тъй като \(5\cdot (n + 2)\) има множител \(5\), сборът се дели на \(5\).
\[n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5\cdot n + 10 = 5\cdot (n + 2).\]Тъй като \(5\cdot (n + 2)\) има множител \(5\), сборът се дели на \(5\).
22
Числото \(a\) се дели на \(2\) без остатък, а числото \(b\) се дели на \(3\) без остатък. Покажете, че изразът \(a\cdot b + 6\) се дели на \(6\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеОт \(a = 2\cdot m\) и \(b = 3\cdot n\) получаваме \(a\cdot b = 6\cdot (m\cdot n)\), тоест \(a\cdot b\) се дели на \(6\).
Числото \(6\) също се дели на \(6\). Понеже двете събираеми в \(a\cdot b + 6\) се делят на \(6\), целият израз се дели на \(6\).
Числото \(6\) също се дели на \(6\). Понеже двете събираеми в \(a\cdot b + 6\) се делят на \(6\), целият израз се дели на \(6\).
23
На \(23\) картички са написани числата от \(1\) до \(23\). Може ли картичките да се разделят на две купчинки така, че сборът в едната купчинка да е с \(21\) по-голям от сбора в другата?⭐ повишена трудност
▼
РешениеОбщият сбор на числата от \(1\) до \(23\) е \(1 + 2 + \ldots + 23 = \dfrac{23\cdot 24}{2} = 276\).
Ако сборът в по-малката купчинка е \(x\), то в по-голямата е \(x + 21\). Сборът на числата в двете купчинки е \(276\), следователно \(x + (x + 21) = 276\), тоест \(2x + 21 = 276\), откъдето \(2x = 255\).
Но \(255\) е нечетно число и не се дели на \(2\), затова няма естествено \(x\). Не, не може.
Ако сборът в по-малката купчинка е \(x\), то в по-голямата е \(x + 21\). Сборът на числата в двете купчинки е \(276\), следователно \(x + (x + 21) = 276\), тоест \(2x + 21 = 276\), откъдето \(2x = 255\).
Но \(255\) е нечетно число и не се дели на \(2\), затова няма естествено \(x\). Не, не може.
24
Нека \(A\) е положително естествено число, което при деление на \(7\) дава остатък, равен на частното. Запишете всички числа \(A\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека частното и остатъкът са равни на \(q\). Тогава \(A = 7\cdot q + q = 8\cdot q\).
Остатъкът трябва да е по-малък от делителя: \(q \lt 7\), значи \(q\) може да бъде \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Числата \(A\) са: \(8, 16, 24, 32, 40, 48\).
Остатъкът трябва да е по-малък от делителя: \(q \lt 7\), значи \(q\) може да бъде \(1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Числата \(A\) са: \(8, 16, 24, 32, 40, 48\).
25
Има ли естествено число, което при деление на \(14\) дава остатък \(11\), а при деление на \(21\) дава остатък \(17\)?⭐ повишена трудност
▼
РешениеИ \(14\), и \(21\) се делят на \(7\). Затова разглеждаме остатъците при деление на \(7\).
Ако \(A\) дава остатък \(11\) при деление на \(14\), то \(A - 11\) се дели на \(14\), значи и на \(7\). Тогава \(A\) дава при деление на \(7\) същия остатък като \(11\), а \(11 = 7\cdot 1 + 4\), тоест остатък \(4\).
Ако \(A\) дава остатък \(17\) при деление на \(21\), то по същата причина \(A\) дава при деление на \(7\) остатъка на \(17\), а \(17 = 7\cdot 2 + 3\), тоест остатък \(3\).
Едно и също число не може при деление на \(7\) да дава едновременно остатък \(4\) и остатък \(3\). Затова такова число няма.
Ако \(A\) дава остатък \(11\) при деление на \(14\), то \(A - 11\) се дели на \(14\), значи и на \(7\). Тогава \(A\) дава при деление на \(7\) същия остатък като \(11\), а \(11 = 7\cdot 1 + 4\), тоест остатък \(4\).
Ако \(A\) дава остатък \(17\) при деление на \(21\), то по същата причина \(A\) дава при деление на \(7\) остатъка на \(17\), а \(17 = 7\cdot 2 + 3\), тоест остатък \(3\).
Едно и също число не може при деление на \(7\) да дава едновременно остатък \(4\) и остатък \(3\). Затова такова число няма.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Без да пресмятате, обяснете защо: а) \(5\) дели \(25 + 15\); б) \(8\) дели \(40 + 56\); в) \(7\) дели \(35 + 49\); г) \(9\) дели \(45 + 54 + 90\).
Отг.: всяко събираемо се дели на числото, затова и сборът се дели.
Отг.: всяко събираемо се дели на числото, затова и сборът се дели.
Задача 2Проверете дали сборът се дели на посоченото число: а) \(18 + 11\) на \(5\); б) \(24 + 16\) на \(8\); в) \(40 + 9\) на \(7\); г) \(50 + 13\) на \(9\).
Отг.: а) \(29\) не се дели на 5 — не; б) \(40 : 8 = 5\) — да; в) \(49 : 7 = 7\) — да; г) \(63 : 9 = 7\) — да.
Отг.: а) \(29\) не се дели на 5 — не; б) \(40 : 8 = 5\) — да; в) \(49 : 7 = 7\) — да; г) \(63 : 9 = 7\) — да.
Задача 3Без да извършвате умножението, установете, че произведението: а) \(5\cdot 384\) се дели на \(5\); б) \(36\cdot 1247\) се дели на \(9\); в) \(22\cdot 853\) се дели на \(11\); г) \(8\cdot 651\) се дели на \(8\).
Отг.: във всеки случай единият множител се дели на посоченото число: а) първият множител е 5; б) \(36 = 9\cdot 4\); в) \(22 = 11\cdot 2\); г) първият множител е 8.
Отг.: във всеки случай единият множител се дели на посоченото число: а) първият множител е 5; б) \(36 = 9\cdot 4\); в) \(22 = 11\cdot 2\); г) първият множител е 8.
Задача 4Посочете поне четири естествени числа, които делят произведението \(22\cdot 39\).
Отг.: делители на 22 → 1, 2, 11, 22; на 39 → 1, 3, 13, 39; например 2, 3, 11, 13.
Отг.: делители на 22 → 1, 2, 11, 22; на 39 → 1, 3, 13, 39; например 2, 3, 11, 13.
Задача 5Обяснете защо произведението \(2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot 7\) се дели на \(10\), \(14\), \(15\), \(18\), \(21\), \(35\) и \(42\).
Отг.: всяко е произведение на някои от дадените множители: \(10 = 2\cdot 5\), \(14 = 2\cdot 7\), \(15 = 3\cdot 5\), \(18 = 3\cdot 6\), \(21 = 3\cdot 7\), \(35 = 5\cdot 7\), \(42 = 6\cdot 7\); затова произведението се дели на всяко от тях.
Отг.: всяко е произведение на някои от дадените множители: \(10 = 2\cdot 5\), \(14 = 2\cdot 7\), \(15 = 3\cdot 5\), \(18 = 3\cdot 6\), \(21 = 3\cdot 7\), \(35 = 5\cdot 7\), \(42 = 6\cdot 7\); затова произведението се дели на всяко от тях.
Задача 6Без да пресмятате, покажете, че: а) \(6\) дели \(48 - 30\); б) \(8\) дели \(64 - 40\); в) \(9\) дели \(72 - 45\).
Отг.: понеже и умаляемото, и умалителят се делят на посоченото число, на него се дели и тяхната разлика.
Отг.: понеже и умаляемото, и умалителят се делят на посоченото число, на него се дели и тяхната разлика.
Задача 7Обяснете защо произведението се дели на посоченото число: а) \(9\cdot 16\) на \(24\); б) \(15\cdot 14\) на \(35\); в) \(12\cdot 25\) на \(50\); г) \(21\cdot 22\) на \(77\).
Отг.: а) 3 дели 9, а 8 дели 16, затова \(9\cdot 16\) се дели на \(3\cdot 8 = 24\); б) 5 дели 15, а 7 дели 14, затова произведението се дели на 35; в) 2 дели 12, а другият множител е 25, затова произведението се дели на 50; г) 7 дели 21, а 11 дели 22, затова произведението се дели на 77.
Отг.: а) 3 дели 9, а 8 дели 16, затова \(9\cdot 16\) се дели на \(3\cdot 8 = 24\); б) 5 дели 15, а 7 дели 14, затова произведението се дели на 35; в) 2 дели 12, а другият множител е 25, затова произведението се дели на 50; г) 7 дели 21, а 11 дели 22, затова произведението се дели на 77.
Задача 8Без да пресмятате, установете, че: а) \(6\) дели \(30 + 18 - 12\); б) \(11\) дели \(44 + 33 - 22\).
Отг.: всяко число в израза се дели на посоченото, затова и стойността на целия израз се дели на него.
Отг.: всяко число в израза се дели на посоченото, затова и стойността на целия израз се дели на него.
Задача 9Без да извършвате действията, посочете няколко делителя на: а) \(3\cdot 4\cdot 7 + 3\cdot 5\cdot 7\); б) \(2\cdot 9\cdot 11 + 9\cdot 11\cdot 5\).
Отг.: а) общи множители 3 и 7 → 3, 7, 21; б) общи множители 9 и 11 → 9, 11, 99.
Отг.: а) общи множители 3 и 7 → 3, 7, 21; б) общи множители 9 и 11 → 9, 11, 99.
Задача 10С кое от числата \(8, 15, 22, 30, 41, 66\) да заместим \(y\), така че: а) сборът \(48 + y\) да се дели на \(6\); б) разликата \(66 - y\) да се дели на \(6\)?
Отг.: \(48\) и \(66\) се делят на 6 → \(y\) също трябва да се дели на 6 → \(30\) и \(66\).
Отг.: \(48\) и \(66\) се делят на 6 → \(y\) също трябва да се дели на 6 → \(30\) и \(66\).
Задача 11Установете без пресмятане, че: а) \(37\cdot (28 + 42)\) е кратно на \(7\); б) \((18 + 27)\cdot 2\) е кратно на \(9\).
Отг.: а) 28 и 42 се делят на 7, затова сборът им се дели на 7. Следователно и произведението \(37\cdot (28 + 42)\) се дели на 7. б) 18 и 27 се делят на 9, затова сборът им, а следователно и произведението \((18 + 27)\cdot 2\), се дели на 9.
Отг.: а) 28 и 42 се делят на 7, затова сборът им се дели на 7. Следователно и произведението \(37\cdot (28 + 42)\) се дели на 7. б) 18 и 27 се делят на 9, затова сборът им, а следователно и произведението \((18 + 27)\cdot 2\), се дели на 9.
Задача 12Числото \(a\) се дели на \(3\), а числото \(b\) се дели на \(4\). Покажете, че \(a\cdot b\) се дели на \(12\).
Отг.: \(a = 3m\), \(b = 4n\) → \(a\cdot b = 12\cdot (m\cdot n)\), значи се дели на 12.
Отг.: \(a = 3m\), \(b = 4n\) → \(a\cdot b = 12\cdot (m\cdot n)\), значи се дели на 12.
Задача 13Установете, че сборът на четно и нечетно число е винаги нечетно число.
Отг.: четно \(= 2m\), нечетно \(= 2n + 1\); сборът \(2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1\) — нечетно.
Отг.: четно \(= 2m\), нечетно \(= 2n + 1\); сборът \(2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1\) — нечетно.
Задача 14Без да пресмятате, докажете, че сборът \(63 + 1071\) се дели на \(63\).
Отг.: \(63 : 63 = 1\), \(1071 = 63\cdot 17\); и двете се делят на 63 → сборът се дели на 63.
Отг.: \(63 : 63 = 1\), \(1071 = 63\cdot 17\); и двете се делят на 63 → сборът се дели на 63.
Задача 15В произведението \(70\cdot a\) заместете \(a\) с подходящо положително естествено число, така че произведението: а) да се дели на \(3\); б) да се дели на \(33\).
Отг.: \(70 = 2\cdot 5\cdot 7\); а) \(a = 3\); б) за \(33 = 3\cdot 11\) → \(a = 33\).
Отг.: \(70 = 2\cdot 5\cdot 7\); а) \(a = 3\); б) за \(33 = 3\cdot 11\) → \(a = 33\).
Задача 16С кое най-малко естествено число трябва да се замени \(x\) в израза \(21 + 56 + 40 + x\), така че той да се дели на \(7\)?
Отг.: 21 и 56 се делят на 7, \(40 = 7\cdot 5 + 5\) → нужно е \(5 + x\) да се дели на 7 → \(x = 2\).
Отг.: 21 и 56 се делят на 7, \(40 = 7\cdot 5 + 5\) → нужно е \(5 + x\) да се дели на 7 → \(x = 2\).
Задача 17Дадени са числата \(2, 3, 5\) и \(7\). Съставете с някои от тях произведение, което е кратно на: а) \(10\); б) \(14\); в) \(35\).
Отг.: а) \(10 = 2\cdot 5\) → \(2\cdot 5\); б) \(14 = 2\cdot 7\) → \(2\cdot 7\); в) \(35 = 5\cdot 7\) → \(5\cdot 7\).
Отг.: а) \(10 = 2\cdot 5\) → \(2\cdot 5\); б) \(14 = 2\cdot 7\) → \(2\cdot 7\); в) \(35 = 5\cdot 7\) → \(5\cdot 7\).
Задача 18В магазин доставили шест кутии с по \(24\) шоколада. Могат ли шоколадите да се разпределят точно в кутийки по \(8\) и колко кутийки ще се получат?
Отг.: общият брой на шоколадите е \(6\cdot 24 = 144\). Тъй като \(144\) се дели на \(8\), могат да се напълнят \(144 : 8 = 18\) кутийки.
Отг.: общият брой на шоколадите е \(6\cdot 24 = 144\). Тъй като \(144\) се дели на \(8\), могат да се напълнят \(144 : 8 = 18\) кутийки.
Задача 19За три училищни състезания отпечатали съответно \(45\), \(60\) и \(30\) грамоти. Могат ли всички грамоти да се разпределят поравно между \(5\) класа?
Отг.: 45, 60 и 30 се делят на 5, затова и сборът \(135\) се дели на 5; \(135 : 5 = 27\). Да, може.
Отг.: 45, 60 и 30 се делят на 5, затова и сборът \(135\) се дели на 5; \(135 : 5 = 27\). Да, може.
Задача 20При деление на числото \(A\) на \(180\) се получава остатък \(120\). Дели ли се \(A\) на \(20\)? А на \(60\)?
Отг.: \(A = 180\cdot q + 120\); \(180\) и \(120\) се делят на 20 и на 60 → \(A\) се дели и на 20, и на 60.
Отг.: \(A = 180\cdot q + 120\); \(180\) и \(120\) се делят на 20 и на 60 → \(A\) се дели и на 20, и на 60.
Задача 21Установете, че сборът на три последователни четни числа се дели на \(6\).
Отг.: \(2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1)\) → дели се на 6.
Отг.: \(2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 6n + 6 = 6(n + 1)\) → дели се на 6.
Задача 22Числото \(a\) се дели на \(4\), а числото \(b\) се дели на \(5\). Покажете, че \(a\cdot b + 20\) се дели на \(20\).
Отг.: \(a\cdot b = 4m\cdot 5n = 20mn\) се дели на 20; и \(20\) се дели на 20 → целият израз се дели на 20.
Отг.: \(a\cdot b = 4m\cdot 5n = 20mn\) се дели на 20; и \(20\) се дели на 20 → целият израз се дели на 20.
Задача 23На \(20\) картички са написани числата от \(1\) до \(20\). Може ли да се разделят на две купчинки, в които сборовете се различават с \(10\)?
Отг.: общ сбор \(210\); \(2x + 10 = 210\), \(x = 100\). Да, може: например едната купчинка съдържа \(10, 16, 17, 18, 19, 20\) със сбор \(100\), а останалите картички дават сбор \(110\).
Отг.: общ сбор \(210\); \(2x + 10 = 210\), \(x = 100\). Да, може: например едната купчинка съдържа \(10, 16, 17, 18, 19, 20\) със сбор \(100\), а останалите картички дават сбор \(110\).
Задача 24Нека \(A\) е положително естествено число, което при деление на \(9\) дава остатък, равен на частното. Запишете всички числа \(A\).
Отг.: \(A = 9q + q = 10q\), \(q \lt 9\) → \(A = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80\).
Отг.: \(A = 9q + q = 10q\), \(q \lt 9\) → \(A = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80\).
Задача 25Обяснете защо произведението \(2\cdot 3\cdot 4\cdot 25\) се дели на \(6\), \(8\), \(12\), \(50\) и \(100\).
Отг.: \(6 = 2\cdot 3\), \(8 = 2\cdot 4\), \(12 = 3\cdot 4\), \(50 = 2\cdot 25\), \(100 = 4\cdot 25\). Всяко от посочените числа е произведение на някои от дадените множители, затова \(2\cdot 3\cdot 4\cdot 25\) се дели на всяко от тях.
Отг.: \(6 = 2\cdot 3\), \(8 = 2\cdot 4\), \(12 = 3\cdot 4\), \(50 = 2\cdot 25\), \(100 = 4\cdot 25\). Всяко от посочените числа е произведение на някои от дадените множители, затова \(2\cdot 3\cdot 4\cdot 25\) се дели на всяко от тях.
Задача 26Запишете четири делителя на произведението \(33\cdot 43\).
Отг.: делители на 33 → 1, 3, 11, 33; на 43 → 1, 43; например 3, 11, 33, 43.
Отг.: делители на 33 → 1, 3, 11, 33; на 43 → 1, 43; например 3, 11, 33, 43.
Задача 27Докажете, че сборът на две четни числа винаги е четно число.
Отг.: \(2m + 2n = 2(m + n)\) — произведение с множител 2, значи е четно.
Отг.: \(2m + 2n = 2(m + n)\) — произведение с множител 2, значи е четно.
Задача 28Без да пресмятате, установете, че \(10\) дели \(384\,500 - 230 + 1000\).
Отг.: всяко от числата завършва на 0, значи се дели на 10 → и целият израз се дели на 10.
Отг.: всяко от числата завършва на 0, значи се дели на 10 → и целият израз се дели на 10.
Задача 29С кое от числата \(18, 22, 27, 33, 44, 120\) да заместим \(y\), така че разликата \(y - 16\) да се дели на \(4\)?
Отг.: \(16\) се дели на \(4\), затова разликата се дели на \(4\) само ако и \(y\) се дели на \(4\); това са \(44\) и \(120\).
Отг.: \(16\) се дели на \(4\), затова разликата се дели на \(4\) само ако и \(y\) се дели на \(4\); това са \(44\) и \(120\).
Задача 30Числото \(a\) се дели на \(6\) без остатък. Покажете, че \(a\) се дели и на \(2\), и на \(3\).
Отг.: \(a = 6k = 2\cdot (3k) = 3\cdot (2k)\) → \(a\) се дели и на 2, и на 3.
Отг.: \(a = 6k = 2\cdot (3k) = 3\cdot (2k)\) → \(a\) се дели и на 2, и на 3.
✅ Онлайн тест
Тест: Делимост на сбор и на произведение
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Защо \(3\) дели \(24 + 18\)?
2Сборът \(30 + 7\) дели ли се на \(4\)?
3Защо произведението \(7\cdot 3842\) се дели на \(7\)?
4Произведението \(45\cdot 1238\) се дели на \(9\), защото:
5Ако \(a\) дели \(b\), но \(a\) НЕ дели \(c\), то за \(b + c\):
6Кой е делител на израза \(2\cdot 5\cdot 8 + 2\cdot 4\cdot 5\)?
7Сборът на три последователни естествени числа винаги се дели на:
8Кое \(y\) от \(7, 11, 18, 33\) прави сбора \(54 + y\) делим на \(6\)?
9Изразът \((16 + 24)\cdot 4\) се дели на:
10Ако \(a\) се дели на \(2\), а \(b\) се дели на \(3\), то \(a\cdot b\) задължително се дели на:
11Най-малкото \(x\), при което \(14 + 63 + 30 + x\) се дели на \(7\), е:
12В пет кутии има по \(21\) рози. Колко букета по \(7\) рози могат да се направят?
13Когато разделим \(A\) на \(225\), остатъкът е \(150\). На кое от следните числа \(A\) се дели задължително?
14Ако \(A\) при деление на \(7\) дава остатък, равен на частното, кое НЕ може да е \(A\)?
15Сборът \(1 + 2 + \ldots + 23\) е равен на:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
6
Деление с остатък. Делител и кратно на естествено число
Урок за 5. клас — предходната тема от глава „Делимост на числата“: деление с остатък, делители и кратни на естествено число.
Към урока →
5
Деление с многоцифрено число
Урок за 5. клас — деление с двуцифрено и трицифрено число, проверка чрез умножение и намиране на неизвестно число.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато едно число се дели точно на друго, второто число е негов делител. Любопитен материал за делителите и закономерностите в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар