📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Свойства на умножението

Разместително, съдружително и разпределително свойства на действието умножение

Разместително, съдружително и разпределително свойство на умножението, изнасяне на общ множител, рационално пресмятане. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Свойства на умножението Разпределително свойство Рационално пресмятане

При умножението на обикновени дроби използваме същите свойства, които познаваме при естествените числа: разместително, съдружително и разпределително. С тях можем да подредим действията по-удобно и често да пресметнем израза по-бързо. Нека припомним всяко от тези свойства.

🔀 Разместително свойство

Произведението на две дроби не се променя при разместване на множителите: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}.\]

Пример. \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{7}\). Затова, когато търсим удобен ред за умножение, можем да разместваме множителите свободно.

🧩 Съдружително свойство

Произведението на три дроби не зависи от начина, по който групираме множителите: \[\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n}\right).\]

При произведение на няколко дроби можем да ги групираме по най-удобния начин. Ако разменяме и местата на множителите, използваме и разместителното свойство. Пример. \(\left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{2}{3} \cdot \left(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{4}\right)\).

🗂️ Разпределително свойство

За да умножим сбор (или разлика) по дадено число, умножаваме всяко събираемо (съответно умаляемото и умалителя) по това число и получените произведения събираме (изваждаме): \[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} + \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n},\] \[\left(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} - \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n}.\]

Правоъгълник със страни \(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right)\) и \(\dfrac{m}{n}\). Лицето му е \(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n}\), но е и сборът на лицата на двата по-малки правоъгълника: \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n}\) и \(\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\).

Пример. \(\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 12 = \dfrac{1}{6} \cdot 12 + \dfrac{3}{4} \cdot 12 = 2 + 9 = 11\).

💡 Изнасяне на общ множител. Рационално пресмятане

Разпределителното свойство работи и в обратна посока — ако събираемите имат общ множител, изнасяме го пред скоба: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} + \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n}.\] Така много изрази се пресмятат наум. Например \[\frac{7}{13} \cdot \frac{4}{9} + \frac{6}{13} \cdot \frac{4}{9} = \left(\frac{7}{13} + \frac{6}{13}\right) \cdot \frac{4}{9} = 1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}.\]

Полезно. Когато умножаваме няколко дроби, първо проверяваме дали има реципрочни дроби или множители, които лесно се съкращават. Разместваме и групираме множителите така, че първо да извършим най-удобните умножения. Смесените числа предварително превръщаме в неправилни дроби.

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Кое свойство е приложено и кое число стои на мястото на \(*\)? а) \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{7}{5} \cdot *\); б) \(\left(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot \left(\dfrac{2}{5} \cdot *\right)\).

▼

Решениеа) Приложено е разместителното свойство; \(* = \dfrac{4}{9}\).
б) Приложено е съдружителното свойство; \(* = \dfrac{7}{4}\).

2

Пресметнете, като размените реда на множителите: а) \(\dfrac{4}{11} \cdot 9 \cdot \dfrac{11}{4}\); б) \(\dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{9}{7}\).

▼

Решениеа) \(\left(\dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{11}{4}\right) \cdot 9 = 1 \cdot 9 = 9\).
б) \(\left(\dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{9}{7}\right) \cdot \dfrac{5}{8} = 1 \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}\).

3

Пресметнете, като групирате удобно множителите: а) \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{6}{5}\); б) \(\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{4}{3}\).

▼

Решениеа) \(\left(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8}\right) \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{5}\).
б) \(\left(\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{5}{14}\right) \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}\).

4

Пресметнете, като приложите разпределителното свойство: а) \(\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}\right) \cdot \dfrac{14}{15}\); б) \(\left(\dfrac{11}{13} - \dfrac{5}{13}\right) \cdot \dfrac{13}{18}\).

▼

Решениеа) \(\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}\right) \cdot \dfrac{14}{15} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{14}{15} + \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{14}{15} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\).
б) \(\left(\dfrac{11}{13} - \dfrac{5}{13}\right) \cdot \dfrac{13}{18} = \dfrac{11}{13} \cdot \dfrac{13}{18} - \dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{13}{18} = \dfrac{11}{18} - \dfrac{5}{18} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\).

5

Пресметнете по рационален начин: а) \(\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 12\); б) \(\left(\dfrac{5}{8} - \dfrac{3}{7}\right) \cdot \dfrac{56}{15}\).

▼

РешениеПрилагаме разпределителното свойство. Така във всяко от получените произведения можем веднага да съкратим.
а) \(\dfrac{1}{6} \cdot 12 + \dfrac{3}{4} \cdot 12 = 2 + 9 = 11\).
б) \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{56}{15} - \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{56}{15} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{8}{5} = \dfrac{35}{15} - \dfrac{24}{15} = \dfrac{11}{15}\).

6

Запишете като произведение, като изнесете общия множител: а) \(\dfrac{5}{8} \cdot a + \dfrac{3}{16} \cdot a\); б) \(\dfrac{2}{5} \cdot c + \dfrac{1}{3} \cdot c\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{5}{8} \cdot a + \dfrac{3}{16} \cdot a = \left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{16}\right) \cdot a = \dfrac{13}{16} \cdot a\).
б) \(\dfrac{2}{5} \cdot c + \dfrac{1}{3} \cdot c = \left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3}\right) \cdot c = \dfrac{11}{15} \cdot c\).

7

Пресметнете, като изнесете общия множител: а) \(2\dfrac{4}{5} \cdot 9\dfrac{1}{2} - 4\dfrac{1}{2} \cdot 2\dfrac{4}{5}\); б) \(9 \cdot 2\dfrac{2}{3} + 6 \cdot 2\dfrac{2}{3}\).

▼

Решениеа) Общ множител е \(2\dfrac{4}{5}\): \(2\dfrac{4}{5} \cdot \left(9\dfrac{1}{2} - 4\dfrac{1}{2}\right) = 2\dfrac{4}{5} \cdot 5 = \dfrac{14}{5} \cdot 5 = 14\).
б) Общ множител е \(2\dfrac{2}{3}\): \((9 + 6) \cdot 2\dfrac{2}{3} = 15 \cdot \dfrac{8}{3} = 40\).

8

Пресметнете по рационален начин: а) \(\dfrac{7}{50} \cdot 4\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{7}{50}\); б) \(\dfrac{5}{13} \cdot 2\dfrac{7}{8} + 5\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{5}{13}\).

▼

РешениеИзнасяме общия множител пред скоба.
а) \(\dfrac{7}{50} \cdot \left(4\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{7}{50} \cdot 7 = \dfrac{49}{50}\).
б) \(\dfrac{5}{13} \cdot \left(2\dfrac{7}{8} + 5\dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{5}{13} \cdot 8 = \dfrac{40}{13} = 3\dfrac{1}{13}\).

9

Вярни ли са равенствата? Обосновете. а) \(5\dfrac{2}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{3}\right) = 5\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{9} + 5\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3}\); б) \(3\dfrac{4}{7} + 3\dfrac{1}{2} = 3 \cdot \left(\dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{2}\right)\).

▼

Решениеа) Вярно — това е точно разпределителното свойство (умножение на сбор по число).
б) Невярно. \(3\dfrac{4}{7} = 3 + \dfrac{4}{7}\), а не \(3 \cdot \dfrac{4}{7}\); затова \(3\) не може да се изнесе пред скоба по този начин.

10

Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{9}\right) \cdot \dfrac{9}{2}\); б) \(\left(\dfrac{13}{20} - \dfrac{5}{20} - \dfrac{2}{20}\right) \cdot \dfrac{20}{3}\).

▼

Решениеа) В скобата: \(\dfrac{2 + 5 - 1}{9} = \dfrac{6}{9}\); \(\dfrac{6}{9} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\).
б) В скобата: \(\dfrac{13 - 5 - 2}{20} = \dfrac{6}{20}\); \(\dfrac{6}{20} \cdot \dfrac{20}{3} = \dfrac{6}{3} = 2\).

11

Намерете стойността на израза \(\dfrac{2}{5} \cdot x + \dfrac{3}{10} \cdot x + \dfrac{1}{10}\): а) при \(x = \dfrac{5}{7}\); б) при \(x = 2\).

▼

РешениеИзнасяме \(x\): \(\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10}\right) \cdot x + \dfrac{1}{10} = \dfrac{7}{10} \cdot x + \dfrac{1}{10}\).
а) При \(x = \dfrac{5}{7}\): \(\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\).
б) При \(x = 2\): \(\dfrac{7}{10} \cdot 2 + \dfrac{1}{10} = \dfrac{14}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).

12

Пресметнете \(\left(\dfrac{4}{17} + \dfrac{13}{17}\right) \cdot \dfrac{17}{5}\).

▼

РешениеВ скобата: \(\dfrac{4 + 13}{17} = \dfrac{17}{17} = 1\).
Затова изразът е \(1 \cdot \dfrac{17}{5} = \dfrac{17}{5} = 3\dfrac{2}{5}\).

13

Без да пресмятате, покажете, че е в сила равенството \(6\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{7} = 6 \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{7}\).

▼

РешениеЗаписваме \(6\dfrac{4}{5} = 6 + \dfrac{4}{5}\). Тогава по разпределителното свойство
\(\left(6 + \dfrac{4}{5}\right) \cdot \dfrac{3}{7} = 6 \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{7}\),
което е точно дясната страна. Значи равенството е вярно.

14

Пресметнете рационално: а) \(\dfrac{3}{8} \cdot 5\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{8}{3}\); б) \(\dfrac{4}{9} \cdot 2\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{9}{4}\).

▼

РешениеУмножаваме първо реципрочните дроби.
а) \(\left(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{3}\right) \cdot 5\dfrac{1}{3} = 1 \cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{16}{3} = 5\dfrac{1}{3}\).
б) \(\left(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{4}\right) \cdot 2\dfrac{1}{5} = 1 \cdot \dfrac{11}{5} = \dfrac{11}{5} = 2\dfrac{1}{5}\).

15

Ако \(m \cdot n = \dfrac{3}{5}\), колко е стойността на израза \(m \cdot 2\dfrac{1}{2} \cdot n\)?

▼

РешениеПо разместителното и съдружителното свойство \(m \cdot 2\dfrac{1}{2} \cdot n = 2\dfrac{1}{2} \cdot (m \cdot n)\).
Затова \(2\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).

16

Пресметнете: а) \(\dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{8}{9} + \dfrac{4}{3}\right)\); б) \(\dfrac{4}{5} \cdot \left(\dfrac{15}{8} - \dfrac{5}{6}\right)\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}\).
б) \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{15}{8} - \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{6} - \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{6}\).

17

Пресметнете по рационален начин \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{36}{47} + \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{11}{47}\).

▼

РешениеИзнасяме общия множител \(\dfrac{8}{15}\):
\(\dfrac{8}{15} \cdot \left(\dfrac{36}{47} + \dfrac{11}{47}\right) = \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{47}{47} = \dfrac{8}{15} \cdot 1 = \dfrac{8}{15}\).

18

Пресметнете: а) \(2\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{4}\); б) \(\dfrac{5}{6} \cdot 1\dfrac{1}{5} \cdot 3\).

▼

Решениеа) \(2\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\); \(\left(\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{3}{8}\right) \cdot \dfrac{3}{4} = 1 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\).
б) \(1\dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}\); \(\left(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{5}\right) \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3\).

19

За един ден магазин продал \(\dfrac{3}{4}\) от \(40\) kg картофи сутринта и още \(\dfrac{1}{8}\) от \(40\) kg следобед. Колко килограма картофи е продал за деня? Приложете разпределителното свойство.

▼

Решение\(\dfrac{3}{4} \cdot 40 + \dfrac{1}{8} \cdot 40 = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}\right) \cdot 40 = \dfrac{7}{8} \cdot 40 = 35\) kg.
(Или направо: \(30 + 5 = 35\) kg.)

20

Намерете обиколката на правоъгълник със страни \(2\dfrac{2}{5}\) m и \(5\) m, като приложите разпределителното свойство.

▼

Решение\(P = 2 \cdot \left(2\dfrac{2}{5} + 5\right) = 2 \cdot 2\dfrac{2}{5} + 2 \cdot 5 = \dfrac{24}{5} + 10 = 4\dfrac{4}{5} + 10 = 14\dfrac{4}{5}\) m.

21

Пресметнете по рационален начин \(\dfrac{7}{25} \cdot \left(3\dfrac{4}{7} \cdot 5\dfrac{5}{6} + 4\dfrac{1}{6} \cdot 3\dfrac{4}{7}\right)\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеВ скобата изнасяме общия множител \(3\dfrac{4}{7}\):
\(3\dfrac{4}{7} \cdot 5\dfrac{5}{6} + 4\dfrac{1}{6} \cdot 3\dfrac{4}{7} = 3\dfrac{4}{7} \cdot \left(5\dfrac{5}{6} + 4\dfrac{1}{6}\right) = 3\dfrac{4}{7} \cdot 10\).
Тогава изразът е \(\dfrac{7}{25} \cdot 3\dfrac{4}{7} \cdot 10 = \dfrac{7}{25} \cdot \dfrac{25}{7} \cdot 10 = 1 \cdot 10 = 10\).

22

Проверете, че разпределителното свойство \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) е в сила за \(a = \dfrac{2}{3}\), \(b = \dfrac{5}{6}\) и \(c = \dfrac{4}{5}\), като пресметнете двете страни поотделно.⭐ повишена трудност

▼

РешениеЛява страна: \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6}\right) \cdot \dfrac{4}{5} = \left(\dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6}\right) \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{9}{6} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}\).
Дясна страна: \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{15} + \dfrac{10}{15} = \dfrac{18}{15} = \dfrac{6}{5}\).
Двете страни са равни на \(\dfrac{6}{5}\), значи равенството е в сила.

23

Кое число трябва да се постави на мястото на \(*\), за да е вярно равенството \(3\dfrac{17}{20} \cdot \left(2\dfrac{4}{5} + *\right) = \left(6\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{4}{5}\right) \cdot 3\dfrac{17}{20}\)?⭐ повишена трудност

▼

РешениеПо разместителното свойство записваме дясната страна като \(3\dfrac{17}{20} \cdot \left(6\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{4}{5}\right)\).
И в двете страни имаме един и същ ненулев множител \(3\dfrac{17}{20}\), затова сравняваме другите множители:
\(2\dfrac{4}{5} + * = 6\dfrac{3}{4} + 2\dfrac{4}{5}\).
Следователно \(* = 6\dfrac{3}{4}\).

24

Пресметнете по рационален начин \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{7}{13} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{13}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеИзнасяме общия множител \(\dfrac{4}{9}\):
\(\dfrac{4}{9} \cdot \left(\dfrac{7}{13} + \dfrac{5}{13} + \dfrac{1}{13}\right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{13}{13} = \dfrac{4}{9} \cdot 1 = \dfrac{4}{9}\).

25

Намерете стойността на израза \(\dfrac{1}{9} \cdot a + \dfrac{4}{5} \cdot b + \dfrac{2}{3} \cdot a - \dfrac{3}{10} \cdot b\), ако \(a = \dfrac{3}{7}\) и \(b = \dfrac{2}{3}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеГрупираме членовете с \(a\) и членовете с \(b\) и изнасяме общ множител:
\(\left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot a + \left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{10}\right) \cdot b = \dfrac{7}{9} \cdot a + \dfrac{1}{2} \cdot b\).
При \(a = \dfrac{3}{7}\) и \(b = \dfrac{2}{3}\): \(\dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Кое свойство е приложено и кое число стои на мястото на \(*\)? а) \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2} \cdot *\); б) \(\left(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{7} \cdot \left(\dfrac{2}{3} \cdot *\right)\).
Отг.: а) разместително, \(* = \dfrac{3}{8}\); б) съдружително, \(* = \dfrac{5}{6}\).

Задача 2Пресметнете чрез разместване на множителите: а) \(\dfrac{3}{10} \cdot 7 \cdot \dfrac{10}{3}\); б) \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{8}{5}\).
Отг.: а) \(7\); б) \(\dfrac{4}{9}\).

Задача 3Пресметнете, като групирате удобно: а) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3}{2}\); б) \(\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{4}{3}\).
Отг.: а) \(1\); б) \(\dfrac{1}{3}\).

Задача 4Приложете разпределителното свойство: а) \(\left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{1}{9}\right) \cdot \dfrac{9}{4}\); б) \(\left(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8}\right) \cdot \dfrac{8}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{8}{5} - \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}\).

Задача 5Пресметнете по рационален начин: а) \(\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}\right) \cdot 12\); б) \(\left(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{4}\right) \cdot 20\).
Отг.: а) \(3 + 8 = 11\); б) \(12 - 5 = 7\).

Задача 6Запишете като произведение: а) \(\dfrac{3}{7} \cdot a + \dfrac{2}{5} \cdot a\); б) \(\dfrac{4}{9} \cdot b - \dfrac{1}{6} \cdot b\).
Отг.: а) \(\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{5}\right) \cdot a = \dfrac{29}{35} \cdot a\); б) \(\left(\dfrac{4}{9} - \dfrac{1}{6}\right) \cdot b = \dfrac{5}{18} \cdot b\).

Задача 7Пресметнете, като изнесете общия множител: а) \(3\dfrac{1}{4} \cdot 6\dfrac{2}{5} - 2\dfrac{2}{5} \cdot 3\dfrac{1}{4}\); б) \(8 \cdot 1\dfrac{5}{6} + 4 \cdot 1\dfrac{5}{6}\).
Отг.: а) \(3\dfrac{1}{4} \cdot 4 = 13\); б) \(12 \cdot 1\dfrac{5}{6} = 22\).

Задача 8Пресметнете по рационален начин: а) \(\dfrac{3}{40} \cdot 6\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{40}\); б) \(\dfrac{4}{17} \cdot 5\dfrac{3}{8} + 2\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{17}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{40} \cdot 10 = \dfrac{3}{4}\); б) \(\dfrac{4}{17} \cdot 8 = \dfrac{32}{17} = 1\dfrac{15}{17}\).

Задача 9Вярни ли са равенствата? а) \(4\dfrac{1}{5} \cdot \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{7}\right) = 4\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{1}{3} + 4\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{2}{7}\); б) \(2\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{1}{4} = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{4}\right)\).
Отг.: а) вярно (разпределително); б) невярно (\(2\dfrac{3}{5} = 2 + \dfrac{3}{5}\), а не \(2 \cdot \dfrac{3}{5}\)).

Задача 10Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{3}{11} + \dfrac{5}{11} - \dfrac{2}{11}\right) \cdot \dfrac{11}{6}\); б) \(\left(\dfrac{11}{15} + \dfrac{7}{15} - \dfrac{3}{15}\right) \cdot \dfrac{15}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{6}{11} \cdot \dfrac{11}{6} = 1\); б) \(\dfrac{15}{15} \cdot 3 = 3\).

Задача 11Намерете стойността на израза \(\dfrac{3}{8} \cdot x + \dfrac{1}{4} \cdot x + \dfrac{1}{8}\) при \(x = 2\).
Отг.: \(\left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\right) \cdot 2 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8} \cdot 2 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{11}{8} = 1\dfrac{3}{8}\).

Задача 12Пресметнете \(\left(\dfrac{5}{21} + \dfrac{16}{21}\right) \cdot \dfrac{21}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{21}{21} \cdot \dfrac{21}{8} = \dfrac{21}{8} = 2\dfrac{5}{8}\).

Задача 13Без да пресмятате, покажете, че \(8\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{9} = 8 \cdot \dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{9}\).
Отг.: \(8\dfrac{3}{5} = 8 + \dfrac{3}{5}\) и по разпределителното свойство \(\left(8 + \dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{2}{9} = 8 \cdot \dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{9}\).

Задача 14Пресметнете рационално \(\dfrac{5}{9} \cdot 2\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{9}{5}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) \cdot 2\dfrac{1}{5} = 1 \cdot \dfrac{11}{5} = 2\dfrac{1}{5}\).

Задача 15Ако \(a \cdot b = \dfrac{2}{7}\), колко е стойността на израза \(a \cdot 3\dfrac{1}{2} \cdot b\)?
Отг.: \(3\dfrac{1}{2} \cdot (a \cdot b) = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{2}{7} = 1\).

Задача 16Пресметнете: а) \(\dfrac{2}{3} \cdot \left(\dfrac{9}{8} + \dfrac{3}{4}\right)\); б) \(\dfrac{5}{7} \cdot \left(\dfrac{14}{15} - \dfrac{7}{10}\right)\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\).

Задача 17Пресметнете по рационален начин \(\dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{40}{91} + \dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{51}{91}\).
Отг.: \(\dfrac{6}{13} \cdot \dfrac{91}{91} = \dfrac{6}{13}\).

Задача 18Пресметнете: а) \(3\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{2}\); б) \(\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{3}\).
Отг.: а) \(\left(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{2}\right) \cdot \dfrac{10}{3} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{3} = 2\); б) \(\left(\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{5}{6}\right) \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1\).

Задача 19Магазин продал \(\dfrac{2}{3}\) от \(60\) kg портокали сутринта и \(\dfrac{1}{5}\) от \(60\) kg следобед. Колко килограма е продал общо?
Отг.: \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}\right) \cdot 60 = \dfrac{13}{15} \cdot 60 = 52\) kg.

Задача 20Намерете обиколката на правоъгълник със страни \(3\dfrac{1}{5}\) m и \(4\) m, като приложите разпределителното свойство.
Отг.: \(2 \cdot \left(3\dfrac{1}{5} + 4\right) = 2 \cdot 3\dfrac{1}{5} + 2 \cdot 4 = \dfrac{32}{5} + 8 = 14\dfrac{2}{5}\) m.

Задача 21 — с повишена трудностПресметнете по рационален начин \(\dfrac{8}{29} \cdot \left(3\dfrac{5}{8} \cdot 6\dfrac{3}{4} + 3\dfrac{1}{4} \cdot 3\dfrac{5}{8}\right)\).
Отг.: \(\dfrac{8}{29} \cdot 3\dfrac{5}{8} \cdot \left(6\dfrac{3}{4} + 3\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{8}{29} \cdot \dfrac{29}{8} \cdot 10 = 10\).

Задача 22Пресметнете рационално \(\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{8}{3}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{9}{14}\right) \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{3} = 1\).

Задача 23Намерете стойността на израза \(\dfrac{1}{6} \cdot a + \dfrac{3}{4} \cdot b + \dfrac{1}{2} \cdot a - \dfrac{1}{4} \cdot b\), ако \(a = \dfrac{3}{8}\) и \(b = 2\).
Отг.: \(\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\right) \cdot a + \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4}\right) \cdot b = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{1}{4} + 1 = 1\dfrac{1}{4}\).

Задача 24Вярно ли е равенството \(\dfrac{5}{9} \cdot \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{1}{4}\)?
Отг.: вярно — разпределително свойство спрямо изваждането.

Задача 25Пресметнете, като изнесете общия множител, \(\dfrac{5}{8} \cdot 2\dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{8} \cdot 3\dfrac{3}{5}\).
Отг.: \(\dfrac{5}{8} \cdot \left(2\dfrac{2}{5} + 3\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{5}{8} \cdot 6 = \dfrac{30}{8} = 3\dfrac{3}{4}\).

Задача 26Пресметнете \(\left(\dfrac{18}{25} + \dfrac{7}{25}\right) \cdot \dfrac{25}{6}\).
Отг.: \(\dfrac{25}{25} \cdot \dfrac{25}{6} = \dfrac{25}{6} = 4\dfrac{1}{6}\).

Задача 27Пресметнете рационално \(\dfrac{4}{5} \cdot 3\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{4}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{4}\right) \cdot 3\dfrac{1}{3} = 1 \cdot \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}\).

Задача 28Три пакета брашно тежат по \(2\dfrac{1}{4}\) kg, а два пакета захар — също по \(2\dfrac{1}{4}\) kg. Колко килограма тежат всички пакети общо? Пресметнете, като изнесете общ множител.
Отг.: \((3 + 2) \cdot 2\dfrac{1}{4} = 5 \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{4} = 11\dfrac{1}{4}\) kg.

Задача 29Без да пресмятате, покажете, че \(12\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = 12 \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7}\).
Отг.: \(12\dfrac{3}{8} = 12 + \dfrac{3}{8}\) и по разпределителното свойство \(\left(12 + \dfrac{3}{8}\right) \cdot \dfrac{5}{7} = 12 \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7}\).

Задача 30 — с повишена трудностПресметнете по рационален начин \(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{24}\right) \cdot \dfrac{24}{5}\).
Отг.: \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{24}{5} + \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{24}{5} + \dfrac{5}{24} \cdot \dfrac{24}{5} = 3 + 2 + 1 = 6\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Разместително, съдружително и разпределително свойства на действието умножение

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Разместителното свойство на умножението гласи:

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}\)\(\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\right)\)\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{d} \cdot \dfrac{c}{b}\)

2Съдружителното свойство на умножението гласи:

\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}\)\(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n} + \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\right)\)\(\dfrac{a}{b} \cdot 1 = \dfrac{a}{b}\)

3Разпределителното свойство на умножението спрямо събирането гласи:

\(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n} + \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \left(\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\right)\)\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}\)

4Изразът \(\dfrac{4}{11} \cdot 9 \cdot \dfrac{11}{4}\) е равен на:

\(\dfrac{4}{11}\)\(\dfrac{11}{4}\)\(\dfrac{99}{16}\)\(9\)

5Изразът \(\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}\right) \cdot \dfrac{14}{15}\) е равен на:

\(\dfrac{2}{3}\)\(\dfrac{5}{7}\)\(\dfrac{14}{15}\)\(\dfrac{10}{21}\)

6Изразът \(\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 12\) е равен на:

\(2\)\(9\)\(11\)\(12\)

7Изразът \(\dfrac{5}{8} \cdot a + \dfrac{3}{16} \cdot a\), записан като произведение, е:

\(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{16}\right) \cdot a\)\(\left(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{16}\right) \cdot a\)\(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{16} \cdot a\)\(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{16}\right) + a\)

8Изразът \(2\dfrac{4}{5} \cdot 9\dfrac{1}{2} - 4\dfrac{1}{2} \cdot 2\dfrac{4}{5}\) е равен на:

\(70\)\(14\)\(2\dfrac{4}{5}\)\(5\)

9Вярно ли е, че \(3\dfrac{4}{7} + 3\dfrac{1}{2} = 3 \cdot \left(\dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{2}\right)\)?

да, по разпределителното свойствода, по съдружителното свойствоне може да се определине, защото \(3\dfrac{4}{7} = 3 + \dfrac{4}{7}\), а не \(3 \cdot \dfrac{4}{7}\)

10Изразът \(\dfrac{7}{50} \cdot 4\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{7}{50}\) е равен на:

\(\dfrac{49}{50}\)\(\dfrac{7}{50}\)\(1\)\(7\)

11Ако \(m \cdot n = \dfrac{3}{5}\), то \(m \cdot 2\dfrac{1}{2} \cdot n\) е равно на:

\(\dfrac{3}{5}\)\(\dfrac{5}{2}\)\(\dfrac{3}{2}\)\(\dfrac{6}{5}\)

12Изразът \(\left(\dfrac{4}{17} + \dfrac{13}{17}\right) \cdot \dfrac{17}{5}\) е равен на:

\(\dfrac{4}{17}\)\(\dfrac{17}{5}\)\(1\)\(\dfrac{5}{17}\)

13Коя е удобната първа стъпка при пресмятане на \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{36}{47} + \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{11}{47}\)?

да изнесем общия множител \(\dfrac{8}{15}\) пред скобада съберем \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{36}{47}\)да умножим \(\dfrac{36}{47}\) по \(\dfrac{11}{47}\)да намерим НОК на знаменателите

14Изразът \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{36}{47} + \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{11}{47}\) е равен на:

\(\dfrac{8}{47}\)\(\dfrac{16}{15}\)\(\dfrac{47}{15}\)\(\dfrac{8}{15}\)

15Изразът \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{7}{13} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{13}\) е равен на:

\(\dfrac{4}{13}\)\(\dfrac{13}{9}\)\(\dfrac{4}{9}\)\(\dfrac{12}{9}\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

23

Умножение на обикновени дроби

Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: правило за умножение на дроби, съкращаване преди умножението, смесени числа, реципрочни числа.

Към урока →

20

Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели. Разместително и съдружително свойства на действието събиране

Урок за 5. клас — същите свойства, но за действието събиране, и рационално пресмятане чрез групиране.

Към урока →

2

Умножение. Свойства на умножението

Урок за 5. клас — свойствата на умножението при естествените числа, върху които стъпва този урок.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆